Representación de grupos finitos,

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Texto completo

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Carlos Ivorra Castillo

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Necesitamos unas supermatem´aticas en las que las operaciones sean tan desconocidas como las can-tidades sobre las que operan, y un supermatem´atico que no sepa qu´e est´a haciendo cuando realiza esas operaciones. Esas supermatem´aticas son la teor´ıa de grupos.

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´Indice General

Prefacio vii

Cap´ıtulo I: Introducci´on y preliminares 1

1.1 Representaciones lineales de grupos . . . 2

1.2 Preliminares sobre grupos finitos . . . 12

1.3 Preliminares sobre anillos . . . 19

1.4 M´odulos de homomorfismos . . . 33

Cap´ıtulo II: Teor´ıa de caracteres 39 2.1 Caracteres . . . 39

2.2 Caracteres complejos . . . 45

2.3 Ejemplos y aplicaciones . . . 50

2.4 Caracteres inducidos . . . 56

2.5 El teorema de Brauer . . . 60

2.6 Caracteres en grupos cociente . . . 65

2.7 Cuerpos no algebraicamente cerrados . . . 67

Cap´ıtulo III: La teor´ıa general 73 3.1 Anillos y m´odulos semisimples . . . 73

3.2 El radical de Jacobson . . . 82

3.3 Cuerpos de escisi´on . . . 87

3.4 Grupos de Grothendieck . . . 94

3.5 Caracteres . . . 100

3.6 Extensiones de coeficientes . . . 106

Cap´ıtulo IV: Representaciones modulares 115 4.1 Representaciones proyectivas . . . 115

4.2 Representaciones en anillos locales . . . 121

4.3 Representaciones en cuerpos completos . . . 126

4.4 Algunos resultados t´ecnicos . . . 133

4.5 Propiedades de los homomorfismos c, d, e . . . 141

4.6 El teorema de Fong-Swan . . . 145

4.7 Caracteres modulares . . . 150

4.8 Ejemplo: los caracteres de⌃4 . . . 156

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Ap´endice A: Las representaciones de Artin y Swan 159

A.1 Preliminares sobre cuerpos completos . . . 159

A.2 El car´acter de Artin . . . 162

A.3 Realizaci´on de los caracteres . . . 168

A.4 El invariante de Swan . . . 169

Ap´endice B: Los caracteres deA5 173 B.1 Un criterio de irreducibilidad . . . 173

B.2 Las clases de conjugaci´on deA5 . . . 175

B.3 Caracteres ordinarios . . . 176

B.4 Caracteres m´odulo 2 . . . 179

B.5 Caracteres m´odulo 3 . . . 180

B.6 Caracteres m´odulo 5 . . . 181

Bibliograf´ıa 183

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Prefacio

Este libro es el resultado de extender lo que originalmente era un cap´ıtulo de preliminares para definir el conductor de una curva el´ıptica en la parte de aplicaciones de mi libro de Superficies aritm´eticas. El lector interesado es-pec´ıficamente en este objetivo puede leer las secciones 1.1 y 1.2 y el cap´ıtulo II (salt´andose, si lo desea, las secciones 2.3 y 2.7) y desde ah´ı pasar directamente al ap´endice A, del que podr´a seguir las secciones A.1 y A.2, con lo cual alcanzar´a los requisitos necesarios para entender el estudio del conductor de una curva el´ıptica. Ahora bien, si quiere entender realmente la teor´ıa que hay de fondo en el uso de los caracteres de Artin y Swan construidos en A.2 deber´a leer tambi´en las secciones A.3 y A.4, para lo cual necesitar´a estudiarse casi la totalidad del presente libro.

El lector interesado en la teor´ıa de representaciones propiamente dicha debe observar que hemos duplicado la exposici´on de la teor´ıa en el caso de las re-presentaciones de grupos finitos sobre el cuerpo de los n´umeros complejos. En el cap´ıtulo II presentamos la teor´ıa mediante razonamientos “r´apidos” y “ele-mentales”, en el sentido de que evitan el uso de la mayor parte del aparato algebraico subyacente a la teor´ıa de representaciones, y en el cap´ıtulo III de-sarrollamos dicho aparato algebraico sin apoyarnos en el cap´ıtulo precedente, con lo que obtenemos pruebas alternativas de los mismos resultados, s´olo que en un contexto mucho m´as general. Lo hemos hecho as´ı para permitir el ac-ceso r´apido a las primeras secciones del ap´endice A que hemos indicado antes y tambi´en porque, de este modo, el lector interesado en la teor´ıa de caracteres propiamente dicha tiene la oportunidad de apreciar su inter´es y utilidad antes de adentrarse en sus aspectos m´as t´ecnicos. Conviene tener presente a este res-pecto que el cap´ıtulo II no requiere las secciones 1.3 y 1.4, por lo que su lectura puede posponerse. Como complemento al cap´ıtulo II, el lector puede estudiar tambi´en la construcci´on de las tablas de caracteres ordinarios de los grupos⌃4

yA5 expuestas respectivamente en las secciones 4.8 y B.3.

Por otra parte, el lector que desee evitar exposici´on duplicada puede optar por pasar del cap´ıtulo I al cap´ıtulo III y despu´es volver sobre el cap´ıtulo II para ver los ejemplos, aplicaciones, y algunos resultados adicionales, salt´andose las pruebas de los hechos ya probados en el cap´ıtulo III. En cualquier caso, quien siga este camino deber´a volver al cap´ıtulo II para estudiar —como m´ınimo— el teorema de Brauer sobre caracteres inducidos, que ser´a necesario posteriormente

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en numerosas ocasiones.

El cap´ıtulo IV es una introducci´on a la teor´ıa de representaciones modulares. El lector que no est´e interesado en esta parte puede saltarse la secci´on 1.4 y el final de la secci´on 1.3 (desde el apartado correspondiente a m´odulos proyectivos). De hecho, puede saltarse toda alusi´on a m´odulos proyectivos que encuentre en los cap´ıtulos precedentes.

Dada la naturaleza t´ecnica de la teor´ıa que nos ocupa, al lector interesado en formarse una primera idea de su naturaleza y contenido lo remitimos a la secci´on 1.1, en la que se exponen los conceptos e ideas b´asicas.

En cuanto a los requisitos para seguir este libro, no son muchos. Para los tres primeros cap´ıtulos no se requiere m´as que el ´algebra b´asica (algo de teor´ıa de grupos, de anillos, de extensiones de cuerpos y ´algebra lineal, a un nivel no superior al de mi libro deAlgebra,´ salvo que tambi´en se requiere el conocimiento del producto tensorial de m´odulos, que puede estudiarse en mi libro deTeor´ıa de cuerpos de claseso en el deTopolog´ıa algebraica.) En la secci´on 1.2 se recogen (con pruebas) los requisitos sobre teor´ıa de grupos que no aparecen en mi libro deAlgebra´ y la secci´on 1.3 incluye (tambi´en con pruebas) algunos preliminares de teor´ıa de anillos, muchos de los cuales son generalizaciones inmediatas al caso de anillos no conmutativos de resultados expuestos en mi libro deAlgebra´ o en el de Algebra conmutativa.´ El cap´ıtulo IV requiere, adem´as de algunos hechos adicionales de teor´ıa de anillos recogidos en las secciones 1.3 y 1.4, un m´ınimo conocimiento de la teor´ıa de cuerpos locales, expuesta, por ejemplo, en mi libro deGeometr´ıa algebraica.

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Cap´ıtulo I

Introducci´

on y preliminares

Una cosa es tener definido un grupo (por ejemplo, un grupo de unidades de un anillo, un grupo de Galois de una extensi´on de cuerpos, etc.) y otra muy distinta tener una representaci´on clara de su estructura. A la hora de “com-prender un grupo”, resulta ´util encontrar un grupo isomorfo lo m´as “concreto” posible. Un recurso cl´asico es tratar de expresar un grupo dado como grupo de permutaciones:

Ejemplo Si definimos el grupo di´edrico de orden 8 como el grupo D4 de las

simetr´ıas de un cuadrado, tendremos una representaci´on m´as clara y manejable —que podemos incluso tomar como definici´on— si observamos que es isomorfo al subgrupo siguiente del grupo⌃4 de las permutaciones de 4 elementos (que

podemos identificar con los cuatro v´ertices del cuadrado):

D4={1,(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(4,3,2,1),(1,3),(2,4),(1,2)(3,4),(1,4)(2,3)}.

1

2 3

4 Las tres primeras (sin contar a 1) se corresponden con los giros de 90 , 180 y 270 , las dos siguientes son las simetr´ıas respecto de las diagonales y las dos ´ultimas son las simetr´ıas respecto de las mediatrices de los lados. Por ejemplo, a partir de esta representaci´on deD4es f´acil ver

que, si llamamos = (1,2,3,4) y⌧ = (1,3), entonces

D4={1, , 2, 3,⌧, ⌧, 2⌧, 3⌧}=h ,⌧i.

Adem´as, el producto en D4 puede calcularse a partir de estas expresiones

sin m´as que tener en cuenta que 4=2= 1 y que = 1.

Sin embargo, la interpretaci´on de D4 como el grupo de las simetr´ıas de un

cuadrado nos proporciona otra representaci´on concreta del mismo, como un grupo de matrices. En efecto, podemos identificar cada simetr´ıa del cuadrado con una aplicaci´on lineal enR2y ´esta a su vez con su matriz en la base can´onica:

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Ejemplo El giro de 90 enR2y la simetr´ıa respecto al ejeY son,

respectiva-mente, las aplicaciones lineales determinadas por las matrices

=

cos2⇡

4 sen24⇡

sen2⇡

4 cos24⇡

◆ = ✓ 0 1 1 0 ◆ , ⌧ = ✓ 1 0 0 1 ◆ .

Se comprueba f´acilmente que las matrices 1, , 2, 3,⌧, ⌧, 2⌧, 3son

dis-tintas dos a dos, as´ı como que satisfacen las relaciones 4=2= 1, = 1,

de donde se sigue que las ocho matrices son el subgrupo generado por y⌧, y que sus elementos son todas las simetr´ıas del cuadrado (la identidad, los tres gi-ros y las cuatro simetr´ıas propiamente dichas). Esto nos da una representaci´on (o una definici´on) alternativa deD4como grupo de matrices (como el subgrupo

generado por las matrices y⌧).

Una forma sencilla de comprobar que D4 como grupo de permutaciones es isomorfo a D4 como grupo de matrices es observar que si identificamos el conjunto {1,2,3,4} con los puntos de X = {(1,0),(0, 1),( 1,0),(0,1)} (de acuerdo con la numeraci´on de la figura), entonces, las permutaciones y⌧ son las restricciones aX de los automorfismos de R2 determinados por y ⌧, por lo que, en general, si identificamos cada matriz deD4 con el automorfismo que

determina enR2(respecto de la base can´onica), un isomorfismo entreD 4 como

grupo de automorfismos yD4 como grupo de permutaciones viene dado por la

restricci´on 7! |X.

Ejemplo Si cambiamos n= 4 por n = 3 en el ejemplo anterior, obtenemos una representaci´on matricial del grupo de simetr´ıas de un tri´angulo, que tiene seis elementos y es, por consiguiente, isomorfo al grupo⌃3de permutaciones de

tres elementos. Los generadores son

=

cos2⇡

3 sen23⇡

sen2⇡

3 cos23⇡

=

1/2 p3/2

p

3/2 1/2

◆ , ⌧= ✓ 1 0 0 1 ◆ .

Se comprueba f´acilmente que las seis matrices 1, , 2,⌧, ⌧, 2son distintas

dos a dos, as´ı como que 3=2= 1, = 1, de donde se sigue que el grupo h ,⌧itiene orden 6.

A primera vista, podr´ıa dudarse de si es m´as ´util representar un grupo finito como grupo de permutaciones o como grupo de matrices, pero sucede que las representaciones matriciales dan lugar a una potente herramienta cuyas posibilidades superan con creces a las que ofrecen las representaciones por grupos de permutaciones.

1.1

Representaciones lineales de grupos

Aunque los gruposD4y⌃3que hemos considerado en los ejemplos

(11)

1.1. Representaciones lineales de grupos 3

la posibilidad de representar cualquier grupo abstracto (aunque aqu´ı s´olo con-sideraremos grupos finitos) en forma de grupo de matrices. Esta idea se plasma en la definici´on siguiente:

Definici´on 1.1 Unarepresentaci´on matricialdegradon 1 de un grupo finito

Gsobre un anillo conmutativo1 Aes un homomorfismo de grupos

⇢:G !LG(n, A),

donde el grupo lineal general LG(n, A) es el grupo de las matrices inversibles de ordenn⇥ncon coeficientes enA. Diremos queAes elanillo de coeficientes de la representaci´on.

Notemos que la definici´on no exige que⇢sea inyectivo. (En tal caso se dice que la representaci´on esfiel.) En general, siN es el n´ucleo de⇢, tenemos que⇢

induce una representaci´on fiel del grupo cocienteG/N.

En los ejemplos precedentes hemos calculado una representaci´on fiel de grado 2 del grupoD4 sobreQy otra de⌃3sobre R.

A la hora de estudiar las representaciones matriciales, es ´util tener en cuenta que las matrices pueden identificarse con automorfismos de espacios vectoriales. Ello nos lleva a la definici´on siguiente:

Definici´on 1.2 Unarepresentaci´on linealdegradon 1 de un grupo finitoG

sobre unanillo de coeficientes(conmutativo)Aes un homomorfismo de grupos

⇢:G !AutA(V), dondeV es unA-m´odulo libre de rangon.

Si ⇢ : G ! Aut(V) es una representaci´on lineal de un grupo G, escribi-remos a menudo v = ⇢( )(v). En estos t´erminos, el hecho de que ⇢( ) sea un automorfismo de V y que ⇢sea un homomorfismo de grupos equivale a las relaciones

(v+w) =v +w , (↵v) =↵(v ), (v )⌧=v( ⌧),

dondev,w2V, , ⌧2G,↵2K.

La relaci´on entre las representaciones matriciales y las representaciones li-neales es evidente: toda representaci´on matricial⇢de grado n sobre un anillo

A determina una representaci´on lineal sobre cualquier A-m´odulo libre V de rango n respecto a una base B de V prefijada, sin m´as que asignar a cada

2Gel automorfismo deV que tiene matriz⇢( ) en la baseB.

Rec´ıprocamente, toda representaci´on lineal ⇢ en un A-m´odulo libre V de rangon determina una representaci´on matricial de gradon para cada baseB

deV, sin m´as que asignar a cada 2Gla matriz de⇢( ) en la baseB.

Ahora damos una definici´on de isomorfismo de representaciones que vuelve irrelevante la arbitrariedad en la elecci´on de las bases:

1Todos los anillos que vamos a considerar ser´an unitarios, pero no ser´an conmutativos salvo

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Definici´on 1.3 Diremos que dos representaciones lineales⇢i :G !Aut(Vi),

para i= 1,2 (sobre un mismo anillo de coeficientesA) son isomorfassi existe un isomorfismo de A-m´odulos : V1 ! V2 que cumpla ⇢2 = ⇢1 ¯, donde

¯ : Aut(V1) !Aut(V2) es el isomorfismo de grupos dado por ¯(f) = 1f .

Observemos que la condici´on⇢2=⇢1 ¯ es equivalente a que

(v ) = (v)

para todov2V1 y todo 2G.

Dos representaciones matriciales⇢i:G !LG(n, A) sonisomorfassi existe

una matriz M 2 LG(n, A) tal que, para todo 2 G, se cumple la relaci´on

⇢2( ) =M 1⇢1( )M.

Es inmediato que dos representaciones matriciales isomorfas dan lugar a representaciones lineales isomorfas independientemente de los m´odulos y las bases elegidas, as´ı como que dos representaciones lineales isomorfas dan lugar a representaciones matriciales isomorfas independientemente de las bases elegidas.

A continuaci´on vamos a mostrar una tercera estructura equivalente a la de representaci´on matricial y a la de representaci´on lineal. Se basa en la definici´on siguiente:

Definici´on 1.4 SiGes un grupo finito yAes un anillo conmutativo, llamare-mosA[G] al A-m´odulo libre de baseG, en el que consideraremos la estructura deA-´algebra2determinada por el producto siguiente:

(P

2G

↵ )(P

⌧2G

⌧⌧) = P

,⌧2G

↵ ⌧ ⌧.

Es evidente que el producto as´ı definido es bilineal y que extiende al producto de G. Teniendo esto en cuenta, se comprueba sin dificultad que cumple todas las propiedades necesarias para queA[G] sea ciertamente unaA-´algebra, cuya unidad es el elemento neutro deG.

Si ⇢ : G ! Aut(V) es una representaci´on lineal, podemos dotar a V de estructura deA[G]-m´odulo (por la derecha) mediante el producto dado por

v(P

2G

↵ ) = P

2G

↵ ⇢( )(v).

Notemos que el producto v seg´un esta definici´on coincide con el producto

v =⇢( )(v) que hab´ıamos definido. Rec´ıprocamente, siV es unA[G]-m´odulo que como A-m´odulo es libre de rango finiton, podemos definir una represen-taci´on⇢:G !Aut(V) mediante ⇢( )(v) =v .

De este modo, tenemos una correspondencia entre las representaciones li-neales de gradondeGy losA[G]-m´odulos (por la derecha) que sonA-m´odulos

2En ´algebra conmutativa, unaA-´algebraBse define como un anillo (conmutativo)Bcon

una estructura deA-m´odulo compatible, en el sentido de quea(b1b2) = (ab1)b2. Si no exigimos

queBsea conmutativo, hemos de a˜nadir quea(b1b2) = (ab1)b2=b1(ab2). En particular, si

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1.1. Representaciones lineales de grupos 5

libres de rango n. Es inmediato que dos representaciones son isomorfas si y s´olo si losA[G]-m´odulos correspondientes son isomorfos. M´as concretamente, un isomorfismo f : V1 ! V2 entre dos A-m´odulos libres es un isomorfismo entre dos representaciones lineales deGsi y s´olo si es un isomorfismo entre los

A[G]-m´odulos asociados.

Con esto tenemos ya determinado el objeto de estudio de este libro: vamos a ocuparnos de las representaciones lineales de grupos finitos, las cuales pueden estudiarse a trav´es de las representaciones lineales propiamente dichas, a trav´es de las representaciones matriciales o a trav´es de losA[G]-m´odulos asociados.

Observemos que, aunqueA sea un anillo conmutativo, el anillo A[G] no lo es salvo que el grupoGsea abeliano (una hip´otesis que no podemos permitir-nos), y ´esta es la raz´on por la que hemos advertido que no supondremos que los anillos con los que trabajemos sean conmutativos. S´olo vamos a considerar re-presentaciones sobre anillos de coeficientes conmutativos, pero losA[G]-m´odulos asociados ser´an m´odulos sobre anillos no necesariamente conmutativos.

En realidad nos va a interesar principalmente el caso en que el anillo de coeficientes A es un cuerpo K, pero hemos dado las definiciones para anillos conmutativos arbitrarios porque este caso general nos permitir´a m´as adelante relacionar las representaciones sobre cuerpos de caracter´ıstica 0 con las repre-sentaciones sobre cuerpos de caracter´ıstica prima.

Conviene precisar cu´al es el centro deA[G]. En general elcentrode un anillo

Ase define como el subanillo

Z(A) ={a2A|ab=bapara todob2A}.

Recordamos que dos elementos ⌧1,⌧2 2G se dicenconjugados si existe un

2Gtal que⌧2 = 1⌧1 . La conjugaci´on es una relaci´on de equivalencia en

G. Representaremos por clG(⌧) a la clase de conjugaci´on de⌧ enGy por cl(G)

al conjunto de todas las clases de conjugaci´on deG. SiAes un anillo conmutativo, es obvio que un elemento

x= P

2G

↵ 2A[G]

est´a en el centro deA[G] si y s´olo si conmuta con todos los elementos⌧2G, es decir, si cumple que⌧x=x⌧ o, equivalentemente,⌧x⌧ 1=x. Expl´ıcitamente:

P

2G

↵ ⌧ ⌧ 1= P

2G

↵ .

Teniendo en cuenta que 7! ⌧ ⌧ 1 es biyectiva con inversa 7! 1 ,

esto equivale a que P

2G

↵⌧ 1 = P 2G

↵ ,

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Teorema 1.5 Si Ges un grupo finito y A un anillo conmutativo el centro de

A[G] est´a formado por los elementos de la forma

P

c2cl(G)

↵cec, ↵c2A,

donde, para cada clase de conjugaci´onc2cl(G), llamamos

ec= P

2c

.

Equivalentemente,Z(A[G])es el subm´odulo deA[G] que tiene por base los ele-mentos ec.

Observemos ahora que siAes un subanillo de un anillo conmutativo B, en-tonces LG(n, A) es un subgrupo de LG(n, B), por lo que toda representaci´on ma-tricial de un grupoGsobreApuede considerarse tambi´en como representaci´on sobreB. Esto tiene un equivalente en t´erminos de representaciones lineales:

Definici´on 1.6 SeaAun subanillo de un anillo conmutativo B, sea V unA -m´odulo libre de rango finito y sea⇢: G !Aut(V) una representaci´on lineal de un grupo finito G. El producto tensorial3 V

B = B⌦AV es un B-m´odulo

libre del mismo rango queV, y podemos considerar el monomorfismo de grupos Aut(V) !Aut(VB) dado por↵7!1⌦↵, donde 1 :B !B es la identidad.

Definimos laextensi´on de coeficientes⇢B:G !Aut(V

B) como la composici´on

de⇢con este monomorfismo, que claramente es una representaci´on lineal deG

sobreB del mismo grado que⇢.

Concretamente, siv1, . . . , vnes unaA-base deV, entonces 1⌦v1, . . . ,1⌦vn

es una B-base deVB, y la representaci´on matricial de ⇢en la primera base es

la misma que la de⇢B en la segunda.

En t´erminos de m´odulos tenemos un isomorfismo naturalB[G]⇠=B⌦AA[G],

y⇢B est´a asociada a la estructura natural deB[G]-m´odulo enV

B dada por

(b⌦v)(b0⌦ ) = (bb0)⌦v .

Rec´ıprocamente, si una representaci´on deG con coeficientes enB es de la forma⇢B, para cierta representaci´oncon coeficientes enA, se dice que es

rea-lizablesobreA. Equivalentemente, una representaci´on lineal es realizable sobre un anillo A si est´a inducida por una representaci´on matricial con coeficientes enA.

Veamos un par de ejemplos generales de representaciones:

Definici´on 1.7 SiGes un grupo finito, larepresentaci´on trivialde gradondeG

sobre el anillo conmutativoAes la representaci´on matricial⇢:G !LG(n, A) dada por ⇢( ) =In para todo 2G. Sus representaciones lineales asociadas

son las representaciones enA-m´odulos libresV de rangonque cumplenv =v

para todov2V y todo 2G.

3Para las propiedades b´asicas del producto tensorial de m´odulos (sobre anillos no

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1.1. Representaciones lineales de grupos 7

Definici´on 1.8 SiGes un grupo finito, llamaremosrepresentaci´on regularde

Ga la representaci´on asociada a la estructura deA[G]-m´odulo deA[G]. Clara-mente es fiel y su grado es el orden deG.

Ahora veamos c´omo podemos construir nuevas representaciones a partir de unas dadas:

Definici´on 1.9 Si⇢i :G !Aut(Vi), para i= 1,2, son dos representaciones

lineales deG, definimos susuma directacomo la representaci´on

⇢1 ⇢2:G !Aut(V1 V2)

asociada a la suma directa de losA[G]-m´odulosV1 V2. Obviamente, se trata

de la representaci´on dada por (v1+v2) =v1 +v2 , dondev1 se calcula con ⇢1yv2 con⇢2.

Es claro que podemos definir igualmente la suma directa de cualquier n´umero finito de representaciones deG. El grado de la suma directa es la suma de los grados.

Definici´on 1.10 Si⇢i:G !Aut(Vi), parai= 1,2, son dos representaciones

lineales deG, definimos suproducto tensorialcomo la representaci´on

⇢1⌦⇢2:G !Aut(V1⌦AV2)

asociada alA-m´odulo libreV1⌦AV2con la estructura deA[G]-m´odulo dada por

(v1⌦v2) = (v1 )⌦(v2 ).

El grado del producto tensorial es el producto de los grados.

A partir de aqu´ı nos centraremos en las representaciones lineales sobre cuer-pos. Observemos que, siKes un cuerpo, todoK[G]-m´oduloV es libre sobreK, aunque, para que determine una representaci´on deGsobreK, hemos de exigir que su dimensi´on sobreKsea finita.

A la hora de estudiar las representaciones lineales de un grupo finito, es fundamental estudiar la posibilidad de expresar una representaci´on dada como suma de otras m´as sencillas. Tales sumandos han de ser subrepresentaciones, en el sentido siguiente:

Definici´on 1.11 Si⇢:G !Aut(V) es una representaci´on deGcon coeficien-tes en un cuerpoK, llamaremossubrepresentacionesde⇢a las representaciones

G !Aut(W) asociadas a losK[G]-subm´odulosW deV.

Notemos que, para que un subespacio vectorialW ⇢V sea unK[G]-subm´ o-dulo, es suficiente con queW ⇢W, para todo 2G.

Seg´un dec´ıamos, si ⇢ = ⇢1 ⇢2 : G ! Aut(V1 V2) es la suma de dos

representaciones ⇢1 y ⇢2, entonces ´estas son subrepresentaciones de ⇢, pues est´an asociadas a V1 yV2, que sonK[G]-subm´odulos deV1 V2.

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Teorema 1.12 Sea ⇢ : G ! Aut(V) una representaci´on de un grupo finito

G sobre un cuerpo K cuya caracter´ıstica no divida al orden de G, y sea W

un K[G]-subm´odulo de V. Entonces existe otro K[G]-subm´odulo W0 tal que

V =W W0.

Demostraci´on: SeaW0 cualquier subespacio vectorial de V que cumpla V =W W0, seap:V !W la proyecci´on y sea p0:V !W la aplicaci´on

lineal dada por4

p0(v) = 1

|G|

P

2G

p(v 1) .

Si w 2 W, entonces p(w 1) = (w 1) = w, luego p0(w) = w. Si

llamamosW0al n´ucleo dep0, es claro queV =W W0. Por otra parte,

p0(v⌧ 1)⌧= 1

|G|

P

2G

p(v⌧ 1 1) ⌧=p0(v).

Esto implica queW0 es unK[G]-subm´odulo, pues sip0(v) = 0, entonces

p0(v⌧)⌧ 1=p0(v) = 0,

luegop0(v⌧) = 0 y, por lo tanto,v⌧2W0.

Definici´on 1.13 Diremos que una representaci´on⇢:G !Aut(V) es irredu-ciblesiV no tiene m´asK[G]-subm´odulos que los triviales: 0 yV.

Por el teorema anterior, si una representaci´on no es irreducible, se descom-pone en suma directa de dos subrepresentaciones no triviales. Es claro entonces que toda representaci´on puede descomponerse en suma directa de representa-ciones irreducibles V = W1 · · · Wn. La descomposici´on no es ´unica, en

el sentido de que podemos elegir los subm´odulos Wi de formas distintas, pero

m´as adelante veremos que la descomposici´on es ´unica salvo isomorfismo, en el sentido de que dos descomposiciones cualesquiera de un mismo K[G]-m´odulo

V han de tener el mismo n´umero de sumandos y que, debidamente ordenados, cada sumando de una descomposici´on es isomorfo al sumando correspondiente de la otra.

Ahora bien, es crucial tener presente que todo esto s´olo es cierto bajo la hip´otesis del teorema anterior, a saber, que carK - |G|. (En particular, esto sucede si carK = 0.) Veamos un ejemplo de lo que puede suceder en caso contrario:

Teorema 1.14 Sea p un n´umero primo, sea K un cuerpo de caracter´ıstica p

y seaGun grupo de orden potencia de p. Entonces todo K[G]-m´odulo no nulo contiene un subm´odulo no nulo trivial (es decir, tal queGdeja invariantes a to-dos sus elementos). Por consiguiente, todoK[G]-m´odulo irreducible es isomorfo aK con la estructura deK[G]-m´odulo trivial.

(17)

1.1. Representaciones lineales de grupos 9

Demostraci´on: Sea V un K[G]-m´odulo no nulo y sea k = Z/pZ ⇢ K. Podemos considerar aV comok-espacio vectorial (tal vez de dimensi´on infinita). Tomemosv0 2V no nulo y sea V0 elk-espacio vectorial (de dimensi´on finita) generado por{v0 | 2G}.

Como V0 se descompone en suma directa de copias de k, tenemos que su cardinal es potencia de p. Claramente, si v 2 V0, se cumple que v 2 V0, y esto determina una acci´on5 deGsobreV0, respecto a la cual, la ´orbita de 0 se

reduce a{0}. No puede ser la ´unica ´orbita con un solo elemento, ya que, en tal caso, todas las dem´as ´orbitas tendr´ıan6 orden m´ultiplo de p, y concluir´ıamos

que|V0|⌘1 (m´odp), lo cual es imposible. As´ı pues, existe un v 2V0 no nulo

tal quev =v para todo 2G.

Por lo tanto, elK-espacio vectorialW generado porves unK[G]-subm´odulo trivial deV. SiV es irreducible, entonces ha de serV =W.

De este modo, si G tiene orden potencia de py K es un cuerpo de carac-ter´ıstica p, los ´unicos K[G]-m´odulos que se descomponen en suma directa de

K[G]-m´odulos irreducibles son los triviales, ya que las componentes irreducibles han de ser triviales y la suma deK[G]-m´odulos triviales es trivial.

Ejemplo Seapun n´umero primo,K=Z/pZy consideremos la matriz

=

1 1 0 1

2LG(2, K).

Se comprueba f´acilmente que

n=

1 n

0 1

,

por lo queG=h ies un grupo de ordenp. La inclusi´on⇢:G !LG(2, K) es una representaci´on matricial de pde grado 2. Consideremos la representaci´on lineal⇢:G !Aut(K2) asociada a la base can´onica deK2, de modo que

(1,0) = (1,1), (0,1) = (0,1).

Vemos que V = K2 es un K[G]-m´odulo no trivial, que, de acuerdo con

el teorema anterior, contiene como subm´odulo trivial al subespacio vectorial generado por (0,1), el cual no puede tener un subm´odulo complementario por las observaciones previas a este ejemplo.

El teorema 1.12 hace que las representaciones de grupos sobre cuerpos de ca-racter´ıstica cero tengan un comportamiento mucho m´as simple que sobre cuerpos de caracter´ıstica prima. Por ello se distingue entre lateor´ıa de representaciones ordinarias (sobre cuerpos de caracter´ıstica 0) y la teor´ıa de representaciones modulares(sobre cuerpos de caracter´ıstica prima, que es esencialmente an´aloga a la primera cuando la caracter´ıstica no divide al orden del grupo).

5ease el primer apartado de la secci´on 1.2, m´as abajo.

(18)

La caracter´ıstica m´as destacada de la teor´ıa de representaciones ordinarias es que ´estas quedan completamente determinadas por sus caracteres, en el sentido que definimos a continuaci´on.

Recordemos que la traza7 de una matriz cuadradaA= (a

ij) se define como

Tr(A) =P

i

aii.

La traza es invariante por semejanza, es decir, que, siM es una matriz regular, se cumple que Tr(M 1AM) = Tr(A). En particular, siV es un espacio vectorial

yf 2Aut(V), podemos definir la traza Tr(f) como la traza de la matriz de f

en cualquier base.

Definici´on 1.15 Sea⇢:G !Aut(V) una representaci´on de un grupo finitoG

en un K-espacio vectorialV. Llamaremos car´acter asociado a ⇢ a la funci´on

⇢ :G !Kdada por ⇢( ) = Tr(⇢( )). Los caracteres de las representaciones

de G se llaman tambi´en caracteres de G. Un car´acter es irreducible si est´a asociado a una representaci´on irreducible.

Claramente, dos representaciones isomorfas determinan el mismo car´acter. Observemos que, si ⇢ tiene gradon, entonces ⇢(1) es la identidad en V y su matriz asociada en cualquier base esIn, luego ⇢(1) =n.

Otro hecho obvio es que

⇢( 1⌧ ) = Tr(⇢( ) 1⇢(⌧)⇢( )) = Tr(⇢(⌧)) = ⇢(⌧).

En otras palabras: los caracteres son constantes sobre las clases de conju-gaci´on deG.

Ejemplo SearG el car´acter de la representaci´on regular de un grupoG.

En-tonces

rG( ) = ⇢

|G| si = 1, 0 si 6= 1.

En efecto, fijemos⌧ 2G. Si ⌧ 6= 1 la matriz de⇢(⌧) respecto de la baseG

tiene en la fila correspondiente a un ´unico 1 situado en la columna correspon-diente a ⌧ 6= , y ceros en los dem´as lugares, luego la diagonal es nula y, por consiguienterG(⌧) = 0.

Ejemplo El grupoD4 tiene 5 clases de conjugaci´on:

cl(D4) ={{1},{ , 3},{ 2},{⌧, 2⌧},{ ⌧, 3⌧}},

y se comprueba sin dificultad que el car´acter asociado a la representaci´on lineal que hemos construido en la p´agina 2 es el determinado por la tabla:

1 2

2 0 2 0 0

(19)

1.1. Representaciones lineales de grupos 11

Ejercicio: Calcular el car´acter asociado a la representaci´on de⌃3 construida en la p´agina 2.

El teorema siguiente muestra que la suma y el producto de caracteres es de nuevo un car´acter.

Teorema 1.16 Sean⇢i:G !Aut(Vi), parai= 1,2, dos representaciones de

un grupo G y sean i : G !K sus caracteres correspondientes. Entonces el

car´acter de⇢1 ⇢2 es 1+ 2, y el car´acter de⇢1⌦⇢2 es 1 2.

Demostraci´on: Si fijamos basesBideVi y llamamos ¯⇢i( ) a la matriz de

⇢i( ) en la baseBi, es claro que la matriz de (⇢1 ⇢2)( ) en la baseB1[B2

deV1 V2 es

¯

⇢1( ) 0

0 ⇢¯2( )

,

y la traza de esta matriz es 1( ) + 2( ).

SiB1={vi},B2={wj}, ¯⇢1( ) = (aij), ¯⇢2( ) = (bij), entonces

(⇢1⌦⇢2)( )(vi⌦wj) =⇢1( )(vi)⌦⇢2( )(vj)

=P

k

akivk⌦P l

bljwl=P k,l

akibljvk⌦wl.

La matriz (⇢1⌦⇢2)( ) en la baseB1⌦B2tiene una fila y una columna para

cada elemento vk⌦wl. Seg´un el c´alculo que acabamos de hacer, el elemento

que est´a en la fila y en la columna correspondientes a vi⌦wj esaiibjj, por lo

que la traza es P

i,j

aiibjj= 1( ) 2( ).

Terminamos esta secci´on con una observaci´on adicional ilustrada por el ejem-plo siguiente:

Ejemplo Consideremos la matriz

=

0 1 1 0

2LG(2,Q).

El grupo G = h i tiene orden 4 y la inclusi´on ⇢ : G ! LG(2,Q) de-termina una representaci´on matricial de G con coeficientes en Q. Tomemos

V =Q2 y consideremos la representaci´on lineal inducida por respecto de la

base can´onica. Resulta que es irreducible, pues unQ[G]-subm´odulo propio de

V deber´ıa ser un subespacio vectorialW =hwide dimensi´on 1, luego habr´ıa de serw =rw, para ciertor2Qno nulo. Ahora bien, entoncesr deber´ıa ser un valor propio de , es decir, una ra´ız del polinomio caracter´ıstico

(20)

Como este polinomio no tiene ra´ıces racionales, concluimos que, en efecto, la representaci´on es irreducible. Ahora bien, si consideramos VC = C2, el

mismo razonamiento prueba que VC s´ı que tiene C[G]-subm´odulos propios. Expl´ıcitamente:

VC=h(i,1)i h( i,1)i

As´ı pues, vemos que una representaci´on irreducible puede volverse reducible tras una extensi´on de constantes.

Aunque no podemos justificarlo todav´ıa, lo que marca la diferencia entre Qy C en lo tocante al ejemplo anterior es queC es algebraicamente cerrado. Como en muchos otros contextos algebraicos, sucede que “las cosas funcionan mejor cuando el cuerpo es algebraicamente cerrado” y, en efecto, sucede que la teor´ıa de representaciones m´as sencilla es la teor´ıa sobre cuerpos algebraicamente cerrados de caracter´ıstica 0, de la que nos ocuparemos en el cap´ıtulo siguiente.

1.2

Preliminares sobre grupos finitos

Recordamos ahora algunos hechos de la teor´ıa de grupos finitos que nos ser´an necesarios m´as adelante. Suponemos que el lector est´a familiarizado con los hechos m´as elementales.8

Acciones de grupos El concepto de acci´on de un grupo sobre un conjunto permite tratar de forma unificada una situaci´on (y, especialmente, un argu-mento) que aparece en contextos diversos.

Definici´on 1.17 Unaacci´onde un grupoGsobre un conjuntoX es un homo-morfismo ⇢: G ! ⌃X de Gen el grupo ⌃X de las permutaciones de X (es

decir, de las aplicaciones biyectivas de X en X, con el producto dado por la composici´on).

Si x 2 X y 2 G, escribiremos a menudo x =⇢( )(x). De este modo, para todox2X y ,⌧2G, se cumple que

x1 =x, (x )⌧=x( ⌧).

Una acci´on deGsobre un conjuntoX define una relaci´on de equivalencia en

X, a saber, la dada por

x⇠y si y s´olo si existe un 2Gtal quex =y.

Llamaremos´orbitadexa su clase de equivalencia, y la representaremos por

⌦x⇢X. Por otro lado, elestabilizadorde unx2X es el subgrupo

Gx={ 2G|x =x}.

El resultado fundamental sobre acciones de grupos es el siguiente:

(21)

1.2. Preliminares sobre grupos finitos 13

Teorema 1.18 Sea G un grupo finito que act´ua sobre un conjunto finito X.

Para cada x2X, se cumple que

|⌦x|=|G:Gx|.

Demostraci´on: Observemos quex =x⌧si y s´olo six ⌧ 1=x, si y s´olo si ⌧ 12G

x, si y s´olo siGx =Gx⌧. Por lo tanto, la aplicaci´onf :G/Gx !⌦x

dada porf(Gx ) =x est´a bien definida, es inyectiva y, por definici´on de ´orbita,

es suprayectiva.

En particular vemos que los cardinales de las ´orbitas han de dividir al orden del grupo.

Clases de conjugaci´on Recordemos que si Ges un grupo y 2G la con-jugaci´on por es la aplicaci´on ↵ :G ! Gdada por ↵ (⌧) =⌧ = 1 .

Se comprueba inmediatamente que↵ es un automorfismo deG. M´as a´un, la aplicaci´onG !Aut(G) dada por 7!↵ es un homomorfismo de grupos.

Observemos que un grupoGact´ua sobre s´ı mismo por conjugaci´on. La re-laci´on de equivalencia asociada a esta acci´on es la relaci´on de conjugaci´on que ya hemos considerado anteriormente, y la ´orbita de un 2 G respecto de la conjugaci´on es lo que hemos llamado su clase de conjugaci´on, y que representa-mos por clG( ). El estabilizador de un 2Grecibe el nombre decentralizador

de , y se representa por

CG( ) ={⌧2G| ⌧= }={⌧ 2G|⌧ = ⌧}.

Vemos que es el subgrupo formado por los elementos que conmutan con . El teorema 1.18 se particulariza al teorema siguiente:

Teorema 1.19 Si Ges un grupo finito y 2G, se cumple que

|clG( )|=|G:CG( )|.

Definimos el centrodeG como el subgrupo formado por los elementos que conmutan con todos los elementos deG, es decir:

Z(G) ={ 2G| ⌧=⌧ para todo⌧2G}.

Observemos que 2Z(G) si y s´olo si clG( ) ={ }. Es evidente queZ(G)

es un subgrupo normal abeliano de G. M´as a´un, todo subgrupo de Z(G) es normal enG.

Sabemos que un grupo finito G tiene|Z(G)| clases de conjugaci´on con un elemento y, digamos,n clases con m´as de un elemento. Sean 1, . . . , n

(22)

Teorema 1.20 (Ecuaci´on de clases) Si G es un grupo finito, existen ele-mentos 1, . . . , n2Gtales queCG( i)< Gy

|G|=|Z(G)|+Pn

i=1|

G:CG( i)|.

Recordemos que, sipes un n´umero primo, unp-grupoes un grupo de orden potencia dep. Una consecuencia de la ecuaci´on de clases es el hecho siguiente:

Teorema 1.21 Sipes un n´umero primo yGes unp-grupo, entoncesZ(G)6= 1.

Demostraci´on: Con la notaci´on del teorema anterior, comoCG( i)< G,

tenemos quep| |G:CG( i)|, luego la ecuaci´on de clases nos da quep| |Z(G)|,

luegoZ(G)6= 1.

De aqu´ı deducimos a su vez:

Teorema 1.22 Sipes un n´umero primo yGes unp-grupo no trivial, entonces

Gtiene un subgrupo normal de ´ındicep.

Demostraci´on: Lo probamos por inducci´on sobre el orden deG. Si|G|=p

el subgrupo trivial es un subgrupo normal de ´ındice p. Supongamos que el teorema es cierto para p-grupos de orden menor que |G|. Como Z(G) es un subgrupo abeliano no trivial, podemos tomar un 2 Z(G) de orden p. El subgrupo H = h i tiene orden p y es normal, por estar contenido en Z(G). Podemos suponer queH < G, pues ya hemos tratado el caso en que|G|=p. El grupo cocienteG/Htiene orden menor que|G|, luego por hip´otesis de inducci´on tiene un subgrupo normal N/H de ´ındice p. Es claro que N es un subgrupo normal enGde ´ındicep.

A su vez, esto implica que losp-grupos tienen subgrupos de todos los ´ordenes que dividen al orden del grupo.

Subgrupos de Sylow Si G es un grupo finito y p es un n´umero primo, podemos descomponer|G|=pnm, conp-m. Unp-subgrupo de SylowdeGes

un subgrupo de ordenpn.

Teorema 1.23 (Teorema de Sylow) Sea G un grupo finito y p un n´umero primo.

a) G tienep-subgrupos de Sylow.

b) Todop-subgrupo deG est´a contenido en unp-subgrupo de Sylow.

c) Dosp-subgrupos de Sylow cualesquiera deGson conjugados.

Demostraci´on: Demostraremos a) por inducci´on sobre el orden de G. Si

(23)

1.2. Preliminares sobre grupos finitos 15

Si p - |G|, entonces el subgrupo trivial es un p-subgrupo de Sylow de G. Supongamos, pues, quep |G|. Sea|G|=pn·m, con (p, m) = 1.

Distinguimos dos casos:

Caso 1Existe un subgrupo H < Gtal quep-|G:H|.

Entonces pn | |H| y por hip´otesis de inducci´onH tiene un p-subgrupo de

SylowP de ordenpn, y as´ı,P es tambi´en unp-subgrupo de Sylow de G.

Caso 2Para todo subgrupo H < G, se cumple quep| |G:H|.

Entonces la ecuaci´on de clases nos da que p |Z(G)|. Como se trata de un grupo abeliano,9 tiene un elemento de ordenpo, lo que es lo mismo, G tiene

un subgrupoH Z(G) de ordenp. Como los elementos de H conmutan con todos los elementos deG, es evidente queH es normal enG.

Se cumple que|G/H|=pn 1my, por hip´otesis de inducci´on, tiene un

sub-grupo de SylowP/H que cumplir´a|P/H|=pn 1, luego |P|=pn, es decir,P

es un subgrupo de Sylow deG.

Consideremos ahora Q un p-subgrupo de G. Entonces Q act´ua sobre el conjunto cocienteG/P por multiplicaci´on por la derecha (es decir, consideramos la acci´on⇢dada por⇢( )(P⌧) =P⌧ ).

El teorema 1.18 nos da que las ´orbitas de los elementos de G/P tienen cardinal potencia dep, sin excluir la posibilidad de que alguna tenga cardinal

p0= 1. De hecho, concluimos que alguna ´orbita ha de tener cardinal igual a 1,

pues, de lo contrario, el cardinal deG/P, que esm, ser´ıa suma de potencias (no triviales) dep, luego ser´ıa m´ultiplo dep.

As´ı pues, existe un 2Gtal que la clasex=P cumple|⌦x|= 1, de modo

queP ⌧ =P para todo ⌧ 2Q. En particular ⌧ 2P , luego⌧ 2P , para todo⌧ 2Q. Concluimos queQP y P es tambi´en un subgrupo de Sylow deG. Esto prueba b).

Si Q es tambi´en un p-subgrupo de Sylow de G, entonces ha de darse la igualdadQ=P , pues tenemos una inclusi´on y ambos grupos tienen el mismo orden. Esto prueba c).

En particular vemos que unp-subgrupo de Sylow es normal si y s´olo si es el ´

unicop-subgrupo de Sylow de G.

La existencia dep-subgrupos de Sylow junto con 1.22, implica que un grupo

Gtienep-subgrupos de todos los ´ordenes que dividen a|G|. En particular:

Teorema 1.24 SiGes un grupo finito ypes un primo tal quep| |G|, entonces

Gtiene un elemento de ordenp.

9Aqu´ı usamos que todo grupo abeliano es producto de grupos c´ıclicos, y que un grupo

(24)

Grupos resolubles, superresolubles y nilpotentes Recordemos que un grupo finitoGse diceresolublesi existe una serie de subgrupos

1 =G0EG1E· · ·EGn=G

con factoresGi/Gi 1 abelianos.

Diremos que G es superresoluble si adem´as se cumple que Gi E G y los

factoresGi/Gi 1 son c´ıclicos.

Diremos queGesnilpotentesi los factores son centrales, es decir, si

Gi/Gi 1Z(G/Gi 1),

(lo cual implica queGi/Gi 1EG/Gi 1 y a su vez queGiEG).

Teorema 1.25 Todo subgrupo y todo cociente de un grupo resoluble (resp. supe-rresoluble o nilpotente) es tambi´en resoluble (resp. supesupe-rresoluble o nilpotente).

Demostraci´on: Supongamos que G es resoluble, superresoluble o nilpo-tente y consideremos una serie de subgrupos seg´un la definici´on correspondiente. SiN EG, podemos considerar la serie

1 =G0N/N EG1N/N E· · ·EGnN/N =G/N.

Si G es superresoluble, es claro que GiN/N E G/N y si G es nilpotente,

tambi´en es claro que

GiN/N

Gi 1N/N 

Z

G/N

Gi 1N/N

,

pues si 2Gi y ⌧ 2G, entonces ⌧ =⌧ 0, para cierto 0 2Gi 1, de donde

se sigue que las clases de y ⌧ en el grupo de la izquierda conmutan entre s´ı. Por otra parte, tenemos un epimorfismo

Gi/Gi 1 !(GiN/N) (Gi 1N/N),

luego los factores son tambi´en abelianos o c´ıclicos si lo sonGi/Gi 1.

Similarmente, si HG, razonamos an´alogamente con la serie

1 =G0\H EG1\H E· · ·EGn\H =H,

donde ahora tenemos monomorfismos

(Gi\H)/(Gi 1\H) !Gi/Gi 1.

(25)

1.2. Preliminares sobre grupos finitos 17

Teorema 1.26 Si G es un grupo finito tal que G/Z(G) es superresoluble o nilpotente, entoncesGtambi´en lo es.

Demostraci´on: Sea

1 =G0/Z(G)EG1/Z(G)E· · ·EGn/Z(G) =G/Z(G)

una serie seg´un la definici´on de grupo superresoluble o nilpotente. Es claro que la serie

Z(G) =G0EG1E· · ·EGn=G

cumple tambi´en la definici´on para G salvo que quiz´a Z(G) 6= 1. Ahora bien, como Z(G) es abeliano, se descompone en producto de grupos c´ıclicos, y esta descomposici´on da lugar claramente a una serie

1 =N0EN1E· · ·ENm=Z(G)

con factores Ni/Ni 1 c´ıclicos. M´as a´un, es claro que Ni/Ni 1  Z(G/Ni 1),

luego al enlazar las dos series anteriores obtenemos una serie paraGque cumple la definici´on de grupo superresoluble o nilpotente.

Como consecuencia:

Teorema 1.27 Todo grupo nilpotente es superresoluble y todo grupo superreso-luble es resosuperreso-luble.

Demostraci´on: Es evidente que todo grupo superresoluble es resoluble. SeaGnilpotente y veamos que es superresoluble por inducci´on sobre el orden deG. Como paraG= 1 es trivial, podemos suponer que todo grupo nilpotente de orden menor que|G|es superresoluble. Tomemos una serie seg´un la definici´on de grupo nilpotente. Podemos suponer que 1 =G0< G1. ComoG1 Z(G), tenemos que Z(G)6= 1. Por consiguiente, G/Z(G) es un grupo nilpotente de orden menor queG, luego es superresoluble por hip´otesis de inducci´on, luegoG

es superresoluble por el teorema anterior.

Teorema 1.28 Todop-grupo es nilpotente.

Demostraci´on: Aplicamos el mismo razonamiento inductivo del teorema anterior: sabemos queZ(G)6= 1 (por el teorema 1.21), luegoG/Z(G) es nilpo-tente por hip´otesis de inducci´on y esto implica a su vez queGlo es.

Tambi´en es obvio que todo grupo abeliano es nilpotente.

Teorema 1.29 El producto directo de grupos resolubles (resp. superresolubles o nilpotentes) es resoluble (resp. superresoluble o nilpotente).

Demostraci´on: Para grupos resolubles basta observar que siG=H⇥K, entoncesH yG/H son resolubles. Para grupos nilpotentes basta observar que

Z(G) =Z(H)⇥Z(K)6= 1 y razonar por inducci´on: como

(26)

es nilpotente, lo mismo le sucede aG. Para grupos superresolubles razonamos como en 1.26, teniendo en cuenta que los subgrupos normales deH son tambi´en subgrupos normales deG.

Aunque no nos va a hacer falta, vamos a probar que los grupos nilpotentes son precisamente los productos dep-grupos. Para ello necesitamos un resultado previo. Se define el normalizador de un subgrupo H en un grupo G como el subgrupo

NG(H) ={ 2G|H =H}.

Teorema 1.30 Si Ges un grupo nilpotente yH < G, entoncesH < NG(H).

Demostraci´on: Sea 1 = G0 E G1 E · · · E Gn = G una serie seg´un la

definici´on de grupo nilpotente. Existe un i tal que Gi 1  H pero Gi 6 H.

Tomemos 2 Gi\H. Como Gi/Gi 1  Z(G/Gi 1), para cada h 2 H se

cumple queh Gi 1=hGi 1, luegoh 2H. Esto implica queH H y, como

ambos grupos tienen el mismo orden,H =H. Por lo tanto, 2NG(H)\H.

Teorema 1.31 Un grupo finito es nilpotente si y s´olo si es producto directo de

p-grupos (para distintos primosp).

Demostraci´on: Sea G un grupo nilpotente. Basta probar que tiene un ´

unico subgrupo de Sylow para cada primo p que divida a |G| y que G es el producto directo de todos ellos. Sea P  Gun p-subgrupo de Sylow. Como los p-subgrupos de Sylow son conjugados, la unicidad equivale a que P E G, y esto a su vez implica ya que el producto de los p-subgrupos de Sylow para todos los divisores primos de |G| es directo (pues el producto de todos ellos tiene orden igual a|G|y la intersecci´on de uno con el producto de los dem´as es necesariamente trivial, teniendo en cuenta sus ´ordenes).

As´ı pues, s´olo hemos de probar queP EG. Esto equivale a queNG(P) =G.

En caso contrario, el teorema anterior nos da queNG(P)< NG(NG(P)). Vamos

a ver que esto es imposible. Para ello tomamos 2NG(NG(P)), lo que significa

queNG(P) =NG(P). EntoncesP NG(P), pero, comoP ENG(P), sucede

queP es el ´unico p-subgrupo de Sylow deNG(P), luego ha de serP =P, lo

que implica que 2NG(P).

Como consecuencia, un grupo nilpotente tiene subgrupos de todos los ´ orde-nes que dividen al orden del grupo.

M´as adelante necesitaremos este hecho elemental:

Teorema 1.32 Si G es un grupo finito superresoluble no abeliano, entonces

existe un subgrupo normal abelianoN que cumpleZ(G)CNCG.

Demostraci´on: El cocienteG/Z(G)6= 1 es superresoluble, luego podemos considerar el primer t´ermino no trivialN/Z(G)EG/Z(G) de una serie seg´un la definici´on de grupo superresoluble. As´ı, se cumple que Z(G) C N E G y

(27)

1.3. Preliminares sobre anillos 19

1.3

Preliminares sobre anillos

Los resultados de esta secci´on no ser´an necesarios en el cap´ıtulo siguiente, por lo que tal vez el lector prefiera salt´arsela de momento y volver despu´es sobre ella cuando ya est´e familiarizado con la teor´ıa de caracteres.

M´odulos e ideales Tal y como hemos advertido en la secci´on precedente, el estudio de las representaciones de grupos nos obligar´a a trabajar con m´odulos sobre anillos no conmutativos. Recordemos que, si A es un anillo no necesa-riamente conmutativo, debemos distinguir entre A-m´odulos por la izquierda y

A-m´odulos por la derecha, seg´un si los escalares de A multiplican por la iz-quierda o por la derecha a los elementos del m´odulo M. La diferencia ser´ıa meramente un convenio de escritura si no fuera por la propiedad asociativa del producto, que es

(ab)m=a(bm) por la izquierda, y m(ab) = (ma)b por la derecha.

Si tratamos de escribir la propiedad asociativa paraA-m´odulos derechos con los escalares a la izquierda obtenemos (ab)m=b(am), que no es lo mismo que la propiedad asociativa para A-m´odulos izquierdos (salvo que el anillo A sea conmutativo).

SiAyBson dos anillos, unA-B-bim´oduloes un conjuntoMcon estructura de A-m´odulo por la izquierda, de B-m´odulo por la derecha y que cumple la propiedad asociativa mixta (am)b=a(mb), paraa2A,m2M yb2B.

En particular, un anillo A puede considerarse de forma natural como A -m´odulo por la izquierda y comoA-m´odulo por la derecha (lo que lo convierte en unA-A-bim´odulo) y, en general, ambas estructuras son distintas y no debemos confundirlas. (V´eanse los ejemplos de las p´aginas 21 y 22.) Por ejemplo, un ideal izquierdo(resp. derecho)IdeAes un subm´odulo respecto de la estructura de A-m´odulo por la izquierda (resp. por la derecha) de A. Expl´ıcitamente, es un subconjuntoI⇢A no vac´ıo que cumple las propiedades siguientes:

a) a+b2I para todoa,b2I,

b) ab2Ipara todoa2Ay todob2I(resp. para todoa2Iy todob2A).

Unideal bil´ateroes un subconjunto deA que es a la vez un ideal izquierdo y derecho.

SiI es un ideal izquierdo (resp. derecho), el grupo cociente A/I tiene una estructura natural de A-m´odulo por la izquierda (resp. por la derecha), pero para que herede la estructura de anillo deA es necesario y suficiente queIsea un ideal bil´atero.10

Aunque ya lo hemos se˜nalado al definir las ´algebras A[G], repetimos aqu´ı por conveniencia la definici´on de ´algebra no (necesariamente) conmutativa:

10Veamos la necesidad: sia2Ayb2I, entonces [ab] = [a][b] = [a][0] = 0, luegoab2I.

(28)

Definici´on 1.33 SiA es un anillo conmutativo, unaA-´algebraB es un anillo dotado de estructura de A-m´odulo de forma quea(b1b2) = (ab1)b2 = b1(ab2),

para todoa2A,b1, b22B.

En particular, si B es un anillo yAes un subanillo contenido en su centro, entoncesB tiene una estructura natural de A-´algebra.

Para terminar este primer ep´ıgrafe, recordamos la definici´on de sucesi´on exacta de homomorfismos de grupos (en particular, de m´odulos):

Definici´on 1.34 Una cadena de homomorfismos de grupos

· · · !M ↵!N !R !· · ·

esexactaenN si cumple Im↵= N( ). La sucesi´on completa esexactasi lo es

en todos sus m´odulos.

En particular, una sucesi´on 0 !M ↵!N es exacta enM si y s´olo si↵es inyectiva, mientras que una sucesi´onM !N !0 es exacta enN si y s´olo si

↵es suprayectiva.

Unasucesi´on exacta corta es una sucesi´on exacta de la forma

0 !M0 ↵!M !M00 !0,

de modo queM0 puede identificarse con un subm´odulo deM yM00=M/M0.

Si M =M0 M00, podemos formar obviamente una sucesi´on exacta corta

con↵(m0) =m0 y (m0+m00) =m00. Cuando una sucesi´on exacta corta es de

esta forma se dice que se escinde. M´as concretamente, se dice que una sucesi´on exacta corta se escinde si cumple cualquiera de las condiciones del teorema siguiente:

Teorema 1.35 Sea 0 !M0 i1 !M p2

!M00 !0una sucesi´on exacta corta

de m´odulos. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

a) Si M1 =i1[M0], existe un subm´odulo M2 ⇢ M tal que M =M1 M2.

(Obviamente, entonces, M2⇠=M00).

b) Existe un homomorfismoi2:M00 !M tal quei2 p2= 1.

c) Existe un homomorfismop1:M !M0 tal quei1 p1= 1.

Demostraci´on: a) ) b) Observemos quep2|M2 : M2 !M00 es un

iso-morfismo. En efecto, sip2(m2) = 0, entoncesm22M1\M2= 0. Basta tomar

i2= (p2|M2) 1.

b) )a) TomamosM2=i2[M00]. Sim2M, entoncesm i2(p2(m))2M1,

pues

(29)

1.3. Preliminares sobre anillos 21

Por consiguiente,m2M1+M2yM=M1+M2. Un punto deM1\M2 es

de la formam=i1(m0) =i2(m00), luego aplicandop2vemos quem00= 0, luego m= 0. Esto prueba que la suma es directa.

a) )c) Tomamos como p1 la proyecci´on asociada a la descomposici´on en suma directa.

c) ) a) Tomamos como M2 el n´ucleo de p1. Si m 2 M, se comprueba

f´acilmente que m i1(p1(m))2M2, luegoM =M1+M2, y sim2M1\M2,

entoncesm=i1(m0) y 0 =p1(m) =m0, luegom= 0. Esto prueba que la suma

es directa.

Anillos y m´odulos noetherianos Estudiamos ahora dos importantes con-diciones de finitud sobre un anillo.

Definici´on 1.36 SeaAun anillo yM unA-m´odulo (por la izquierda o por la derecha). Se dice queM esnoetheriano(resp.artiniano) si no contiene cadenas estrictamente crecientes (resp. decrecientes) de subm´odulos. Un anillo A es

artiniano (resp.noetheriano) por la izquierda (o por la derecha) si lo es como

A-m´odulo por la izquierda (o por la derecha).

Es claro que un A-m´oduloM es noetheriano (resp. artiniano) si cualquier familia no vac´ıa de subm´odulos tiene un elemento maximal (resp. minimal) respecto de la inclusi´on.

Teorema 1.37 Un A-m´odulo M es noetheriano si y s´olo si todos sus subm´ o-dulos son finitamente generados.

Demostraci´on: SiM es un A-m´odulo y tiene un subm´odulo N no fini-tamente generado, tomamosn1 2 N, de modo que hn1i N, luego existe un

n2 2 N \hn1i, de modo que hn1i hn1, n2i N, y de este modo podemos

construir una cadena estrictamente creciente de subm´odulos, luego M no es noetheriano.

Rec´ıprocamente, si todo subm´odulo deMes finitamente generado y tenemos una cadena de subm´odulos

M1⇢M2⇢M3⇢· · ·,

tenemos que la uni´on de todos ellos, llam´emoslaN, es tambi´en un subm´odulo de

M. Por hip´otesis tiene un generador finito, que estar´a contenido en alg´unMi,

y es claro entonces queMi=M, luego la cadena no es estrictamente creciente.

Ejemplo El anilloA formado por las matrices

m r

0 s

,

(30)

En efecto, observemos en primer lugar que

m1 r1

0 s1

◆ ✓

m2 r2

0 s2

=

m1m2 m1r2+r1s2

0 s1s2

,

por lo queA es ciertamente un anillo (unitario). En particular,

✓ m r 0 s ◆ ✓ 0 t 0 0 ◆ = ✓ 0 mt 0 0 ◆ ,

por lo que, si llamamosatal segundo factor, tenemos que

Aa1 Aa1/2 Aa1/4 Aa1/8 · · ·

lo que prueba queA no es noetheriano por la izquierda. Sea ahoraI un ideal derecho de A y llamemos I0 ⇢ I al ideal formado por las matrices de I que cumplenm= 0. Como

0 r1

0 s1

◆ ✓

m2 r2

0 s2

=

0 r1s2

0 s1s2

,

es claro que I0 es ciertamente un ideal derecho, as´ı como que la aplicaci´on

I0 !Q2 que a cada matriz le asigna su par de coordenadas (r, s) es un

mo-nomorfismo de grupos cuya imagen es un subespacio vectorial deQ2. Por

con-siguiente, dicha imagen admite un sistema generador con dos elementos (no necesariamente independientes). Si llamamosa1, a22I0 a sus antiim´agenes en I0, es f´acil ver queI0=ha1, a2i.

Si I = I0, entonces ya tenemos que I es finitamente generado. En caso

contrario, seaa3 2I una matriz cuyo valor m=m06= 0 sea el menor posible

en valor absoluto. Multiplicando a3 por Id si fuera necesario (donde Id es

la matriz identidad), podemos suponer que m0 > 0. Si a 2 I, dividimos su

coeficientem entrem0, de modo quem=cm0+r, con 0r < m0. Entonces

a a3(cId) 2 I tiene m = r, luego, por la minimalidad de m0, ha de ser

m=r= 0, luegoa a3(cId)2I0. Esto prueba queI=ha1, a2, a3i, luegoAes noetheriano por la derecha.

Ejemplo El anilloA formado por las matrices

r ↵

0

,

donde r2Q,↵, 2R, es artiniano por la derecha, pero no por la izquierda.

En efecto, siV ⇢Res unQ-espacio vectorial, se comprueba inmediatamente que el conjunto I(V)⇢ A de las matrices con r = = 0, ↵2 V es un ideal izquierdo de A. ComoRtiene dimensi´on infinita sobreQ, podemos tomar una familia de subespacios vectoriales

(31)

1.3. Preliminares sobre anillos 23

que da lugar a una cadena de ideales

· · · I(V3) I(V2) I(V1) I(V0)⇢A,

lo que prueba queAno es artiniano por la izquierda. Supongamos ahora que

· · ·⇢I3⇢I2⇢I1⇢I0⇢A

es una cadena de ideales derechos. LlamemosI0

n al ideal formado por los

ele-mentos de In que cumplen r = 0. Se comprueba f´acilmente que la aplicaci´on

I0

n ! R2 que a cada matriz le asigna su par (↵, ) es un monomorfismo de

grupos cuya imagen es un R-espacio vectorial. Por consiguiente, la sucesi´on

I0

0 I10 I20 · · · ha de estabilizarse, es decir, existe un ideal derechoI0 tal

queI0

n =I0 para todo nsuficientemente grande. No perdemos generalidad si

suponemos que esto sucede para todon.

Si alg´un n cumple In = I0, entonces Im = I0 para todo m n, con lo

que la cadena se estabiliza. En caso contrarioIn 6=I0 para todon. Tomemos

a02I0\I0

0. No perdemos generalidad si suponemos quea0tiener= 1.

Si a2 In tiene primer coeficiente igual a r, entoncesa a0(rId)2 I0, lo

que prueba queIn=I0+ha0i, luego la sucesi´on es constante. Esto prueba que

A no contiene cadenas estrictamente decrecientes de ideales derechos, luegoA

es artiniano por la derecha.

Teorema 1.38 Si 0 !M0 ! M !M00 !0 es una sucesi´on exacta de

homomorfismos deA-m´odulos, entoncesM es noetheriano (resp. artiniano) si

y s´olo si lo sonM0 y M00.

Demostraci´on: Supongamos queMes artiniano. Obviamente, una cadena descendente de subm´odulos deM0 lo es tambi´en deM, luego siM es artiniano M0tambi´en lo es. Similarmente, una cadena descendente de subm´odulos deM00

ha de ser de la forma

M0/M00 M1/M00 M2/M00 · · ·

La cadena de los “numeradores” se ha de estabilizar, luego lo mismo le sucede a la cadena dada.

SiM0yM00son artinianos y tenemos una cadena descendente de subm´odulos

deM, digamos

M0 M1 M2 · · ·

entonces las cadenas {Mn \M0}n y {(Mn+M0)/M0}n se han de estabilizar

paransuficientemente grande. Si

Mn\M0 =Mn+1\M0, (Mn+M0)/M0 = (Mn+1+M0)/M0,

entonces Mn = Mn+1, pues si m 2 Mn entonces m+M0 = m00+M0, para

un m00 2 Mn+1, luego existe un m0 2 M0 tal que m = m0+m00. Entonces m02M0\Mn, luegom02Mn+1, luegom2Mn+1. Esto prueba que la cadena

de partida se estabiliza.

(32)

De aqu´ı se sigue inmediatamente que la suma directa de dos (y, por con-siguiente, de un n´umero finito de) m´odulos noetherianos (resp. artinianos) es noetheriana (resp. artiniana). A su vez, de aqu´ı se sigue el teorema siguiente:

Teorema 1.39 SiAes un anillo noetheriano (resp. artiniano) (por la izquierda

o por la derecha), entonces, todo A-m´odulo finitamente generado (por la

iz-quierda o por la derecha) es noetheriano (resp. artiniano).

Demostraci´on: Esto se debe a que M se puede expresar como cociente de una suma directa de un n´umero finito de copias de A (considerado como

A-m´odulo por la izquierda o por la derecha).

M´odulos de longitud finita Vamos a estudiar los m´odulos que son si-mult´aneamente noetherianos y artinianos.

Definici´on 1.40 SiA es un anillo, un A-m´odulo M es simple oirreducible si

M6= 0 y no contiene m´as subm´odulos que los subm´odulos impropios: 0 yM.

En estos t´erminos, una representaci´on lineal⇢:G !Aut(V) es irreducible si y s´olo siV es unK[G]-m´odulo irreducible.

Definici´on 1.41 Unaserie de composici´onde unA-m´oduloMes una sucesi´on de subm´odulos

0 =M0 M1 · · · Ml=M

tal que cada factor Mi/Mi 1 es simple. El n´umero l se llama longitud de la

serie. Se dice que M es un A-m´odulo de longitud finita si tiene una serie de composici´on. Diremos que un anilloA tienelongitud finita(por la izquierda o por la derecha) si tiene longitud finita comoA-m´odulo.

Luego veremos que, tal y como hemos anunciado, estos m´odulos no son sino los m´odulos noetherianos y artinianos al mismo tiempo. Antes hemos de probar otros resultados, entre ellos el que justifica el nombre de “m´odulos de longitud finita”. Necesitamos algunos resultados previos:

Teorema 1.42 (Zassenhaus) Sea A un anillo, sea M un A-m´odulo y sean

N0N, y R0 Rsubm´odulos deM. Entonces

N0+ (N\R) N0+ (N\R0) ⇠=

R0+ (N\R) R0+ (N0\R).

Demostraci´on: Basta probar que

N0+ (N\R) N0+ (N\R0) ⇠=

N\R

(N\R0) + (N0\R)

pues intercambiandoN yRobtenemos un isomorfismo an´alogo donde el miem-bro izquierdo es el miemmiem-bro derecho del enunciado y el miemmiem-bro derecho es el mismo. Para ello definimos

(33)

1.3. Preliminares sobre anillos 25

mediantef(n0+m) = [m]. La definici´on es correcta, pues sin0

1+m1=n02+m2,

conn0

i2N0,mi2N\R, entonces

m1 m2=n02 n012(N\R)\N0=N0\R⇢(N\R0) + (N0\R).

Es claro quef es un epimorfismo de m´odulos y se cumple quef(n0+m) = 0

si y s´olo sim2(N\R0) + (N0\R), si y s´olo si

n0+m2N0+ (N\R0) + (N0\R) =N0+ (N\R0).

As´ı pues, el n´ucleo def esn0+ (N\R0) y el teorema queda probado. Se dice que una serie de subm´odulos

0 =M0⇢M1⇢· · ·⇢Mn =M

es unrefinamientode otra serie dada si resulta de intercalar subm´odulos entre los de dicha otra serie.

Teorema 1.43 (Schreier) SiA es un anillo yM es unA-m´odulo, dos series cualesquiera de subm´odulos deMadmiten refinamientos equivalentes, en el sen-tido de que cada factor de un refinamiento se corresponde biun´ıvocamente con un factor isomorfo del otro refinamiento.

Demostraci´on: Consideremos dos series de subm´odulos:

0 =N0⇢N1⇢· · ·⇢Nk=M, 0 =R0⇢R1⇢· · ·⇢Rl=M.

Entre Ni 1 yNi intercalamos los subm´odulos

Ni 1=Ni 1+ (Ni\R0)⇢Ni 1+ (Ni\R1)⇢· · ·⇢Ni 1+ (Ni\Rl) =Ni

y, del mismo modo, entreRj 1 yRj insertamos

Rj 1=Rj 1+ (Rj\N0)⇢Rj 1+ (Rj\N1)⇢· · ·⇢Rj 1+ (Rj\Nk) =Rj.

De este modo hemos obtenido refinamientos de longitud kl y el teorema anterior nos da que

Ni 1+ (Ni\Rj)

Ni 1+ (Ni\Rj 1) ⇠

= Rj 1+ (Ni\Rj)

Rj 1+ (Ni 1\Rj)

,

es decir, que elj-´esimo factor insertado entre Ni 1 yNi es isomorfo ali-´esimo

factor insertado entreRj 1yRj.

Teorema 1.44 (Jordan-H¨older) Si A es un anillo y M es un A-m´odulo de

longitud finita, dos series de composici´on cualesquiera de M tienen la misma

(34)

Demostraci´on: Dadas dos series de composici´on de M, les aplicamos el teorema anterior para obtener dos refinamientos equivalentes. Las series de partida, por definici´on, no tienen factores triviales, pero los refinamientos cons-truidos en el teorema anterior pueden tenerlos. Ahora bien, cada factor trivial de un refinamiento se corresponde biun´ıvocamente con otro factor trivial del otro, luego si eliminamos los m´odulos repetidos de ambos refinamientos, segui-mos teniendo refinamientos equivalentes, pero ahora sin factores triviales. Esto significa que, en cada serie de composici´on, hemos intercalado m´odulos estric-tamente comprendidos entre sus t´erminos, pero, como los factores son simples, no existen tales m´odulos. Esto s´olo es posible si las series dadas eran ya equi-valentes, lo que, en particular, supone que tienen la misma longitud.

As´ı pues, siM es unA-m´odulo de longitud finita, podemos definir su longi-tud, que representaremos porl(M), como la longitud de cualquiera de sus series de composici´on. M´as a´un, podemos hablar de sus factores de composici´on, definidos (salvo isomorfismo) como los A-m´odulos simples que aparecen como factores en cualquier serie de composici´on deM. M´as a´un, para cada factor de composici´on deM podemos definir su multiplicidad como el n´umero de veces que aparece en una serie de composici´on deM. En series distintas, los factores de composici´on pueden aparecer en un orden distinto, pero el teorema anterior prueba que cada uno de ellos aparecer´a siempre el mismo n´umero de veces, es decir, que la multiplicidad enMde un factor de composici´on est´a bien definida.

El mismo argumento que hemos usado en la prueba del teorema 1.44 (apli-cado ahora a una serie de composici´on y una serie arbitraria) nos da el teorema siguiente:

Teorema 1.45 Si M es un m´odulo de longitud finita, toda serie en M (con factores no triviales) puede refinarse hasta una serie de composici´on.

Ahora ya podemos demostrar lo que hab´ıamos anticipado:

Teorema 1.46 Un m´odulo tiene longitud finita si y s´olo si es noetheriano y artiniano.

Demostraci´on: Si un A-m´oduloM tiene longitud finita, entonces ha de ser noetheriano y artiniano, pues cualquier cadena estrictamente creciente o decreciente de subm´odulos ha de tener longitud menor que l(M). Si M es noetheriano y artiniano a la vez, podemos construir como sigue una serie de composici´on:

Sea M0 = 0. Si M0 6= M, tomamos como M1 un subm´odulo minimal

entre los subm´odulos que contienen estrictamente a M0. (Existe porque M

es artiniano). As´ı M1/M0 es simple. Si M1 6= M, tomamos como M2 un subm´odulo minimal entre los subm´odulos que contienen estrictamente a M1, con lo queM2/M1 es simple. ComoM es noetheriano, la serie

(35)

1.3. Preliminares sobre anillos 27

no puede prolongarse indefinidamente, luego, tras un n´umero finito de pasos, hemos de llegar aMn=M y as´ı tenemos una serie de composici´on.

El teorema 1.39 nos da ahora la consecuencia siguiente:

Teorema 1.47 Si A es un anillo de longitud finita (por la izquierda o por la

derecha), entonces todo A-m´odulo (izquierdo o derecho) finitamente generado

tiene longitud finita.

La conexi´on con la teor´ıa de representaciones consiste en que si K es un cuerpo yGes un grupo finito, entonces laK-´algebraK[G] tiene longitud finita (por la izquierda y por la derecha), pues sus ideales izquierdos y derechos son

K-espacios vectoriales, luego una cadena estrictamente creciente o decreciente de ideales no puede tener longitud mayor que|G|.

Teorema 1.48 Sea A un anillo y M un A-m´odulo (por la izquierda o por la

derecha). EntoncesM es simple si y s´olo si es isomorfo a A/I, donde I es un

ideal maximal (izquierdo o derecho) deA.

Demostraci´on: Consideremos el caso en queM es unA-m´odulo derecho. Por definici´on, I es un ideal maximal derecho si I A y no existen ideales derechos I J A, lo que implica inmediatamente queA/I es unA-m´odulo simple. Rec´ıprocamente, siM es unA-m´odulo simple, existem2M no nulo. El homomorfismo A ! M dado por a 7! ma tiene imagen no trivial, luego ha de ser suprayectivo, y su n´ucleo I (que es un subm´odulo derecho deA, es decir, un ideal derecho) ha de ser un ideal maximal derecho, pues el isomorfismo

A/I ⇠=M transformar´ıa un idealI J A en un subm´odulo propio de M.

SiAtiene longitud finita, la serie 0⇢I Apuede refinarse hasta una serie de composici´on de A, lo que muestra que A/I es un factor de composici´on de

A. En definitiva, vemos que siA es un anillo de longitud finita, entonces todo

A-m´odulo simple es isomorfo a un factor de composici´on de A. En particular, s´olo hay un n´umero finito de clases de isomorfismo deA-m´odulos simples.

Para terminar probamos que la longitud de los m´odulos de longitud finita es aditiva respecto a sucesiones exactas:

Teorema 1.49 Si 0 !M0 ! M !M00 !0 es una sucesi´on exacta de

m´odulos, entonces M tiene longitud finita si y s´olo si la tienen M0 y M00, en

cuyo casol(M) =l(M0) +l(M00).

Demostraci´on: SiM tiene longitud finita, la serie 0 ⇢ M0 M puede

refinarse hasta una serie de composici´on (aqu´ı suponemos que 0 6= M0 6= M,

pues en caso contrario el teorema es obvio). Los t´erminos intercalados entre 0 yM0 forman una serie de composici´on de M0, mientras que los intercalados

entreM0 yM determinan una serie de composici´on de M00. La relaci´on entre

las longitudes es obvia.

Rec´ıprocamente, siM0yM00tienen longitud finita, una serie de composici´on

deM00determina una serie con factores simples entreM0yM, que, unida a una

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