Observemos que, con la teor´ıa desarrollada hasta ahora, no podemos respon- der a una pregunta tan elemental como cu´antas representaciones irreducibles tiene un grupo finitoG sobre un cuerpo de escisi´onk cuando la caracter´ıstica
4.7. Caracteres modulares 151
de k divide al orden de G. En esta secci´on desarrollaremos una teor´ıa de ca- racteres mejor adaptada al caso modular que la teor´ıa de caracteres ordinarios. Entre otras cosas, con ella podremos responder a la pregunta que acabamos de formular. Por simplicidad trabajaremos con cuerpos suficientemente grandes para G (aunque los resultados se generalizan f´acilmente a cuerpos de escisi´on arbitrarios).
En principio, sabemos que las representaciones irreducibles de Gse corres- ponden biun´ıvocamente con los caracteres irreducibles de G sobre k, que son funciones de clase linealmente independientes, luego su n´umero es a lo sumo igual al n´umero de clases de conjugaci´on de G. Cuando cark- |G|(y k es un cuerpo de escisi´on) se da la igualdad, pero vamos a ver que no sucede lo mismo cuando cark divide a |G|. La raz´on es el teorema 3.52, seg´un el cual, en la tabla de caracteres (irreducibles) deGsobre k, cada columna correspondiente a una clase de elementosp-singulares (de orden m´ultiplo dep) es igual a otra columna correspondiente a una clase de elementosp-regulares (de orden primo con p). Sabemos que la tabla tiene filas linealmente independientes sobre k, luego, si eliminamos las columnas correspondientes a las clases p-singulares, la tabla seguir´a teniendo filas linealmente independientes.
Definici´on 4.47 Si G es un grupo finito y k es un cuerpo de caracter´ıstica primap, llamaremosGral conjunto de elementosp-regulares deGyFk(Gr) al
k-espacio vectorial de todas las funciones de clasesf :Gr !k.
En estos t´erminos, acabamos de probar que si 1, . . . , h son los caracteres
irreducibles deGsobrek, entonces, las restricciones i|Gr son linealmente inde- pendientes enFk(Gr), luego el n´umerohes a lo sumo igual al n´umero de clases
de conjugaci´onp-regulares. Veremos que, sikes un cuerpo de escisi´on paraG, se da la igualdad.
Para ello retomamos la situaci´on de la secci´on precedente: en lo sucesivo,G
ser´a un grupo finito,Kun cuerpo local con anillo de enterosDy cuerpo de restos
k de caracter´ıstica p, y ahora supondremos adem´as que K es suficientemente grande paraG. Llamaremosm0 al m´ınimo com´un m´ultiplo de los ´ordenes de los elementos deGr. Por hip´otesis,K(y, m´as concretamente,D) contiene al grupo
Um0(K) de las ra´ıces m0-´esimas de la unidad, de tal modo que el polinomio
Xm0
1 factoriza enD[X] en la forma
Xm0 1 = (X !1)· · ·(X !m0).
Tomando clases m´odulo el ideal maximal m deD obtenemos una descom- posici´on an´aloga enk[X], luego concluimos que las clases [!i]2kson todas las
ra´ıces enk del polinomioXm0 1. Comopno divide am0, estas ra´ıces han de
ser distintas dos a dos, luego vemos quekcontiene al grupoUm0(k) de las ra´ıces
m0-´esimas de la unidad y que la reducci´on m´odulo m induce una aplicaci´on
suprayectiva (luego biyectiva) Um0(K) ! Um0(k). Para cada 2 Um0(k), llamaremos ˜2Um0(K) a su ´unica antiimagen.
Consideremos ahora un k[G]-m´odulo finitamente generadoV y sea 2Gr.
Comop-|H|, es semisimple y, comoH es abeliano ykes un cuerpo de escisi´on paraH, resulta que todas las representaciones irreducibles deH sobrektienen grado 1. Por consiguiente, podemos descomponer
V =V1 · · · Vn
en suma directa de k[H]-subm´odulos Vi = hvii de dimensi´on 1 sobre k. As´ı
pues, vi = ivi para ciertos i 2 k. La base v1, . . . , vn de V determina una
representaci´on matricial⇢:G !LG(n, k) tal que⇢( ) es una matriz diagonal. Como m0 = 1, tambi´en⇢( )m0 =I
n, lo que se traduce en que los elementos de
la diagonal de⇢( ) (es decir, los escalares i) est´an enUm0(k).
Es claro que los valores i son los vectores propios de ⇢( ), es decir, las
ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de⇢( ), y cada uno aparece repetido tantas veces como indica su multiplicidad como ra´ız. Por lo tanto, no dependen de la elecci´on de la base con la que hemos calculado la representaci´on⇢.
Definici´on 4.48 En las condiciones anteriores, si V es un k[G]-m´odulo fi- nitamente generado, su car´acter modular o car´acter de Brauer es la funci´on
V :Gr !Dque a cada 2Grle asigna el valor V( ) =
n P i=1
˜i,
donde 1, . . . , n 2 Um0(k) son los valores propios del endomorfismo inducido por enV (repetidos seg´un su multiplicidad en el polinomio caracter´ıstico).
Si V :G ! kes el car´acter ordinario de V, su relaci´on con V consiste
en que V|Gr es la composici´on de V con el epimorfismo can´onico D !k. M´as a´un, si 2 G se descompone como = ⇡ 0 como en el teorema 3.52,
tenemos que V( ) = [ V( 0)]2k, por lo que el car´acter modular V determina
completamente el car´acter ordinario V.
Veamos algunas propiedades elementales: a) V(1) = dimkV.
b) V es una funci´on de clases enGr, en el sentido de que si 2Gry⌧2G,
entonces V( ⌧) = V( ).
Esto se debe a que ⌧ y determinan endomorfismos conjugados enV,
y dos endomorfismos conjugados tienen matrices semejantes, luego tienen el mismo polinomio caracter´ıstico.
c) Si 0 !V0 !V !V00 !0es una sucesi´on exacta de k[G]-m´odulos
finitamente generados, entonces V = V0+ V00.
En efecto, dado 2Gr, no perdemos generalidad suponiendo queG=h i,
pero entoncesk[G] es semisimple, luegoV =V0 V00. Formando una base
de vectores propios para enV como uni´on de bases correspondientes para
4.7. Caracteres modulares 153
d) Dados dos k[G]-m´odulos finitamente generados V y V0, se cumple que
V⌦kV0 = V V0.
Dado 2Gr, basta tener en cuenta que el producto tensorial de una base
de vectores propios para en V por otra en V0 es una base de vectores
propios para enV ⌦kV0.
e) Sea W un K[G]-m´odulo finitamente generado de car´acter , sea R⇢W
un ret´ıculo estable y V =R⌦Dk. Entonces V = |Gr.
Dado 2Gr, no perdemos generalidad si suponemos queG=h i. Seg´un
el teorema 4.15, los factores de composici´on deV son independientes del ret´ıculoR que elijamos enW y, por la propiedad c), el car´acter V es la
suma de los caracteres modulares de dichos factores de composici´on. Por lo tanto, podemos elegirR sin alterar V. Dado 2Gr, tomamos como
R el ret´ıculo generado por una base de vectores propios para , con lo queV tiene una base de vectores propios para cuyos valores propios son las reducciones de los valores propios de la base de R. La conclusi´on es inmediata.
La forma bilineal definida en 4.6 puede expresarse en t´erminos de los carac- teres modulares:
Teorema 4.49 Si P y V son k[G]-m´odulos finitamente generados con P es
proyectivo y P, V son sus caracteres modulares respectivos, entonces
h[P],[V]ik = 1 |G| P 2Gr P( 1) V( ).
Demostraci´on: Por definici´on, h[P],[V]ik = dimkHomG(P, V). Seg´un
hemos visto en la secci´on 1.4, el espacioH = Homk(P, V) tiene una estructura
natural de k[G]-m´odulo respecto a la cual HomG(P, V) = HG. Seg´un 1.62,
tenemos que H ⇠=P⇤⌦
kV, y los teoremas 1.58 y 1.64 implican que H es un
k[G]-m´odulo proyectivo. El teorema 4.20 nos da unD[G]-m´odulo proyectivoH0
tal queH ⇠=H0⌦Dk. LlamemosH1=H0⌦DK y vamos a probar que
dimKH1G= rangH0G= dimkHG.
Para probar las dos igualdades simult´aneamente probaremos que, siD !E
es un homomorfismo de anillos, entonces
H0G⌦DE⇠= (H0⌦DE)G.
M´as concretamente, el homomorfismo naturalHG
0 ⌦DE !(H0⌦DE)G es un
isomorfismo. SeaH0 H0 =L, dondeKes unD[G]-m´odulo libre. Claramente,
LG=HG
0 H0G y tenemos un diagrama conmutativo
(HG 0 ⌦DE) (H0G⌦DE) // ✏ ✏ LG⌦ DE ✏ ✏ (H0⌦DE)G (H0⌦DE)G //(L⌦DE)G
luego basta probar el resultado para unD[G]-m´odulo libreL⇠=D[G]n, pero es
claro entonces que basta probarlo paraD[G]. En suma, hay que probar que el homomorfismo can´onicoD[G]G⌦
DE !E[G]Ges un isomorfismo, pero esto es
obvio, puesD[G]Ges elD-subm´odulo generado porT = P
2G
, y an´alogamente conE[G]G.
Retomando el argumento, ahora tenemos que
h[P],[V]ik= dimKH1G=h1K, iK = 1 |G| P 2G ( ),
donde es el car´acter delK[G]-m´oduloH1. Por el teorema 4.40 sabemos que
se anula fuera de Gr y, restringido a Gr es el car´acter modular del k[G]-
m´oduloH, por la propiedad e) anterior. La propiedad d) nos da que |Gr =
P⇤ V. El teorema 1.65 afirma que los caracteres ordinarios P⇤y P cumplen la relaci´on P⇤( ) = P( 1), de donde se deduce inmediatamente que P⇤ y
P cumplen lo mismo. En definitiva, |Gr( ) = P( 1) V( ), y obtenemos la f´ormula del enunciado.
Definici´on 4.50 LlamamosFK(Gr) a laK-´algebra de las funciones de clase en
Grcon valores enKyR0K(Gr) al subgrupo abeliano generado por los caracteres
modulares deG, que es un subanillo por la propiedad d) precedente.
La propiedad c) nos permite definir un epimorfismoRk(G) !R0K(Gr) que
asigna uncar´acter modular virtual x a cadax2Rk(G). La propiedad e) nos
da el diagrama conmutativo RK(G) ✏ ✏ d // Rk(G) ✏ ✏ R0 K(G) //R0K(Gr)
donde la flecha horizontal inferior es la restricci´on deGaGr.
Teorema 4.51 El homomorfismo Rk(G) ! R0K(Gr) es un isomorfismo de
anillos que se extiende a un isomorfismo deK-´algebrasK⌦ZRk(G) !FK(Gr).
Demostraci´on: Sea Sk(G) = {[V1], . . . ,[Vh]} y vamos a probar que los
caracteres modulares 1, . . . , h son distintos dos a dos y linealmente indepen-
dientes enFK(Gr). En caso contrario tendr´ıamos una combinaci´on lineal
↵1 1+· · ·+↵h h= 0,
donde↵i2Kno son todos nulos. Multiplic´andolos por una potencia adecuada
de un primo deD, podemos suponer que todos ellos est´an enD y que al menos uno es una unidad. Componiendo con el epimorfismo can´onicoD !kobtene- mos que ¯↵1 1|Gr+· · ·+ ¯↵h h|Gr = 0, donde ies el car´acter ordinario deVi, y tenemos que alg´un ¯↵i6= 0. Esto contradice la observaci´on tras la definici´on 4.47.
4.7. Caracteres modulares 155
En particular, los caracteres modulares son linealmente independientes sobre Z, luego son una base deR0
K(Gr) y tenemos el primer isomorfismo del enunciado.
Ahora vamos a probar que los caracteres modulares generanFK(Gr). Para ello,
tomamos una funci´on de clases arbitrariaf 2 FK(Gr) y la extendemos con el
valor 0 fuera deGr, lo que la convierte en una funci´on de clases ¯f 2FK(G).
ComoKes un cuerpo de escisi´on deG, los caracteres irreducibles 1, . . . , n
deGsobre Kforman una base de FK(G), luego podemos expresar
¯
f =↵1 1+· · ·+↵n n,
con↵i2K. Restringiendo aGresta expresi´on obtenemos que
f =↵1 1|Gr+· · ·+↵n n|Gr,
donde cada i|Gr est´a enR0K(Gr), luego es combinaci´on lineal de los caracteres
modulares i, luegof tambi´en lo es. Esto prueba que los caracteres modulares i son una K-base de RK(Gr), lo que equivale al segundo isomorfismo del
enunciado.
En particular, vemos que el n´umero de representaciones irreducibles de G
sobrekes igual al n´umero de clases de conjugaci´onp-regulares deG.
Llamemos h al n´umero de clases de conjugaci´on de G y hp al n´umero de
clases de conjugaci´onp-regulares. El monomorfismoe:Pk(G) !RK(G) in-
duce un monomorfismoK⌦ZPk(G) !K⌦ZRK(G)⇠=FK(G). Sabemos que
Pk(G) tiene rangohp, luego la imagen deK⌦ZPk(G) tiene dimensi´onhpsobre
K. Seg´un el teorema 4.40, dicha imagen est´a contenida en el subespacio de las funciones deFK(G) que se anulan fuera deGr, pero dicho subespacio se identi-
fica de forma natural conFK(Gr), luego tiene dimensi´onhp. Por consiguiente,
podemos identificarK⌦ZPk(G) conFK(Gr).
Acabamos de ver que, mediante las identificacionesK⌦ZPk(G)⇠=FK(Gr) y
K⌦ZRK(G)⇠=FK(G), el monomorfismo 1⌦ese corresponde con la inclusi´on,
si convenimos a su vez en identificarFK(Gr) con las funciones de clases que se
anulan fuera deGr.
Por otra parte, el diagrama conmutativo previo a 4.51 implica que, a trav´es de la identificaci´onK⌦ZRk(G)⇠=FK(Gr) dada por dicho teorema, el epimor-
fismo 1⌦dse corresponde con la restricci´on FK(G) !FK(Gr). As´ı pues, el
tri´angulo formado por los homomorfismosc,d,ese convierte, al multiplicar por
K⌦Z, en el tri´angulo FK(Gr) 1⌦ c / / 1⌦e % % J J J J J J J J J FK(Gr) FK(G) 1⌦d 9 9 t t t t t t t t t
donde 1⌦cresulta ser la identidad (la composici´on de la inclusi´on con la res- tricci´on). Ahora bien, debemos tener presente que, a trav´es de la identificaci´on
base de los caracteres modulares V1, . . . , Vhp de losk[G]-m´odulos irreducibles
V1, . . . , Vhp, mientras que, a trav´es de la identificaci´onK⌦ZPk(G)⇠=FK(Gr), la base can´onica 1⌦Ik(G) se corresponde con la formada por los caracteres
modulares V1, . . . , Vhp de las envolturas proyectivas de los m´odulosVi. En efecto, podemos expresarPVi=PV0i⌦Dk, dondeP
0
Vies unD[G]-m´odulo proyectivo finitamente generado. As´ı, 1⌦[PVi] se identifica con su imagen por 1⌦e, que es 1⌦[P0
Vi⌦DK], la cual se identifica a su vez con el car´acter ordinario deP0
Vi⌦DK(que se anula fuera deGrpor 4.40), el cual coincide con el car´acter modular dePVi por la propiedad e) tras la definici´on 4.48.
Por consiguiente, la matriz de Cartan C y la matriz de descomposici´on D
est´an relacionadas con los caracteres del modo siguiente:
V = P [V0]2Sk(G) cV V0 V0 para todo [V]2Sk(G), W = P [V]2Sk(G) dW V V para todo [W]2SK(G), V = P [W]2SK(G) dW V W para todo [V]2Sk(G).
La ´ultima relaci´on corresponder´ıa a la matriz E, que es la traspuesta deD.
4.8
Ejemplo: los caracteres de
⌃
4Como ilustraci´on de la teor´ıa que hemos desarrollado, calcularemos los ca- racteres irreducibles (ordinarios y modulares) del grupo de permutaciones⌃4. Caracteres ordinarios de ⌃4 La tabla de caracteres de⌃4 es la siguiente:
1 (a, b) (ab)(cd) (abc) (abcd) 1 6 3 8 6 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 2 0 2 1 0 4 3 1 1 0 1 5 3 1 1 0 1
Hemos indicado el cardinal de cada clase de conjugaci´on para facilitar el c´alculo de la forma bilineal. La tabla puede calcularse como sigue:
a) El car´acter 1 es el car´acter trivial.
b) El car´acter 2 es el homomorfismo dado por la signatura, que toma el
valor 1 sobre las permutaciones pares y 1 sobre las impares.
c) Consideramos la acci´on⇢:G !Aut(C4) que permuta los vectores de la