Reunimos en esta secci´on algunos resultados adicionales sobre caracteres que no nos har´an falta m´as adelante.
Ejemplo Nos faltaba calcular los caracteres de grado 1 del grupoD4. Obser-
vemos que el centro de D4 es Z(D4) = {1, 2}. (El centro de un grupo est´a
formado por los elementos cuya clase de conjugaci´on es trivial.) El cociente
D4/Z(D4) es abeliano, luego tiene cuatro caracteres de grado 1, que son, por lo
tanto, los tres caracteres que buscamos, m´as el trivial.
Concretamente,D4/Z(D4)⇠=C2⇥C2, sus elementos tienen todos orden 2,
luego sus caracteres tienen que tomar valores enC⇤iguales a±1. Teniendo esto
en cuenta es f´acil calcular latabla de caracteres (irreducibles) deD4:
D4 1 2 ⌧ ⌧ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 5 2 0 2 0 0
Notemos que podr´ıamos haber calculado 5 a partir de los otros caracteres
sin necesidad de conocer la representaci´on que lo genera. Basta tener en cuenta querG = 1+ 2+ 3+ 4+ 2 5y querGtoma siempre el valor 0 salvo en 1.
Ejemplo EnQ = R4 es posible definir una estructura de anillo de divisi´on
conocida como el ´algebra de los cuaterniones.4 Si llamamos 1, i, j, k a la base
can´onica de R4, el producto de Q est´a completamente determinado por las
relaciones
i2=j2=k2= 1, ij=k, ji= k, jk=i, kj= i, ki=j, ik= j.
Se sigue entonces que el conjuntoQ8={±1,±i,±j,±k}es un subgrupo del
grupo de unidades deQ, conocido como elgrupo cuaternio. Tiene cinco clases de conjugaci´on:
cl(Q8) ={{1},{ 1},{±i},{±j},{±k}}
y el cocienteQ8/{±1}⇠=C2⇥C2 nos da cuatro caracteres de grado 1 an´alogos
a los que hemos obtenido para D4 en el ejemplo anterior. Esto implica que el quinto car´acter ha de tener grado 2 y, teniendo en cuenta que puede calcularse a partir del car´acter regular deQ8, concluimos que la tabla de caracteres deQ8
es id´entica a la deD4(biyectando adecuadamente las clases de conjugaci´on), a pesar de que ambos grupos no son isomorfos.
Ejercicio: Calcular la tabla de caracteres de⌃3. 4V´ease la secci´on 5.3 de mi libro deGeometr´ıa.
2.3. Ejemplos y aplicaciones 51
Relaciones de ortogonalidad duales A la hora de calcular tablas de ca- racteres, es ´util contar con que no s´olo las filas de la tabla son ortogonales dos a dos, sino que las columnas tambi´en lo son. En efecto:
Teorema 2.23 Sea Gun grupo finito, sean 1, . . . , h sus caracteres irreduci-
bles y sean ,⌧2G. Entonces
h P r=1 r ( ) r(⌧) = ⇢ |G|/|clG( )| si clG( ) = clG(⌧), 0 si clG( )6= clG(⌧).
Demostraci´on: Sean 1, . . . , h representantes de las clases de conjuga-
ci´on de Gy sea hi =|clG( i)|. En estos t´erminos, lo que hemos de probar es
que h P r=1 r ( i) r( j) =| G| hj ij ,
donde ( ij) es la matriz identidad. Consideremos las matricesByCdadas por
bij = hj |G| i( j), cij = j( i). Entonces, el elemento (i, j) deBC es 1 |G| h P r=1 hr i( r) j( r) = 1 |G| P 2G i ( ) j( ) = ij,
por las relaciones de ortogonalidad, luegoBC =I. Esto implica queCB =I, lo que se traduce precisamente en la relaci´on que quer´ıamos probar.
Caracteres de productos directos Vamos a determinar los caracteres de un producto directo de gruposG=G1⇥G2. Observemos que, comoG1⇠=G/G2, podemos considerar a cada car´acter deG1como un car´acter deG. Concreta- mente, entendiendo que (g1g2) = (g1). Lo mismo es v´alido para los caracteres
deG2.
Teorema 2.24 Sea G=G1⇥G2 un producto directo de grupos. Si i es un
car´acter irreducible deGi, entonces 1 2es un car´acter irreducible deG, y todo
car´acter irreducible deGes de esta forma.
Demostraci´on: Sabemos que 1 2 es un car´acter de G, aunque, en gene-
ral, el producto de caracteres irreducibles no tiene por qu´e ser irreducible. No obstante, multiplicando las ecuaciones
( 1, 1) = 1 |G1| P g12G1 | 1(g1)|2= 1, ( 2, 2) = 1 |G2| P g22G2 | 2(g2)|2= 1,
Si i
1, . . . , ihi son los caracteres irreducibles deGi, es claro que los carac- teres 1
k 2l son distintos dos a dos, pues el producto determina los factores por
restricci´on. Sabemos que
P k 1 k(1)2=|G1|, P l 2 l(1)2=|G2|,
y multiplicando ambas ecuaciones obtenemos que
P k,l
( 1k 2l)(1)2=|G|,
luegoGno puede tener m´as caracteres irreducibles.
En particular, descomponiendo un grupo abeliano como producto de grupos c´ıclicos, podemos determinar f´acilmente todos sus caracteres irreducibles. S´olo tenemos que observar que los caracteres irreducibles de un grupo c´ıclicoG=h i
de orden n son los homomorfismos : G ! C⇤ determinados por que ( )
es una ra´ız n-sima de la unidad. Hayn ra´ıces posibles que dan lugar a los n
caracteres irreducibles deG.
El grado de un car´acter irreducible Hemos probado que el grado de un car´acter irreducible de un grupo finito G debe dividir al orden de G. Este resultado puede mejorarse.
Teorema 2.25 Si G es un grupo finito, el grado de cualquier car´acter irredu- cible deGdivide al ´ındice|G:Z(G)|.
Demostraci´on: Seag =|G| y c =|Z(G)|. Consideremos una represen- taci´on irreducible ⇢ : G ! Aut(V) de grado n. Si 2 Z(G)⇢ Z(C[G]), el teorema 2.16 nos dice que⇢( ) es una homotecia enV de raz´on ( ), de modo que :Z(G) !C⇤ es un homomorfismo de grupos.
Fijemos ahora un n´umero natural m 1 y consideremos el grupo Gm (el
producto directo deGpor s´ı mismomveces). Si es el car´acter de⇢, podemos considerar enGmel car´acter m, que, seg´un hemos visto en la secci´on anterior,
es irreducible, y est´a asociado a la representaci´on
⇢m:Gm !Aut(V ⌦C[G]· · ·⌦C[G]V)
dada por5⇢m(
1, . . . , m)(v1⌦· · ·⌦vm) =v1 1⌦· · ·⌦vm m. Por consiguiente,
si ( 1, . . . , m)2Z(G)m, tenemos que⇢m( 1, . . . , m) es la homotecia de raz´on
( 1· · · m).
Consideremos el subgrupoH deZ(G)mformado por los elementos que cum-
plen 1· · · m = 1. Tenemos que H est´a en el n´ucleo de ⇢m, luego podemos
ver a⇢m como representaci´on deGm/H. El teorema 2.21 implica que el grado
de⇢m, que es nm, divide el orden de este cociente, que esgm/cm 1. As´ı pues,
5Con m´as detalle, al considerar a como car´acter deli-´esimo factor, su representaci´on aso-
ciada es la dada porGm pi
!G ⇢!Aut(V), y el producto tensorial de estas representaciones deGmes el indicado.
2.3. Ejemplos y aplicaciones 53
existe unk2Ztal queknm=gm/cm 1o, lo que es lo mismo, (g/cn)m2c 1Z,
para todom 1.
Esto implica queZ[g/cn]⇢c 1Z, luego laZ-´algebraZ[g/cn] es unZ-m´odulo
finitamente generado, luegog/cnes un entero algebraico y un n´umero racional, luegog/cn2Z, luegon|g/c=|G:Z(G)|.
Para un resultado m´as preciso, v´ease el teorema 2.40, m´as abajo.
Subgrupos normales El teorema 2.5 nos permite reconocer el n´ucleo de un car´acter a partir de la tabla de caracteres de un grupo. Obviamente, los n´ucleos de caracteres son subgrupos normales. Los dem´as subgrupos normales de un grupo dado pueden calcularse a partir de la tabla de caracteres sin m´as que tener en cuenta que son intersecciones de n´ucleos:
Teorema 2.26 Todo subgrupo normal de un grupo finito es la intersecci´on de los n´ucleos de los caracteres irreducibles que lo contienen.
Demostraci´on: Es trivial: sea G un grupo y N un subgrupo normal. Los caracteres irreducibles que contienen a N en su n´ucleo son los caracteres irreducibles de G/N, luego todo se reduce a probar que la intersecci´on de los n´ucleos de todos los caracteres irreducibles de un grupo dado es trivial, pero ello se debe a que dicha intersecci´on es el n´ucleo de la representaci´on regular, que es fiel.
Recordemos que el subgrupo derivado de un grupoGes el menor subgrupo
G0 tal que el cocienteG/G0 es abeliano.
Teorema 2.27 El subgrupo derivado de un grupo finito es la intersecci´on de los n´ucleos de los caracteres irreducibles de grado 1.
Demostraci´on: Si un car´acter irreducible :G !CcumpleG0N( ),
entonces es un car´acter irreducible deG/G0y, como el cociente es abeliano,
tiene grado 1. Rec´ıprocamente, si tiene grado 1, entonces es un homomorfismo :G !C⇤, luego G/N( ) es abeliano y, por consiguiente, G0 N( ).
En particular, el n´umero de caracteres de grado 1 de un grupo finitoG es igual al ´ındice|G:G0|.
Tambi´en podemos calcular el centro de un grupo a partir de su tabla de caracteres. Para ello definimos el centrode un car´acter : G ! C como el conjunto
Z( ) ={ 2G| | ( )|= (1)}. Teorema 2.28 Sea Gun grupo finito.
a) Si es un car´acter deGasociado a una representaci´on⇢:G !Aut(V),
entonces
Z( ) ={ 2G|⇢( )es una homotecia}.
c) Z(G) es la intersecci´on de los centros de todos los caracteres irreducibles deG.
d) Si es un car´acter irreducible y fiel deG, entoncesZ(G) =Z( ). Demostraci´on: a) Dado 2 G, sabemos que, eligiendo una base en V, podemos suponer que la matriz asociada al automorfismo ⇢( ) es diagonal y ( ) =✏1+· · ·+✏n es la suma de dicha diagonal. Adem´as, todos los✏i tienen
m´odulo 1.
Tenemos que 2 Z( ) si y s´olo si |✏1+· · ·+✏n| = n, y es f´acil ver que
esto ocurre s´ı y s´olo si todos los✏i son iguales, es decir, si y s´olo si ⇢( ) es una
homotecia de raz´on✏.
b) Ahora es inmediato queZ( ) es un subgrupo deG. M´as a´un, si llamamos ( ) a la raz´on de la homotecia ⇢( ), tenemos que : Z( ) ! C⇤ es un
homomorfismo de grupos cuyo n´ucleo es N( ), Z( )/N( ) es isomorfo a un subgrupo finito deC⇤, luego ha de ser c´ıclico.
c) Si es irreducible, el teorema 2.16 implica queZ(G) Z( ). Por otra parte, como⇢[Z( )] est´a formado por homotecias,⇢[Z( )]Z(⇢[G]). Teniendo en cuenta el isomorfismo natural⇢[G]⇠=G/N( ), vemos que
Z( )/N( )Z(G/N( )).
Si pertenece a los centros de todos los caracteres irreducibles deGy⌧ 2G, se cumple que ⌧ 1⌧ 12N( ), y esto vale para todo car´acter irreducible ,
luego ⌧ 1⌧ 1= 1, lo que implica que 2Z(G).
d) Si es un car´acter irreducible y fiel de G, en c) hemos probado que
Z( )Z(G), y tambi´en la inclusi´on opuesta, luegoZ(G) =Z( ).
En particular, vemos que una condici´on necesaria para que un grupoGpueda tener un car´acter irreducible y fiel es que Z(G) sea c´ıclico. Hay ejemplos que muestran que no es suficiente.
El teoremapaqb de Burnside Terminamos con una aplicaci´on t´ıpica de la teor´ıa de caracteres. Se trata de un teorema muy dif´ıcil de probar si no se usa la teor´ıa de caracteres y con una prueba muy simple en t´erminos de caracteres.
Necesitamos un resultado previo:
Teorema 2.29 Sea un car´acter irreducible de un grupo finitoGy sea 2G
tal que|clG( )|sea primo con (1). Entonces ( ) = 0o bien| ( )|= (1).
Demostraci´on: Seanu, v2Ztales queu|clG( )|+v (1) = 1. Entonces
u|clG( )| ( )
(1) +v ( ) = ( ) (1).
El miembro izquierdo es un entero algebraico por el teorema 2.20, aplicado a la funci´on de clases que vale 1 sobre clG( ) y 0 en las dem´as clases. Por
2.3. Ejemplos y aplicaciones 55
Sea K la adjunci´on a Qde las ra´ıces del polinomio m´ınimo de a sobre Q. Si a = a1, . . . , an son estas ra´ıces, tenemos que ai es la imagen de a por un
Q-automorfismo de K. Como ( ) es suma de (1) ra´ıces de la unidad, cada
ai es de la forma
suma de (1) ra´ıces de la unidad
(1) ,
luego |ai|1. Por consiguiente|NKQ(a)| 1 y esta norma es un entero alge-
braico, a la vez que un n´umero racional, luego ha de ser un n´umero entero, m´as concretamente, 0 o±1.
Si NK
Q(a) = 0, entonces a= 0 y ( ) = 0, mientras que si NKQ(a) =±1, ha
de ser|a|= 1, luego| ( )|= (1).
El teorema 1.28 afirma que todo p-grupo es nilpotente y, por consiguiente, resoluble. El teorema de Burnside generaliza este hecho a grupos con orden divisible entre dos primos:
Teorema 2.30 (Burnside) Todo grupo de orden paqb, con p y q primos, es
resoluble.
Demostraci´on: SeaGun grupo de ordenpaqb. Razonamos por inducci´on
sobre el orden de G, es decir, suponemos que el teorema es cierto para todos los grupos de orden menor que|G|. Si Ges abeliano, es trivialmente resoluble, luego podemos suponer queZ(G)< G.
Sea P un p-subgrupo de Sylow de G y sea 2Z(P) un elemento 6= 1. (Existe por el teorema 1.21.) Consideremos la clase de conjugaci´onC= clG( ).
EntoncesPCG( ), luegop-|G:CG( )|y, por el teorema 1.19, tenemos que
|C|=|G:CG( )|=qb
0
, para ciertob0b.
Basta probar queGtiene un subgrupo 1< N CG, pues entoncesN yG/N
son resolubles por hip´otesis de inducci´on, luegoGtambi´en lo es. Supongamos que no es as´ı, es decir, queGes un grupo simple no abeliano.
Sib0 = 0, entonces 2Z(G)6= 1, lo que nos da una contradicci´on. Supon-
gamos, pues, queb0>0. Sean
1, . . . , hlos caracteres irreducibles deG, donde
1= 1. El teorema 2.23 nos da que
0 = Ph i=1 i (1) i( ) = 1 + h P i=2 i (1) i( ).
Podemos ordenar los caracteres de modo que q - i(1) para 1 i h0 y q| i(1) para h0 < ih. En el primer caso, tenemos que i(1) es primo con
|clG( )|, luego el teorema anterior nos da que i( ) = 0 o bien| i( )|= i(1).
Si se da esta segunda posibilidad, como ies fiel (porqueGes simple), 2.28 nos
da que 2Z(G), lo cual es imposible. Por consiguiente, ha de ser i( ) = 0.
Esto nos reduce la igualdad anterior a 1 + Ph
i=h0+1 i
dondeqdivide a cada i(1), pero esto es absurdo, porque nos permite expresar
el n´umero racional 1/q como combinaci´on lineal entera de enteros algebraicos, lo que implica que 1/q2Z.