9 Soluciones en serie de ecuaciones lineales II
9.1. Ecuación indicial
Si x= 0es un punto singular regular de la ecuacióny00+P(x)y0+Q(x)y= 0, entoncesp(x) =xP(x), q(x) =x2Q(x)son analíticas en x= 0:
p(x) =xP(x) =a0+a1x+a2x2+. . . ,
q(x) =x2Q(x) =b
0+b1x+b2x2+. . . La ecuación indicial general es
r(r−1) +a0r+b0= 0, y las soluciones se llaman raíces indiciales.
Ejemplo:
La ecuación indicial de la ecuaciónxy00+y= 0: xP(x) = 0,x2Q(x) =x, entoncesa
0= 0yb0= 0. La ecuación indicial es r(r−1) = 0.
Las raíces indiciales sonr1= 1yr2= 0.
9.1.1. Existencia de soluciones según la naturaleza de las raíces indiciales Sea x= 0 un punto singular regular de la ecuación.
Las raíces indiciales sonr1 yr2 reales. Tres casos:
Caso 1: r1−r2no es un número entero. Entonces existen dos soluciones linealmente independientesy1(x) ey2(x)de la ecuación de la forma
∞
X
n=0
cnxn+r.
Caso 2: Si r1−r2=N,N entero, existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación con la forma: y1(x) = ∞ X n=0 cnxn+r1, c06= 0, y2(x) =Cy1(x) lnx+ ∞ X n=0 bnxn+r2, b06= 0 donde puede queC= 0.
Caso 3: Si r1=r2, siempre existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación que tienen la forma: y1(x) = ∞ X n=0 cnxn+r1, c06= 0, y2(x) =Cy1(x) lnx+ ∞ X n=0 bnxn+r2, b06= 0.
9.2. Ecuación de Bessel
x2y00+xy0+ (x2−ν2)y= 0, ν ≥0
x= 0es un punto singular regular de la ecuación Existe al menos una solución de la ecuación de la forma
∞
X
n=0
cnxn+r Como xP(x) = 1yx2Q(x) =x2−ν2, la ecuación indicial es
x2−ν2= 0 Las raíces sonr1=ν yr2=−ν
Sear1=ν, entonces: x2y00+xy0+ (x2−ν2)y= =xν£(1 + 2ν)c 1x+ P∞ n=0[(k+ 2)(k+ 2 + 2ν)ck+2+ck]xk+2 ¤ = = 0 ½ (1 + 2ν)c1= 0 (k+ 2)(k+ 2 + 2ν)ck+2+ck = 0 (1 + 2ν)c1= 0 ck+2= −ck (k+ 2)(k+ 2 + 2ν), k= 0,1,2, . . . Si c1= 0→c3= 0, c5= 0, c7= 0, . . . Si k+ 2 = 2n→c2n= c2n−2 22n(n+ν), n= 1, 2, . . . c2n= (−1) n c0 22nn!(1 +ν)(2 +ν). . .(n+ν), n= 1, 2, 3, . . . Se eligec0= 1 2νΓ(1 +ν) →Γ(x) = Z ∞ 0 tx−1etdt Por la propiedad Γ(1 +α) =αΓ(α), c2n = (−1)n 22n+νn!(1 +ν)(2 +ν). . .(+ν)Γ(1 +ν) = = (−1) n 22n+νn!Γ(1 +ν+n), n= 0,1,2, . . . 9.2.1. Funciones de Bessel de primera clase
Función de Bessel de primera clase (de primera especie) de ordenν:
Jν(x) = ∞ X n=0 (−1)n n!Γ(1 +ν+n) ³x 2 ´2n+ν
Función de Bessel de primera clase o de primera especie de orden−ν:
J−ν(x) = ∞ X n=0 (−1)n n!Γ(1−ν+n) ³x 2 ´2n−ν
Son convergentes en[0,∞)
Observaciones:
Si ν= 0, las dos soluciones son iguales
Siν >0y ademásr1−r2=ν−(−ν) = 2ν no es un entero positivo,Jν(x)yJ−ν(x)son soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel en (0,∞)(Caso I) , la solución general en el intervalo es
y=c1Jν+c2J−ν
Si r1−r2 = 2ν es un entero positivo, sólo se puede asegurar que exista una segunda solución en forma de serie:
• Siν=mes un entero positivo,J−m(x)yJm(x)no son linealmente independientes (J−m(x) =
KJm(x))
• Se puede demostrar que si2ν es un entero positivo impar,Jν yJ−ν son linealmente indepen-dientes
La solución general es y=c1Jν(x) +c2J−ν(x), ν6= entero Ejemplo: La solución general de la ecuación
x2y00+xy0+ µ x2−1 4 ¶ y= 0 es y=c1J1/2(x) +c2J−1/2(x) donde: J1/2(x) = ∞ X n=0 (−1)n n!Γ(3/2 +n) ³x 2 ´2n+1/2 J−1/2(x) = ∞ X n=0 (−1)n n!Γ(1/2 +n) ³x 2 ´2n−1/2
9.2.2. Funciones de Bessel de segunda clase Siν 6=entero, la función
Yν(x) = cos(νπ)Jν(x)−J−ν(x)
sen(νπ)
y la funciónJν(x)son linealmente independientes y soluciones de la ecuación de Bessel, por tanto, otra forma de la solución general es:
y=c1Jν(x) +c2Yν(x)
Yν se llama función de Bessel de segunda clase Siν →mdondemes un número entero:
l´ım
ν→mYν(x) =Ym(x)
EntoncesYm(x)yJm(x)son soluciones linealmente independientes de
x2y00+xy0+ (x2−m2)y= 0
x2y00+xy0+ (x2−ν2)y= 0 es
y=c1Jν(x) +c2Yν(x) 9.2.3. Ecuación paramétrica de Bessel
La ecuación paramétrica de Bessel es
x2y00+xy0+ (λ2x2−ν2)y= 0
Haciendo el cambio de variable t = λx en la ecuación de Bessel y aplicando la regla de la cadena, obtenemos la ecuación de Bessel
t2y00+ty0+ (t2−ν2)y= 0 y la solución general es:
y=c1Jν(t) +c2Yν(t) es decir, la solución de la ecuación paramétrica de Bessel es
y=c1Jν(λx) +c2Yν(λx) 9.2.4. Propiedades de las funciones de Bessel
Funciones de Bessel de ordenm= 0,1,2,3. . .
1. J−m(x) = (−1)mJm(x) 2. Jm(−x) = (−1)mJm(x) 3. Jm(0) = ½ 0, m >0 1, m= 0 4. l´ımx→0Ym(x) =−∞
Ejercicios del capítulo
1. Determina la solución general de la ecuación diferencial respectiva:
a) x2y00+xy0+ (x2−1)y= 0.
b) 16x2y00+ 16xy0+ (16x2−1)y= 0.
c) x2y00+xy0+ (36x2−1 4)y= 0.
2. Comprueba que la ecuación diferencial
x2y00+ (1−2n)y0+xy= 0, x >0,
posee una solución particulary=xnJ n(x).
3. Comprueba que la ecuación diferencial
xy00+ (1−2n)y0+xy= 0, x >0,
posee una solución particulary=xnJ n(x).
4. Comprueba que la ecuación diferencial
xy00+ (λ2x2−ν2+ 1/4)y= 0, x >0, tiene la solución particular y=√xJn(λx), dondeλ >0.
5. Aplica los resultados de los tres problemas anteriores para hallar una solución particular en(0,∞)
de la ecuación diferencial dada:
a) xy00−y0+xy= 0.
b) 4x2y00+ (16x2+ 1)y= 0.
c) xy00−5y0+xy= 0.
6. Funciones de Bessel esféricas Sea ν= 1
2,32,52, . . .la función de BesselJν(x)se puede expresar en términos de funciones elemen-talessen(x),cos(x):
Ejemplo: Forma alternativa de J1/2(x):
J1/2(x) = ∞ X n=0 (−1)n n!Γ(1 +1 2+n) ³x 2 ´2n+1/2 PorΓ(1 +α) =αΓ(α)yΓ(1 2) = √ π: • n= 0, Γ(1 +1 2) =12Γ(12) =12 √ π • n= 1, Γ(1 +3 2) =32Γ(32) =232 √ π= 3! 23 √ π • n= 2, Γ(1 +5 2) =52Γ(52) =25!52! √ π • En generalΓ(1 +12+n) =2(2n+1)!2n+1n! √ π Así: J1/2(x) = ∞ X n=0 (−1)n n!(2n+ 1)! √ π 22n+1n! ³x 2 ´2n+1/2 =√2πx ∞ X n=0 (−1)n (2n+ 1)!x 2n+1
Es un desarrollo de MacLaurin de la función senx:
J1/2(x) =
r
2 πxsenx
