Los grupos de ramificaci´onGisonp-grupos, luego el teorema 4.27 nos da que
los homomorfismosc,d,eparaGi yK0 son isomorfismos. M´as concretamente,
tenemos que c puede identificarse con la identidad en Rk0(Gi) y d y e son
isomorfismos mutuamente inversos. Esto implica que existe unD0[Gi]-m´odulo
proyectivo finitamente generadoPi tal quePi⌦D0K0 determina el car´acterui.
El D0[G]-m´oduloQi=Pi⌦
D0[Gi]D0[G] tambi´en es proyectivo y
(Pi⌦D0[Gi]D0[G])⌦D0K0⇠=Pi⌦D0[Gi]K0[G]⇠=Pi⌦D0[Gi]K0[Gi]⌦K0[Gi]K0[G] (Pi⌦D0[Gi]⌦D0[Gi]⌦D0K0)⌦K0[Gi]K0[G]⇠= (Pi⌦D0K0)⌦K0[Gi]K0[G], luegoQi⌦D0K0determina el car´acteruGi . Si llamamosV a la suma directa de losD0[G]-m´odulosQi repetidosgi veces cada uno, tenemos queV es unD0[G]-
m´odulo proyectivo que cumplex= [V ⌦D0K0], tal y como exige el apartado b) del teorema 4.42.
Observemos que si la extensi´onL/K tiene ramificaci´on dominada, entonces
sL/K no es un car´acter, sino la funci´on nula y, por consiguiente,SL/Kl = 0.
A.4
El invariante de Swan
Como en las secciones precedentes, sea K un cuerpo m´etrico discreto com- pleto de caracter´ıstica 0 con cuerpo de restos k perfecto y de caracter´ıstica prima p, sea L/K una extensi´on finita de Galois con grupo de GaloisGy sea
l un n´umero primo distinto de p. Llamaremos F = Z/lZ, al que podemos identificar con el cuerpo de restos del cuerpoQlde los n´umerosl-´adicos.
Definici´on A.17 Para cada F[G]-m´odulo finitamente generadoM, definimos
elinvariante de SwandeM como el n´umero natural
(K, M) =h[SlL/K],[M]iF = dimFHomF[G](S l L/K, M) = rangZlHomZl[G](SL/Kl , M), dondeSlL/K =Sl L/K⌦ZlFes la reducci´on deS l
L/K-m´odulol. La ´ultima igualdad
se sigue del teorema 1.53, teniendo en cuenta queM⌦ZlF ⇠=M/lM=My que HomZl[G](SL/Kl , M) es unZl-m´odulo libre (v´ease la prueba del teorema 4.26).
La notaci´on (K, M) requiere cierta justificaci´on. En lugar de partir de un F[G]-m´odulo M, podr´ıamos haber considerado un F-espacio vectorial de dimensi´on finitaM junto con un homomorfismo
⇢:G(K/K) !Aut(M),
(dondeK es la clausura algebraica de K) cuyo n´ucleo contenga un subgrupo7
de la formaG(K/L), para cierta extensi´on finita de GaloisL/K. En tal caso,
7Esta condici´on equivale a que⇢sea una aplicaci´on continua, considerando enG(K/K) la
⇢ induce una representaci´on lineal ⇢L : G(L/K) ! Aut(M) que, a su vez,
induce enM una estructura deF[G]-m´odulo. Es claro que todo F[G]-m´odulo puede obtenerse de esta forma. Sucede entonces que (K, M) depende de ⇢, pero no de la elecci´on deL. Si consideramos a M como F[G]-m´odulo (donde
G=G(K/K) yF[G] se define igual que cuandoGes finito), podemos decir que (K, M) depende ´unicamente deKy deM. (La dependencia delest´a impl´ıcita la dependencia deM, pues —salvo queM sea nulo— es claro queles el ´unico primo que cumplelM = 0.)
Teorema A.18 Consideremos unF-espacio vectorialM de dimensi´on finita y
sea⇢:G(K/K) !Aut(M)un homomorfismo de grupos cuyo n´ucleo contenga
un subgrupo de la forma G(K/L), para cierta extensi´on finita de Galois L/K. Entonces, el valor de (K, M) correspondiente a la estructura de F[G]-m´odulo deM (donde G=G(L/K)), es independiente de la elecci´on deL.
Demostraci´on: Basta probar que si K ⇢ L ⇢ L0, donde las exten-
siones L/K y L0/K son finitas de Galois, con grupos de Galois respectivos G= G(L/K), G0 = G(L0/K), N =G(L0/L) (de modo que G =G0/N) yM
es unF[G]-m´odulo, considerado comoF[G0]-m´odulo de forma natural, entonces
(K, M) es el mismo calculado conGo conG0.
Para ello partimos del teorema A.9, seg´un el cual aL/K =aG
L0/K. Por otra parte, sL/K =aL/K rGG0+ 1 G G0, sL0/K =aL0/K r G0 G0 0+ 1 G0 G0 0,
Ahora bien, seg´un [CC 10.19], el epimorfismo G0 ! G se restringe a un
epimorfismoG0
0 !G0, y es claro que, para todo car´acter deG00 se cumple
que ( G0
)G = ( G0)G. En efecto, siV es un F[G0
0]-m´odulo con car´acter , se
cumple que V ⌦F[G0 0]F[G 0]⌦ F[G0]F[G] =V ⌦F[G0 0]F[G] =V ⌦F[G00]F[G0]⌦F[G0]F[G]
Por otra parte, de la f´ormula 2.51 se sigue inmediatamente querG0
G0 0 =rG0 y que 1G0 G0 0= 1G0, luego sGL0/K =aGL0/K rGG0+ 1 G G0 =sL/K.
De aqu´ı se desprende a su vez que el Zl[G]-m´odulo proyectivo
S=SL0/K⌦Zl[G0]Zl[G]
cumple queS⌦ZlQl genera el car´actersL/K, luego, por la unicidad, ha de ser
SL/K =SL0/K⌦Zl[G0]Zl[G]. El teorema 1.54 nos da el isomorfismo deZl-m´odulos
HomZl[G0](SL0/K, M)⇠= HomZl[G](SL/K, M), luego ambos miembros tienen el mismo rango.
A.4. El invariante de Swan 171
El hecho de que (K, M) dependa en realidad de la clase deM en RF(G)
hace que (K, M) sea aditivo enM, en el sentido de que si 0 !M0 !M !M00 !0
es una sucesi´on exacta deF[G]-m´odulos finitamente generados, se cumple que (K, M) = (K, M0) + (K, M00).
Teorema A.19 En las condiciones anteriores, siGies el grupo de ramificaci´on
i-´esimo de G, gi es su orden y MGi es el subm´odulo de M fijado por Gi, se
cumple que (K, M) = 1 X i=1 gi g0dimF(M/M Gi)
Demostraci´on: Como Gi es un p-grupo, los homomorfismos c, d, e son
isomorfismos para Gi y el cuerpo Ql. Por consiguiente, podemos tomar un
Zl[Gi]-m´odulo proyectivo Pi de manera que Pi ⌦Zl Ql determine el car´acter
ui =rGi 1Gi sobreQly entoncesPi⌦ZlF determina el mismo car´acter sobre el cuerpoF(porqued([Pi⌦ZlQl]) = [Pi⌦ZlF]). Sabemos que (Pi⌦Z[Gi]Z[G])⌦ZlQl determina el car´acteruG
i , luego
g0SL/Kl =L1
i=1
(Pi⌦Zl[Gi]Zl[G])
gi,
pues ambos miembros son proyectivos y determinan el car´acter gsL/K. Los
teoremas 1.54 y 1.53 nos dan que
g0 (K, M) =P1 i=1 girangZlHomZl[G](Pi⌦Zl[Gi]Zl[G], M) =P1 i=1 girangZlHomZl[Gi](Pi, M) = 1 P i=1 gidimFHomF[Gi](Pi⌦ZlF, M). Si es el car´acter de M comoF[Gi]-m´odulo, el teorema 3.57 implica que
dimFHomF[Gi](Pi⌦ZlF, M) =hui, iF =hrGi, iF h1Gi, iF
= dimFM dimFMGi = dimF(M/MGi).
Es frecuente encontrar la f´ormula anterior como definici´on de (K, M), pero entonces no es evidente que sea un n´umero natural. Ahora es inmediato que (K, M) = 0 si y s´olo siG1 act´ua trivialmente sobreM o, equivalentemente, si
Ap´endice B
Los caracteres de
A
5
En este ap´endice construimos las tablas de caracteres (ordinarios y modula- res, sobre cuerpos de escisi´on) del grupo alternado A5, que es el menor grupo
simple no abeliano.
B.1
Un criterio de irreducibilidad
Para obtener los caracteres modulares deA5no podemos contar con el teo- rema de Fong-Swan, lo cual se traduce en que, al restringir los caracteres ordi- narios a caracteres modulares, no tenemos la garant´ıa ni de que los caracteres obtenidos sean irreducibles, ni de que entre ellos se encuentren todos los carac- teres irreducibles. Por ello, en esta primera secci´on demostramos una condici´on suficiente de irreducibilidad que nos bastar´a para nuestro objetivo.
Teorema B.1 Sea K un cuerpo local suficientemente grande para un grupo finito G, sea V un K[G]-m´odulo simple cuya dimensi´on sobre K sea divisible entre la mayor potencia dep que divide a|G|. Sea R ⇢V un ret´ıculo estable
y sea P = R⌦D k. Entonces R es un D[G]-m´odulo proyectivo y P es un
k[G]-m´odulo proyectivo simple.
Demostraci´on: SeanV1, . . . , Vh representantes de las clases de isomorf´ıa
deK[G]-m´odulos simples. El teorema de Wedderburn 3.16 nos da la descom- posici´on
K[G]⇠=A1 · · · Ah⇠= EndK(V1) · · · EndK(Vh),
donde el isomorfismo de anillosAi⇠= EndK(Vi) es el que a cadax2Aile asigna
la multiplicaci´on porxenVi. (Aqu´ı hemos usado queKes un cuerpo de escisi´on
para G, por lo que EndK[G](Vi) ⇠=K.) Si descomponemos 1 =e1+· · ·+eh,
entoncesei es la unidad deAi, y el teorema 3.55 nos da la expresi´on
ei= i (1) |G| P 2G i ( 1) . 173
Observemos queei es el elemento deAi tal que la multiplicaci´on porei en
Vies la identidad. M´as en general, dado⌧2G, tenemos que⌧=ei⌧+ (1 ei)⌧,
de modo que ei⌧ es el elemento de Ai tal que la multiplicaci´on por ei⌧ en Vi
coincide con la multiplicaci´on por⌧. Expl´ıcitamente:
ei⌧= i(1)
|G|
P
2G i
(⌧ 1) .
Y a´un m´as en general: si 2EndK(Vi), el elementou 2Ai tal que es la
multiplicaci´on poru enVi es u = i(1) |G| P 2G Tr( ⇢i( 1)) ,
donde⇢i( 1) es la multiplicaci´on por 1enVi. En efecto, como la expresi´on
deu esK-lineal en y EndK(Vi) est´a generado por los automorfismos⇢i(⌧),
con⌧ 2G, basta probarlo cuando =⇢i(⌧), pero u⇢i(⌧) =ei⌧, y la expresi´on deu coincide con la que ya hab´ıamos calculado para ei⌧.
Pongamos que V = V1. Cada 2 EndD(R) induce por linealidad un K-
endomorfismo de V. Su matriz en una base de R tiene coeficientes en D, al igual que la matriz de ⇢i( 1) (en este caso porqueR es un ret´ıculo estable),
luego Tr( ⇢i( 1))2D. Como 1(1) = dimKV, la hip´otesis del teorema nos
da que 1(1)/|G|2D, luego llegamos a queu 2D[G].
Esto significa que el isomorfismoA1⇠= EndK(V1) se restringe a un isomor-
fismoA1\D[G]⇠= EndD(R). Notemos que, en particular, hemos probado que
e12D[G], luegoA1\D[G] =e1D[G]. Por otra parte,
D[G] =e1D[G] (1 e1)D[G].
Vemos as´ı que la representaci´on⇢:D[G] !EndD(R) es suprayectiva y que
EndD(R)⇠=e1D[G] es unD[G]-m´odulo proyectivo. Por otra parte, cada endo-
morfismo deRest´a determinado por la imagen de una base, luego, si rangR=n, tenemos que EndD(R)⇠=Rn, lo que prueba queRes proyectivo como EndD(R)-
m´odulo, luego tambi´en comoD[G]-m´odulo. El teorema 4.13 implica entonces queP es unk[G]-m´odulo proyectivo. Falta probar que es simple.
Para ello usamos el teorema 1.53, seg´un el cual Endk(P)⇠= EndD(R)⌦Rk,
por lo que la representaci´on ¯⇢:k[G] !Endk(P) es suprayectiva. Esto significa
que, dadosu,v2P no nulos, existe unx2k[G] tal queu=vx, por lo que P
no puede tenerk[G]-subm´odulos propios.
En particular, la reducci´on m´odulo p de un car´acter ordinario cuyo grado sea divisible entre la mayor potencia de p que divide al orden del grupo es un car´acter modular irreducible (que adem´as corresponde a una representaci´on proyectiva).1
1El lector puede comprobar este hecho en el caso de los caracteres m´odulo 3 del grupo⌃ 4,