de caracter´ıstica 0 y que D es su anillo de enteros (con lo queD sigue siendo un anillo de valoraci´on discreta y se cumplen todas las hip´otesis que hemos supuesto en la secci´on anterior). Si mes el ideal maximal de D, entonces los ´
unicos ideales de D son las potencias de m. LlamemosDn =D/mn, de modo
que el cuerpo de restos esk=D1. Necesitaremos el hecho de queDes el l´ımite
proyectivo de los anillosDn. Recordemos la definici´on de l´ımite proyectivo:
Definici´on 4.18 Si A es un anillo conmutativo, un sistema proyectivo de A- m´odulos es una sucesi´on {Mn}1n=1 de A-m´odulos junto con una sucesi´on de
homomorfismos n :Mn !Mn 1. Definimos ell´ımite proyectivodel sistema
como el subm´oduloM= l´ım
n Mndel producto Q
n
Mnformado por las sucesiones
x= (x1, x2, x3, . . .)
tales que n(xn) = xn 1, para todon >1. Llamaremos⇡n :M !Mn a las
4.3. Representaciones en cuerpos completos 127
Notemos que si los Mn son anillos y los n son homomorfismos de anillos,
entonces el l´ımite proyectivo es tambi´en un anillo y los homomorfismos⇡n son
homomorfismos de anillos.
Teorema 4.19 Los anillosDn =D/mn forman un sistema proyectivo con los
epimorfismos naturales Dn ! Dn 1 inducidos por la identidad en D, y se
cumple que
D⇠= l´ım
n Dn.
Demostraci´on: Definimos un homomorfismo de anillosf :D ! l´ım
n Dn
asignando a cadad2D la sucesi´on de sus clases m´odulomn.
Se trata de un monomorfismo, pues si d2D cumple quef(d) = 0 entonces
d2T
n
mn = 0. Falta probar que tambi´en es suprayectivo. Para ello fijamos un
primo⇡2D, de modo que m= (⇡). Dadox2 l´ım
n Dn, tenemos quex1= [d0],
para un cierto d0 2 D, x2 = [c1], para un cierto c1 ⇠= d0(m´odm), de modo
que c1 = d0+d1⇡, para ciertod1 2 D. Similarmente, x3 = [c2], para cierto c2 =d0+d1⇡+d2⇡2. De este modo construimos una sucesi´ondn2D tal que
xn = [d0+d1⇡+· · ·+dn 1⇡n 1]2D/mn. La completitud deK nos permite
definir
d= P1
n=0
dn⇡n2D,
que claramente cumplef(d) =x.
Ahora estamos en condiciones de completar el teorema 4.13 con un teorema de existencia:
Teorema 4.20 Para cadak[G]-m´odulo proyectivo finitamente generadoQ, exis- te unD[G]-m´odulo proyectivoP, ´unico salvo isomorfismo, tal queQ⇠=P⌦Dk.
Demostraci´on: Observemos que si P es un D[G]-m´odulo proyectivo fi- nitamente generado, entonces es tambi´en unD-m´odulo proyectivo finitamente generado (por 4.12), luego en particular es un subm´odulo de unD-m´odulo libre (finitamente generado), luegoPes unD-m´odulo libre.2 Por lo tanto, la hip´otesis
de que P yP0 sean libres sobreD en el apartado b) de 4.13 es redundante, y
tenemos la unicidad.
Seam el ideal maximal deD y consideremos los anillos Dn =D/mn. Los
´
unicos ideales deD son 0 y las potencias dem, luego los ´unicos ideales deDn
son las potencias demhastamn = 0. As´ı pues,D
n tiene un n´umero finito de
ideales, luego es noetheriano y artiniano, luego tiene longitud finita.
ComoDn[G] es unDn-m´odulo finitamente generado, tambi´en tiene longitud
finita comoDn-m´odulo, y esto implica que la tiene como anillo. El epimorfismo
naturalDn !D1=kinduce un epimorfismoDn[G] !k[G], que nos permite
considerar aQcomoDn[G]-m´odulo finitamente generado. Puesto queDn[G] es
artiniano, podemos considerar la envoltura proyectivafn:Pn !Q. Notemos 2Por el teorema 7.29 de mi libro de ´Algebra. Notemos que todo anillo de valoraci´on discreta
que D1[G] = k[G], con lo que P1 = Q y f1 es la identidad. El diagrama conmutativo Dn 1[G] //k[G] Dn[G] O O uu:: u u u u u u u
nos permite considerar a Pn 1 y a Q como Dn[G]-m´odulos y a fn 1 como
un epimorfismo de Dn[G]-m´odulos. La proyectividad de Pn implica entonces
la existencia de un homomorfismo de Dn[G]-m´odulos que cierra el diagrama
siguiente: Pn 1 fn 1 / /Q Pn pn O O fn = = { { { { { { { {
Notemos quepnes suprayectiva porquefn 1[pn[Pn]] =Qyfn 1es esencial.
M´as a´un,pn es esencial, pues si M ⇢Pn cumple quepn[M] =Pn 1, entonces fn[M] =Q, luegoM=Pn porquefn es esencial.
Como Pn 1 es en realidad unDn 1[G]-m´odulo, el n´ucleo depn ha de con-
tener aPnmn 1, luego tenemos un diagrama conmutativo
Pn pn / / ✏ ✏ Pn 1 Pn/Pnmn 1 9 9 r r r r r r r r r r
Ahora bien, Pn/Pnmn 1 tiene una estructura natural de Dn 1[G]-m´odulo,
para la cual, la flecha oblicua es un epimorfismo de Dn 1[G]-m´odulos. Como Pn 1 es proyectivo, el teorema 1.52 implica quePn/Pnmn 1tiene un sumando
directo M isomorfo a Pn 1. Su antiimagen M0 en Pn cumple que pn[M0] =
Pn 1, luego M0 =Pn, luego M =Pn/Pnmn 1. Concluimos quepn induce un
isomorfismo Pn/Pnmn 1 ⇠= Pn o, lo que es lo mismo, que el n´ucleo de pn es
Pnmn 1.
Esto implica a su vez que el n´ucleo de la composici´onPn !Pn 1 !Pn 2
esPnmn 2y, por lo tanto, el n´ucleo defn =pn pn 1 · · · p1esPnm, de modo
quePn/Pnm⇠=Q.
Cada Pn es unDn[G]-m´odulo, luego en particular es unDn-m´odulo y, m´as
en particular, un D-m´odulo. El hecho de que pn sea un homomorfismo de
Dn[G]-m´odulos implica en particular que es un homomorfismo de D-m´odulos,
luego podemos considerar elD-m´odulo
P = l´ım
n Pn.
Vamos a probar que es un D-m´odulo libre de rango finito. Como Pn es
4.3. Representaciones en cuerpos completos 129
tambi´en es un Dn-m´odulo proyectivo finitamente generado, y como Dn es un
anillo (noetheriano) local, esto implica quePnes unDn-m´odulo libre3(de rango
finito). Fijando una base dePnobtenemos un isomorfismoPn⇠=Dnr, y entonces
Pn 1⇠=Pn/Pnmn 1⇠= (Dn/Dnmn 1)r⇠=Dnr 1,
luego todos los m´odulos Pn tienen el mismo rango r como Dn-m´odulos. M´as
a´un, los isomorfismos precedentes muestran que pn : Pn !Pn 1 transforma
cadaDn-base dePn en unaDn 1-base dePn 1. M´as a´un, toda base dePn 1
puede refinarse hasta una base dePn. En efecto, siBn es una Dn-base de Pn
yBn 1 es su imagen en Pn 1, dada cualquier otra Dn 1-base B0 de Pn 1, la
matriz de cambio de base entreBn 1yB0 tiene determinante unitario enDn 1
(es decir, que no est´a en Dn 1m. Refinando la matriz hasta una matriz con
coeficientes en Dn, su determinante tampoco estar´a en Dnm, luego define un
cambio de base que transformaBn en unaDn-base dePn cuya imagen enPn 1
es la baseB0.
De este modo, si (v1
1, . . . , vr1) es unaD1-base deP1, podemos tomar unaD2-
base (v2
1, . . . , vr2) de P2 tal quep2(vi2) =vi1, y de este modo podemos construir
una sucesi´on (vn
1, . . . , vnr) de bases dePnque determina elementosv1, . . . , vr2P
que resultan ser unaD-base deP. En efecto, dadox2P, podemos expresar
xn=dn1v1n+· · ·+dnrvrn,
para ciertos dn
i 2 Dn un´ıvocamente determinados. Aplicando pn y teniendo
en cuenta la unicidad, vemos que las sucesiones {dn
i}n determinan elementos
di2D —y aqu´ı usamos el teorema anterior— tales quex=d1v1+· · ·+dnvn.
Esto prueba que v1, . . . , vn es un sistema generador de P, y similarmente se
prueba que es libre.
El hecho de que los homomorfismos pn sean homomorfismos de Dn[G]-
m´odulos se traduce en que podemos definir una representaci´on de Gsobre D
mediante (xn) = (xn ), para todox= (xn) 2P y todo 2G. Equivalen-
temente,P tiene una estructura natural de D[G]-m´odulo. Los homomorfismos
fn : Pn ! Q conmutan con los pn, por lo que definen un homomorfismo de
D[G]-m´odulosf : P ! Q. El hecho de que el n´ucleo de cada fn seaPnmse
traduce inmediatamente en que el n´ucleo def esPm, de modo queP/Pm⇠=Q
es un k[G]-m´odulo proyectivo. El teorema 4.13 implica entonces que P es un
D[G]-m´odulo proyectivo. (Notemos que el isomorfismo P/Pm ⇠= P ⌦D k es
consecuencia de que P es un D-m´odulo libre, como se observa justo antes del teorema 4.13.) As´ı pues,P es elD[G]-m´odulo buscado.
Para extraer consecuencias de este teorema conviene introducir un nuevo grupo de Grothendieck:
Definici´on 4.21 SiDes un anillo yGes un grupo finito, llamaremosPD(G) al
grupo de Grothendieck asociado a la categor´ıa de losD[G]-m´odulos proyectivos finitamente generados.
En realidad (bajo las hip´otesis de esta secci´on)PD(G) se identifica conPk(G)
a trav´es de la reducci´on m´odulom:
Teorema 4.22 El homomorfismoPD(G) !Pk(G) dado por[P]7![P⌦Dk]
es un isomorfismo de grupos.
Demostraci´on: En primer lugar observamos que si 0 !P0 !P !P00 !0
es una sucesi´on exacta deD[G]-m´odulos proyectivos finitamente generados, en- toncesP ⇠=P0 P00, luego
P⌦Dk⇠= (P0⌦Dk) (P00⌦Dk),
luego, enPk(G), tenemos que [P⌦Dk] = [P0⌦Dk] + [P00⌦Dk]. Por lo tanto,
la asignaci´on [P]7![P⌦Dk] induce ciertamente un homomorfismo de grupos.
Rec´ıprocamente, si tenemos una sucesi´on exacta 0 !Q0 !Q !Q00 !0
de k[G]-m´odulos proyectivos finitamente generados, ha de ser Q = Q0 Q00,
luego, siQ0 ⇠=P0⌦DkyQ00⇠=P00⌦Dk, entoncesQ⇠= (P0 P00)⌦Dk, luego la
correspondenciaQ⇠=P⌦Dk7![P] se extiende a un homomorfismo de grupos
Pk(G) ! PD(G) que cumple [P ⌦Dk] 7! [P], por lo que es claramente el
inverso del homomorfismo del enunciado.
Teorema 4.23 Si P y Qson dos D[G]-m´odulos proyectivos finitamente gene- rados, entoncesP ⇠=Qsi y s´olo si[P] = [Q] enPD(G).
Demostraci´on: Si [P] = [Q], entonces, aplicando el isomorfismo del teo- rema anterior, [P ⌦Dk]⇠= [Q⌦Dk] en Pk(G), luego P⌦Dk⇠=Q⌦Dk, por el
teorema 4.4, luegoP⇠=Q, por la unicidad del teorema 4.20.
En las condiciones precedentes, si P es un D[G]-m´odulo proyectivo finita- mente generado, entoncesP⌦DKes unK[G]-m´odulo finitamente generado con
el producto dado por (v⌦↵) = (v )⌦↵, y es claro que existe un ´unico homo- morfismo de gruposPD(G) !RK(G) determinado por que [P]7![P⌦DK].
Definici´on 4.24 Definimos el homomorfismo e : Pk(G) ! RK(G) como la
composici´on del isomorfismo Pk(G) ! PD(G) inverso del dado por el teo-
rema 4.22 con el homomorfismoPD(G) !RK(G) que acabamos de describir.
Expl´ıcitamente, e est´a determinado por que, para todo D[G]-m´odulo pro- yectivo finitamente generadoP, se cumple quee([P⌦Dk]) = [P⌦DK].
En total, tenemos definidos tres homomorfismos entre grupos de Grothen- dieck, que dan lugar a un tri´angulo conmutativo:
4.3. Representaciones en cuerpos completos 131
Teorema 4.25 El diagrama siguiente es conmutativo:
Pk(G) c // e $ $ I I I I I I I I I Rk(G) RK(G) d : : u u u u u u u u u
Demostraci´on: Basta comprobar que coinciden sobre un generador de
Pk(G) de la forma [P⌦Dk], dondeP es unD[G]-m´odulo proyectivo finitamente
generado. Tenemos quee([P⌦Dk]) = [P⌦DK]. Ahora observamos queP⌦1 es
un ret´ıculo estable enP⌦DKisomorfo aP comoD-m´odulo. Por consiguiente,
d(e([P⌦Dk])) = [P⌦Dk] =c([P⌦Dk]).
Otra propiedad relevante es que los homomorfismosdyeson adjuntos res- pecto de las formas bilineales
h, iK :RK(G)⇥RK(G) !Z, h, ik :Pk(G)⇥Rk(G) !Z
definidas en 3.47 y 4.6:
Teorema 4.26 Si x2Pk(G),y2RK(G), entonces
hx, d(y)ik =he(x), yiK.
Demostraci´on: Podemos tomar como x un generador de Pk(G), de la
forma x = [P ⌦Dk], donde P es un D[G]-m´odulo proyectivo, as´ı como que
y= [V], dondeV es unK[G]-m´odulo finitamente generado. Podemos tomar un ret´ıculo estableR enV, con lo queV ⇠=R⌦DK. Equivalentemente, podemos
suponer que y= [R⌦DK], donde Res unD[G]-m´odulo finitamente generado
que es libre comoD-m´odulo.
Tenemos entonces quee(x) = [P⌦DK],d(y) = [R⌦Dk], luego
hx, d(y)ik= dimkHomG(P⌦Dk, R⌦Dk),
hx, e(y)iK = dimKHomG(P⌦DK, R⌦DK).
Al ser proyectivo,P es unK[G]-subm´odulo de unK[G]-m´odulo libre (fini- tamente generado), que tambi´en ser´a unD-m´odulo libre finitamente generado. ComoDes un dominio de ideales principales,P es unD-m´odulo libre de rango finito. Es claro entonces que HomD(P, R) es tambi´en un D-m´odulo libre de
rango finito, luego lo mismo vale para el D-subm´odulo HomG(P, R). Llame-
mos ra su rango. Ahora basta observar que, seg´un el teorema 1.53, tenemos isomorfismos can´onicos
HomG(P, R)⌦DK⇠= HomG(P⌦DK, R⌦DK),
HomG(P, R)⌦Dk⇠= HomG(P⌦Dk, R⌦Dk).
En las condiciones del teorema anterior, si K es un cuerpo suficientemente grande para G (y, por consiguiente, k tambi´en) tenemos que la matriz de la forma bilinealh, iK respecto de la baseSK(G) es la identidad, al igual que la
matriz de la forma bilineal h, ik respecto de las bases Ik(G), Sk(G) (por las
observaciones posteriores al teorema 4.6). Por consiguiente, si llamamosDyEa las matrices de los homomorfismosdyerespecto de las bases correspondientes, el teorema anterior implica queE=Dt.
As´ı, si C es la matriz del homomorfismo de Cartan c : Pk(G) ! Rk(G)
respecto de las bases Ik(G), Sk(G), tenemos queC =DtD, lo que implica en
particular queC es sim´etrica. Esto es un caso particular del teorema 4.10. Cuando la caracter´ıstica del cuerpo de restos no divide al orden del grupo, la situaci´on es trivial:
Teorema 4.27 Sea K un cuerpo m´etrico discreto completo de caracter´ıstica0
cuyo cuerpo de restos k tenga caracter´ıstica prima p, y sea G un grupo finito
cuyo orden no sea divisible entre p. Entonces los homomorfismos c, d, e son
isomorfismos.
Demostraci´on: Comok[G] es semisimple, es claro quePk(G) =Rk(G) y
que el homomorfismoc es la identidad. Como e d=c= 1, tenemos que ees inyectivo y dsuprayectivo. Esto implica a su vez que RK(G) es un Z-m´odulo
libre del mismo rango queRk(G).
Observemos que six2Rk(G) cumpled(e(x)) = 0, entonces, por el teorema
anterior,
he(x), e(x)iK=hx,0ik= 0,
y esto implica quee(x) = 0. Con esto hemos probado que Ime\Nd= 0, y la inclusi´on Ime Nd⇢RK(G) obliga entonces a que el n´ucleo dedsea nulo, ya
que el rango de Imees igual al deRK(G). Por consiguiente,des un isomorfismo
yees su inverso.
Si G es un grupo finito y pes un primo que no divida a su orden, ahora podemos concluir que la teor´ıa de representaciones lineales deGsobre cuerpos de caracter´ısticapes equivalente a la teor´ıa de representaciones lineales deGsobre cuerpos de caracter´ıstica 0. Esto se debe a que todo cuerpo de caracter´ıstica primakes isomorfo4al cuerpo de restos de un cuerpo m´etrico discreto completo
de caracter´ıstica 0, y el teorema anterior nos da los isomorfismos
d:RK(G) !Rk(G), e:Rk(G) !RK(G).
Teniendo en cuenta adem´as que las ´algebras k[G] y K[G] son semisimples, esto significa que las representaciones lineales de G sobre K se corresponden biun´ıvocamente de forma natural con las representaciones lineales deGsobrek. El caso es m´as sencillo si nos restringimos a cuerpos de escisi´on, pues entonces las representaciones deGsobre cualquier cuerpo de escisi´on de caracter´ıstica 0 se
4V´ease el teorema 2.15 de mi libro deSuperficies algebraicas,que proporciona un anillo de
valoraci´on discreta de caracter´ıstica 0 con cuerpo de restosk. Basta tomar la compleci´onK de su cuerpo de cocientes.