El car´ acter de Artin

De aqu´ı en adelante L/K ser´a una extensi´on finita de Galois, llamaremos

G=G(L/K) a su grupo de Galois yGi=Gi(L/K) a sus grupos de ramificaci´on.

Representaremos porgygi sus ´ordenes respectivos.

La funci´oniL/K :G ! N[{1}que acabamos de definir es una funci´on

de clases enGexcepto por el hecho de que no est´a definida en = 1. Vamos a corregir esto:

Definici´on A.2 Lafunci´on de ArtinaL/K :G(L/K) !Zes la funci´on dada

por

aL/K( ) = f iL/K( ) si 6= 1, aL/K(1) =f P

6=1

iL/K( ),

dondef es el grado de inercia de la extensi´onL/K.

Es claro que aL/K es una funci´on de clases en G(L/K). Hemos definido

aL/K(1) para que se cumpla que P

2G

aL/K( ) = 0,

es decir, que6 _(a

L/K,1) = 0.

El valor aL/K(1) tiene una interpretaci´on aritm´etica. Para obtenerla obser-

vamos queiL/K toma el valorisobre los elementos deGi 1\Gi, luego, sigt= 1,

tenemos que P 6=1 iL/K( ) = (g0 g1) + 2(g1 g2) + 3(g2 g3) +· · ·+t(gt 1 1) =g0+g1+· · ·+gt 1 t= 1 P i=0 (gi 1). 6_{De este modo, si una funci´on de clases coincide cona}

L/K salvo quiz´a para = 1 y

A.2. El car´acter de Artin 163

El teorema [CC 10.11] nos da inmediatamente el resultado siguiente:

Teorema A.3 SiDL/K es el diferente de la extensi´on L/K, entonces

aL/K(1) =f vL(DL/K).

De la propia definici´on de la funci´on de Artin se sigue que,a_L/K = 0 si y s´olo si la extensi´onL/K es no ramificada. El prop´osito de esta secci´on es demostrar el teorema siguiente:

Teorema A.4 SiL/K es ramificada, la funci´onaL/K es un car´acter del grupo

de GaloisG(L/K).

Como aL/K es una funci´on de clases, el teorema 2.17 nos da que es combi-

naci´on lineal de los caracteres irreducibles deG, y el coeficiente de cada car´acter es (aL/K, ). Teniendo en cuenta queaL/K 6= 0, basta probar que estos coe-

ficientes son n´umeros naturales. Observamos que (aL/K, ) = 1 g P 2G aL/K( ) ( 1) = 1 g P 2G ( )aL/K( 1) =1 g P 2G ( )aL/K( ) = ( , aL/K),

donde hemos usado queaL/K( 1) =aL/K( ) =aL/K( ).

Para cada funci´on de clases deG, definimos

f( ) = ( , aL/K).

El teorema A.4 quedar´a probado si demostramos que f( ) es un n´umero natural para todo car´acter deG.

Para cadai 0, llamamosrGi al car´acter regular del grupo de ramificaci´on

i-´esimo Gi. Sabemos que en la descomposici´on de rGi en suma de caracteres irreducibles aparece cada car´acter irreducible con multiplicidad igual a su grado. Por consiguiente, ui =rGi 1Gi es tambi´en un car´acter de Gi, salvo que sea

Gi= 1, en cuyo casoui= 0. Esto sucede para todoisuficientemente grande.

Teorema A.5 En las condiciones anteriores, se cumple que

aL/K = 1 X i=0 gi g0 uG_i .

Demostraci´on: Tenemos que

uG_i ( ) = 1

gi P

⌧2G

Teniendo en cuenta que Gi es un subgrupo normal enGy queui( ) = 1

para todo 6= 1, es claro que

uG_i ( ) = 8 < : g(gi 1) gi si = 1 g/gi si 2Gi\ {1}, 0 si 2G\Gi. Por lo tanto, gi g0u G i ( ) = 8 < : f(gi 1) si = 1 f si 2Gi\ {1}, 0 si 2G\Gi.

As´ı, si 2Gk\Gk+1, la suma para todoies igual a f(k+ 1) = f iL/K( ) =aL/K( ).

Ahora observamos que

P

2G

uG_i ( ) = 0,

y lo mismo vale si sumamos para todo i. Como aL/K cumple tambi´en que

(aL/K,1) = 0, tambi´en se tiene la igualdad para = 1.

De aqu´ı extraemos varias consecuencias. En primer lugar, vemos queg0aL/K

es un car´acter de G. Por consiguiente, si es un car´acter de G, se cumple que ( , g0aL/K) es un n´umero natural. Equivalentemente:

Teorema A.6 Si es un car´acter de G, se cumple que f( ) es un n´umero

racional 0.

Para cada funci´on de clases enG, definimos (Gi) = 1 gi P 2Gi ( ).

En estos t´erminos se cumple lo siguiente:

Teorema A.7 Si es una funci´on de clases en G, entonces

f( ) = P1

i=0 gi

g0

( (1) (Gi)).

Demostraci´on: Basta tener en cuenta que

A.2. El car´acter de Artin 165

Teorema A.8 Sea ⇢ : G ! Aut(V) una representaci´on de G sobre C con car´acter , y seaVGi _{el subespacio formado por los elementos deV fijados por}

cada elemento deGi. Entonces

f( ) = 1 X i=0 gi g0 dim(V /VGi_). Demostraci´on: Observemos queVG1_{es el}C_[G

i]-subm´odulo deV asociado

al car´acter trivial 1Gi en la descomposici´on dada por el teorema 2.19. Por consiguiente, su dimensi´on es la multiplicidad de 1Gi en |Gi, es decir:

dimVGi _{= ( |}

Gi,1Gi) = (Gi).

Por otra parte, dimV = (1), con lo que dimV /VGi _{= (1) (G}

i) y basta

aplicar el teorema anterior.

Seguidamente reformulamos el teorema A.1:

Teorema A.9 Sea K⇢K0 _{⇢L una cadena de extensiones de Galois. Llame-}

mosN =G(L/K0_{), de modo queG/N ⇠=G(K}0_{/K). Entonces,} aK0_/K =aG/N_L/K.

Demostraci´on: Tomemos un 2G, de modo que |K0 se identifica con

N 2G/N. De acuerdo con 2.51, la igualdadaK0/K(N ) =aG/H_L/K(N ) equivale

a aK0/K(N ) = 1 nL/K0 P n2N aL/K(n ).

Si 2/N, esto equivale a su vez a que

fK0_/Ki_K0_/K( |_K0) = 1

eL/K0fL/K0

P n2N

( fL/K)iL/K(n ),

lo cual, simplificando, se reduce a

iK0/K( |K0) = 1

eL/K0

P n2N

iL/K(n ),

que es precisamente lo que afirma el teorema A.1. Falta probar la igualdad cuando |K0 = 1, pero ´esta es consecuencia inmediata de que

(aG/N_L/K,1G/N) = (aL/K,1G) = 0.

Ahora relacionamos la funci´onaL/K conaL/K0.

Teorema A.10 Sea K ⇢K0 _{⇢ L una cadena de extensiones tal que L/K es}

de Galois y seaH =G(L/K0_{). Entonces}

a_L/K|H =vK( K0_/K)rH+fK0_/Ka_L/K0,

Demostraci´on: Si 2Gcumple 6= 1, entonces

aL/K( ) = fL/KiL/K( ), aL/K0( ) = f_L/K0i_L(K0( ), rH( ) = 0.

Adem´as, un generador del anillo de enteros deLsobre el anillo de enteros de

Klo genera tambi´en sobre el anillo de enteros deK0_{, luegoi}

L/K( ) =iL/K0( ). Ahora es claro que la igualdad del enunciado se cumple para . Falta considerar el caso = 1. Teniendo en cuenta el teorema A.3, la igualdad que hemos de probar es equivalente a

fL/KvL(DL/K) =|L:K0|vK( K0_/K) +f_K0_/Kf_L/K0vL(DL/K0). Seg´un [CC 3.22], el discriminante de una extensi´on es la norma del diferente, lo cual implica que

vK( L/K) =fL/KvL(DL/K), vK0( _L/K0) =f_L/K0v_L(D_L/K0). As´ı pues, la ecuaci´on que hemos de probar equivale a

vK( L/K) =|L:K0|vK( K0/K) +fK0/KvK0( _L/K0). A su vez, esta f´ormula equivale al teorema [CC 3.24].

Como consecuencia:

Teorema A.11 Sea K ⇢K0 _{⇢L una cadena de extensiones tal que L/K es}

de Galois. SeaH =G(L/K0_{). Entonces, para todo car´acter deH,}

f( G_{) =v}

K( K0/K) (1) +fK0/Kf( ).

Demostraci´on: Hay que entender que la ´ultima f de la f´ormula es la funci´on correspondiente a la extensi´onL/K0_.

f( G) = ( G, aL/K) = ( , aL/K|H) =vK( K0_/K)( , rH) +fK0_/K( , a_L/K0) =vK( K0/K) (1) +fK0/Kf( ).

Ahora consideramos la funci´on L/K definida en [CC 10.18]:

Teorema A.12 Sea un car´acter de grado1enGy seac( )el mayor n´umero natural tal que |Gc( )6= 1. (Si = 1G, tomamosc( ) = 1.) Entonces,

f( ) = L/K(c( )) + 1.

Demostraci´on: Siic( ), entonces (Gi) = ( |Gi,1) = 0 (porque |Gi tiene grado 1, luego es irreducible). Por lo tanto, (1) (Gi) = 1. Sii > c( ),

entonces (Gi) = 1, luego (1) (Gi) = 0. El teorema A.7 nos da que

f( ) = c( ) X i=0 gi g0 = (c( )) + 1.

A.2. El car´acter de Artin 167

Teorema A.13 Sea un car´acter de grado1enG, seaN su n´ucleo y seaK0

su cuerpo fijado. Sea c0_{( ) el mayor n´umero natural tal que (G/N)}

c0_{( )} 6= 1. Entoncesf( ) = K0_/K(c0( )) + 1es un n´umero natural.

Demostraci´on: El teorema [CC 10.19] afirma que (G/N)i=G _L/K0(i)N/N,

donde L/K0 es la funci´on de Hasse (la inversa de _L/K0). Por tanto, (G/N)_i= 1 equivale a queG _L/K0(i)N, es decir, a que |G

L/K0(i)= 1. Por consiguiente,

c( ) = L/K0(c0( )) o, equivalentemente, c0( ) = _L/K0(c( )). El teorema anterior y [CC 10.20] nos dan que

f( ) = L/K(c( )) + 1 = K0_/K( _L/K0(c( ))) + 1 = _K0_/K(c0( )) + 1. Por ´ultimo, la extensi´on K0_{/K es abeliana, luego podemos aplicar el teo-}

rema [CC 10.25]: el n´umero natural c0_{( ) cumple que G(K}0_/K)

c0_{( )} 6= 1 y

G(K0_/K)

c0_{( )+1}= 1, luego es un v´ertice de la funci´on _K0_/K, luego _K0_/K(c0( )) es un v´ertice de K0_/K, luego es un n´umero entero 1. (La funci´on _K0_/K es lineal hasta 1, luego su primer v´ertice es 1.)

Finalmente estamos en condiciones de demostrar el teorema A.4:

Hemos de probar que f( ) es un n´umero natural para todo car´acter de

G. Por el teorema A.6 sabemos que f( ) es un n´umero racional 0, luego s´olo necesitamos probar que es entero. Por el teorema de Brauer 2.41, podemos expresar

=P

i

ni Gi ,

donde ni 2 Z y cada i es un car´acter de grado 1 en un cierto subgrupo Hi

de G. Por consiguiente, basta probar que f( G

i ) es entero. Por A.11, basta

probar quef( i) es entero, lo que equivale a suponer que tiene grado 1. En

tal caso basta aplicar el teorema anterior.

A partir del car´acter de Artin podemos definir otro que, de hecho, es el que m´as nos va a interesar:

Definici´on A.14 Si L/K es una extensi´on finita de Galois, definimos la fun-

ci´on de SwansL/K :G(L/K) !Zcomo la funci´on dada por

sL/K =aL/K uG0 = 1 X i=1 gi g0 uG_i ,

dondeui =rGi 1Gi. (V´ease el teorema A.5.) Expl´ıcitamente:

sL/K( ) = ⇢

f(1 i( )) si 2G0\1,

y sL/K(1) est´a determinado por la relaci´on (sL/K,1G) = 0, que se cumple

porque (aL/K,1G) = 0 y (uG0,1G) = (u0,1G0) = 0.

Es claro entonces que sL/K = 0 si y s´olo siG1= 1, es decir, si la extensi´on L/K es dominadamente ramificada. En caso contrario es una funci´on de clases no nula. Consideremos un car´acter irreducible deG, y observemos que

(sL/K, ) = 1 X i=1 gi g0(u G i , ) = 1 X i=1 gi g0(ui, Gi) 0.

Por otra parte, (sL/K, ) = (aL/K, ) (u0G, )2Z, puesto queaL/K yuG0

son caracteres. Concluimos que (sL/K, ) es un n´umero natural para todo ,

luegosL/K es un car´acter deG, elcar´acter de Swande la extensi´onL/K.

In document Representación de grupos finitos, (página 170-176)