Página 1 de 38 1.- Calcula los siguientes límites:
a)
lim
(
9
3
)
5
x
x
b)1
1
2
2 1
lim
x
x
x
x c)2
4
lim
4
x
x
x d)2
2
3
1
2
lim
4
x
x
x e)1
1
lim
1
x
x
x f))
(
)
cos(
lim
0
sen
x
x
x g))
cos(
)
(
lim
0x
x
sen
x h) i))
cos(
)
(
lim
0x
x
tg
x j))
(
)
(
lim
0
tg
x
x
sen
x k))
(
)
cos(
lim
0
tg
x
x
x l)4
2
9
7
3
2 2
lim
x
x
x
x
xm)
lim
x
x
2
1
x n) 2
3
3
lim
x
x
x
x
x o)x
x2
2
x
lim
0
p)
lim
(ln(x
-
1))
2 x q)
1
2
3 1
lim
x
x
x r))
cos(
4
)
2
(
)
1
(
2 0
lim
x
x
x
x
s)
2
2
2
2 0
lim
x
x
xt) x x
x x x
2
2
2
2
lim
0 u)27
9
3 2 0
lim
x
x
xv) 2
2
3
1
2
6
4x
lim
x
x
x
x
w) 3 9x 3 x 1 5x 2lim
x x)3
3
x
3 2
lim
x
x y)x
x
x
x5
3
2
x
2 4 6
lim
z)
lim
5
x
1
x
x aa)x
x
x5
2
lim
Halla a y b para que la siguiente función tenga límite en todos los puntos del dominio.
2
5
2
2
2
2
x
f(x)
2x
si
x
x
si
b
ax
x
si
Halla el límite de la función en los puntos fronterizos de las condiciones:
2
2
2
1
f(x)
2x
si
x
x
si
x
1
2
1
1
1
f(x)
2x
si
x
si
x
x
ab)
lim
0
Página 2 de 38 Observa la gráfica de esta función f(x) y calcula estos límites.
Página 3 de 38
2 2
2
6 4 3
3 2
2 3 6 2
2
2
2
3
4
)
lim
)
lim
)
lim
4
2
2
1
2
3
4
3
4
1 2
)
lim
)
lim
)
lim
2
2
1
log
) lim
)
lim ln
)
lim
3
3
1
3
4 2
)
lim
)
lim
2
1
3
1
x x x
x x x
x
x x x
x x
x
x
x
a
b
c
x
x
x
x
x
x
x
x
d
e
f
x
x
x
x
g
h
x
x
i
x
x
x
x
j
k
x
x
x
2 1 1
2
1
1
2 2
2
1
)
lim
2
1
2
3
)
lim
)
lim
2
1
x x
x x
x x
x x
x
l
x
x
x
m
n
x
x
Halla los siguientes límites en los casos en que sea posible:
2
1/ 2 2
0
0 0
)
lim
)
lim
4
2
)
lim 1
3
1
log
1
)
lim 1 cos
)
lim
x x
x
x
x x
x
x
a
b
x
c
x
x
x
d
x
e
e
Calcula los siguientes límites:
3 3 2
2 2 3 2
2 3 1
1
2
2 2
2
0 2 2
1 2
9
9
)
lim
)
lim
)
lim
12
12
2
2
1
2
4
)
lim
)
lim
)
lim
4
3
2
5
2
2
2
)
lim
)
lim
1
1 1
x x x
x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
a
b
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d
e
f
x
x
x
x
x
g
h
x
x
Halla los límites cuando x tienda a los puntos indicados y en los casos en que sea posible:
−∞, −2, +2, +4, +∞ −∞, −2, +3, +4, +∞ −∞, −π , 0, +4π, +∞ −∞, −π , 0, +4π, +∞
Página 4 de 38
Indica además dónde son discontinuas las funciones anteriores y de qué tipo es la discontinuidad. −∞, −1, 0, +3, +∞ −∞, 0, +3, +4, +∞ −∞, −2 , 0, +2, +∞ −∞, −3 , 0, +1, +3, +∞
−∞, −1, 0, +3, +∞ −∞, 0, +2, +3, +∞ −∞, −2 , 0, +2, +∞ −∞, −3 , 0, +1, +3, +∞
−∞, −2, 0, +3, +∞ −∞, 0, +2, +3, +∞ −∞, −π , 0, +2π, +∞ −∞, −π, 0, +π/4, +3π/4, +∞
Página 5 de 38 1.-
a) – 6 b) 3 c) 4 d)
3 2 2
e) no hay f) no hay g) 0 h) 1 i) 0 j) 1 k) no hay l) 3
m) 0 n) 1/3 o)
2 2
1 p) 0
q) 3/2 r) 1/2 s) – 1 t) 0 u) 1/3 v) 4/3 w) 5/4 x) 0 y) +
∞
z) 0 aa) +∞
ab) no hay2.- a = – 5/4 a = cualquier valor
b = 3/2 b = cualquier valor
3.-
lim
(
)
4
2
f
x
x
lim
(
)
1
3
f
x
x
3
)
(
lim
2
f
x
x
2
)
(
lim
1
f
x
x
lim
3(
)
1
f
x
x
hay
no
x
f
x
(
)
lim
2
lim
3(
)
1
f
x
x
4.- 1) –
∞
2) no hay 3) –∞ 4) +∞
5) +∞5.-
–1 –1 3
5 7
2 +
∞
0+
∞
+∞
No hay3/4 2 6
1/4 No hay 0
0 0 ó no hay +
∞
ó no hayPágina 6 de 38 6.-
1 1/2 No hay
3
0 –∞
0 –
∞
+∞
–
∞
0 0’223 ó e-3/21 0
7.- A) 0 B) 2 C) no hay D) 2 E) 0
8.- A) 5/3 B) 18/7 C)
1
3
D)∞
E) 1’28 F) 1 G) -1/4 H) 1/2 9.-–
∞
0 No hay 1 1 X=2 de salto+
∞
3 No hay 1’5 +∞
X=3 de saltoNo hay 0 0 0 No hay Continua
No hay 4 2 2 No hay Continua
+
∞
No hay 0 -2 +∞
X= -2 infinita0 1 No hay -3 0 X= 3 infinita
0 No hay 1 No hay 0 X= -2 y 2 infinita
0 No hay -1 No hay 2 0 X= -3 y 1 infinita
0 No hay -1 -0’1 0 X= -1 infinita
No hay No hay 1 1’1 1’5 X= 0 esencial
-2 -3 -1 -1’7 -2 X= -1 infinita
No hay No hay No hay 1 2 +
∞
X= 0 esencial0 -0’1 -0’2 No hay 0 X= 3 infinita
No hay No hay No hay 1 +
∞
X= 2 esencialPágina 7 de 38
∞
-1 No hay 1’5 1’1 1 X= -2 infinita
+
∞
2 1 No hay No hay X= 3 esencialNo hay No hay No hay No hay No hay X= π, - π, … infinita No hay 0 0 No hay No No X= π/4, 3π/4, … infinita
No hay No hay No hay 1 +∞ X= 0 esencial
+
∞
1 1’2 1’1 0 Continua0 0’1 1 8 +
∞
ContinuaPágina 8 de 38 EJERCICIOS DE LÍMITES
Ejercicio nº 1a.-
Sobre la gráfica de f(x), halla :
x f lim xa)
x f lim x
b)
x f lim x2 c)
x f lim x2 d)
x f lim
x 0 e)
Ejercicio nº 1b.-
Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
x f lim xa)
x f lim x
b)
x f lim x2 c)
x f lim x2 d)
x f lim
x 0 e)
Ejercicio nº 1c.-
A partir de la gráfica de f(x), calcula:
x f lim xa)
x f lim x
b)
x f lim x1 c)
x f lim x1 d)
x f lim x 5 e)
Página 9 de 38 Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
x f lim xa)
x f lim x
b)
x f lim x3 c)
x f lim x3 d)
x f lim
x 0 e)
Ejercicio nº 1e.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
x f lim x a)
x f lim x b)
x f lim x3 c)
x f lim x3 d)
x f lim
x 0 e)
Ejercicio nº 2a.-
Representa gráficamente los siguientes resultados:
f x
lim x
a)
g x
lim x
b)
Ejercicio nº 2b.-
Representa los siguientes límites:
f x limf x
lim
x
x 2 2
Ejercicio nº 2c.-
Representa en cada caso los siguientes resultados:
2a)
f x
lim
Página 10 de 38
Ejercicio nº 2d.-
, sabemosque: 3 x 1 x función la Para xf
3 1 y 3 1 3 3 x x lim x x lim x x
Representa gráficamente estos dos límites.
Ejercicio nº 2e.-
Representa gráficamente:
1a)
f x
lim
x b)xlim1g
x 0 Ejercicio nº 3.-
en 1 yen 3. 2 3 función la de límite el Calcula A) 4 x x x x
x f
B) Halla los límites siguientes:
1 3
a) 2
2
x x
x lim
x
lim x
x 6 3
b)
1
c)
lim
x1log
x
C) Calcula los siguientes límites:
3 2 4
a) 2
3
x x
lim
x
b) 2 9 3 x lim x limcosx x 0 c)
D) Resuelve:
2 4
a) 3 2 2 x x lim x 1 2
3
b)
x xlim
limtgx
x 4 c)
E) Calcula:
2 23a) lim x
x
lim
x
x 1 2
b)
8
limsenx
x
2
c)
F)Calcula el siguiente límite, estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha y representa los resultados
a) de x 2:
22 2 1 x x lim x
b) de x 3:
9 1 2 3 x lim x
c) de x 3
3
1
x
x
f
d) de x 0:
x x x lim x 2 1 2 2 0
e) de x = 2:
5 61
2 x x x x f
Ejercicio nº 4.-
Resuelve los siguientes límites e interprétalos gráficamente.
6 18 12 2 2 2
3
x x
x x
lim x
3 3 1
5 4
2 3
2
1
x x x
x x lim x 2 4 4 2 2 x x lim x 3 4 2 0 2 2 x x x lim x
2 1
4 3
2 2
1
x x
Página 11 de 38 Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
2 4
a) lim x x
x
x
x x lim
x 3 2 2
b)
2 3
Ejercicio nº 5b.-
te gráficamen representa
y funciones siguientes
las de cuando
límite el
Halla x
la información que obtengas:
1 2 2 a)3
x x
x
f
5 2 3 b)
3 2
x x x
f
Ejercicio nº 5c.-
función siguiente
la de cuando
y cuando
límite el
Calcula x x
y representa la información que obtengas:
3 4 2
1 x2 x
x
f f
x (4x)2
x x x
4 3
2
)
f(x
31 2
x x x f
Ejercicio nº 6.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
x x lim
x 5 3
3 a)
x
x lim
x 5 3
3 b)
31 1 a)
x lim x
2
3
3 b)
x x lim x
4 4
3 4
2 a)
x x x lim
x
2 3
2
1 1 2 3 b)
x x
x x lim
x
3 22 1 3 a)
x x lim
x
1 2 b)
2 3
x
x lim x
Ejercicio nº 7a.-
x : ffunción la
de gráfica la
es Esta
a) ¿Es continua en x =2? b) ¿Y en x 0?
Página 12 de 38
Ejercicio nº 7b.-
x : fde gráfica la
Dada
a)¿Es continua en x 1? b) ¿Y en x 2?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 7c.-
x : ffunción la
a e correspond gráfica
siguiente La
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 7d.-
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 8.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?
a) b)
Página 13 de 38 Estudia la continuidad de:
1 si 1 3 1 si 2 2 x x x x x xf
4 si 15 4 si 3 1 2 x x x x x
f
0 si 2 2 0 si 1 2 2 x x x x x
f
2 si 2 2 si 2 x x x x x f
Ejercicio nº 10.-
seacontinuaen x 1: quepara de v alor el
Halla k f x
1 si 1 si 1 2 x k x x x fEjercicio nº 11.-
Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
2 3 2
x x x x
f
24 1 x x f
1 2 1 2 x x x f
2 2 2 2 x x x f
1 1 2 2 x x x fEjercicio nº 12.-
: función la de cuando y cuando infinitas, ramas las
Halla x x ,
2
3
x
x
x
f
f
x
3
x
3f
x
x
1
3f
x
x
2
x
42
x
x
f
f
x
x
x
2f
x
x
x
2
x
2
3
2 3
1
2
2 4
x
x
x
x
f
x x x x f 1 2 3
1
2
2
2 3
x
x
x
x
f
24
1
x
x
x
f
3
1
3
x
x
x
f
1
2 4x
x
x
f
2
2
1
2
x
x
x
f
x
x
x
f
2
3
1
3 21
x
x
x
f
1
1
2
2 2
x
x
x
f
2
x
x
x
f
Representa la información obtenida.
Ejercicio nº 13.-
Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.
2 2 3 2 x x xf
1 2 2 x x x x
f
Página 14 de 38
SOLUCIONES
1.-
a b c d e
1a 1 1 –
∞
+∞ –11b –
∞
+∞
2 4 01c +
∞
–∞
2 3 11d 0 0 +
∞
+∞
11e 0 +
∞
+∞
–∞
1 2.-
3.-
A) 1/6 y -51/2 F) B) -1/7 y 3 y 0
C) 2/9 y 0 y 1 D) 0 y 1/3 y 1 E) 25 y 5 y 1
4.-
5.-
a.- a) –
∞
b) –∞
b.- a) –∞
b) +∞
c.- +
∞
–∞ +∞
–∞
0–
∞
–∞ +∞
–∞
02 X Y
3 2 1
5cb- 5bb, 5cb+, 5cb-
5cd- 5cd+
5ab, 5ca- 5aa, 5ba, 5ca+,
5cc- 5cc+
2cb 2bb 2da 2aa 2ba
2ca 2ea
-1
2eb
2ab 2db
Página 15 de 38
a) 1 b) 1 a) 0 b)
+∞
a) 1/3 b) 0 a) 0 b)+∞
7.-a) No, infinita b) Sí
a) Sí b) No, evitable a) No, de salto b) Sí
a) Sí b) No, infinita
8.- a) No, evitable b) Sí
9.-
En x=1 de salto Continua Continua Continua
10.- k = 3
11.-
AV en x= -1 2
Izq
+∞
Der -∞
Izq -∞
Der +∞
AV en x= -2 +2
Izq -
∞
Der +∞
Izq+∞
Der -∞
AV en x= -1
Izq
+∞
Der +∞
AV en x= -2
Izq
+∞
Der +∞
AV en x= -1 +1
Izq -
∞
Der +∞
Izq -∞
Der +∞
12.-+ –
∞
–∞
+∞
+∞
- +
∞
+∞
–∞
+∞
+ +
∞
–∞
+∞
+∞
- +
∞
–∞
–∞
+∞
+ –
∞
+∞
–∞
+∞
- –
∞
+∞
–∞
+∞
+ –
∞
0 3 0 - –∞
0 3 0 + 2 1- 2 1 13.-
3x – 6 x+1 2x+4 2x x
61b 61a
63a
Página 16 de 38 EJERCICIOS DE LÍMITES
1. Hallar el límite, en caso de que exista.
a) Hallar
(
)
5
f
x
lim
x , si
5 x si , 7 6 5 x si , 1 ) ( 2 x x x f
b) Hallar
(
)
1
f
x
lim
x , si
1 x si , 7 3 1 x si , 5 2 ) ( 2 x x x x f
c) Hallar
(
)
2
f
x
lim
x , si
2 x si , ) 12 6 ( 2 x si , 2 4 ) ( 2 x x x x x f
2. Si
3 x si , 3 x si , 2 4 ) ( 2 x x ax x
f Calcula el valor de a para que
(
)
3
f
x
lim
x, exista.
3. Si
2 x si , 4 2 x si , 7 4 4 3 ) ( 2 x x ax x
f Calcula el valor de a para que
lim
x2f
(
x
)
exista.4. Si
1 x si , 5 1 x si , 3 5 ) ( 2 x ax x
f Calcula el valor de a para que
(
)
1
f
x
lim
x exista.
Evaluar los siguientes límites:
1.
1
5
6
3
2 2
x
x
x
lim
x 2.
lim
xCos
x
3
3. 3
4
4
x
lim
x 4.
1
1
2 4
x
x
lim
x 5.x
x
lim
x
16
4
0 6.
1
2
2 3 1
x
x
x
x
lim
x 7.)
1
(
5
)
1
(
25
24
x
x
lim
x 8.
(
)
2
a
x
Sen
lim
x
9.
lim
Sen
x
Cos
x
x
2
2
2
10.
Página 17 de 38 11.- Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten
a)
1
1
2 3 1
x
x
Lim
x b)
1
3
3
2 1
m
m
Lim
m c.
4
64
3 4
t
t
Lim
t d)8
16
3 4 2
x
x
Lim
x e)6
5
9
2 2 3
t
t
t
Lim
t f)8
64
64
x
x
Lim
x g) 2 4 2 3 03
16
8
5
u
u
u
u
Lim
u
h)
Lim
x1
1
1
3
x
x
i)1
1
2
2 1
x
x
x
Lim
x j)3
2
1
3
v
v
Lim
v k)
n
n
Lim
n2
5
5
0
l)
6
2
2 2
x
x
x
Lim
x m)3
3
2
3
h
h
h
Lim
h n)4
)
2
(
2 2 2
x
x
Lim
xo) 2 2
4
2
x
x
Lim
x
p)8
2
3 8
r
r
Lim
r q)
1
)
1
(
3 3 1
x
x
Lim
x r)
27
3
3 27
x
x
Lim
x12. Dada la función
f
(
x
)
x
2
3
x
, hallarh
x
f
h
x
f
Lim
h)
(
)
(
0
13. Dada
f
(
x
)
5
x
1
hallarh
x
f
h
x
f
Lim
h)
(
)
(
0
cuando
5
1
x
.14. Resuelve los siguientes límites:
a) 3
2 1
(
1
)
)
1
3
(
x
x
Lim
x b)4
2
2 2
v
v
Lim
v c)x
x
Lim
x
1
1
1 d) x xx x x
Lim
3
3
3
3
0 e)4
2
2 2
x
x
Lim
x f)3
2
)
1
)(
3
2
(
21
x
x
x
x
Lim
x g)h
x
h
x
Lim
h 3 3 0)
(
h)
4
3
)
2
3
(
2 21
x
x
x
x
Lim
x i)h
h
Lim
h 2 2 02
)
2
(
15. Resuelve los siguientes límites:
a) Si
f
(
x
)
bx
2
cx
d
, demuestre quebx
c
h
x
f
h
x
f
Lim
h
2
)
(
)
(
0b) Si
f
(
x
)
x
2, demuestre quex
h
x
f
h
x
f
Lim
h2
)
(
)
(
0
c) Si
x
x
f
(
)
1
, demuestre que 2 01
)
(
)
(
x
h
x
f
h
x
f
Lim
h
Página 18 de 38 Calcula 1. 1 x
Lim
2
9
8
4
9
3
4
6
3 4 2 4 5
x
x
x
x
x
x
x
2. 2 xLim
18
2
76
2
5
2 3 3 4
x
x
x
x
x
x
3. 3 xLim
3
6
2
x
x
x
4. 2 xLim
2
10
4
2 3
x
x
x
x
5. 2 / 1 x
Lim
2
1
4
11
8
4
3 2
x
x
x
x
6. 2 a
Lim
2
16
4
2
2
3 2
a
a
a
a
7. 1 aLim
1
2
2
2 4
a
a
a
a
8. 1 xLim
1
6
5
4
x
x
x
Evaluar los siguientes límites
1.
1
1
2
1
x
x
lim
x 2.2
3
2
x
x
lim
x 3.x
x
lim
x
3
10
3
3 4.x
x
lim
x
4
5
4 5.2
3
1
22
x
x
x
lim
x6. 2
2
4
x
x
lim
x
7. 2
(
2
)
23
x
x
lim
x8. 2
4
(
4
x
)
x
lim
x
Halla a)1
3
3
2
x
x
Lim
x b)5
4
2
1
3
5
2 2
x
x
x
x
Lim
x c)x
x
x
Lim
x 3
2 d)1
3
2
3 2
x
x
x
Lim
x e)x
x
x
x
x
x
Lim
x
3
5
6
3
6
4
2 3 2 4 5
f) 2
1
x
x
Lim
x
g)
lim
x
x
x
3
2
h)
3 2
4
4
3
3
x
x
x
x
Lim
x i)2
4
2
x
x
Lim
x j)1
2
1
2
x
x
Lim
x k) 3 2 34
3
u
u
u
Lim
u
l) 4 3
3 4
2
4
3
3
3
t
t
t
t
t
Lim
t
m)3
2
1
2
z
z
Lim
z n) 21
1
z
z
Lim
z
o)5
4
3
2
x
x
Lim
xp) 2
3
6
1
2
x
x
x
Lim
x
q)5
2
x
x
Lim
x r)
5
6
3
2
x
x
x
Lim
x s)
lim
x
x
Página 19 de 38
1) a) N.E. b) N.E. c) 0 2) a = 1/9 3) a = 1 4) a = 8/5
________________
1) 4/9 2) –1 3) 2 4)
5
5) N.E. 6) 0 7) 0 8) Cosa 9) –1 10) 7211) a) 3/2 b) 6 c) 48 d) 8/3 e) 6 f) 16 g) –1/2 h) 1/3 i) 0 j) 1/4 k) 0 l) 1/5 m) –2/3 n) 0 o) 1/4 p) 1/12 q) 0 r) 1/27
12) 2x – 3 13)
1
5
2
5
x
14) a) 1/2 b) 1/4 c) 1/2 d) 0 e) 0 f) 1/2 g) 3x2 h) 1/2 i) –1/4
________________ Calcula
1) –1 2) –50/7 3) 5 4) –5 5) 3 6) 28 7) 0 8) 9
________________ Evalua
1)
2) –
3)
4)
5) –
6) –
7)
8)
________________ Halla
a) 2/3 b) 5/2 c) 0 d) 0 e)
f) 0 g) –
h)
i)
j) 1/2 k) 1 l) 3/4 m) i/2 n) i o) ½ p) 0 q) 0 r) 0 s) –
t)
Página 20 de 38
CÁLCULO DE LÍMITES
1)
3
26
1
1
x
x
lim
x 2)
2
1
2
x
x
lim
x 3) x
lim
x
x
3
3
4)
2
22
1
a
x
a
x
a
x
lim
a x
5)
2
1
2
2 2
1
x
x
x
x
lim
x
6)
2
1
2
1
x
x
lim
x 7)1
2
2
2 21
x
x
x
x
lim
x 8)4
4
1
2
x
x
lim
x9)
6
3
2
4 34
x
x
x
lim
x
10) 2
2 0
9
6
x
x
x
lim
x
11)
x
x
x
lim
x5
25
2 2 5
12)
x
x
x
x
x
lim
x
2
6
2
2 2 3
13)1
5 2 4
x
x
x
lim
x 14)
2
1
3
2 2 5
x
x
x
lim
x 15)
x
a
a
x
lim
a x
16)x
x
lim
x3
3
0
17)
lim
x
x
x
3 2
5
2
18)x
x
x
lim
x2
1
19)
x
x
x
x
lim
x 20)4
2
1
1
2 2
x
x
lim
x 21)
1
1
2
x
x
lim
x 22) 3 1 32
4
1
x xx
x
lim
23) xlim
x
x
x
x
24)1
1
1
2
1
2
x
x
x
x
lim
x25)
1
1
x
x
x
lim
x 26) x
lim
x
1
2
x
2
x
2
x
3
x
5 5
3
27)
1
1
1
x
x
x
lim
x 28)
x
x
x
x
x
x
lim
x6
3
3
6
2 2
29)
1
5
6
3 4 2 31
x
x
x
x
x
x
lim
x
30)
4 3 33
1
x
x
lim
x 31)
7
15
9
9
3
5
2 3 2 33
x
x
x
x
x
x
lim
x 32)
4
11
2
2
2
2 3 3 42
x
x
x
x
x
x
lim
x
33) 4 3 2
2 3 4
2
4
4
4
4
5
4
x
x
x
x
x
x
x
lim
x
34)
2
2
1
3
8
6
3 4 2 41
x
x
x
x
x
x
lim
x
35)
2
4
4
2
2 2 2x
x
x
x
lim
x 36)1
3
2
3
x
x
lim
x 37)1
3
2
0
x
x
lim
x 38)
3
1
2
2
x
x
lim
x 39)1
3
2
x
x
lim
x 40)
3
1
2
x
x
lim
x 41)x
x
x
lim
x 1
2
42)x
x
x
lim
x 1
2
43)
x
x
x
lim
x 0
2
44)
x
x
x
lim
x2
45)x
x
x
lim
x2
46)1
1
2
1
2 20
x
x
x
lim
x 47)
2
1
1
1
2 2
1
x
x
x
lim
x 48)1
1
2
1
2 2
x
x
x
lim
x 49)
x
x
lim
x
sen
0
50)
x
x
lim
x
tg
0
51)
x
x
lim
xtg
sen
0 52)a
x
a
x
lim
a x
sen
sen
53)
h
a
h
a
lim
hcos
cos
0
54) 0 2
