Aplicaciones de las integrales dobles

(1)

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA

FA

FACULT

CULTAD

AD DE

DE INGE

INGENIER

NIERÍA

ÍA

ESCUELA

ESCUELA PROFESIONAL

PROFESIONAL DE

DE

INGENIERIA

INGENIERIA ELECTRONICA

ELECTRONICA

ESCUELA

ESCUELA PROFESIONAL

PROFESIONAL

INGENIERIA

INGENIERIA AGROINDUSTRI

AGROINDUSTRIAL

AL

ESCUELA

ESCUELA PROFESIONAL

PROFESIONAL DE

DE INGENIERIA

INGENIERIA INDUSTRIAL

INDUSTRIAL

MATEMAT

MATEMATICA II

ICA IIII

UNIDAD

UNIDAD II:

II: INTEGRAC

INTEGRACION

ION MULT

MULTIPLE

IPLE

MASA

MASA DE UNA LAMINA

DE UNA LAMINA PLANA DE DENSIDAD V

PLANA DE DENSIDAD VA

ARIABLE

RIABLE

Si

Si δ δ (x,y) es una función continua de densidad sobre la lámina D ( D(x,y) es una función continua de densidad sobre la lámina D ( D ⊂⊂ R R22 ),), entonces la masa m de

entonces la masa m de la lámina, está dada por:la lámina, está dada por:

M = M =

∬

_D_D ❑ ❑ δ δ (( x x , , yy))dAdA

CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE

Si

Si δ δ (( x x ,, yy)) es una función de densidad continua en una lámina correspondiente a es una función de densidad continua en una lámina correspondiente a una región plana D, entonces los momentos con respecto a los ejes  e ! son, una región plana D, entonces los momentos con respecto a los ejes  e ! son, respecti"amente#

respecti"amente#

M M _x_x

=

∬

_D_D yδ yδ (( x x , y, y))dAdA yy M M y y = =

∬

D D

xδ

xδ ( ( x x , , yy))dAdA

$demás si %m& es la masa de la lámina,

EL CENTRO DE MASA

es: ( es: ( x x ,,´´ ´ ´ y y ))

´´ x x

₌

M M y y M M y y´´

=

M M _x_x M M 'ota: si

'ota: si δ δ (( x x ,, yy)) es constante el punto ( es constante el punto ( ´´ x ,, x ´ ´ y y ) se le llama) se le llama

centro de graedad

de la región D de la región D (o

(o

centro!de

)#)#

MOMENTOS DE INERCIA DE UNA LAMINA PLANA DE DENSIDAD

VARIABLE

(2)

Sea : axbyc =* una recta en R2 y p un punto interior de una lámina D ⊂ R2 # Si

δ ( x , y) _{es una función de densidad continua en una lámina D, definimos:}

+l momento de inercia de la región plana D (lámina) respecto a la recta  es:

+n particular, los momentos de inercia de la lámina respecto a los ejes  e !

I _x

=

∬

_D y 2

δ ( x , y)dxdy I _y

=

∬

_D x 2

δ ( x , y)dxdy

+l momento polar de inercia alrededor del origen  está dado por:

I 0 = x ¿ (¿2+_y¿¿2)_δ(_{x , y})_dxdy ¿

∬

D ❑ ¿

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin

embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. a descripci!n tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en mo"imientos girosc!picos.

El momento de inercia refleja la distribuci!n de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotaci!n, respecto a un eje de giro

E"e#$%o &:

+ncontrar la masa y el centro de masa de la lámina en la forma de una región rectangular acotada por las rectas x = -, y = . y los ejes coordenados# Si δ (x,y) = x y2

(3)

Sea: δ (x,y) = x y2 # M =

∬

_D ❑ δ ( x , y)dA → Formula M =

∬

_D ❑ δ ( x , y)dA=

∬

D ❑ x y2dydx =

∫

₀ 3

∫

0 2 x y2dxdy=

∫

0 3 1 3 xy 3

|

2 0 dx M =

∬

_D δ ( x , y)dA=¿ 1 3

∫

₀ 3 x

(

23−03

)

dx = 8 3

∫

0 2 xdx = 8 3 1 2 x 2

|

3 0 = 4 3 ( 3 2 −02¿

M =

∬

_D ❑ δ ( x , y)dA=¿ 4 3

'() = &*

M _x =

∬

_D ❑ yδ ( x , y)dA =

∬

_D ❑ y δ (x,y)dydx=

∬

_D ❑ y x y2dy dy x M _x =

∬

_D ❑ yδ ( x , y)dA=

∬

D ❑ x y3dydx =

∫

₀ 3

∫

0 2 x y3dydx ₌

∫

0 3 1 4 xy 4

|

dx M _x =

∬

_D ❑ yδ ( x , y)dA=1 4

∫

₀ 3 x

(

24−04

)

_dx = 16 4

∫

₀ 3 xdx=4.1 2 x 2

|

3 0 M _x

₌

∬

D ❑ yδ ( x , y)dA=2(32−02)

=

2

_{'()= &+}

M _y =

∬

_D ❑ x δ ( x , y)dA=¿

∬

D ❑ x x y2dydx =

∫

₀ 3

∫

0 2 x2 y2dydx ₌ 1 3

∫

₀ 3 x2 y3

|

2 0 dx M _y =

∬

_D ❑ x δ ( x , y)dA=1 3

∫

₀ 3 x2

(

23−03

)

dx ₌ 8 3

∫

₀ 3 x2dx ₌ 8 3 . 1 3 x 3

|

3 0 = 8 9 ( 3 3 −03¿ M _y =

∬

_D ❑ x δ ( x , y)dA=8 9.27 = ./ ´ x

₌

M y M

=

24 12

= *

y´

=

M _x M = 18 12

=

3 2

e,

(4)

Entonce, e% Centro de Ma,a e,: '*-

32

)

E"e#$%o *:

+ncontrar el momento de inercia en los ejes  e ! de la lámina 0omog1nea de la forma de la región acotada por y =

3

4 x, x = / y el eje , si la

densidad es δ (x,y) = δ

E"e#$%o *:

+ncontrar el momento de inercia de la lámina 0omog1nea de la forma de la región

acotada por y =

3

4 x, x = / y el ej ,

con re,$ecto a% e"e .

si la densidad es δ (x,y) = δ

I _y

=

∬

D x2δ ( x , y)dA x ¿ ¿2_δ ¿ ¿

∫

o 3 x 4 ¿

∫

0 4 ¿

dy2dx =

δ x2 y ¿

∫

0 4 ¿

2

3_x 4 0

dx

δ 3_x 4 x2¿

∫

0 4 ¿

3 *2dx =

34δ

∫

₀ 4 x3

_{dx =}

3δ 4

4

x4 4

2

4 0

=

316δ

4

4 4

5

04

2 =

316δ

4

4 2 .42

_{2 =}

/+

δ

E"e#$%o 0:

+ncontrar el momento de inercia de la lámina 0omog1nea de la forma de la región

acotada por la parábola: x

2

=/5/y y el eje  , si

con re,$ecto a% e"e 1

si la densidad es :

δ _{(x,y) =} δ

I _x

=

∬

D

❑

(5)

I _x

=

∫

0 4− x2 4 y2δ ¿

∫

−2 2 ¿

dy2dx

I _x

=

¿ y 3 3 ¿ δ

∫

−2 2 ¿

2

4−_x2 4 0

dx =

4−_x2 4 ¿ ¿ ¿3 ¿ ¿ δ 3

∫

₋₂ 2 ¿

dx

I _x

=

¿ ¿ δ 192

∫

₋₂ 2 ¿

6/5/7

x 2

8.

x4− x6

)dx

I _x

=

192δ

46/x 5 86

x 3



12 5 x 5

5

x 7 7

2

2 −2 I _x

=

192δ

46/(/) 586(86) 

12 5

(6/)5

1 7

(.96)2

I _x

=

192δ

4

12 5 64¿

5

4 7

)2=

δ 3

(

84−20 35

) =

64δ 105

'Ver!2!car)

CALCULO DE AREAS . VOLUMENES

asta a0ora 0emos 0ec0o los cálculos matemáticos en integrales dobles y se 0a explicado los conceptos de las integrales dobles, "eamos a0ora estas aplicaciones# ;eamos la siguiente función en . "ariables# Se puede 0acer el cálculo de tres aplicaciones <ue se estudiara en esta sesión#

&3 CALCULO DEL AREA DEL DOMINIO DE LA FUNCION EN *

VARIABLES

onsideremos la función f: D ⊂ R2⟶ >, continua en la región cerrada D, tal <ue f(x,y) = 8, ∀ (x,y) ∈ D, entonces el área de la región plana D es dado por:

$(D) =

∬

D ❑ f ( x , y)dxdy

=

∬

D ❑ dxdy

*3 CALCULO DE VOLUMENES

(6)

8# onsideremos la función f: D ⊂ R2⟶ >, continua en la región cerrada D# +l "olumen del solido S bajo la superficie ? = f(x,y), <ue tiene como base la región D es dado por la expresión:

;(S) =

∬

D

❑

f ( x , y)dxdy

.# Sean f, g : D ⊂ R2⟶ > funciones continuas en la región cerrada D y f(x, y) ≥ g( x , y) , ∀ (x,y) ∈ D# entonces el "olumen del solido S limitado superiormente por la gráfica de la superficie ? = f(x,y) e inferiormente por la gráfica de la superficie ? = g(x,y), está dada por:

;(S) =

=

∬

D

❑

[f ( x , y)−g( x , y)]dxdy

'ota# +n estas fórmulas el sólido se proyecta sobre el plano ! f(x,y) ser@a el %Aec0o& y g(x,y) seria la %base o piso&#

'A$: Debemos indicar <ue todos estos problemas se resuel"en con los casos 8, ., -y /# De acuerdo a la presentación del problema#

E4EMPLOS DE APLICACI5N

8#

6a%%ar e% 7rea

por integración doble de la región limitada por las funciones:

y = √ x , y = . √ x y la recta x=/ $ =

∫

₀ 4

∫

√ x 2√ _x dydx ₌

∫

0 4 y|2√ x √ x dx =

∫

0 4 (2√ _x−√ _x)_dx =

∫

₀ 4 √ x dx ₌

∫

0 4 x1/2dx $ = 2 3 x 3/2

|

4 0 = 2 3 ( 4 3/2 −03/2¿ = 2 3 (7) = 16 3

(7)

A =

163 u

2

.#

Enc8entre e% o%8#en

del solido S acotado por el paraboloide el@ptico:

x2+2 y2+ z=16,los planos x=2, y=2 y los ejes coordenados.

,o%8c!9n: 6a%%ar e% o%8#en no e, #a,

8e !ntegrar%a !ntegra% do;%e con

c8a%8!era de %o, ca,o, e,t8d!ado,3

V =

16−_x2−2_y2 (¿¿)dydx

∫

0 2 ¿

∫

0 2 ¿

=

16_y−_x2_y−2 3 y 3 ¿ ¿ ¿

∫

0 2 ¿

d<

V =

16(2−0) ¿ ¿

∫

0 2 ¿

V =

32−2 x2−16 3 ¿

∫

0 2 ¿

)d< =

(32 x−2 3 x 3 −16 3 x)

|

2 0

V = 0'>)

32

'

2 3 −03¿



16 3

'*>) = ?/

16 3



32 3

=

64− 48 3

= ?/&? = /+

u3

V = /+

u3

-# +ncuentre el "olumen del cuerpo limitado por los planos coordenados

y el plano:

xa



y b



z

(8)

So%8c!on:

x a



y b



z c

= 8

→ z=c(1− x a− y b)

Bara obtener el dominio D se 0ace ?= *

+ntonces: * = 8

−a x− y b → x a+ y b=1

Del grafico a la derec0a "emos los "alores limtes para %x& e %y&

*

≤ x ≤ a

y *

≤ y ≤ b¿ ¿

85

x a

)

V =

∫

D (1− x a− y b)dydx

=

∫

0 a

∫

0 b(1₋ x a) (1− x a− y b)dydx

=

abc 6 u 3

TEOREMA DE PAPPUS

Sea D una región plana en R2 cuyo centroide es ( x ,´ ´ y ) y sea  : ax byc = * una recta en el plano <ue no tenga puntos en comCn con el interior de la región D# +ntonces el "olumen del solido de re"olución generado al girar D alrededor de , es igual al producto del área de la región D por la longitud de la circunferencia cuyo radio es la distancia de  al centroide de la región D#

; = . r $(D) $(D) =

∬

_D dA = $rea de la región D

r =

|

a x´+b ´ y+c|

(9)

+jemplo:

8# n sólido de re"olución E se genera al rotar la región D, limitada por x = * , x = √ 4− y , y = -x, alrededor de la recta : y =

1

2 x# allar el "olumen de

del solido# >pta# ; =

7631√ 5

1950  u

3

# onsidere: δ ( x , y)=1

So%8c!9n:

Del grafico "emos <ue x=* es el eje y , x=

√ 4−_y

, es la parte derec0a de la parábola :

x2=4− y → x2 ₌₅ _{(y5/) el}_"1rtice_es_;(*,/)y

el eje focal coincide con el eje y#

+ntonces cuando la region D rota alrededor de

la recta : y=

1 2 x

Se genera el solido E cuyo "olumen es:

V'@) = *



_rA'D)

Entonce, $ara encontrar r de;e#o, encontrar e% centro!de: '

x ,´ ´ y¿

y = /5 x2 y= -x

(10)

M =

∬

_D ❑ δ ( x , y)dA =

∫

3_x 4−_x2 dydx=¿

∫

0 1 y|4− x 2 3_x

∫

0 1 ¿ dx = ¿ ¿ 4−¿ x2−3 x 0¿

∫

¿ ¿ = (4 x− 1 3 x 3 −3 2 x 2 )

|

1 0 = 4− 1 3− 3 2= 24−2−9 6 = 13 6

Debemos recordar <ue cuando es un centroide : δ ( x , y)=1 y por lo tanto M =

∬

_D δ ( x , y)dA = $(D) +ntonces $(D) = 13 6 u 2 +ncontremos: M _x =

∬

_D ❑ yδ ( x , y)dA y M y =

∬

D ❑ xδ ( x , y)dA M _x =

∬

_D ❑ yδ ( x , y)dA =

∫

3_x 4₋_x2 ydydx=¿

∫

0 1 ¿

∫

0 1 (1 2 y 2 )

|

4− x 2 3_x dx M _x = (4− x2) ¿ ¿ ¿ 1 2

∫

₀ 1 ¿ 2dx ¿ 1 2

∫

0 1 (16−8_x2+_x4−9_x2) dx M _x = 12

∫

₀ 1

(

16−17 x2+ x4

)

dx ₌ 1 2 (16 x− 17 3 x 3 +1 5 x 5 )

|

1 0 M _x

₌

1 2(16− 17 3 + 1 5)

=

¿ 1 2 ¿ 240−85+3 15

) =

1 2

3

158 15

=

79 15 M _y =

∬

_D ❑ xδ ( x , y)dA =

∫

3 x 4− x2 x dydx=¿

∫

0 1 xy|4− x 2 3 x

∫

0 1 ¿ dx M _y = x(¿4−_x2−3_x)_dx=

∫

0 1

(

4_x−_x3−3_x2

)

_dx

∫

0 1 ¿

(11)

M _y = (2 x 2 −1 4 x 4 − x3)

|

1 0 = . −1 4 −1 = 8−1−4 4 = 3 4 uego: x´ = M _y M = 3 4 13 6 = 3.6 4.13 = 9 26 y´ = M _x M = 79 15 13 6 = 79.6 15.13 = 158 65

Ca%c8%o de r

r =

| a x´+b ´ y+c|

√ a2+b2

sabemos <ue la recta es:

y =

1 2 x → x−2 y=0

r =

|

9 26−2( 158 65 )

|

√ 1+4

=

|

45−4(158) 130

|

√ 5

=

|

45−632 130

|

√ 5

=

|

−587 130

|

√ 5

=

587 130√ 5! √ 5 √ 5

=

587√ 5 650

Bor lo tanto se pide:

V = *

r

A'D)

= *

 . 587650√ 5 . 13 6

=

7631√ 5 1950  u 3

TRABA4O ENCARGADO

8# alcular el "olumen del solido cuya base de la región es el plano !

es decir ?=*F acotada por las cur"as y = /5

x2

, y=-x y cuyo tec0o es

el plano ? = x/#

>pta#

625

12 u

3

(12)

>pta#

9 2u

2

-# allar el área de la región D limitada por las graficas de xy=8 y

xy=9 #>pta

5 2 ¿

ln(

2 3 ¿u 2

/# allar el "olumen del cuerpo limitado por los planos coordenados, los planos = / e y =/ y el paraboloide de re"olución ?= x2+ y2+1. >pta 1862/3u3

9# alcular el área de la región D comprendida entre y = x2, y=√ x # >pta#

1 3 u

2

Nota: De;e encontrar %o, %#!te, de !ntegrac!9n $ara < &< ≤ y ≤5− x

(13)

6# Determinar el "olumen del solido generado por la rotación limitada por las

gráficas de: .x5y = *F y = x2 , alrededor de la recta .x5y = *# onsidere:

δ ( x , y)=¿ _8#

_{T3 Pa$$8,}

>pta# ; =

16_{ u}3

15√ 5

'Ver!2!car)

G# a región D limitada por: .xy = ., .x-y= 6 , y = *# Hira alrededor de la recta xy = -# Determine el "olumen del solido <ue se genera#

; = . √ 2  u3 ( x´ = /I- , y´ = .I-, M x = /I- , M y = 7I-)

onsidere: δ ( x , y)=1.

T3 Pa$$8,

(

er!2!car re,$8e,ta,

)

7# a

región

limitada

por

y

=

(14)

alrededor de la recta y=x.# allar el "olumen del solido

engendrado#

>pta#

16 315 u 3

T3 Pa$$8,

J# Determinar el "olumen del solido generado por la rotación de la

región D limitada por las gráficas:

y =

x2,2 x− y=0 y ro"a alrededor dede larec"a2 x− y=0

>pta# ; =

8√ 5

75 u

3

8*#

alcular la masa y el centro de masa de la lámina triangular con

"1rtices: (, ), (, a), (a, ) con densidad

δ ( x , y)= x2+ y2

>pta# M =

a 4 6

F #M = (

2a 5 , 2a 5

)

'ota: para encontrar el área de la región D debe di"idir el dominio D= D8 ∪ D2

(15)

88#

na lámina tiene la forma de la región:

D = K(x,y)

∈ R2

I

x2+ y2≤9

, y

≥0

L y su densidad en cada punto de

la lamina es

δ ( x , y) = x2+ y2

#allar el centro de masa de la lamina#

Nota: co#o e, ,!#tr!ca re,$ecto a a% e"e . ,e t!ene 8e

x´

_{= >}

,o%o ,e de;e a%%ar

y´

₃

>pta# M = (*, ./I9



)

8.# Determine el centro de masa de la placa plana limitada por las

curvas

x = y2 -1 , x = 2 y2 -2, cuya δ (x,y) = 1

Rpta. C.M( x ,´ ´ y¿ =( −

6

5 , 0)

8-# Determine el momento de inercia, placa plana limitada por las curvas

x = y2 -1 , x = 2 y2 -2, cuya δ (x,y) = 1. Halle I x e I y

Rpta. I x = 4 15 I _y = 32 15

(16)

1. !ncontrar la masa y el centro de masa de la l"mina en la #orma de

una re$i%n acotada por la curva y = senx y el e&e ' para 0≤ x ≤  , si la

densidad δ (x,y) = y

1. !ncontrar el momento polar de inercia de la l"mina omo$*nea de

la #orma de la re$i%n acotada por el circulo x2+ y2=, s#ladens#dad es δ (x,y) =

1 Rp"a . I _o = a 4  2

86#!ncuentre la masa y el centro de masa de un tri"n$ulo con v*rtices en + (0,0), (1,0) y (0,2) con δ (x,y) = 1xy

Aacna, 8G de enero del .*89 Docente: ngN uis 'ina Bonce

>pta# M =  4 #M = (  2 , 16 9 )

se coordenadas polares * ≤ r ≤ a