Si G es un grupo finito y H es un subgrupo, podemos considerar a C[H] como subespacio vectorial de C[G], lo que, a su vez, nos permite considerar a C[G] comoC[H]-m´odulo. Esto nos lleva a la definici´on siguiente:
Definici´on 2.31 SeaGun grupo finito y H un subgrupo. Consideremos una representaci´on lineal ⇢:H !Aut(W). Llamaremosrepresentaci´on inducida
⇢G a la representaci´on deGasociada alC[G]-m´oduloW⌦C
[H]C[G]. Si es el
car´acter de⇢, llamaremoscar´acter inducido Gal car´acter deGasociado a⇢G.
Es obvio que, siH KGy es un car´acter deH, entonces ( K)G= G.
Vamos a ver que G puede calcularse directamente a partir de sin nece-
sidad de conocer la representaci´on que lo genera. Para ello conviene introducir la notaci´on siguiente:
Definici´on 2.32 Sea Gun grupo finito y H un subgrupo de G. Si es una funci´on de clases enH, llamaremos 0:G !Ca la funci´on dada por
0( ) =n ( ) si 2H,
0 si 2/H.
En estos t´erminos, los caracteres inducidos se calculan como indica el teo- rema siguiente:
Teorema 2.33 Sea G un grupo finito y H un subgrupo y sea R un sistema
de representantes de las clases de congruencia por la derecha de G m´oduloH.
Entonces, si es un car´acter deH, para todo 2Gse cumple que
G( ) = P ⌧2R 0(⌧ ⌧ 1) = 1 |H| P ⌧2G 0(⌧ ⌧ 1).
Demostraci´on: Sea⇢ : H ! Aut(W) la representaci´on que determina el car´acter dado . Tenemos que cada 2G se expresa de forma ´unica como
=h⌧, con⌧ 2R. Es claro entonces que C[G] = L
⌧2RC
[H]⌧.
Por consiguiente, G es el car´acter de
V =W⌦C[H]C[G] = L
⌧2R
2.4. Caracteres inducidos 57
Fijado 2 G, para cada⌧ 2 R, podemos expresar ⌧ =h⌧ , con⌧ 2 R
y h 2 H. De este modo, (W⌧) = W⌧ . Si fijamos una base B de W, la uni´on de los trasladados B⌧, con ⌧ 2 R, es una base de V. Para calcular la traza de⇢G( ) en esta base observamos que, si⌧ 6=⌧, las filas de la matriz de
⇢G( ) correspondientes a los vectores deB⌧ tienen ceros en la diagonal. Por el
contrario, si⌧ =⌧, las suma de la diagonal de las filas correspondientes aB⌧
es la traza de⇢G( )|
W⌧. As´ı pues:
G( ) = P
⌧2R
Tr(⇢G( )|W⌧),
donde R = {⌧ 2 R | ⌧ = ⌧}. Observemos que ⌧ = ⌧ equivale a que
⌧ =h⌧, es decir, que⌧ ⌧ 12H. Por ´ultimo, observamos que el isomorfismo f :W !W⌧ dado porf(w) =w⌧ cumple
f(w⌧ ⌧ 1) =w⌧ =f(w) .
Esto significa que⇢G( )|
W⌧ se identifica a trav´es def con⇢(⌧ ⌧ 1), luego
Tr(⇢G( )|
W⌧) = Tr(⇢(⌧ ⌧ 1)) = (⌧ ⌧ 1) = 0(⌧ ⌧ 1).
Con esto obtenemos la primera f´ormula del enunciado. La segunda se sigue de la primera debido a que, si ⌧ 2R cumple⌧ ⌧ 12H, entonces, para cada h2H tenemos que⌧0 =h⌧ 2Gcumple⌧0 ⌧0 12H y (⌧0 ⌧0 1) = (⌧ ⌧ 1)
y, rec´ıprocamente, todo⌧02Gque cumple⌧0 ⌧0 12H es de la forma⌧0 =h⌧,
para un ´unico ⌧ 2 R tal que ⌧ ⌧ 1 2 H. En definitiva, cada sumando de la
primera f´ormula se corresponde con|H|sumandos id´enticos en la segunda. En particular, tenemos la relaci´on entre los grados:
G(1) =|G:H| (1).
Definici´on 2.34 Sea G un grupo finito, sea H un subgrupo de G y sea R
un sistema de representantes de las clases de congruencia por la derecha de G
m´odulo H. Para cada funci´on de clases :H !C, definimos G :G !C
mediante G( ) = P ⌧2R 0(⌧ ⌧ 1) = 1 |H| P ⌧2G 0(⌧ ⌧ 1).
Hemos visto que si es un car´acter deH, entonces G es un car´acter deG.
En general, se cumple que G es una funci´on de clases de G. Esto se com-
prueba directamente sin dificultad o, alternativamente, basta observar que la aplicaci´on 7! G es C-lineal y que toda funci´on de clases es combinaci´on
lineal de caracteres.
Notemos que tambi´en hay una forma natural (y mucho m´as simple) de pasar de un car´acter de Ga un car´acter de H:
Definici´on 2.35 SeaG un grupo finito y H un subgrupo deG. Si es una funci´on de clases deG, llamaremos Ha su restricci´on aH, que es tambi´en una
Entre estas dos operaciones hay una relaci´on sencilla:
Teorema 2.36 (Reciprocidad de Frobenius) SeaGun grupo finito yH un
subgrupo. Sean :H !Cy :G !Cfunciones de clases. Entonces
( , H) = ( G, ).
Demostraci´on: Basta realizar un c´alculo directo: ( G, ) = 1 |G| P 2G G( ) ( ) = 1 |G| 1 |H| P ,⌧2G 0(⌧ ⌧ 1) ( ) = 1 |G| 1 |H| P 0,⌧2G 0( 0) (⌧ 1 0⌧) = 1 |G| 1 |H| P 0,⌧2G 0( 0) ( 0) = 1 |H| P 02H ( 0) ( 0) = ( , H).
Otra f´ormula de inter´es que relaciona funciones de clase inducidas y restric- ciones es la siguiente:
Teorema 2.37 Sea Gun grupo finito y H un subgrupo. Sean :H ! Cy
:G !Cfunciones de clases. Entonces ( · H)G= G· .
Demostraci´on: Para cada 2G, tenemos que ( · H)G( ) = 1 |H| P ⌧2G 0(⌧ ⌧ 1) 0 H(⌧ ⌧ 1) = 1 |H| P ⌧2G 0(⌧ ⌧ 1) ( ) = G( ) ( ).
Ahora necesitamos un resultado t´ecnico:
Teorema 2.38 Sea G un grupo finito y N un subgrupo normal, sea un
car´acter irreducible de Gtal que N sea suma de al menos dos caracteres irre-
ducibles distintos. Entonces existe un subgrupo N H < G y un car´acter
irreducible deH tal que = G.
Demostraci´on: Sea V un C[G]-m´odulo asociado a , de modo que N
est´a asociado a V comoC[N]-m´odulo. Sea
V =Lh
i=1 Vi
la descomposici´on de V como C[N]-m´odulo dada por el teorema 2.19. Por hip´otesis, la suma tiene al menos dos sumandos no nulos.
2.4. Caracteres inducidos 59
En general, siW es un C[N]-subm´odulo deV y 2G, se cumple queW
es tambi´en unC[N]-subm´odulo, pues, sin2N, se cumple que
W n=W( n 1) =W ,
pues n 12N. Adem´as, siW tiene car´acter
i, el car´acter de W es i(n) = i( n 1),
que depende ´unicamente de i y . Es claro que siW es irreducible, tambi´en lo
esW , luego vemos que la multiplicaci´on por transforma todos los subm´odulos irreducibles de un mismo Vi (es decir, todos los subm´odulos con un mismo
car´acter i), en subm´odulos de un mismoVj, por lo queVi =Vj.
Fijemos un ´ındice i0 tal que Vi0 6= 0 y sea H = { 2 G | Vi0 = Vi0}.
Claramente, N H < G. La segunda desigualdad es estricta porque, de lo contrario,Vi0 ser´ıa unC[G]-subm´odulo deV, peroV es irreducible, luego ser´ıa V =Vi0, cuando, por hip´otesis, hay al menos dos sumandos no nulos.
Sea el car´acter deH asociado aW =Vi0. Para probar que = Gbasta
ver que, si R es un sistema de representantes de las clases de congruencia por la derecha deGm´oduloH, se cumple que
V = L
⌧2R
W⌧,
pues esto implica queV ⇠=W⌦C[H]C[G].
Si⌧1,⌧22RyW⌧1=W⌧2, entonces⌧1⌧212H, luego⌧1=⌧2. Esto implica
que cada W⌧ =Vi0⌧ con⌧ 2 R es unVi, luego la suma de losW⌧ es directa
(porque lo es la de losVi). Adem´as, dicha suma directa es unC[G]-subm´odulo
deV, luego es todoV.
En general no es cierto que todo car´acter de un grupo est´e inducido desde un subgrupo, pero s´ı lo es en el caso de los grupos superresolubles:
Teorema 2.39 SiGes un grupo finito superresoluble, todo car´acter irreducible deGest´a inducido por un car´acter de grado 1de un subgrupo de G.
Demostraci´on: Razonando por inducci´on, podemos suponer que el teo- rema es cierto para todo grupo de orden estrictamente menor que|G|. Sea un car´acter irreducible deG. Podemos suponer que es fiel, es decir, que la repre- sentaci´on ⇢:G !Aut(V) que lo genera es inyectiva, pues, si tuviera n´ucleo
N 6= 1, podr´ıamos ver a como car´acter de G/N, luego habr´ıa un subgrupo
H/N G/N y un car´acter de grado 1 enH/N tal que = G.
Tambi´en podemos suponer queG no es abeliano, pues en caso contrario ya tiene grado 1 y no hay nada que probar.
Por el teorema 1.32, existe un subgrupo Z(G) C N C G. Como ⇢ es un monomorfismo, tenemos que Z(⇢[G]) C ⇢[N]. Por consiguiente, no todos los automorfismos en ⇢[N] son homotecias (ya que las homotecias conmutan con
todos los automorfismos), luego |N ha de ser suma de al menos dos caracte-
res irreducibles distintos. (En caso contrario, como N es abeliano, |N ser´ıa
m´ultiplo de un ´unico car´acter de grado 1, y ⇢[N] constar´ıa ´unicamente de ho- motecias.)
El teorema 2.38 nos da que = G, para cierto car´acter irreducible de
un subgrupoH < G. Como H tambi´en es superresoluble, podemos aplicar la hip´otesis de inducci´on para concluir que = H, para cierto car´acter de
grado 1, luego tambi´en = G.
Terminamos esta secci´on con una aplicaci´on de 2.38:
Teorema 2.40 Si Ges un grupo finito y N es un subgrupo normal abeliano, entonces el grado de todo car´acter irreducible deGdivide al ´ındice|G:N|.
Demostraci´on: Razonando por inducci´on, podemos suponer que el teo- rema es cierto para todo grupo de orden menor que |G|. Sea un car´acter irreducible de G y supongamos que N se descompone en suma de al menos
dos caracteres irreducibles distintos. Entonces, por 2.38, existe un subgrupo
N H < G tal que = G, para cierto car´acter de H. Por hip´otesis de
inducci´on (1)| |H :N|, luego
(1) = G(1) =|G:H| (1)| |G:N|.
Supongamos ahora que N =n , para cierto car´acter irreducible de N,
que ser´a de grado 1, porque N es abeliano. Sea ⇢ : G ! LG(n,C) una representaci´on matricial que genere a , consideremosG0=⇢[G]LG(n,C) y
seaN0=⇢[N]. Tenemos un epimorfismoG/N !G0/N0, luego
|G0:N0| |G:N|.
El hecho de que N =n se traduce en que las matrices deN0son de la forma
✏In, luego N0 Z(G0). La inclusi´on G0 ! LG(n,C) es una representaci´on
irreducible deG0 de gradon, luego 2.25 nos da quen| |G0:N0| |G:N|.