Demostraci´on: Basta tener en cuenta que siN es el n´ucleo de f yN0 es
un subm´odulo deM, entoncesf[N0] =M0 si y s´olo siM=N+N0.
La relaci´on con el radical de Jacobson es la siguiente:
Teorema 3.30 SeaAun anillo de longitud finita yMunA-m´odulo finitamente
generado. EntoncesM J(A)es el mayor subm´odulo inesencial deM.
Demostraci´on: SeaN la intersecci´on de todos los subm´odulos maximales de M (es decir, de los pen´ultimos t´erminos de las series de composici´on de
M). Vamos a probar que N es el mayor subm´odulo inesencial de M y que
M J(A) =N.
Si N+M0 = M peroM0 M, entonces (completando una serie de com-
posici´on) podemos tomar un subm´odulo maximalM0 ⇢M00 M, que tambi´en
cumplir´aN +M00 =M, pero esto es absurdo, puesto que N ⇢ M00, luego la
suma se reduce aM00=M. As´ı pues,N es inesencial.
Si N0 ⇢ M es un subm´odulo inesencial y M0 es un subm´odulo maximal
de M, entonces M0 ⇢ N0+M0 M, luego ha de ser M0 = N0+M0, luego N0 ⇢M0. Como esto vale para todoM0, de hechoN0 ⇢N.
Por otra parte, si M0 es un subm´odulo maximal de M, entonces M/M0 es
simple, luegoM J(A)⇢M0, luegoM J(A)⇢N.
El cocienteM/M J(A) es semisimple, luego podemos descomponerlo como
M/M J(A) =M1/M J(A) · · · Mh/M J(A),
donde todos los sumandos son simples. Si llamamos Ni = L j6=i
Mj, entonces
M/Ni es simple, luegoNi es maximal, luegoN⇢T i
Ni=M J(A).
3.3
Cuerpos de escisi´on
Sik es un cuerpo y A es una k-´algebra de dimensi´on finita, para cada ex- tensi´on de cuerposK/kpodemos considerar el producto tensorialAK =K⌦kA,
que tiene una estructura natural deK-´algebra dada por (↵⌦a)( ⌦b) = (↵ )⌦(ab).
Si V es un A-m´odulo finitamente generado, entonces VK = K⌦k V tiene
una estructura natural deAK-m´odulo finitamente generado dado por
(↵⌦v)( ⌦a) = (↵ )⌦(va).
Observemos que, si Ges un grupo finito, k[G]K ⇠=K[G] yVK es el mismo
Definici´on 3.31 SiAes unak-´algebra de dimensi´on finita yV es unA-m´odulo simple, diremos que es absolutamente simple4 si V
K es simple para toda ex-
tensi´on de cuerposK/k. Diremos quek es uncuerpo de escisi´on deA si todo
A-m´odulo simple es absolutamente simple. SiGes un grupo finito, se dice que
kes uncuerpo de escisi´ondeGsi lo es del ´algebrak[G].
Observemos que estas definiciones generalizan a 2.59 y 2.61. Aqu´ı trabaja- mos en el contexto dek-´algebras arbitrarias y no en el de ´algebras k[G] porque as´ı podremos aplicar el teorema siguiente, que nos permite trabajar con m´odulos fieles:
Teorema 3.32 SiAes unak-´algebra de dimensi´on finita yV es unA-m´odulo,
consideramos el homomorfismo de k-´algebras : A ! Endk(V) que a cada
a 2 A le asigna el endomorfismo dado por a(v) = va. Si llamamos B a su
imagen, entonces B es unak-´algebra finitamente generada tal queV es unB-
m´odulo fiel. Adem´asV es simple o absolutamente simple como A-m´odulo si y s´olo si lo es como B-m´odulo.
Demostraci´on: Es claro queV es unB-m´odulo fiel. Basta probar que si
K/k es una extensi´on de cuerpos, entonces VK es un AK-m´odulo simple si y
s´olo si es unBK-m´odulo simple.
Fijemos una k-base v1, . . . , vn de V, una k-base a1, . . . , ar del anulador
An(V) y completemos ´esta hasta una k-base a1, . . . , am de A. Entonces B
tiene comok-base a ar+1, . . . , am.
Un subespacio de VK ser´a unAK-subm´odulo si y s´olo si es estable para la
multiplicaci´on por los elementos de la base 1⌦ai, mientras que ser´a un BK
subm´odulo si es estable para la multiplicaci´on por los elementos de la base 1⌦ ai (parai > r).
Ahora bien, siir, tenemos que (↵⌦vj)(1⌦ai) =↵⌦(vjai) = 0, luego, en
realidad, losAK-subm´odulos deVKson los subespacios estables para el producto
por los 1⌦ai con i > r. Pero resulta que, parai > r,
(↵⌦vj)(1⌦ai) =↵⌦vjai=↵⌦vj ai= (↵⌦vj)(1⌦ ai)
luego, por linealidad, v(1⌦ai) =v(1⌦ ai) para todov 2VK, luego los AK- subm´odulos deVK son los mismos que losBK-subm´odulos y, en particular, V
es simple comoAK-m´odulo si y s´olo si lo es comoBK-m´odulo.
Observemos que si V es un k[G]-m´odulo, el homomorfismo del teorema anterior no es sino la representaci´on lineal ⇢ : G ! Endk(V) asociada a V
extendida por linealidad ak[G].
A los m´odulos simples y fieles les podemos aplicar el teorema 3.14:
4Recordemos que los m´odulos simples se llaman tambi´en irreducibles y, del mismo modo,
los m´odulos absolutamente simples se llaman tambi´enabsolutamente irreducibles. El t´ermino “simple” es m´as habitual en teor´ıa de anillos, mientras que “irreducible” es el usual en teor´ıa de representaciones.
3.3. Cuerpos de escisi´on 89
Teorema 3.33 Sea k un cuerpo y A una k-´algebra de dimensi´on finita. SiV
es unA-m´odulo simple y fiel, entonces tiene dimensi´on finita sobrek. Adem´as
D= EndA(V) es un anillo de divisi´on que contiene a k en su centro, tambi´en
tiene dimensi´on finita sobrek y si n= dimDV,
A⇠= EndD(V)⇠= Matn(Dop).
Demostraci´on: Si V es fiel, el homomorfismo : A ! Endk(V) es
un monomorfismo de ´algebras. Hemos de probar que su imagen es EndD(V).
En primer lugar observamos que [k] ⇢ EndA(V) = D, porque k est´a en el
centro deA. As´ı pues, identificando cada↵2kcon la homotecia ↵, podemos
considerar quek ⇢D. Las homotecias conmutan con todos los elementos de Endk(V), luego en particular con los elementos deD, luegokest´a en el centro
deD.
As´ı pues,k⇢D⇢Endk(V). Todos los ideales deAsonk-espacios vectoria-
les de dimensi´on finita, al igual que sus factores de composici´on, luego tambi´en losA-m´odulos simples. Sim= dimkV, entonces Endk(V) tiene dimensi´onm2,
luego dimkD es finita. El teorema 3.14 nos da queA⇠= EndD(V), y el segundo
isomorfismo est´a probado en la discusi´on previa al teorema 3.16.
Ahora podemos dar una caracterizaci´on de los A-m´odulos absolutamente simples:
Teorema 3.34 SeaAunak-´algebra de dimensi´on finita yV unA-m´odulo sim- ple. Se cumple queV es absolutamente simple si y s´olo siEndA(V) =k.
Demostraci´on: Sea B la imagen de A por el homomorfismo del teo- rema 3.32. Seg´un dicho teorema,V es absolutamente simple comoA-m´odulo si y s´olo si lo es como B-m´odulo, y tambi´en es claro que EndA(V) = EndB(V).
ComoV es unB-m´odulo fiel, cambiandoAporB, no perdemos generalidad si suponemos queV es unA-m´odulo fiel.
A continuaci´on demostramos queVK es fiel, para toda extensi´onK/k. Fije-
mos una basea1, . . . , amdeAy una basev1, . . . , vn deV. Pongamos que
vjai=P l
↵ijlvl,
para ciertos↵ijl2k. As´ı,
vjP i i ai =P l P i i ↵ijl vl.
QueV sea fiel significa que siP
i i
↵ijl= 0 para todoj yl, entonces i= 0
para todo i. A su vez, esto equivale a que las matrices Mi = (↵ijl)jl sean
linealmente independientes sobrek.
An´alogamente, considerando las bases 1⌦ai y 1⌦vj, concluimos que VK
es fiel si y s´olo si las matrices Mi son linealmente independientes sobre K.
Considerando las matrices como vectores en kn2
, las m matrices forman una matrizm⇥n2, y la independencia lineal de sus filas equivale a que existenm
columnas que forman una submatriz cuadrada de determinante no nulo. Esto sucede sobre k y, obviamente, sigue siendo cierto sobre K, luego las matrices siguen siendo linealmente independientes sobreK.
El teorema 3.33 nos da que, si D = EndA(V), entonces A ⇠= Matm(Dop),
dondem= dimDV. Entonces
n= dimkV = (dimkD)(dimDV) =mdimkD
y, por otra parte, dimkA=m2dimkD.
Supongamos ahora que V es absolutamente irreducible y demostremos que
D= EndA(V) =k. Basta probar que dimkD= 1.
Si K es una clausura algebraica de k, sabemos que VK es un AK-m´odulo
simple y fiel, luego podemos aplicarle tambi´en el teorema 3.33, seg´un el cual
D0= EndAK(VK) es un anillo de divisi´on que tiene dimensi´on finita sobreK. Ahora bien, si ↵ 2EndAK(VK), entonces K(↵) es un cuerpo y es una ex- tensi´on finita de K, luego ↵ 2K, lo que prueba que D0 =K =D0op, luego,
tambi´en por 3.33, resulta queAK ⇠= Matn(K), donden= dimK(VK) = dimkV.
Concluimos observando que
n2= dim
KAK = dimkA=m2dimkD,
lo cual, juntamente con la igualdadn=mdimkD, nos da que
dimkD= n
m =
n2
m2 = (dimkD) 2
lo cual s´olo es posible si dimkD= 1.
Por ´ultimo, suponemos que EndA(V) =ky veamos queV es absolutamente
simple. El teorema 3.33 nos da ahora queA= Matn(k). Por lo tanto, siK/k
es cualquier extensi´on, se cumple queAK =K⌦kMatn(k)⇠= Matn(K) y VK
es unAK-m´odulo de dimensi´onn, luego ha de ser simple por el teorema 3.17.
En la prueba del teorema anterior se ve que la condici´on EndA(V) =k se
da siempre que el cuerpokes algebraicamente cerrado. En particular, tenemos que cualquier cuerpo algebraicamente cerrado es un cuerpo de escisi´on para cualquier grupo finito.
Teorema 3.35 Sea G un grupo finito yk un cuerpo tal que cark-|G|y sean
n1, . . . , nhlos grados de las representaciones irreducibles deGsobrek. Se cum-
ple que kes un cuerpo de escisi´on paraGsi y s´olo si n2
1+· · ·+n2h=|G|y, en
tal caso,hes el n´umero de clases de conjugaci´on deG.
Demostraci´on: SeanV1, . . . , Vh representantes de los k[G]-m´odulos sim-
ples de G y sea Di = EndG(Vi). La hip´otesis sobre la caracter´ıstica de k se
traduce en quek[G] es semisimple, por lo que el teorema de Wedderburn nos da que k[G]⇠= Matn0 1(D op 1 ) · · · Matn0 h(D op h ),
3.3. Cuerpos de escisi´on 91
donde cadaDies un anillo de divisi´on que tiene aken su centro y dimDiVi =n0i,
luego ni = dimkVi = (dimkDi)n0i. Tomando dimensiones sobre k en ambos
miembros de la descomposici´on dek[G], vemos que
|G|=n021 dimkD1+· · ·+n02h dimkDh= n2 1 m1 +· · ·+ n 2 h mh , dondemi= dimkDi.
Es claro que la igualdad del enunciado equivale a que dimkDi = 1 para
todo i, lo cual, por el teorema anterior, equivale a que todos los m´odulos Vi
sean absolutamente simples, es decir, a queksea un cuerpo de escisi´on paraG. En tal caso, la descomposici´on dek[G] se reduce a
k[G]⇠= Matn1(k) · · · Matnh(k).
El teorema 1.5 nos da que la dimensi´on del centro de k[G] sobrek es igual al n´umero de clases de conjugaci´on deG. Por otra parte
Z(k[G]) =Z(Matn1(k)) · · · Z(Matnh(k)) =k · · · k=k
h,
luego dicha dimensi´on esh.
En el ´ultimo paso de la prueba anterior hemos usado que el centro de un anillo de matrices A = Matn(k) est´a formado por las matrices de la forma
↵In y, por consiguiente, es isomorfo ak. Esto puede probarse directamente sin
dificultad, pero ahora podemos dar una prueba conceptual:
El teorema 3.17 nos da que EndA(kn) =k, donde cada↵2k se identifica
con el endomorfismov 7! v↵. Si M 2 Z(A), entoncesv 7! vM define unA- endomorfismo dekn, luego existe un↵2ktal quevM =v↵para todov2kn,
luegoM=↵In.
Conviene destacar una consecuencia inmediata de los resultados que hemos obtenido:
Teorema 3.36 SeaAunak-´algebra de dimensi´on finita yV unA-m´odulo abso-
lutamente simple. Entonces, el homomorfismoA !Endk(V)del teorema3.32
es suprayectivo.
Demostraci´on: Si llamamosBa la imagen deApor el homomorfismo del enunciado, el teorema 3.32 nos da queB es una k-´algebra de dimensi´on finita y que V es un B-m´odulo absolutamente simple y fiel. El teorema 3.34 nos da que EndB(V) =k, y el teorema 3.33 implica entonces queB= Endk(V).
A partir de aqu´ı nos restringiremos al caso de ´algebras de tipo k[G]. Si k
es un cuerpo de escisi´on para G cuya caracter´ıstica no divida al orden de G, el teorema de Wedderburn (v´ease la observaci´on posterior) juntamente con el teorema 3.34, nos da el isomorfismo
⇢:k[G] ! Ln
i=1
dondeV1, . . . , Vn son representantes de las clases de isomorf´ıa dek[G]-m´odulos
simples, y en el que cada coordenada ⇢i : k[G] ! Endk(Vi) no es sino la
representaci´on lineal de G asociada a Vi extendida a k[G] por linealidad. Si
eliminamos las hip´otesis sobrek tenemos al menos el teorema siguiente:
Teorema 3.37 Sea G un grupo finito y ⇢: k[G] ! Endk(V) una represen-
taci´on lineal irreducible deGsobre un cuerpok (extendida a k[G]de por linea- lidad). Para cadax2k[G], existe un y2k[G]tal que⇢(x) =⇢(y)y ⇢0(y) = 0,
para toda representaci´on lineal irreducible⇢0:k[G] !End
k(W) deGsobrek
no isomorfa a⇢.
Demostraci´on: SeanV1, . . . , Vn representantes de las clases de isomorf´ıa
dek[G]-m´odulos simples. Pongamos queV =V1. SeaA=k[G]/J(k[G]), que es
unak-´algebra semisimple cuyosA-m´odulos simples son precisamenteV1, . . . , Vn.
El teorema de Wedderburn nos da un isomorfismo
⇢:A ! Ln
i=1
EndDi(Vi),
cuyas funciones coordenadas ⇢i no son sino las representaciones lineales de G
asociadas a los m´odulosVi. Basta tomary2k[G] que cumpla [y] =⇢ 1(⇢1(x)).
Como consecuencia:
Teorema 3.38 Sea G un grupo finito, sea k ⇢ K una extensi´on de cuerpos
y sean V, W dos k[G]-m´odulos simples. Si VK y WK tienen un factor de
composici´on en com´un, entoncesV y W son isomorfos.
Demostraci´on: Por el teorema anterior, si los m´odulos no son isomorfos, podemos tomary 2k[G] tal que la multiplicaci´on pory sea la identidad en V
y el homomorfismo nulo en W, lo cual sigue siendo cierto en VK y WK. Por
hip´otesis,VK yWK tienenK[G]-subm´odulos
Vi 1⇢Vi⇢VK, Wj 1⇢Wj ⇢WK
tales queVi/Vi 1⇠=Wj/Wj 1. Ahora bien, la multiplicaci´on poryenVKinduce
el automorfismo identidad, luego lo mismo sucede con la multiplicaci´on por y
enVi/Vi 1. Por el contrario, y anula a WK, luego tambi´en anula a Wj/Wj 1,
luego los factores de composici´on tienen anuladores distintos, luego no pueden ser isomorfos.
De aqu´ı deducimos algunas propiedades de los cuerpos de escisi´on:
Teorema 3.39 Sea G un grupo finito y K/k una extensi´on de cuerpos. Sik
es un cuerpo de escisi´on deG, entoncesK tambi´en lo es y, si V1, . . . , Vh es un
sistema de representantes de las clases de isomorf´ıa de k[G]-m´odulos simples, entoncesV1K, . . . , VhK es un sistema de representantes de las clases de isomorf´ıa
3.3. Cuerpos de escisi´on 93
Demostraci´on: Comok es un cuerpo de escisi´on deG, losK[G]-m´odulos
ViK son simples, y son no isomorfos dos a dos, pues si dos de ellos fueran
isomorfos, trivialmente tendr´ıan un factor de composici´on en com´un, luego los correspondientesk[G]-m´odulosVi ser´ıan isomorfos por el teorema anterior.
Veamos ahora que todo K[G]-m´odulo simple es isomorfo a un ViK. En
principio, todoK[G]-m´odulo simple es isomorfo a un factor de composici´on de
K[G], luego basta probar que todo factor de composici´on deK[G] es isomorfo a unViK. Para ello observamos que si
0 =M0 M1 · · · Mn=k[G]
es una serie de composici´on dek[G], entonces
0 =M0K M1K · · · MnK =K[G]
es una serie de composici´on de K[G]. En efecto, basta tener en cuenta que la sucesi´on exacta
0 !Mi 1 !Mi !Mi/Mi 1 !0
sigue siendo exacta al multiplicarla por⌦kK, de modo que
MiK/Mi 1K ⇠= (Mi/Mi 1)K.
ComoMi/Mi 1es isomorfo a unVi, el miembro derecho de la f´ormula ante-
rior es isomorfo a unViK. En particular es simple. Esto prueba que la segunda
serie es realmente una serie de composici´on deK[G], y adem´as hemos visto que los factores de composici´on deK[G] son isomorfos a m´odulos de la formaViK.
Con esto tenemos probado que todos los K[G]-m´odulos simples son de la formaViK, lo que prueba a su vez que todos ellos son absolutamente simples,
pues sus extensiones de coeficientes son tambi´en extensiones de coeficientes de los m´odulosVi, luego son simples. Por consiguiente, K es tambi´en un cuerpo
de escisi´on deG.
Si no suponemos quekes un cuerpo de escisi´on deG, partiendo de una serie de composici´on de k[G] como en la prueba del teorema anterior, obtenemos una serie deK[G] que no es necesariamente una serie de composici´on deK[G], pero que puede refinarse hasta que lo sea. Esto nos permite concluir que todo
K[G]-m´odulo simple es un factor de composici´on de unK[G]-m´oduloViK.
Teorema 3.40 Sea G un grupo finito yK/k una extensi´on de cuerpos. Si K
es un cuerpo de escisi´on deG, entoncesklo es tambi´en si y s´olo si todoK[G]- m´odulo simple es isomorfo a unK[G]-m´oduloVK, para ciertok[G]-m´odulo sim-
ple V.
Demostraci´on: Una implicaci´on es inmediata por el teorema anterior. Sea
V cualquierk[G]-m´odulo simple y seaW un factor de composici´on deVK. Por
hip´otesis, existe otro k[G]-m´odulo simpleV0 tal queW ⇠=V0
y V0
K tienen un factor de composici´on en com´un. El teorema 3.38 nos da que
V ⇠=V0, de modo queV
K ⇠=W. As´ı pues,VK es absolutamente simple.
Esto implica que V tambi´en es absolutamente simple, pues si L/k es una extensi´on arbitraria (aunque podemos suponer que K y L est´an contenidos en un mismo cuerpo KL), no puede ocurrir que VL no sea simple, ya que
entonces VKL = (VL)KL = (VK)KL tampoco lo ser´ıa, en contra de queVK es
absolutamente simple. Por consiguiente,kes un cuerpo de escisi´on deG.