Guía Estadística Descriptiva 1

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GUÍA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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ASIGNATURA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

NIVEL: CUARTO

CRÉDITOS: CUATRO

PRERREQUISITOS: MATEMÁTICA PARA ECONOMÍA INVESTIGACIÓN BÁSICA

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Aplicar las técnicas estadísticas en la recopilación, organización presentación e interpretación de la información cualitativa o cuantitativa de una investigación, que permita una verdadera toma decisiones de una manera creativa y original.

UNIDADES

I. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS, ORGANIZACIÓN , TABULACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS

II. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS III. PROBABILIDADES

IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD V. ELEMENTOS DE MUESTREO

BIBLIOGRAFÍA:

BÁSICA:

Newbold Paul, Carlson Willam L.,Thorne Betty. (2008) Estadística para Administración y Economía. Sexta Edición. España.Prentice Hall.

COMPLEMENTARIA:

Levin, R. y Rubin, D. (2010) Estadística para la Administración y Economía. Séptima edición. México:Prentice Hall.

Mason,Lind,Marchal (2005). Estadística para Administración y Economía. Décima edición, Colombia: Alfaomega.

Walpole, R., Myers, R., Myers., Sharon; Ye, K. (2012). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Novena edición. México: Pearson.

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Anderson D., Sweeney D., Williams T. (2008). Estadística para la Administración y Economía. Octava edición. México: Internacional Thomson.

Galindo E. (2011). Estadística métodos y aplicaciones para administración e ingeniería. Tercera edición. Quito: ProCiencia Editores.

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PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA

UNIDAD I. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS, ORGANIZACIÓN, TABULACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de:

a) Seleccionar una muestra mediante una técnica de muestreo, asegurándose que sea una representación de la población

b) Identificar las variables y clasificarlas de acuerdo a su tipología.

c) Convertir los datos sin procesar en información útil, mediante la organización apropiada en tablas de frecuencias y su representación gráfica.

d) Interpretar de manera adecuada la información obtenida.

e) Reconocer la importancia de la Estadística y su relación con el proceso de investigación.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de: Operaciones con números reales.

CONTENIDOS

1. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA ORGANIZACIÓN Y TABULACIÓN DE DATOS

1.1. Introducción, concepto, importancia y principales ramas de la Estadística

1.2. Conceptos básicos: población, muestra, elemento o unidad de análisis, muestreo, parámetro, estadístico, variable y su clasificación.

1.3. Organización y Tabulación de Datos 1.3.1. Ordenamiento de datos categóricos

1.3.1.1. Distribución de frecuencias

1.3.1.2. Representación Gráfica: Representación en Barras Representación Circular o tarta

1.3.1.3. Diagrama de Pareto. Representación Lineal. (representación series de tiempo)

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1.3.2.2. Tablas o cuadros de frecuencia para datos agrupados

1.3.2.3. Representación Gráfica, Histograma, Polígono de frecuencias, Ojivas.

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Complete el siguiente cuadro con un ejemplo de cada una de las posibles variables que se pueden obtener a partir de los diferentes tipos de población señalados. En la última fila proponga usted un ejemplo.

POBLACIÓN

VARIABLES CUANTITATIVAS

VARIABLES CUALITATIVAS Continuas Discretas Nominales Ordinales Habitantes del Distrito

Metropolitano de Quito Docentes de la UTE

Usuarios de los parqueaderos de la UTE

Estudiantes del Cuarto semestre de COMEX

2. En una encuesta reciente se pidió al profesorado de una universidad que respondiera a varias preguntas. Indique el tipo de datos de cada pregunta.

a) Indique su nivel de satisfacción con la carga docente

b) ¿Cuántos artículos ha publicado en revistas durante el último año? c) ¿Ha asistido a la última reunión del consejo de departamento?

d) ¿Cree usted que el proceso de evaluación de la docencia debe revisarse?

3. Se ha formulado una serie de preguntas a una muestra de clientes de una tienda de helados. Identifique el tipo de datos que se pide en cada pregunta.

a) ¿Cuántos años tiene?

b) ¿Cuál es su sabor de helado preferido? c) ¿Cuántas veces al mes toma helado?

d) ¿Tiene hijos de menos de 10 años que vivan en casa? e) ¿Ha probado el último sabor de helado?

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b) Nivel de instrucción

c) ¿Cómo calificaría usted a la gestión que realiza el presidente Rafael Correa? (Muy buena, buena…)

d) ¿Está o no de acuerdo con la gestión que realiza el Alcalde Mauricio Rodas? e) ¿Según usted cuál es el mayor problema que afecta a la ciudad de Quito?

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5. Con la información proporcionada por los estudiantes en el primer día de clases del semestre anterior se elaboró la siguiente matriz de variables:

Nº Edad Género

Número de

hermanos

Calificación de Grado (Buena, Muy Buena,…) Estatura (m) Peso(kg) Gasto Mensual en internet Uso del internet No. De Asignaturas Reprobadas

1 21 Masculino 1 Muy buena 1,60 53 58 videos 3

2 18 Femenino 3 Muy buena 1,45 46 35 deberes 1

3 19 Femenino 1 Muy buena 1,53 50 30 chat 2

4 20 Masculino 1 Muy buena 1,85 85 40 deberes 3

6 19 Femenino 3 Muy buena 1,60 65 20 chat 4

8 19 Femenino 2 Sobresaliente 1,60 55 25 videos 0

10 20 Masculino 3 Muy buena 1,78 65 30 chat 0

11 21 Femenino 2 Muy buena 1,54 48 56 noticias 0

13 20 Femenino 1 Sobresaliente 1,65 50 45 deberes 0

15 19 Masculino 2 Sobresaliente 1,80 69 29 chat 3

18 27 Femenino 3 Muy buena 1,60 53 38 noticias 2

19 21 Femenino 2 Muy buena 1,73 65 50 videos 0

20 21 Femenino 1 Buena 1,63 59 25 chat 2

23 25 Femenino 0 Buena 1,73 51 27 chat 2

25 23 Femenino 3 Buena 1,55 57 40 noticias 5

26 23 Masculino 2 Buena 1,58 52 40 deberes 3

27 21 Masculino 0 Buena 1,68 73 35 deberes 4

28 20 Femenino 1 Sobresaliente 1,55 58 30 chat 1

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Con esta información clasifique las variables de acuerdo a su tipología

Variable

Cualitativa Cuantitativa

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6. Escriba el nombre que corresponde a cada gráfico o diagrama estadístico y el tipo de variable para el que recomienda su utilización.

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7. Con las variables uso del internet y calificación de grado de la matriz de variables de la página 8, construya las tablas de distribución de frecuencia, con todos sus elementos (número, título,..). Interprete una clase. Construya un gráfico de sectores.

8. Una empresa ha llegado a la conclusión de que hay siete defectos posibles en una de sus líneas de productos. Construya un diagrama de Pareto de las siguientes frecuencias de defectos. Escriba un reporte que resuma la información que le proporciona la gráfica.

Código de defectos Frecuencia

A 10 B 70 C 15 D 90 E 8 F 4 G 3

9. Una compañía de seguros médicos realizó una investigación de todo el proceso de presentación de reclamaciones y pago de indemnizaciones. Se seleccionó un equipo de personas clave de los departamentos encargados de tramitar las reclamaciones, de relaciones con los proveedores y de marketing, de auditoría interna, de procesamiento de datos y de revisiones médicas. Basándose en su experiencia y en una revisión del proceso, los miembros del equipo finalmente llegaron a un acuerdo sobre una lista de posibles errores. La tabla que se muestra a continuación muestra los errores en la tramitación de las reclamaciones al seguro médico y su correspondiente frecuencia

CATEGORÍA TIPO DE ERROR FRECUENCIA

1 Códigos de procedimientos y diagnósticos 43

2 Información del proveedor 8

3 Información del paciente 7

4 Tablas de precios 16

5 Solicitudes de contratos 36

6 Ajustes de los proveedores 9

7 Otros (errores de programas y sistemas) 4

a) Construya un diagrama de Pareto.

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10. En el siguiente cuadro se presenta los registros del precio mensual promedio final de comercialización del barril de petróleo ecuatoriano en los años 2012-2014, publicado por el Banco Central del Ecuador (Cifras económicas del Ecuador). Construya una gráfica de líneas (series temporales).

Año Mes 2012 2013 2014 Enero $99,96 $99,81 $91,52 Febrero 103,20 100,09 97,95 Marzo 111,99 99,67 96,50 Abril 111,79 95,76 97,81 Mayo 101,68 96,39 95,94 Junio 86,15 94,81 98,90 Julio 89,78 101,07 91,19 Agosto 95,14 97,91 85,95 Septiembre 99,49 97,36 83,33 Octubre 94,58 92,18 73,36 Noviembre 91,37 84,37 61,59 Diciembre 92,65 90,35 45,37

Describa la información que le ofrece la gráfica.

11. Con las variables: número de hermanos y número de asignaturas reprobadas de la matriz de variables de la página 8:

a) Elabore las tablas de frecuencia con todos sus elementos (número, título,..). b) Interprete 2 clases.

c) Construya un diagrama de barras

12. Con las variables: estatura y gasto mensual en internet de la matriz de variables de la página 8:

a) Construya las tablas de distribución de frecuencia. b) Interprete la tercera y cuarta clase.

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13. En la siguiente tabla se muestran los registros del precio mensual promedio final de comercialización del barril de petróleo ecuatoriano periodo 2012-2014

99,96 103,20 111,99 111,79 101,68 86,15 89,78 95,14 99,49 94,58 91,37 92,65 99,81 100,09 99,67 95,76 96,39 94,81 101,07 97,91 97,36 92,18 84,37 90,35 91,52 97,95 96,50 97,81 95,94 98,9 91,19 85,95 83,33 73,36 61,59 45,37

Con esta información:

a) ¿Cuál es el precio más alto del periodo considerado y cuál el más bajo? b) Elabore una tabla de distribución de frecuencias

c) ¿En qué clase se encuentra el mayor porcentaje de los meses considerados en el registro y a qué precios corresponde?

d) ¿En cuántos meses el precio fue inferior a $89,81?

e) ¿Cuántos meses registraron un precio de $45,37 hasta $78,7 y a qué porcentaje corresponde?

14. El número de horas que les toma a los mecánicos retirar, reparar y reinstalar una transmisión en uno de los talleres de la ciudad durante un día de la semana anterior, se registra de la manera siguiente:

4,3 2,7 3,8 2,2 3,4

3,1 4,5 2,6 5,5 3,2

6,6 2 4,4 2,1 3,3

6,3 6,7 5,9 4,1 3,7

A partir de estos datos, elabore una distribución de frecuencias con intervalos de una hora. ¿A qué conclusiones puede llegar acerca de la productividad de los mecánicos si toma en cuenta la distribución de frecuencias?. Si el gerente del taller cree que más de 6,0 horas es evidencia de un desempeño insatisfactorio. ¿De qué magnitud es el problema de desempeño de los mecánicos en este taller en particular.

15. Construya el diagrama de tallo y hojas para la variable peso y edad de la matriz de variables de la página 8.

a) ¿Cuántos estudiantes tienen un peso inferior a 65kg? b) ¿Cuántos estudiantes tienen un peso de 70kg o más? c) ¿Cuántas personas tienen más de 20 años?

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16. La siguiente representación de tallo y hoja informa el número de pedidos por día en una empresa de ventas por internet.

9 1 10 2 11 532 12 96 13 2 14 135 15 2912 16 2266778 17 01599 18 001133034679 19 03346 20 9467 21 7170

a) ¿Cuántos días se estudiaron?

b) ¿Cuántas observaciones hay en la cuarta clase? c) ¿Cuál es el valor más grande y cuál el más pequeño? d) ¿Enuncie los valores reales de la séptima clase? e) ¿En cuántos días se registraron 200 pedidos o más?

17. El siguiente Histograma muestra las calificaciones promedio obtenidas por un grupo de estudiantes de Estadística.

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b) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación de 6,6 o más y a qué porcentaje corresponde?

c) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron una calificación inferior a 6,6? d) ¿Cuál es la amplitud del intervalo de la tercera clase?

e) ¿Cuál es la amplitud del intervalo de la última clase? f) ¿Cuál es el punto medio de la cuarta clase?

18. La siguiente tabla de distribución de frecuencias representa el número de créditos reprobados por un grupo de estudiantes durante su carrera universitaria.

Xi fi Fi ni Ni 0 47 0,50 1 0,69 2 3 8 87 4 89 5 6 3 Σ a) Complete la tabla

b) ¿Cuántos y cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron 3 o más créditos?

c) ¿Cuántos y cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron a lo mucho 2 créditos?

d) ¿Cuántos estudiantes reprobaron entre 3 y 6 créditos inclusive?

e) ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron más de 4 créditos? 19. La tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios mensuales en dólares

de los empleados de una empresa:

salarios fi Fi ni Ni [354, 414) 1 [414, 474) 11 0,24 [474, 534) [534, 594) 30 0,18 [594, 654) 39 [654, 714) 7 Σ

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a) ¿Cuál es el tamaño de la población?

b) ¿Cuántos empleados tienen un salario de $594 o más? c) ¿Cuántos empleados tienen un salario de $ 414 a $ 654? d) ¿Qué porcentaje de empleados gana menos de $534? e) ¿Qué porcentaje de empleados gana por lo menos $474?

20. El supervisor de una planta ha obtenido una muestra aleatoria de las edades de los empleados y del tiempo que tardan en realizar una tarea (en segundos). Represente los datos con un gráfico de barras.

Tiempo Edad

Menos de 40

segundos Entre 40menos de 60y segundos

Un minuto

como mínimo Total

Menos de 21 10 13 25

[21,35) 16 20 12

[35,50) 18 22 8

50 o más 10 27 19

Total

21. El capitán de un barco pesquero tiene la creencia de que la pesca mínima para recuperar la inversión debe ser de 5000 libras por viaje. A continuación tenemos los datos de una muestra de la pesca de 20 salidas al mar que el barco hizo recientemente:

6500 6700 3400 3600 2000 7000 5600 4500 8000 5000 4600 8100 6500 9000 4200 4800 7000 7500 6000 5000

Construya una ojiva que le ayude a responder las siguientes preguntas:

a) Aproximadamente ¿Qué fracción de los viajes recupera la inversión según el capitán del barco?

b) ¿Cuál es el valor medio aproximado del arreglo de datos para los viajes del capitán?

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22. La Asociación Nacional de vendedores de bienes raíces de Estados Unidos recabó los datos siguientes de una muestra de 130 vendedores, que representan sus ingresos totales por comisiones anuales:

Ingresos Frecuencia 5000 o menos 5 [ 5 000, 10 000) 9 [10 000, 15 000) 11 [15 000, 20 000) 33 [20 000, 30 000) 37 [30 000, 40 000) 19 [40 000, 50 000) 9 Más de 50 000 7 Total

Construya una ojiva que le ayude a responder las preguntas siguientes:

a) ¿Aproximadamente qué proporción de vendedores gana más de $25 000? b) ¿Alrededor de cuánto gana el vendedor medio de la muestra?

c) Cuál es el ingreso aproximado al año de un vendedor cuyo desempeño es cercano al 25% del ingreso máximo anual esperado?

23. Las siguientes gráficas resumen el precio de un artículo requerido en la industria y consultado en varios establecimientos de la ciudad de Guayaquil.

a) ¿Cuál es el nombre de las gráficas?

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II. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

a) Seleccionar la medida estadística adecuada en función de la naturaleza de los datos.

b) Calcular las medidas de tendencia central, variabilidad y forma de datos agrupados y no agrupados en casos de aplicación reales.

c) Identificar las características de las medidas tendencia central, variabilidad y forma.

d) Interpretar de manera adecuada las medidas estadísticas.

e) Evaluar la representatividad de las medidas de tendencia central. CONTENIDOS

2. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS 2.1. Medidas de tendencia central

2.1.1. Media Aritmética 2.1.2. Media Geométrica 2.1.3. Media Ponderada 2.1.4. Mediana 2.1.5. Moda 2.2. Medidas de dispersión 2.2.1. Rango 2.2.2. Rango Intercuartílico 2.2.3. Diagrama de Caja y Bigote 2.2.4. Varianza

2.2.5. Desviación típica o estándar 2.2.6. Coeficiente de Variación 2.3. Medidas de Posición 2.3.1. Fractiles 2.4. Medidas de Forma 2.4.1. Coeficiente de asimetría 2.4.2. Coeficiente de curtosis

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1. Diez economistas recibieron el encargo de predecir el crecimiento porcentual que experimentará el índice de precios al consumidor (IPC) para el próximo año. Sus predicciones fueron:

3,6 3,1 3,9 3,7 3,5

3,7 3,4 3,0 3,7 3,4

Calcule e interprete las medias de tendencia central.

2. El tiempo (en segundos) que tardó una muestra aleatoria de empleados en realizar una tarea es:

23 35 14 37 28 45

12 40 27 13 26 25

37 20 29 49 40 13

27 16 40 20 13 66

Con estos datos (sin procesar):

a) Construya un diagrama de tallo y hojas

b) Calcule e interpretar las medidas de tendencia central

c) Calcule e interpretar las medidas de dispersión o variabilidad.

d) El 23% de los empleados realiza la tarea en un tiempo superior a……….. e) El 37% de los empleados realiza la tarea en un tiempo inferior a………

3. Los siguientes son los gastos mensuales en transporte (en dólares) de un grupo de estudiantes de una universidad recolectados un martes:

147 95 93 127 143 101 123 83 135 129 185 92 115 126 157 93 133 51 125 132

Con estos datos (sin procesar) calcular e interpretar: a) Las medidas de tendencia central.

b) Las medidas de dispersión o variabilidad.

c) ¿Cuál de las variables es más dispersa: crecimiento porcentual (numeral 1), tiempo (numeral 2) o gastos (numeral 3)?

d) Calcule e interprete el quintil 2 y el decil 6.

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f) Si cada gasto mensual registrado se incrementa en un 10% ¿cuál sería el gasto promedio?. ¿Cambiaría la conclusión del literal c.?

g) Comente la asimetría de las distribuciones (crecimiento porcentual, tiempo y gasto).

4. Los siguientes datos corresponden a una muestra de la tasa de producción diaria de botes de fibra de vidrio de un fabricante de Miami

17 21 18 27 17 21 20 22 18 23

El gerente de producción de la compañía siente que una desviación estándar de más de tres botes por día indica variaciones de producción inaceptables. ¿Deberá el gerente preocuparse por las tasas de producción de la planta?

5. Una empresa lleva un registro del kilometraje de todos sus vehículos. A continuación presentamos registros del Kilometraje semanal:

810 450 756 789 210 657 589 488 876 689

1 450 560 469 890 987 559 788 943 447 775

a) Calcule la mediana del Kilometraje que recorre un camión. b) Calcule la media para el kilometraje de los 20 camiones.

c) Compare el resultado de los incisos a) y b) e indique cuál es la mejor medida de la tendencia central de los datos

6. El gerente de producción de la imprenta Hinton desea determinar el tiempo promedio necesario para fotocopiar una placa de impresión. Utilizando un cronómetro y observando a los operadores, registra los siguientes tiempos (en segundos)

20,4 20,0 22,2 23,8 21,3 25,1 21,2 22,9 28,2 24,3 22,0 24,7 25,7 24,9 22,7 24,4 24,3 23,6 23,2 21,0

Un tiempo promedio por placa menor a los 23,0 segundos indica una productividad satisfactoria. ¿Debe estar preocupado el gerente de producción?

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7. En la construcción de un edificio están trabajando 40 obreros, 10 residentes de obra y 5 ingenieros. El salario por día asignado se registra en la siguiente tabla:

Categoría Salario diario

Obrero $25

Residente de Obra $40

Ingeniero $100

Determine el salario medio pagado en la construcción del edificio.

8. El precio del barril de petróleo ecuatoriano en el mes de Enero del 2013 fue de $99,81 y en el mes de Diciembre $90,35. ¿En promedio el precio del barril de petróleo creció o decreció y cuál es esa tasa de crecimiento o decrecimiento?

9. En el 2010 el salario básico en el Ecuador fue de $240 dólares y en el 2015 es de $354. ¿Cuál es el cambio porcentual promedio del salario en el periodo considerado?

10. Un investigador obtuvo las respuestas siguientes a una de las preguntas incluidas en una encuesta de evaluación: totalmente en contra, en contra, ligeramente en contra, un poco de acuerdo, de acuerdo, altamente de acuerdo, totalmente de acuerdo. ¿Cuál es la mediana?

11. En un mercado se han obtenido los siguientes datos sobre ventas de naranjas de un tipo determinado: Puesto Precio ($/kg) Ingresos por ventas ($) A 1,00 150 B 1,50 150 C 1,25 150 D 1,40 154 E 1,70 136 F 0,90 162

Determine el precio medio de las naranjas vendidas en el mercado.

12. Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las calificaciones finales de los estudiantes que acuden a su seminario. El promedio de tareas tendrá un valor del 20% de la calificación del estudiante; el examen semestral, 25%; el examen final, 35%; el artículo de fin de semestre 10% y los exámenes parciales 10%. A partir de los datos siguientes calcule el promedio final para los 5 estudiantes del seminario

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Estudiante Tareas Parciales Artículo Ex.

Semestral Ex. final

1 85 89 94 87 90

2 78 84 88 91 92

3 94 88 93 86 89

4 82 70 88 84 93

5 95 90 92 82 88

13. Los siguientes datos corresponden a las primeras calificaciones (sobre 2,5 puntos) de dos aulas de la asignatura de Estadística Descriptiva correspondientes al pasado periodo académico. AULA 1 AULA 2 2,5 1,2 2,2 0,7 1,9 1,9 2,1 2,5 2,1 1,6 1,5 2,1 2,1 2,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,0 1,8 2,3 1,9 1,4 1,4 2,0 2,1 2,0 1,2 1,5 1,8 2,2 2,1 2,2 1,7 1,7 1,1 1,7 2,3 2,5 1,3 2,2 1,9 1,8 1,9 1,4 2,0 1,8 1,9 2,4 1,5 1,7 1,0 2,1 1,2 1,6 2,0 1,4

Con esta información: (para cada una de las aulas)

a) Construya una tabla de distribución de frecuencias con pérdida de información. b) Calcule e interprete las medidas de tendencia central y las de variabilidad o

dispersión.

c) Calcule e interprete el quintil 4, el decil 7 y el percentil 17 d) El 43% de los estudiantes supera la calificación de……….. e) Construya e interprete la gráfica de caja y bigote.

f) Elabore una tabla resumen con los valores de las medidas obtenidas en cada grupo de datos.

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14. Utilizando las tablas de distribución de frecuencia de las variables estatura, peso y gasto mensual en internet de la matriz de variables del numeral 5 (página 8).

a) Calcular e interpretar las medidas de tendencia central y variabilidad

b) Construir e interpretar el diagrama de caja y bigote para cada una de las distribuciones.

c) ¿Cuál de las variables presenta mayor dispersión o variabilidad? d) Calcule e interprete las medidas de forma

15. El siguiente diagrama de caja representa a los salarios (en dólares) percibidos por 50 empleados de una fábrica. Redacte un informe donde mencione la información que le proporciona la gráfica.

16.Los siguientes diagramas muestran las calificaciones que obtuvieron los estudiantes de dos de las aulas de Fundamentos de Matemática (primer parcial), del curso de nivelación de la universidad. Compare estas dos distribuciones y escriba un informe.

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17. La junta directiva de la empresa Gothic Products está considerando adquirir una o dos compañías y examinando minuciosamente la administración de cada compañía con el fin de hacer una transacción lo menos riesgosa posible. Durante los últimos cinco años, la primera compañía tuvo una recuperación promedio de lo invertido del 28% con una desviación estándar del 5,3%. La otra compañía tuvo una recuperación promedio de lo invertido del 37,8% con una desviación estándar de 4,8%. Si consideramos riesgoso asociarse con una compañía que tenga una alta dispersión relativa en la recuperación, ¿cuál de las dos compañías ha seguido una estrategia más riesgosa?

18. En la siguiente tabla se muestra el número de casas que una inmobiliaria vendió y la frecuencia de cada nivel de ventas.

Casas No. de meses

6 7 7 5 10 4 12 3 17 3 20 2

El dueño de la inmobiliaria espera que estas cifras reflejen un incremento en el número promedio de ventas por encima del 8,3 que vendió en meses anteriores y una reducción en la variabilidad de las ventas mensuales que habían sido de 6,2. De lo contrario él ha decidido vender el negocio. ¿Qué le aconsejaría al dueño de la inmobiliaria?

19. Una muestra de las facturas de las ventas semanales de un local comercial del centro de Quito es la siguiente:

1 299 1 626 1 044 1 287 1 476 885 858

Se implementa un programa publicitario para emparejar las ventas. Una muestra subsiguiente de ventas es:

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20. Dos marcas de zapatos para correr fueron evaluados en cuanto a uso y desgaste. Cada una reportó los siguientes números de horas de uso antes que se detectara un desgaste significativo: Marca A Marca B 82 101 60 87 91 79 58 86 93 102 69 69 79

a) ¿Cuál marca parece presentar mayor desgaste?

b) ¿Cuál marca de zapatos parece tener un programa de control de calidad que produzca la mejor consistencia en su desgaste?

21. Un corredor de inversiones muestra sus registros de las tasas de rendimiento (en porcentaje) sobre dos valores para 10 meses seleccionados:

Valor 1 Valor 2 6,4 7,7 7,4 7,5 6,5 6,4 8,1 8,5 7,3 8,4 8,4 8,2 6,5 8,3 5,5 7,5 6,4 6,1 5,8 5,5

a) ¿Cuál valor puede ser mejor para los clientes que están interesados en un rendimiento más alto?

b) ¿Cuál valor debería aconsejar el corredor a sus clientes que prefieren menos riesgo?

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PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA III. PROBABILIDADES

a) Definir correctamente los términos básicos utilizados en la teoría de probabilidades. b) Diferenciar los enfoques de probabilidad: objetivo y subjetivo

c) Identificar las relaciones entre los eventos.

d) Utilizar las técnicas de conteo en la determinación del número de resultados posibles de un experimento y en el cálculo de probabilidades.

e) Aplicar de forma adecuada las diferentes reglas de probabilidad en la estimación de probabilidades de problemas prácticos.

f) Hacer uso de los métodos probabilísticos en la toma de decisiones de casos prácticos. CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de:

CONTENIDOS

3. PROBABILIDADES

3.1. Definición de términos: Probabilidad

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Evento

Eventos mutuamente excluyentes Eventos colectivamente exhaustivos 3.2. Enfoques de las probabilidades:

3.2.1. Probabilidad clásica 3.2.2. Frecuencias Relativas 3.2.3. Probabilidad subjetiva 3.3. Análisis combinatorio 3.3.1. Permutaciones 3.3.2. Variaciones 3.3.3. Combinaciones

3.4. Reglas de las probabilidades 3.4.1. Regla de la adición 3.4.2. Regla del complemento 3.4.3. Regla de la multiplicación 3.4.4. Probabilidad condicional 3.4.4.1. Diagrama de árbol 3.4.4.2. Tablas de contingencia 3.5. Teorema de Bayes 3.5.1. Formulación 3.5.2. Probabilidad total

3.5.3. Pasos para calcular la probabilidad 3.5.4. Resolución de casos prácticos

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Señale con una x el concepto de probabilidad que corresponde a cada estimación. Probabilidad

Estimación CLÁSICA EMPÍRICA SUBJETIVA

La probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento de una moneda.

Se ha realizado una encuesta a 500 ciudadanos de la capital para que respondieran a un cuestionario relacionado con aspectos ambientales. Una de las preguntas solicitaba una respuesta de sí o no. ¿Cuál es la probabilidad de que la respuesta sea afirmativa?

Se va sortear entre los estudiantes del aula un obsequio, por lo que se ha entregado a cada uno un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que usted sea el ganador del premio? La probabilidad de que usted después de 5 años sea el dueño de una gran empresa.

En el aula se va a escoger aleatoriamente a 3 estudiantes para que representen al curso en una reunión de la asociación de estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que usted forme parte del grupo seleccionado?

Una empresa planea contratar a un nuevo presidente y ha preparado una lista de 5 candidatos todos igualmente capacitados. Dos de ellos son hombres. Se desea estimar la probabilidad de que se contrate a una mujer.

TÈCNICAS DE CONTEO

1. En la ciudad las placas de los autos constan de 3 letras seguidas de 4 números. Cuántas placas distintas pueden hacerse.

a) Si se admiten repeticiones

b) Si la palabra OSO no está permitida c) No se admiten repeticiones

d) Empiecen con la letra P

2. Un testigo de un accidente automovilístico le dijo a la policía que la matrícula del culpable que huyó, contenía las letras RLH seguidas por tres dígitos, de los cuales el primero era 5. Si el testigo no recuerda los 2 últimos dígitos, pero está seguro

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3. Tres ruedas, cada una con los dígitos del 1 al 9 se disponen en una máquina tragamonedas, de manera que cada rueda pueda girar en forma individual.

a) ¿Cuántas diferentes ordenaciones son posibles? R=729

b) ¿Cuántas ordenaciones que tengan el dígito 1 en la posición intermedia. R=81 4. Una empresa desarrollo cinco bases para lámparas de mesa y cuatro pantallas

intercambiables. ¿Cuántos arreglos diferentes de base y pantalla se pueden ofrecer? R=20

5. Una oficina de bienes raíces ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre tudor (identificado con la sofisticación y la riqueza), rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada y entre una, dos o tres plantas el plano de la construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas? R=12

6. A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos, cada uno de tres días, a sitios de interés. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una persona para que vaya a uno de los recorridos planteados por la convención?. R=18

7. En un estudio médico los pacientes clasifican 8 formas de acuerdo con su tipo sanguíneo

; y también de acuerdo con su presión sanguínea: baja, normal o alta. Encuentre el número de formas en las que se puede clasificar un paciente. R=24

8. Si un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer una letra al azar del alfabeto, ¿cuántos puntos habrá en el espacio muestral? R=156

9. Los estudiantes de humanidades de una universidad se clasifican como estudiantes de primero, segundo, penúltimo o de último año y también de acuerdo con su género. Calcule el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de esa universidad. R=8

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10. Cierta marca de calzado existe en 5 diferentes estilos y cada estilo está disponible en 4 colores distintos. Si la tienda deseara mostrar la cantidad de pares de zapatos que incluya todos los diversos estilos y colores, ¿cuántos pares diferentes tendría que mostrar? R=20

11. Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un posible comprador de una casa elegir entre 4 diseños, 3 diferentes sistemas de calefacción, un garaje o cobertizo y un patio o un porche cubierto. De cuántos planos diferentes dispone el comprador. R=48

12. Un medicamento para aliviar el asma se puede adquirir en 5 diferentes laboratorios y en forma de líquido, comprimidos o cápsulas, todas en concentración normal o alta. ¿De cuántas formas diferentes puede un médico recelar la medicina a un paciente que sufre de asma? R=30

13. En un estudio económico de combustibles, cada uno de 3 autos de carretera se prueba con 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que se localizan en diferentes regiones del país. Si en el estudio se utilizan 2 pilotos y las pruebas se realizan una vez en cada uno de los distintos grupos de condiciones. ¿Cuántas pruebas se necesita realizar? R=210

14. ¿De cuántas formas distintas se pueden responder una prueba de verdadero-falso que consta de nueve preguntas? R=512

15. Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta.

a) ¿De cuántas formas diferentes puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta? R=1024

b) ¿De cuántas maneras puede un estudiante elegir una respuesta a cada pregunta y obtener todas las respuestas incorrectas? R=243

16. De cuántas maneras distintas un director de un laboratorio de la investigación puede seleccionar a dos químicos de entre siete solicitantes y a tres físicos de

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17. Hace algunos años la empresa Wendys Hamburgers anunció que tenía 256 formas de preparar una hamburguesa. Usted puede elegir u omitir cualquier combinación de lo siguiente para su hamburguesa: mostaza. Salsa de tomate, cebolla, pepinillos, tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga. ¿Es cierto lo que dice el anuncio?. Indique cómo obtuvo su respuesta

18. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 4 mujeres,de ungrupode 7 hombres y 9mujeres?R=4 410

19. Se desea formar una comisión de 5 alumnos, 3 de primer semestre y 2 de segundo semestre. Si se presentan 7 voluntarios de primero pero solo 3 de segundo. ¿De cuántas maneras puede formarse esta comisión?. R=105

20. De una empresa se seleccionan 9 trabajadores, de un grupo de 13 ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar?R=715

21. Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra COLUMNA? R= 5040

22. En un concurso regional de ortografía, los 8 finalistas son 3 niños y 5 niñas. Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio muestral S para el número de ordenamientos posibles al final del concurso para:

a) Los 8 finalistas R=40320 b) Los 3 primeros lugares. R=336

23. ¿De cuántas formas se pueden cubrir las 5 posiciones iniciales en un equipo de baloncesto con 8 jugadores que pueden jugar cualquiera de las posiciones? R=6720

24. Encuentre el número de formas en que se puede asignar 6 profesores a 4 secciones de un curso introductorio de psicología, si ningún profesor se asigna a más de una sección. R=360

25. De un grupo de 40 boletos se sacan 3 billetes de lotería para el primero, segundo y tercer premios. Encuentre el número de puntos muestrales en S para dar los 3 premios, si cada concursante sólo tiene un billete. R=59 280

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26. ¿De cuántas maneras se puede plantar 5 árboles diferentes en un círculo? (2.43) R=24

27. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra INFINITO? R=3360

28.Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos 5248 R=24

REGLAS DE LAS PROBABILIDADES

1. El siguiente diagrama de Venn, indica el número de resultados de un experimento correspondiente a cada evento y el número de resultados que no corresponden a alguno de los dos eventos, proporcione las probabilidades indicadas.

P =

2. Para el siguiente diagrama encuentre :

a) P(A) b) P(A\B) c) P(A∩B) d) P(AUB) e) P(AUB)’ f) P(B)’

3. La probabilidad e A es 0,6 y la de B es 0,45 y la de cualquiera de los dos 0,8. Cuál es la probabilidad tanto de A como de B? Sol. 0,25

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5. La probabilidad de A es 0,6 y la de B es 0,4 y la de cualquiera de los dos es 0,76. Cuál es la probabilidad tanto de A como de B? Sol. 0,24

6. La probabilidad de A es 0,6, la de B es 0,45 y la probabilidad de tanto A como B es 0,3. Cuál es la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos? Sol. 0,75

7. Un estudiante está tomando dos cursos, Historia y Matemáticas. La probabilidad de que apruebe el curso de Historia es 0,6 y la de que apruebe el curso de Matemáticas es 0,7. La probabilidad de que apruebe ambos es 0,5.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que pase al menos uno? Sol. 0,8

b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe uno de los cursos? Sol. 0,3

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe ninguno de los cursos? Sol. 0,2

8. En un curso estudian 25 alumnos, de los cuales 15 juegan al fútbol, 12 al baloncesto y 7 practican los dos deportes.

a) ¿Cuántos estudiantes no juegan ni al fútbol ni baloncesto? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 5 Sol. 0,2

b) ¿Cuántos estudiantes practican sólo uno de los dos deportes? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 13 Sol. 0,48

9. De 40 estudiantes entrevistados, 15 leen las revistas A y B; 27 leen la revista B, 3 leen únicamente la revista A. Con esta información determinar:

a) Cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 10 Sol. 0,4

b) Cuántos estudiantes leen la revista A. ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 18 Sol 0,45 c) Cuántos estudiantes leen únicamente la revista B. ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 12

Sol. 0,3

d) d) Cuántos estudiantes leen una de estas revistas?¿Cuál es la probabilidad? Sol.15 Sol. 0,375

10. El dueño de una tienda de música observa que el 30% de los clientes que entran en la tienda pide ayuda a un dependiente y que el 20% compra antes de irse. También observa que el 15% de todos los clientes pide ayuda y compra algo. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente haga al menos una de estas dos cosas? Sol. 0,35

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11. Durante el año anterior, las ventas semanales de una empresa han sido “bajas” durante 17 semanas, “considerables” durante 25 semanas y “altas” el resto de las semanas. Cuál es la probabilidad de que las ventas esta semana sean:

a) Por lo menos considerables Sol. 0,673 b) Bajas o altas Sol. 0,519

12. Según una oficina de empleos de 80 personas que solicitaron trabajo el año pasado, 45 tenían experiencia laboral y 30 tenían título profesional. Sin embargo 15 de los solicitantes tenían tanto experiencia como título.

a) ¿Cuántas personas tenían sólo experiencia laboral? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 30 Sol. 0,375

b) ¿Cuántas personas no tenían ni experiencia laboral ni título profesional? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 20 Sol. 0,25

c) ¿Cuántas personas tenían experiencia laboral o título profesional? ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 60 Sol. 0,75

13. En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que:

a) El estudiante haya cursado matemáticas o historia Sol. 0,88 b) El estudiante no haya llevado ninguna de estas materias. Sol. 0,12 c) El estudiante haya cursado historia pero no matemáticas. Sol. 0,34

14. Un banco local reporta que 80% de sus clientes tienen una cuenta de cheques, 60% una cuenta deahorros y 50% tienen ambas. Si se selecciona un cliente al azar.

a) Cuál es la probabilidad de que éste tenga una cuenta de cheques o una cuenta de ahorros? Sol. 0,9

b) Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga una sola de las cuentas? Sol. 0,4 15. El presidente de una junta de Directores dice: “Existe el 50% de probabilidad de que

esta compañía tenga utilidades, 30% de que se quede a nivel y 20% de que pierda dinero el siguiente semestre”.

a) Utilice la regla de la adición para encontrar la probabilidad de que no pierda dinero el próximo semestre

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16. Supóngase que los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Cuál es la probabilidad de su ocurrencia conjunta?

17. Se lanza un dado, si el evento A es “sale par”, el evento B “sale impar”. Estos eventos son: ¿mutuamente excluyentes?, ¿Son complementarios?. Explique

18. Se lanza un dado, si el evento A es “sale par”, el evento B “sale un número mayor que 4”. Estos eventos son: ¿mutuamente excluyentes?, ¿Son complementarios?. Explique

19. Suponga que la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación de A en el cuso de esta materia es 0,25 y la de que tenga una B es 0,5. Cuál es la probabilidad de que su calificación sea mayor que una C?

20. Una empresa va a instalar una nueva máquina que deberá probarse antes de que esté lista para funcionar. La tabla adjunta muestra la valoración del directivo de la probabilidad del número de días necesarios para que la máquina esté lista para usarse.

Número de días Probabilidad

3 0,08

4 0,24

5 0,41

6 0,20

7 0,07

Sea A el evento “Se necesitan más de 4 días para que la máquina esté lista para funcionar” y sea B el suceso “se necesitan menos de 6 días para que la máquina esté lista para funcionar”

a) Halle la probabilidad del evento A Sol. 0,68 b) Halle la probabilidad del evento B Sol. 0,73

c) Halle la probabilidad del complementario del evento A Sol. 0,32 d) Halle la probabilidad de la intersección de los eventos A y B Sol. 0,41 e) Halle la probabilidad de la unión de los eventos A y B Sol. 1

21. El director de unos grandes almacenes ha examinado el número de reclamaciones que se reciben semanalmente por la mala calidad del servicio. La tabla adjunta muestra las probabilidades de los números de quejas semanales obtenidas en este examen. Sea A el evento “habrá como mínimo una reclamación a la semana” y B el evento “habrá menos de 10 reclamaciones a la semana”

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Número de reclamaciones Probabilidad 0 0,14 1-3 0,39 4-6 0,23 7-9 0,15 10-12 0,06 Más de 12 0,03

a) Halle la probabilidad de A Sol. 0,86 b) Halle la probabilidad de B Sol. 0,91

c) Halle la probabilidad del complementario de A Sol. 0,14 d) Halle la probabilidad de la unión de A y B Sol. 1

e) Halle la probabilidad de la intersección de A y B Sol. 0,77 f) Son A y B mutuamente excluyentes?

g) Son A y B colectivamente exhaustivos?

22. Encuentre los errores en cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda 0, 1, 2 o 3 unidades en un día dado del mes anterior son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15, respectivamente.

b) La probabilidad de que llueva mañana es 0.40 y la de probabilidad de que no llueva es 0.52

c) Las probabilidades de que una impresora cometa 0, 1, 2, 3 o 4 errores al imprimir un documento so: 0.19, 0.34, -0.25, 0.43 y 0.29 respectivamente.

23. Un nuevo modelo de auto deportivo presenta fallas en el sistema de frenado 15% de las veces y defectos en el mecanismo de dirección 5% de las veces. Supóngase (y es de esperar) que estos problemas se presentan de forma independiente. Si ocurre uno u otro de tales problemas el auto se denomina “una estafa. Si se tiene ambos problemas el vehículo es “una amenaza”. Un profesor compró uno de esos vehículos el día de ayer cuál es la probabilidad de que le resulte una:

a) ¿Una estafa? Sol. 0,185 b) ¿Una amenaza? Sol. 0,0075

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b) Sólo el hombre viva. Sol. 0,18 c) Sólo viva la esposa. Sol. 0,28 d) Al menos uno esté vivo. Sol. 0,88

25. Un inversionista compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente su valor es 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de ¾ y la probabilidad de que la tercera aumente su valor es de 1/10. Si los eventos son independientes, determine la probabilidad de que:

a) Todas aumenten su valor Sol. 0,025 b) Ninguna aumente su valor Sol. 0,15 c) Una aumente su valor Sol. 0,5417 d) Dos aumenten su valor Sol. 0,2833

e) Por lo menos dos aumenten su valor Sol. 0,3083 f) Por lo menos una aumente su valor Sol. 0,85

26. Si A y B son sucesos independientes con . Cuál es la probabilidad de que no ocurra ni A ni B. Sol. 0,0625

27. El consejo de Saner Automatic Door Co. Está formado por 12 integrantes, 3 de los cuales son mujeres. Se va a redactar un nuevo manual de políticas y procedimientos para la empresa. Debe seleccionar un comité de 3 miembros en forma aleatoria, del personal del consejo para que redacten el manual.

a) Cuál es la probabilidad de que todos los integrantes del comité sean varones? Sol. 0,3818

b) Cuál es la probabilidad de que al menos un elemento del citado comité sea una mujer? Sol. 0,6182

28. En un comedor de beneficencia, una trabajadora social reúne los siguientes datos. De las personas que acuden al comedor: 59% son hombres, 32% son alcohólicos y 21% son hombres alcohólicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un asistente hombre que vaya al comedor, tomado al azar sea alcohólico? Sol. 0,356

29. Durante un estudio de accidentes automovilísticos se encontró que el 60% de los accidentes suceden de noche, 52% están relacionados con conductores alcoholizados y 37% se presentan de noche y están relacionados con conductores ebrios.

a) Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductor alcoholizado dado que sucedió de noche? Sol. 0,6167

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b) Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche, dado que está relacionado con un conductor ebrio? Sol. 0,7115

c) Si el accidente no sucedió en la noche, cuál es la probabilidad de que esté relacionado con un conductor no alcoholizado? Sol. 0,625

30. El gerente regional de General Express, un servicio privado de mensajería, está preocupado por la posibilidad de una huelga por parte de algunos empleados. Sabe que la probabilidad de una huelga de pilotos es 0.75 y la probabilidad de una huelga de choferes es 0.65. Más aún sabe, que si los choferes hacen una huelga existe la probabilidad de 90% que los pilotos apoyen la huelga.

a) Cuál es la probabilidad de que ambos grupos vayan a huelga Sol. 0,585

b) Si los pilotos hacen huelga, cuál es la probabilidad de que los choferes apoyen la huelga. Sol. 0,78

31. De acuerdo con una encuesta la probabilidad de que una familia posea dos automóviles si su ingreso anual es mayor a $35 000 es 0,75. De los hogares encuestados, 60% tenía ingresos mayor a $35 000 y 52% tenía dos autos. Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos aut y un ingreso mayor que $35 000 al año. Sol. 0,45

32. Un corredor de bolsa sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que un cliente compre acciones es del 65%. La probabilidad de que el cliente compre un bono del gobierno si ya tiene acciones es del 35%.

a) Cuál es la probabilidad de que el cliente posea ambos? Sol. 0,2275 b) Los eventos son independientes?

33. Un inspector de control de calidad eligió una pieza fabricada para probarla. Posteriormente se establece si la parte se acepta, se repara o se desecha. Después se prueba otra. Mencione todos los posibles resultados de este experimento.

34. Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale sello. Si en el primer lanzamiento sale cara, entonces se lanza un dado. Enliste todos los elementos del espacio muestral.

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36. Un experimento consiste en lanzar un dado y después lanzar una moneda una vez si el número en el dado es par. Si el número en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces.

a) Construya un diagrama de árbol para mostrar los elementos del espacio muestral.

b) Liste los elementos que corresponden al evento A en el que el dado salga un número menor que 3.

c) Liste los elementos que corresponden al evento B de que resulten dos sellos. d) Liste los elementos que corresponden al evento A’.

e) Liste los elementos que corresponden al evento A’∩B f) Liste los elementos que corresponden al evento AUB

37. Una oficina de bienes raíces ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre tudor (identificado con la sofisticación y la riqueza), rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada y entre una, dos o tres plantas el plano de la construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?

38. Se lanzan 3 monedas al aire. Elabore un diagrama de árbol que ilustre todos los resultados posibles de este experimento.

39. En base al diagrama del ejercicio anterior calcule la probabilidad de obtener: a) Todas caras Sol. 1/8

b) Al menos un sello Sol. 7/8 c) Dos caras Sol. 3/8

d) A lo mucho una cara. Sol. 1/2

40. Una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjas. Si se saca al azar una bola y luego se saca otra sin que se haga la reposición, calcule las probabilidades siguientes:

a) ambas sean blancas Sol. 29/185

b) La primera sea roja y la segunda sea blanca Sol. 2/37 c) Ninguna sea naranja Sol. 118/185

d) Ambas son rojas o blancas Sol. 52/185 e) La segunda no sea azul Sol. 11/15 f) La primera sea naranja Sol. 1/5 g) Al menos una sea azul Sol. 86/185 h) A lo sumo una sea roja Sol. 182/185

i) La primera sea azul, pero la segunda no Sol. 22/111 j) sólo una sea roja Sol. 26/111

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41. Una caja contiene 9 tickets numerados del 11 al 19. Si se extraen 3 a la vez, hallar la probabilidad de que sean: Impar, impar, impar, o par, impar, par Sol. 0,2381

42. Una urna contiene tres bolas blancas y cuatro bolas verdes. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y a continuación, una bola verde.

a) Cuando habiendo extraído la primera bola ésta es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción. Sol. 0,2449

b) Cuando habiendo extraído la primera bola esta no es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción. Sol. 0,2857

43. Una caja contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 azules. Se extraen tres bolas sucesivamente de la caja. Hallar la probabilidad de que se extraigan en el orden roja, blanca y azul, si las bolas:

a) Se reemplazan Sol. 0,0356 b) No se reemplazan Sol. 0,044

44. Una caja que contiene 14 artículos ha sido inspeccionada encontrándose 3 defectuosos. Se selecciona al azar 3 de éstos, calcule la probabilidad de no incluir artículos defectuosos. (Realice el cálculo con y sin reemplazo). Sol. 0,4851

Sol. 0,4533

45. Un bolso contiene 3 monedas de 25 centavos y 5 de 1 dólar y otro contiene 6 monedas de 25 centavos y 2 de un dólar. Si se escoge al azar de uno de los bolsos una moneda, cuál es la probabilidad de que sea de un dólar. Sol. 0,4375

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TABLAS DE CONTINGENCIA, TABLAS DE PROBABILIDAD Y TEOREMA DE BAYES

1. El 80% de los hombres y el 10% de las mujeres beben cerveza. Suponiendo que hay el mismo número de hombres y mujeres, encontrar:

a) La probabilidad de seleccionar un bebedor de cerveza, cuando una persona se selecciona al azar. Sol. 0,4

b) La probabilidad de seleccionar una bebedora de cerveza, cuando una persona se selecciona al azar. Sol. 0,05

c) La probabilidad de seleccionar una mujer, dado que la persona seleccionada es de las que bebe cerveza. Sol. 0,1111

2. Si de cada 100 varones, 5 tienen daltonismo y de cada 10 000 mujeres, 25 tienen daltonismo, cuál es la probabilidad de seleccionar un varón dado que tiene

daltonismo?. Suponga que existe el mismo número de hombres y mujeres en la población considerada. Sol. 0,9524

3. El propietario de un gimnasio, desea construir un perfil de miembros para desarrollar una campaña publicitaria que atraiga a clientes potenciales. El 30% de los miembros actuales son mujeres, el 80% de ellas es menor de 30 años. El 60% de los hombres son menores de 30 años. Cuál es la probabilidad de que un miembro seleccionado de manera aleatoria sea:

a) Una mujer menor de 30 años Sol. 0,24 b) Una mujer mayor de 30 años Sol. 0,06

c) Un hombre mayor de 30 años o una mujer menor de 30 Sol. 0,52 d) Un hombre o una mujer mayor de 30 años Sol. 76

4. De 1000 jóvenes de 18 años, 600 tienen empleo y 800 son bachilleres. De los 800 bachilleres, 500 tienen trabajo. Cuál es la probabilidad de que un joven de 18 años tomado aleatoriamente sea:

a) Un bachiller empleado Sol. 0,5 b) Empleado pero no bachiller Sol. 0,1 c) Desempleado o no bachiller Sol. 0,5 d) Empleado o no bachiller Sol. 0,7

5. Una clasificación de los estudiantes en una universidad se presenta en la siguiente tabla:

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Semestre Varones (V) Mujeres (M) total Primer SemestreS1 500 700 Segundo SemestreS2 600 420 Tercer Semestre S3 300 400 Cuarto Semestre S4 250 100 Total

Un estudiante es seleccionado aleatoriamente. Encontrar: a) P (S2V) Sol. 0,183

b) P (V o S3) Sol. 0,627 c) P (M/ S4) Sol. 0,286 d) P (S1) Sol. 0,367

e) P (V o S1o S2) Sol. 0,847

6. Usted recolectó datos sobre 500 economistas en la academia, la industria privada y el gobierno respecto a sus opiniones sobre si la economía podría ser estable, podría expandirse o podría entrar en un período de contracción en el futuro próximo. Sin embargo parte de la información se perdió, resultando la siguiente tabla de contingencia parcial. Con base en los datos restantes, cree una tabla de probabilidad.

Economía

Economistas Estable (S) Expansión (E) Contracción ( C) TOTAL

Academia (A) 125 100

Industria privada (I) 35 110

Gobierno (G) 25 40 65

TOTAL 200

De la tabla de probabilidad halle: a) P(A) Sol. 0,65 b) P(G) Sol. 0,13 c) P(A∩S) Sol. 0,25 d) P(A∩E) Sol. 0,2 e) P(S/A) Sol. 0,385 f) P(GUS) Sol.0,48

g) La probabilidad de un economista de la academia pronostique una economía estable.

h) 50/110 corresponde a la probabilidad…………. i) 25/65 corresponde a la probabilidad………….

j) Según la tabla defina la probabilidad que corresponde a un suceso improbable……..

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7. A los estudiantes de una clase de estadística para los negocios se les preguntó qué nota esperaban sacar en el curso y si hacían más problemas de los que ponía el profesor. La tabla adjunta muestra las proporciones de estudiantes en cada una de las ocho clasificaciones conjuntas.

Problemas realizados NOTA ESPERADA A B C Menos de C Sï 0.12 0.06 0.12 0.02 No 0.13 0.21 0.26 0.08

a) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente en esta clase hiciera más problemas. Sol. 0,32

b) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente en esta clase espere una A. Sol. 0,25

c) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente que hiciera más problemas espere una A. Sol. 0,375

d) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente que espere una A hiciera más problemas. Sol. 0,48

e) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente que hiciera más problemas espere una calificación de menos de B. Sol. 0,4375 f) ¿Son independientes “resolución de más problemas” y “nota esperada”.

8. Cruce las variables (matriz de variables página 8), género y calificación de grado. Con esta información formule tres ejemplos de probabilidad marginal, tres de probabilidad conjunta, tres de probabilidad condicional.

9. Cruce las variables (matriz de variables página 8), número de créditos reprobados y uso del internet. Con esta información formule tres ejemplos de probabilidad: marginal, tres de probabilidad conjunta, tres de probabilidad condicional.

10. En un determinado sector el 20% de los trabajadores tiene contrato en prácticas, el 60% tiene un contrato temporal, y el resto son fijos. En cada una de estas categorías son menores de 35 años el 90%, el 75% y el 55% respectivamente.

a) Qué porcentaje de trabajadores son menores de 35 años en este sector. Sol. 74% b) Si se elige al azar un trabajador y es mayor de 35 años. Cuál es la probabilidad de

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11. En tres máquinas A, B y C se fabrican piezas del mismo tipo. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina, es respectivamente 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina y se elige una pieza al azar, que resulta ser no defectuosa. Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina A. Sol. 0,3367

12. Tres vendedores A, B y C suministran 15%, 50% y 35% respectivamente de la cantidad total de un componente usado en el ensamblaje de cierto producto. Las probabilidades respectivas de falla de este componente son 0.1, 0.2 y 0.4 según los tres fabricantes. Determine la probabilidad de que un componente seleccionado aleatoriamente no falle. Sol. 0,745

13. Un profesor imparte la asignatura de Estadística a tres aulas A, B, C con 30, 26 y 28 alumnos respectivamente. Se sabe que en el grupo A han reprobado 5 alumnos, en el grupo B, 4 y en el C, 3.

a) ¿Qué porcentaje de alumnos han aprobado? Sol. 14,29%

b) ¿Qué porcentaje de los aprobados corresponde al grupo C? Sol. 34,72% 14. Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: para vivienda, para industria y

consumo. Se sabe que el 30% de los créditos que concede son para vivienda, el 50% para la industria y el 20% restante son para consumo. Han resultado impagos el 5% de los créditos para vivienda, el 6% de los créditos para la industria y el 11% de los créditos para consumo. Un crédito ha resultado impago. Calcular la probabilidad de que sea un crédito para la industria. Sol. 0,448

15. Las máquinas A y B son requeridas para completar una orden de producción, la máquina A produce el 25% y la máquina B el 75% de la producción total. El porcentaje de producción defectuosa para A es 3% y para B es 4%. Una parte del producto es seleccionada aleatoriamente de la producción total y se observa que no es defectuosa. Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la máquina A?

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16. El departamento de personal de una empresa grande ha descubierto que sólo el 60% de los candidatos investigados están realmente capacitados para asumir un cargo en la compañía. Una revisión de registros de la firma muestra que quienes estaban calificados, el 67% tuvo un entrenamiento previo en estadística, mientras que el 20% de quienes no estaban calificados habían recibido instrucción estadística mucho antes. Cuál es la probabilidad de que usted esté calificado dado que ha tenido entrenamiento en Estadística. Sol. 0,834

17. En un programa de capacitación para el personal del área administrativa de una empresa el 80% de los capacitados son mujeres, y 20% varones. El 90% de las mujeres asistió a la universidad, y el 78% de los varones también.

a) Una persona que participa en el programa se selecciona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer que no asistió a la universidad? Sol. 0,08 b) Al seleccionar una persona al azar se sabe que ha asistido a la universidad, cuál es

la probabilidad de que sea una mujer. Sol. 0,822

c) Elabore un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades (a priori, condicionales y conjuntas.

18. Un profesor observa que pone una calificación final de sobresaliente al 20% de los estudiantes. El 70% de los que obtienen una calificación final de sobresaliente obtuvo una calificación de sobresaliente en el examen parcial. Además el 10% de los estudiantes que no obtienen una calificación final de sobresaliente obtuvo un sobresaliente en el examen parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que obtuvo un sobresaliente en el examen parcial obtenga una calificación final de sobresaliente. Sol. 0,636

19. Se recibieron dos cajas de camisas para hombre marca Old Navy provenientes de la fábrica, a caja uno contenía 25 camisas deportivas y 15 de vestir, en la caja dos había 30 deportivas y 10 de vestir. Se seleccionó al azar una de las cajas y de esas se eligió, también aleatoriamente una camisa para inspeccionarla. La prenda era deportiva. Dada esta información, cuál es la probabilidad de que dicha camisa provenga de la caja uno. Sol. 0,4545

20. Hay 4 personas que se consideran para el puesto de presidente y ejecutivo en jefe en la empresa Dalton Enterprise. Tres de los aspirantes tiene más de 60 años. 2 son mujeres, de las cuales sólo una es mayor de 60 años.

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b) Dado que el candidato es hombre ¿Cuál es la probabilidad de que tenga menos de 60 años? Sol. 0

c) Dado que la persona es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Sol. 0,3333

21. Una investigación demuestra que el 30% de los profesores de la nación dejan la profesión después de diez años. Además de quienes la abandonan, el 60% tienen un título avanzado, mientras que entre los que no dejan la profesión el 20% tienen un título avanzado. El Sr. Y el profesor favorito de los estudiantes, acaba de obtener un título avanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que deje a los estudiantes y consiga un trabajo distinto? Sol. 0,5625

22. Sólo el 60% de los estudiantes de la clase de Estadística pasaron la primera evaluación. De quienes pasaron el 80% estudiaron y el 20% de quienes no pasaron si estudiaron. ¿Debería usted estudiar paras las pruebas de este profesor? Sol. 0,857

23. Una editorial envía la publicidad de un libro de texto de contabilidad al 80% de todos los profesores que imparten la asignatura de contabilidad. El 30% de los profesores que reciben esta publicidad adopta el libro, al igual que el 10% de los que no la reciben. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor que adopta el libro haya recibido la publicidad? Sol. 0,9231

24. El Gerente de crédito de un almacén de electrodomésticos, sabe que el almacén utiliza tres métodos para conminar a pagar a los clientes morosos. De los datos que se tienen registrados, él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir algún pago como consecuencia de los tres métodos son: 0,75; 0,60; y 0,65 respectivamente. El Gerente acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho:

a) Personalmente Sol. 0,739 b) Por teléfono Sol. 0,169 c) Por correo Sol.0, 092

25. Una empresa se especializa en proporcionar evaluaciones de sus perspectivas a tiendas de ropa para dama en centros comerciales. El director de la empresa informa que evalúa las posibilidades como buenas, regulares o malas. Los registros de las evaluaciones anteriores indican que en el 60% de los casos, las perspectivas son

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arrojaron beneficios durante el primer año. Conie’s Apparel fue uno de los clientes de la empresa que obtuvo utilidades el año pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que se le haya dado una calificación inicial de mala? Sol. 0.0294

26. Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex es 0,75. De los que compran pintura de látex, el 60% también compra rodillos. Sin embargo, sólo el 30% de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura y lata de pintura. ¿cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex? Sol.0,857

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PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

a) Identificar el tipo de variable aleatoria de acuerdo a la naturaleza de la información.

b) Describir las características de cada una de las distribuciones de probabilidad. c) Calcular correctamente las probabilidades en los problemas de aplicación

práctica

d) Resolver problemas aplicados a la carrera utilizando las distribuciones probabilísticas.

e) Construir una tabla de distribución de probabilidad y su representación gráfica para casos prácticos y reales.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de: Funciones reales

CONTENIDOS

4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 4.1. Variable aleatoria y su tipología 4.2. Distribución de probabilidad (discreta) 4.3. Distribuciones de probabilidad discretas

4.3.1. Distribución Binomial

4.3.2. Distribución hipergeométrica 4.3.3. Distribución de Poisson

4.3.4. Aproximación de la distribución de Poisson a la Binomial 4.4. Variable aleatoria continua

4.4.1. Distribución normal 4.4.1.1. Características

4.4.1.2. Gráficos y familias de distribuciones normales 4.4.1.3. Cálculo de la distribución normal estándar 4.4.1.4. Determinación del área bajo la curva

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA SER RESUELTOS 1. Cuáles de las siguientes variables son aleatorias discretas y cuáles continuas

a) El tiempo entre llegadas de clientes a un cajero automático de un banco b) El número de clientes de una peluquería

c) La temperatura exterior el día de hoy d) Los carros vendidos

e) Los ingresos

f) Los empleados requeridos para completar un trabajo. g) Número de accidentes automovilísticos que ocurren al año

2. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar del experimento de lanzar una moneda tres veces y observar el número de sellos.

3. Una urna contiene 3 bolas azules, 5 rojas y 4 verdes. Si se extraen 3 bolas (con reposición) Construya una tabla de distribución de probabilidad para el número de bolas verdes. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.

4. Con los datos del ejercicio anterior. Construya la tabla de distribución de probabilidad para el número de bolas verdes pero esta vez hágalo sin reposición. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.

5. Si llueve un vendedor de paraguas gana $30 al día, y si no llueve pierde $6 al día. ¿Cuál es el valor esperado si la probabilidad de lluvia es 0,3?

6. El número de quejas de los empleados de una empresa oscila entre 0 a 6 cada día como se muestra en la siguiente tabla. Calcule e interprete el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.

Quejas (X) Probabilidad p(X) 0 0,13 1 0,17 2 0,13 3 0,26 4 0,09 5 0,05 6 0,17