La finalidad de esta secci´on es demostrar el teorema siguiente:
Teorema 2.41 (Brauer) Si G es un grupo finito, todo car´acter de G se ex- presa como combinaci´on lineal con coeficientes enteros de caracteres inducidos por caracteres de grado1.
Para probarlo empezamos introduciendo el concepto siguiente:
Definici´on 2.42 Diremos que un grupo finitoH esp-elemental,dondepes un n´umero primo, si puede expresase como producto directoH=C⇥P, dondeC
es un grupo c´ıclico de orden primo conpyP es unp-grupo (un grupo de orden potencia dep). Un grupoH eselementalsi esp-elemental para alg´un primop.
2.5. El teorema de Brauer 61
Todo grupo c´ıclico finito esp-elemental para todo primop, pues se descom- pone como producto de grupos c´ıclicos de ´ordenes potencias de primos, y basta agrupar todos los factores que seanp-grupos por una parte, y todos los que no lo sean por otra.
Por otra parte, todo grupo elemental es nilpotente por ser producto directo de dos grupos nilpotentes. En particular es superresoluble.
Ahora podemos reducir la prueba del teorema de Brauer al resultado si- guiente:
Teorema 2.43 Si G es un grupo finito, todo car´acter de G se expresa como combinaci´on lineal con coeficientes enteros de caracteres inducidos desde sub- grupos elementales.
En efecto, de este teorema se sigue el teorema de Brauer, ya que si tenemos =n1 G1 +· · ·+nr Gr,
donde cada ies un car´acter de un subgrupo elementalHiG, descomponiendo
cada i en suma de caracteres irreducibles podemos suponer que cada i es
irreducible y, como Hi es superresoluble, el teorema 2.39 nos da que i est´a
inducido a su vez por un car´acter de grado 1, luego lo mismo vale para G i .
Para tratar con combinaciones lineales enteras de caracteres conviene intro- ducir el concepto siguiente:
Definici´on 2.44 SiG es un grupo finito y 1, . . . , h son sus caracteres irre-
ducibles, llamaremos R(G) = Z 1 · · · Z h al subgrupo generado por los
caracteres ien el espacioF(G) de las funciones de clase deG. A sus elementos
los llamaremoscaracteres virtualesdeG.
Como los caracteres irreducibles son una base delC-espacio vectorialF(G) de las funciones de clases de G, es claro que tambi´en son una base de R(G) como Z-m´odulo. Tambi´en es obvio que todo car´acter virtual se expresa de forma ´unica como diferencia de dos caracteres. Como el producto de caracteres es un car´acter, tenemos queR(G) es un subanillo deF(G).
El teorema 2.43 es consecuencia, a su vez, del teorema siguiente:
Teorema 2.45 Sea G un grupo finito y sea Vp el subgrupo de R(G) generado
por los caracteres inducidos desde subgrupos p-elementales de G. Entonces el
cocienteR(G)/Vp es finito y su orden es primo con p.
En efecto, si admitimos este resultado, s´olo tenemos que probar que R(G) es la sumaV de los subgrupos Vp, para todo primop. Como Vp V R(G),
tenemos que el cocienteR(G)/V es finito, y su orden es primo conp, para todo primop, luego ha de serR(G) =V.
Observemos ahora que, si H es un subgrupo deG, el teorema 2.37 implica que el subgrupo deR(G) generado por los caracteres inducidos desdeH es un
ideal deR(G), yVp es la suma de estos ideales cuandoH recorre los subgrupos
p-elementales deG. Por consiguiente,Vp es tambi´en un ideal deR(G). Veamos
ahora que 2.45 es consecuencia del teorema siguiente:
Teorema 2.46 Sea G un grupo finito de orden|G|=pim, dondep-m, y sea
Vp el subgrupo de R(G)generado por los caracteres inducidos desde subgrupos
p-elementales deG. Entonces m2Vp.
En efecto,R(G) es unZ-m´odulo finitamente generado, luegoR(G)/Vp tam-
bi´en lo es. Por consiguiente, es producto de un n´umero finito de grupos c´ıclicos. Sim2Vp, como ´este es un ideal, tenemos quem 2Vppara todo 2R(G),
lo que significa que todos los elementos deR(G)/Vp tienen orden divisor dem.
Por consiguiente, R(G)/Vp es producto de un n´umero finito de grupos c´ıclicos
finitos de orden primo conp, y esto prueba 2.45.
Consideremos ahora el anillo D de los enteros ciclot´omicos de orden g, es decir, la Z-sub´algebra de C generada por las ra´ıcesg-´esimas de la unidad. Se trata de unZ-m´odulo libre de rango finito. Fijemos una baseD=h!1, . . . ,!ciZ
tal que!1= 1. Vamos a trabajar en el producto tensorialD⌦ZR(G).
ComoR(G) es elZ-m´odulo libre que tiene por base los caracteres irreducibles
1, . . . , h deG, tenemos, por una parte, queD⌦ZR(G) es elD-m´odulo libre
generado por los elementos 1⌦ i. Podemos identificarlo con el D-subm´odulo
generado por 1, . . . , h en el espacio F(G) de las funciones de clases de G
(de modo que identificamos cada 1⌦ i con i). As´ı, R(G) es el conjunto de
elementos deD⌦ZR(G) cuyas coordenadas en la base 1⌦ i(o i) son enteras.
Por otra parte,D⌦ZR(G) es tambi´en elR(G)-m´odulo libre de base!i⌦1,
y los elementos deR(G) son los que en esta base tienen todas las coordenadas nulas excepto la de!1⌦1 = 1⌦1.
Es claro entonces que (D⌦ZVp)\R(G) =Vp. (Un elemento de la intersecci´on
es un elemento deD⌦ZR(G) cuyas coordenadas en la base!i⌦1 est´an enVp
y son todas nulas menos la de!1⌦1.) Por consiguiente, para probar 2.46 basta
ver quem2D⌦ZVp.
El hecho de queR(G) sea un subanillo deF(G) y queVpsea un ideal, implica
inmediatamente queD⌦ZR(G) tambi´en es un subanillo deF(G) y queD⌦ZVp
es un ideal deD⌦ZR(G).
Teorema 2.47 Sea Gun grupo de orden g y sea :G !gZ una funci´on de
clases que toma valores m´ultiplos de g. Entonces es combinaci´on lineal con
coeficientes en D de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos c´ıclicos
deG.
Demostraci´on: Podemos expresar = g , donde : G ! Z es otra funci´on de clases. Para cada subgrupo c´ıclico C G, definimos la funci´on de clases✓C:C !Zmediante
✓C(x) = n
|C| sixgeneraC, 0 en otro caso.
2.5. El teorema de Brauer 63
SiC(G) es el conjunto de todos los subgrupos c´ıclicos deG, tenemos que
P C2C(G) ✓GC(x) =X y2G X C2C(G) ✓0 C(yxy 1) |C| = P y2G 1 =g. Por lo tanto, =g = P C2C(G) ✓G C = P C2C(G) (✓C C)G.
Falta probar que la funci´on de clases⌘C =✓C C es combinaci´on lineal con
coeficientes enDde caracteres deC. Ciertamente, como toda funci´on de clases, es combinaci´on lineal de los caracteres irreducibles de C. Si es uno de ellos, su coeficiente en la combinaci´on lineal es (⌘C, ) y, en efecto, se cumple que
(⌘C, ) = 1 |C| P 2C ✓C( ) ( ) ( ) =P ( ) ( 1)2D
donde en el ´ultimo sumatorio recorre los generadores deC. El resultado est´a en D porque los caracteres deC y de G toman valores en D. (Precisamente para esto hemos introducidoD en sustituci´on deZ.)
Puesto que todo grupo c´ıclico esp-elemental, el teorema anterior implica, en particular, que 2D⌦ZVp.
Con esto podemos reducir el teorema de Brauer al resultado siguiente:
Teorema 2.48 En las condiciones previas al teorema anterior, existe una fun-
ci´on de clases :G !Z tal que 2D⌦ZVp y, para todox2G, se cumple
quep- (x).
En efecto, dada una funci´on en estas condiciones, si g =pim, llamemos
N al orden del grupo de unidades de Z/piZ, de modo que kN ⌘ 1 (m´odpi),
para todo enterokprimo conp. En particular, (x)N⌘1 (m´odpi), para todo
x2G, luego la funci´on de clasesm( N 1) toma valores enteros m´ultiplos deg.
Por el teorema 2.47, tenemos que m( N 1) 2 D⌦ZV
p. Por otra parte,
2D⌦ZVp, y ´este es un ideal deD⌦ZR(G), luego tambi´enm N 2D⌦ZVp,
con lo que concluimos quem2D⌦ZVp, y ya hemos visto que esto implica el
teorema de Brauer.
Tenemos pendiente demostrar 2.48.
Si Ges un grupo finito y sea p un n´umero primo. Diremos quex2 G es unp-elemento si su orden es potencia dep, y es unp0-elemento si su orden es
primo conp.
En general, si el orden dexesm=pim0, dondep-m0, existenu, v2Ztales
queupi+vm0= 1, con lo quex
p=xvm 0 ,xp0 =xup i cumplen que x=xpxp0=xp0xp, xp i p =xm 0 p0 = 1,
es decir, que todox2Gpuede descomponerse como producto de unp-elemento y un p0-elemento, a los que llamaremos, respectivamente, p-componente y p0-
componentedex.
Necesitaremos este resultado t´ecnico:
Teorema 2.49 En las condiciones anteriores, sea : G ! Z una funci´on
de clases que cumpla 2 D⌦ZR(G). Si x 2 G y xp0 es su p0-componente,
entonces (x)⌘ (xp0) (m´odp).
Demostraci´on: Sea C = hxi, de modo que xp0 2 C. Observamos que
C 2 D⌦ZR(C), luego no perdemos generalidad si suponemos que G est´a
generado porx. Tenemos, pues, que =P
i
di i,
condi2Dy donde los caracteres irreducibles itienen todos grado 1 (porqueG
es abeliano), luego son homomorfismos de grupos i :G !D⇤. Siq=pi es el
orden de lap-componente dex, tenemos quexq=xq
p0, luego i(x)q= i(xp0)q. Por consiguiente: (x)q= ✓P i di i(x) ◆q ⌘P i di i(x)q=P i di i(xp0)q ⌘ ✓ P i di i(xp0) ◆q = (xp0)q(m´odp),
donde las congruencias son m´odulo el ideal generado porpenD. Ahora bien, como los extremos son enteros, concluimos que
(x)q⌘ (xp0)q(m´odp)
en Z y, como q es potencia de p, esto equivale a que (x) ⌘ (xp0) (m´odp). Con esto estamos en condiciones de construir una funci´on en las condi- ciones del teorema 2.48. Para ello partimos de un sistema de representantes
{xi}i de las clases de conjugaci´on de G formadas porp0-elementos. SeaPi un
p-subgrupo de Sylow del centralizadorCG(xi) y seaCi=hxii.
Como los elementos deCi conmutan con los dePi, tenemos queHi=CiPi
es un subgrupo deGy, comoCi\Pi = 1 (porque el orden deCi es primo con
el orden dePi), concluimos que el producto Hi =Ci⇥Pi es directo, luegoHi
es un subgrupop-elemental deG.
Sea i:Ci !Zla funci´on de clases dada por i(x) =
⇢
|Ci| six=xi,
0 six6=xi.
Se cumple que i 2 D⌦ZR(Ci), pues, al expresar i como combinaci´on
lineal de los caracteres deCi, el coeficiente de cada car´acter es