Integrales Dobles

(1)

Integrales Dobles

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica Universidad Nacional de Ingenier´ıa

Calculo Vectorial

Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 77

(2)

C

ONTENIDO

Integrales Dobles Introducci ón La integral Doble Interpretaci ón Gráfica Cálculo de Integrales Dobles Propiedades

Integrales dobles sobre regiones generales Integrales sobre una regi ´on no rectangular Valor medio para una funci ´on de dos variables Volumenes con integrales dobles

Integrales Dobles en coordenadas polares

(3)

I

NTRODUCCION

´

En el curso de calculo integral se plante ó el problema de hallar el área comprendida entre la gráfica de una funci ón positiva y = f (x), el eje OX y las rectas x = a, x = b. Dicha área se reprentaba como

Z _b

a f (x)dx

Integrales Dobles Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 77

(4)

Dada una funci ´on z = f (x, y) en D ⊂ R²tal que z > 0,

∀(x, y) ∈ D; queremos encontrar el volumen del s ólido limitado por f arriba de D, donde D es una regi ón rectángular definida:

D = {(x, y) ∈ R² /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

(5)

L

A INTEGRAL

D

OBLE

Sea f , continua en una regi ´on R del plano XY. Usando l´ıneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n

rectángulos de área ∆A. Sea (x_j,y_j) un punto del j-ésimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:

(6)

Ejemplo

Estime el volumen del sólido que se encuentra arriba del cuadrado R = [0, 2] × [0, 2] y abajo del paraboloide el´ıptico z = 16 − x²− 2y². Divida R en cuatro cuadrados iguales y escoja el punto de muestra como la esquina superior derecha de cada cuadrado R_ij. Trace el sólido y las cajas rectángulares de aproximación.

(7)

S

OLUCION

´

(8)

El volumen exacto del volumen es 48

(9)

I

NTERPRETACION

´ G

RAFICA

´

La integral doble de una funci ´on no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f (x, y) y sobre la regi ´on R del plano XY.

(10)

(11)

O

BJETIVOS

1. Evaluar la integral doble usando el teorema de Fubini 2. Aplicar las integrales dobles en el c´alculo del ´area de una

regi ´on plana y volumen de un solido.

(12)

C ´

ALCULO DE

I

NTEGRALES

D

OBLES

Teorema (Teorema de Fubini) Si f es integrable en el rect´angulo R = {(x, y) / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

(13)

E

JEMPLO

Ejemplo

Si R = {(x, y) ∈ R² / 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 4}

Calcular: _{Z Z}

R

(6x²+4xy³)dA

(14)

I

NTEGRAL

D

OBLE

Definici ´on (Definici ´on de Integral Doble)

Si f est´a definida en una regi´on cerrada y acotada R del plano XY, la integral doble de f sobre R se define como

Z Z

Rf (x, y)dA = l´ım

||∆||→0 n

X

i=1

f (x_i,y_i)∆x_i∆y_i

Supuesto que exista el l´ımite, en cuyo caso se dice que f es integrable sobre R.

(15)

P

ROPIEDADES

a.

Z Z

R

Kf (x, y)dA = K Z Z

R

f (x, y)dA b.

Z Z

R

(f (x, y) ± g(x, y)) dA = Z Z

R

f (x, y)dA ± Z Z

R

g(x, y)dA c. Si f (x, y) > 0, ∀ (x, y) ∈ R,

Z Z

R

f (x, y)dA > 0 d. Si R = R₁∪ R2, donde R₁∩ R2= φ

Z Z

R

f (x, y)dA = Z Z

R1

f (x, y)dA + Z Z

R2

f (x, y)dA

(16)

I

NTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES

F(x, y) =

( f (x, y) si (x, y) est´a en D

0 si (x, y) est´a en R pero no en D

(17)

Z Z

Df (x, y)dA = Z Z

RF(x, y)dA

(18)

L´

IMITES DE INTEGRACION

´

Secciones transversales verticales (Barrido Vertical) La regi ón R está limitada por las gráficas de g1(x) y g₂(x) en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por

R : a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)

(19)

(20)

Secciones transversales horizontales (Barrido Horizontal) La regi ón R está limitada por las gráficas de h₁y h₂en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por

R : c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)

(21)

(22)

E

JEMPLO

Ejemplo Calcular

Z ₁

0

Z

√x

x² 160xy³dydx Ejemplo

Calcular

Z Z

RxdA

donde R es la regi´on limitada por y = 2x, y = x²por los dos m´etodos (Barrido vertical y horizontal)

(23)

E

JERCICIO

1

Ejercicio Evaluar

Z ₂

0

Z _4−x²

0

xe^2y 4 − ydydx

(24)

S

OLUCION

´

R :

( 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4 − x² Z ₂

0

Z _4−x²

0

xe^2y 4 − ydydx

(25)

S

OLUCION

´

Intercambiando Diferenciales

R :

( 0 ≤ x ≤^p4 − y 0 ≤ y ≤ 4 Z ₄

0

Z

√4−y 0

xe^2y 4 − ydxdy

(26)

S

OLUCION

´ :

Z ₄

0

Z

√

4−y 0

xe^2y

4 − ydxdy = Z ₄

0

x² 2

e^2y 4 − y

√4−y 0

= Z 4

0

4 − y 2

e^2y 4 − y

! dy =

Z 4 0

e^2y 2 dy

= 1 4

e⁸− 1

(27)

E

JERCICIO

2

Ejercicio

Z π 0

Z π x

sin y y dydx

(28)

S

OLUCION

´

R :

( 0 ≤ x ≤ π x ≤ y ≤ π

Z π 0

Z π x

sin y y dydx

(29)

S

OLUCION

´

Intercambiando Diferenciales

R :

( 0 ≤ x ≤ y 0 ≤ y ≤ π

Z π 0

Z y 0

sin y y dxdy

(30)

S

OLUCION

´ :

Z π 0

Z π x

sin y

y dydx = Z π

0

Z _y

0

sin y

y dxdy = Z π

0

sin y y x^y₀

= Z _π

0

sin y y ydy =

Z _π

0 sin ydy = 2 Por lo tanto:

Z π 0

Z π x

sin y

y dydx = 2

(31)

E

JERCICIO

Ejercicio Calcular

Z Z

R

(2x + 1)dA donde R es el tri´angulo que tiene por v´ertices los puntos (−1, 0),(0, 1) y (1, 0).

(32)

Nota

Si f (x, y) = 1, la integral doble representa el ´area de la regi ´on R A =

Z Z

RdA

(33)

Ejemplo

Hallar el ´area de la regi´on R limitada por las siguientes curvas

R :









 y = x y = 1 x = 2x y = 0

(34)

U

N AREA REPRESENTADA POR DOS INTEGRALES

´

ITERADAS Ejemplo

Hallar el área de la región R que se encuentra bajo la parábola y = 4x − x², sobre el eje X, y sobre la recta y = −3x + 6

(35)

S

OLUCION

´

Secciones Verticales R₁:

( 1 ≤ x ≤ 2

−3x + 6 ≤ y ≤ 4x − x² R₂:

( 2 ≤ x ≤ 4 0 ≤ y ≤ 4x − x²

(36)

S

OLUCION

´

R = R₁∪ R₂ Area(R) =

Z ₂

1

Z _4x−x²

−3x+6 dydx + Z ₄

2

Z _4x−x²

0

dydx Area(R) = 15

2

(37)

C ´

ALCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS L

´

IMITES DE INTEGRACION

´

Algunas integrales iteradas pueden ser calculadas de las dos formas, pero tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales.

Ejemplo

Z e 1

Z _{ln x}

0

xydydx

(38)

E

JERCICIO

Ejercicio

Invierta el orden de integraci´on para Z 2

0

Z 4−x² 0

f (x, y)dydx

Ejercicio

Invierta el orden de integraci´on para Z ₄

2

Z _16/x

x f (x, y)dydx

(39)

V

ALOR MEDIO PARA UNA FUNCION DE DOS

´

VARIABLES

Definici ´on

Sea f una función continua en las variables x e y. El Valor Medio de f en una región R está dado por:

Valor Medio = Z Z

Rf (x, y)dA Z Z

RdA

(40)

Ejemplo

Encuentre el valor medio de la funci´on f (x, y) = x^q1 + y³sobre la regi´on limitada por





 y = 2 y = x x = 0

(41)

S

OLUCION

´

La regi ´on de integraci ´on es:

(42)

S

OLUCION

´ :

Valor Medio = Z Z

Rf (x, y)dA Z Z

RdA

= Z ₂

0

Z _y

0

x^q1 + y³dxdy Z 2

0

Z y 0

dxdy

= Z ₂

0

q

1 + y³x² 2

y 0dy Z ₂

0 x^y₀dy

= 1 2

Z ₂

0 y² q

1 + y³dy Z ₂

0 ydy

= 13 6

(43)

V

OLUMENES CON INTEGRALES DOBLES

Si f (x, y) ≥ 0

Volumen = Z Z

Rf (x, y)dA

(44)

V

OLUMENES CON INTEGRALES DOBLES

Ejemplo

Hallar el volumen del s´olido limitado por el plano x a +y

b+z

c =1 y el plano XY en el primer octante.

(45)

S

OLIDO LIMITADO POR SUPERFICIES

Ahora consideremos un s ´olido limitado por superficies. Por ejemplo:

(46)

S

OLIDO LIMITADO POR SUPERFICIES

En el gráfico, el volumen del s ólido limitado por las superficies está dado por:

V = Z Z

R

[f (x, y) − g(x, y)] dA

R: es la regi ´on plana que tiene por proyecci ´on la superficie en el plano XY.

(47)

Ejemplo

Hallar el volumen del s´olido limitado por z = 4 − x²− 2y²y el plano z = 2.

(48)

I

NTEGRALES

D

OBLES EN COORDENADAS POLARES

Z Z

R

f (r, θ)dA

Definici ´on (Coordenadas Polares y Rectangulares)

x = r cos θ, x²+y²=r² y = r sin θ, tan θ =y

x

(49)

I

NTEGRALES

D

Ejemplo

Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figura

(50)

D

IFERENCIAL

A

REA EN

C

OORDENADAS

P

OLARES

dA = (rdθ)dr dA = rdθdr dA = rdrdθ

(51)

Definici ´on

Si f es una funci´on continua en r y θ en una regi´on plana cerrada y acotada R, entonces la integral doble de f sobre R, en coordenadas polares, viene dada por

Z Z

Rf (r, θ)dA = l´ım

||∆||→0f (r_i, θ_i)r_i∆r_i∆θ_i si el l´ımite existe.

(52)

I

NTEGRALES

D

Teorema

Sea f (r, θ)) continua en la regi´on

D = {(r, θ) / α ≤ θ ≤ β, a ≤ r ≤ b}

entonces Z

D

Z

f (x, y)dA = Z β

α

Z b a

f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ

(53)

(54)

E

JEMPLO

Ejemplo

Sea R la regi´on comprendida entre los dos c´ırculos x²+y²=1 y x²+y²=5. Evaluar la integral

Z Z

(x²+y)dA

(55)

S

OLUCION

´

Z Z

R

(x²+y)dA

= Z _2π

0

Z

√5

1

(r²cos²θ +r sin θ)rdrdθ

= Z _2π

0

Z

√ 5 1

(r³cos²θ +r²sin θ)drdθ

= Z _2π

0

r⁴

4 cos²θ + r³ 3 sin θ

! ]

√5 1 dθ

= Z 2π

0

6 cos²θ + 5√ 5 − 1

3 sin θ

! dθ

= Z 2π

0

3 + 3 cos 2θ + 5√ 5 − 1

3 sin θ

! dθ

= 3θ +3 sin 2θ 2 −5√

5 − 1 3 cos θ

! ]^2π₀

= 6π

(56)

I

NTEGRALES

D

Teorema

D = {(r, θ) / α ≤ θ ≤ β h₁(θ) ≤r ≤ h₂(θ)}

entonces Z

D

Z

f (x, y)dA = Z β

α

Z h₂(θ) h1(θ)

(57)

(58)

I

NTEGRALES

D

Teorema

D = {(r, θ) / a ≤ r ≤ b, h₁(r) ≤ θ ≤ h2(r)}

entonces Z

D

Z

f (x, y)dA = Z β

α

Z b a

(59)

(60)

Ejemplo Calcular

Z ₂

0

Z

√

4−x²

0 e^−x²^−y²dydx Ejemplo

Hallar el volumen del s´olido limitado por z = x²+y²y el plano z = 9 Ejemplo

Encuentre el volumen de la regi´on limitada por las superficies x²+y²+z²=4 ; x²+ (y − 1)²=1

(61)

C

AMBIO DE

V

ARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES

(T

RANSFORMACIONES

)

Supongamos que se tiene la siguiente transformaci ´on x = x(u, v)

y = y(u, v) Aplicando la integral doble

Z

R

Z

f (x, y)dA quedar´a de la forma

Z

R⁰

Z

f (x(u, v), y(u, v))dA

Donde R⁰ es la regi ´on de integraci ´on en el plano UV

(62)

Teorema

Sean R y S las regiones en los planos XY y UV respectivamente que están relacionadas por las ecuacionesx = G(u, v), y = H(u, v) mediante la cual la región R es la imagen de S. Si f es continua en la región R y además G y H tienen derivadas parciales continuas en S y

∂(x, y)

∂(u, v) es no nulo en S entonces Z

R

Z

f (x, y)dA = Z

R⁰

Z

f (x(u, v), y(u, v))

∂(x, y)

∂(u, v) dudv donde

∂(x, y)

∂(u, v) =

∂x

∂u

∂y

∂x ∂u

∂v

∂y

∂v

(63)

T : UV → XY

(u, v) → T(u, v) = (x, y) = (g(u, v), h(u, v)) T⁻¹:XY → UV

(x, y) → T⁻¹(x, y) = (u, v) = (G(x, y), H(x, y))

(64)

J

ACOBIANOS

T(u, v) = (x, y) = (g(u, v), h(u, v)) JT(u, v) = ∂(x, y)

∂(u, v)

=

∂x

∂u

∂y

∂x ∂u

∂v

∂y

∂v

(65)

J

ACOBIANOS

T⁻¹(x, y) = (u, v) = (G(x, y), H(x, y)) J_T⁻¹(x, y) = ∂(u, v)

∂(x, y)

=

∂u

∂x

∂v

∂u ∂x

∂y

∂v

∂y

(66)

R

ELACION ENTRE

´ J

_T

(u, v)

Y

J

_T⁻¹

(x, y)

J_T−1(x, y) = ∂(u, v)

∂(x, y) = 1

∂(x, y)

∂(u, v) J_T⁻¹(x, y) = 1

J_T(u, v)

(67)

Ejemplo

Sea R la regi´on limitada por las rectas

x − 2y = 0, x − 2y = −4 x + y = 4, x + y = 1 Evaluar la siguiente integral

Z

R

Z

3xydS

(68)

Ejercicio

Calcule la integral doble Z Z

RydA donde : R es la regi´on limitada por el paralelogramo cuyos lados son las rectas:

y = x − 2, y = x + 1, y = 2 − x, y = −x

(69)

S

OLUCION

´

Ubicaci ´on de la regi ´on R

(70)

S

OLUCION

´

Rectas que limitan la regi ´on R

x − y = −1 x + y = 0 x − y = 2 x + y = 2 Sea

u = x − y, u = −1, u = 2 v = x + y, v = 0, v = 2

(71)

S

OLUCION

´

T⁻¹(x, y) = (u, v) T⁻¹(x, y) = (x − y, x + y)

(72)

T⁻¹(x, y) = (u, v) = (x − y, x + y) Jacobiano de T⁻¹

J_T−1(x, y) = ∂(u, v)

∂(x, y)

J_T−1(x, y) = ∂(u, v)

∂(x, y) =det

∂u

∂x

∂u

∂y

∂v

∂x

∂v

∂y

J_T−1(x, y) = ∂(u, v)

∂(x, y) =det

1 −1 1 1

=2

(73)

T⁻¹(x, y) = (u, v) = (x − y, x + y) Jacobiano de T⁻¹

J(x, y) = ∂(u, v)

∂(x, y) =2 Jacobiano de T

J(u, v) = ∂(x, y)

∂(u, v) = 1 2

(74)

S

OLUCION

´

Z Z

RdA = Z Z

Df (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv Z Z

RydA = Z Z

D

v − u 2

1 2

dA Z Z

R

ydA = 1 4

Z 2 0

Z 2

−1dudv Z Z

R

ydA = 3 4

(75)

Ejercicio

Evalue la integral doble indicada, efectuando un cambio de variables Z Z

R

x²y²dA

donde R es la regi´on situada en el primer cuadrante y limitada por las hip´erbolas equilateras: xy = 1,xy = 2 y las rectas : x = 2y, y = 3x

(76)

Ejercicio Calcular

Z 1 0

Z 2x

x dydx empleando el siguiente cambio de variable x = u(1 − v)

y = uv

(77)

Ejercicio Calcular I =

Z

D

Z

e^−(2x²^−2xy+5y²⁾arctan

x + y x − y

dA donde

D =ⁿ(x, y) ∈ R² / 1 ≤ 2x²− 2xy + 5y²≤ 9, (1 −√

3)x + (1 + 2√

3)y ≤ 0, √

3(x + y) ≥ x − 2y^o