En esta secci´on demostraremos algunos resultados topol´ogicos sobre homo- morfismos de esquemas, todos ellos basados en la noci´on de conjunto construc- tible que definimos a continuaci´on:
Definici´on 1.25 Si X es un espacio topol´ogico, un subconjunto E ⊂ X es
constructiblesi es de la forma E= n i=1 (Ui∩Ci),
donde los conjuntosUi⊂X son abiertos y losCi⊂X cerrados.
Es evidente que el complementario, una uni´on finita y una intersecci´on finita de conjuntos constructibles es constructible. Equivalentemente, la familia de todos los subconjuntos constructibles de X es el ´algebra de Boole generada por los abiertos deX. Tambi´en es evidente que la antiimagen de un conjunto constructible por una aplicaci´on continua es constructible.
Usaremos a menudo el teorema siguiente:
Teorema 1.26 Si X es un espacio topol´ogico noetheriano y E ⊂X, las afir- maciones siguientes son equivalentes:
a) E es constructible.
b) Para todo cerrado irreducibleT ⊂X, o bienE∩T contiene un abierto no vac´ıo deT, o bienE∩T es diseminado en T, es decir, su clausura tiene interior vac´ıo.
Demostraci´on: Si E es constructible, entonces E ∩T es constructible
enT, luego podemos suponer queX =T es irreducible. Expresemos E seg´un la definici´on de conjunto constructible. Podemos suponer queUi∩Ci=∅para
todo i. Si uno de losCi contiene a Ui, entoncesE contiene el abierto no vac´ıo
Ui. En caso contrario, los abiertos Ui\(Ui∩Ci) son no vac´ıos. Como X es
irreducible, su intersecci´on tambi´en es no vac´ıa, y es un abiertoV ⊂X\E. As´ı, E ⊂X\V, luegoE no puede contener ning´un abierto no vac´ıo, ya que dicho abierto no cortar´ıa aV.
Vamos a probar el rec´ıproco por inducci´on noetheriana, es decir, probaremos que todos los subconjuntos cerrados deX cumplen el teorema. Si no fuera as´ı, podr´ıamos encontrar un cerradoX0que no cumple el teorema pero tal que todo cerrado estrictamente contenido en X0 s´ı que lo cumple. Equivalentemente, podemos suponer que todo cerrado estrictamente contenido en X cumple el teorema y probar queX tambi´en lo cumple.
Sea, pues, E ⊂ X un subconjunto que cumpla b). Si Y X es cerrado, tenemos queE∩Y cumple b) paraY, luego, por hip´otesis de inducci´onE∩Y es constructible enY (luego tambi´en en X).
Si X es reducible, digamos X = X1∪X2, donde X1 y X2 son cerrados estrictamente contenidos enX, entonces tenemos queE= (E∩X1)∪(E∩X2) es constructible.
Supongamos, pues, que X es irreducible. En tal caso podemos aplicar b) a T =X, y tenemos dos posibilidades: o bienE contiene un abierto no vac´ıo U, en cuyo casoE=U∪(E∩(X\U)) es constructible por la hip´otesis de inducci´on aplicada al cerradoX\U, o bienE⊂EX, en cuyo casoE es constructible por la hip´otesis de inducci´on aplicada aE.
Una forma de probar que un conjunto es abierto es demostrar primero que es constructible y luego aplicar el teorema siguiente:
Teorema 1.27 Sea X un esquema noetheriano yE⊂X un subconjunto cons- tructible. Entonces E es abierto si y s´olo si es estable por generalizaci´on, es decir, si cuando contiene un punto contiene a todas sus generalizaciones.
Demostraci´on: Es obvio que los abiertos son estables por generalizaci´on.
Supongamos ahora que E tiene esta propiedad. Como en el teorema anterior, razonamos por inducci´on noetheriana. SiY X es cerrado, es obvio queE∩Y es constructible enY y estable por generalizaci´on, luegoE∩Y es abierto enY. SiX es reducible, digamosX=X1∪X2, conX1,X2cerrados estrictamente contenidos enX, entonces
X\E= ((X\E)∩X1)∪((X\E)∩X2)
es cerrado enX por hip´otesis de inducci´on, luegoEes abierto. Si X es irredu- cible, podemos suponer queE=∅, en cuyo casoE contiene al punto gen´erico de X, es decir, es denso. El teorema 1.26 implica entonces queE contiene un abierto no vac´ıoU, con lo queE =U∩((X\U)∩E) es abierto por hip´otesis de inducci´on.
Ahora nos hace falta un resultado t´ecnico:
Teorema 1.28 Sea X = EspB un esquema af´ın noetheriano y sea E un sub- conjunto constructible de X. Entonces existe una B-´algebra B finitamente generada tal que la imagen del homomorfismoEspB−→X es exactamenteE.
Demostraci´on: Supongamos en primer lugar que E =U ∩C, donde C
es cerrado y U es un abierto principal, U =D(b), con b ∈B. Pongamos que C =V(I), donde I es un ideal de B. Sea B = (B/I)b. Claramente B est´a
generada sobreB por 1/¯b, y es inmediato que cumple el teorema.
En el caso general, podemos expresar E como uni´on finita de conjuntos Ui∩Ci, para i = 1, . . . , m, donde los abiertosUi son principales. Sea Bi una
B-´algebra que cumpla el teorema paraUi∩Ci y seaB =B1 ⊕ · · · ⊕Bm , de
modo que EspB puede verse como la uni´on disjunta de los esquemas EspBi, y nuevamente es obvia la conclusi´on.
Teorema 1.29 (Chevaley) Sea f :X −→Y un homomorfismo de tipo finito entre esquemas noetherianos. SiE⊂X es un conjunto constructible, entonces
f[E]es constructible.
Demostraci´on: Podemos cubrirY por un n´umero finito de abiertos afines
U, y basta probar quef[E]∩U =f[E∩f−1[U]] es constructible. Puesto que E∩f−1[U] es constructible, no perdemos generalidad si suponemos que Y = EspAes af´ın. Similarmente, podemos cubrirXpor un n´umero finito de abiertos afinesV, y basta probar que cadaf[E∩V] es constructible. Equivalentemente, podemos suponer queX = EspB tambi´en es af´ın.
Supongamos en primer lugar queE=X y veamos quef[X] es constructible mediante el teorema 1.26. Sea T un cerrado irreducible en Y, que ser´a de la formaT =V(p) = Esp(A/p), para ciertop∈EspA. Suponemos quef[X]∩T no es diseminado enT (es decir, que es denso) y hemos de probar que contiene un abierto no vac´ıo deT.
Sean A = A/p, B = B/pB. As´ı, el homomorfismo φ : A −→ B se corresponde con la restricci´on f−1[T]−→T, que es densa. Notemos que φ es inyectivo, ya que siI es su n´ucleo, entoncesf[X]∩T ⊂V(I), luego ha de ser V(I) = EspA y, en particular, I contiene al ideal nulo. Ahora es claro que basta demostrar lo siguiente:
SiAes un dominio ´ıntegro noetheriano y B es un anillo que contiene aAy es finitamente generado como A-´algebra, la imagen del homomorfismo natural
f : EspB−→EspA contiene un abierto no vac´ıo.
Pongamos que B = A[x1, . . . , xn] y digamos que x1, . . . , xr son algebrai-
camente independientes, mientras que los dem´as xi son algebraicos sobre el
´
algebra A∗ =A[x1, . . . , xr]. Entonces, cada xi con i > rcumple una ecuaci´on
de la forma
gi0(x)xdii+gi1(x)xdii−1+· · ·= 0,
donde losgij(x)∈A[x1, . . . , xr] son polinomios ygi0(x)= 0. Podemos suponer quer < n, ya que en caso contrariof ser´ıa claramente suprayectivo. Sea
g(x) =
n
i=r+1 gi0(x),
que es un polinomio no nulo. Seaa∈Auno de sus coeficientes no nulos. Vamos a probar que el abierto principal D(a) est´a contenido en la imagen de f. Sea
p ∈ EspA tal que a /∈ p y sea p∗ = pA∗ (el conjunto de los polinomios con coeficientes enp). Entonces g /∈p∗, luegoBp∗ es una extensi´on entera de A∗p∗
(pues en las relaciones polin´omicas de losxipodemos dividir entre el coeficiente
director).
Por [AC 3.63] existe un primoPdeBp∗ cuya imagen enAp∗∗ esp∗A∗p∗. As´ı,
P∩A=P∩A∗p∗∩A=p∗Ap∗∗∩A∗∩A=p∗A∗∩A=p,
Esto acaba la prueba de quef[X] es constructible. SiE⊂X es un conjunto constructible arbitrario, el teorema anterior nos da un homomorfismo de tipo finitoX−→X cuya imagen esE, luego la imagen de la composici´onX−→Y esf[E], que resulta ser constructible por la parte ya probada.
Para homomorfismos planos la situaci´on es m´as simple:
Teorema 1.30 Todo homomorfismo plano de tipo finito entre esquemas local- mente noetherianos es abierto.
Demostraci´on: Sea f : X −→ Y en las condiciones del enunciado y
sea U ⊂ X un abierto. Si V ⊂ Y es un abierto noetheriano, basta probar que el conjunto f[U]∩V =f[U ∩f−1[V]] es abierto, luego podemos suponer que Y es af´ın y noetheriano. Similarmente, descomponiendo U en uni´on de abiertos afines, podemos suponer queU =X es af´ın. Por el teorema anterior sabemos quef[X] es constructible, y por 1.27 basta probar que es estable por generalizaci´on.
Equivalentemente, tenemos un homomorfismo plano de tipo finitoA−→B entre anillos noetherianos y queremos probar que si P ∈ EspB y q ∈ EspA cumplen q ⊂ p = P∩A, entonces existe un Q ∈ EspB tal que Q ⊂ P y
q=Q∩A.
Podemos cambiarA yB por Ap yBP o, equivalentemente, suponer queA
yBson anillos locales. EntoncesBes fielmente plano sobreA, y basta tener el cuenta el teorema 1.24.
Veamos ahora qu´e podemos decir si eliminamos la condici´on de finitud. Nos restringiremos al caso de esquemas afines:
Teorema 1.31 Sea f :X −→Y un homomorfismo de un esquema af´ın X en un esquema af´ın noetheriano Y. Entoncesf[X] es intersecci´on de una familia de conjuntos constructibles deY.
Demostraci´on: Sea X = EspB, Y = EspA. Sea F la familia de las
sub´algebras deBque son finitamente generadas sobreA. Para cadaC∈F, sea XC = EspC y sea gC : XC −→Y el homomorfismo natural. Por el teorema
1.29, tenemos quegC[XC] es constructible enY. Los diagramas conmutativos
X Y XC muestran que f[X]⊂ C∈F gC[XC].
Vamos a probar que se da la igualdad. Para ello tomamos un p∈Y \f[X]. Esto significa que la fibra depes vac´ıa o, equivalentemente, queBp/pBp= 0, o
tambi´en quepBp=Bp. A su vez, esto significa que podemos expresar 1 = n i=1 πi(bi/s),
donde πi ∈ p, bi ∈ B, s ∈ A\p. La igualdad es en Bp, lo que significa,
expl´ıcitamente, que existe uns∈A\ptal que, en B, s(
n
i=1
πibi−s) = 0.
Tomemos C ∈ F que contenga a los bi. Entonces, deshaciendo los pasos
anteriores llegamos a quep(BC)p= (BC)p o, lo que es lo mismo, a que la fibra
deprespecto agC es vac´ıa o, tambi´en, a que p∈Y \gC[XC].
Vamos a combinar el teorema anterior con el siguiente:
Teorema 1.32 Sea X un esquema af´ın noetheriano y E una intersecci´on de subconjuntos constructibles deX. SiE es estable por especializaci´on (es decir, cuando contiene a un punto, contiene a todas sus especializaciones), entonces
E es cerrado.
Demostraci´on: Pongamos que E =
i∈I
Ei, donde cada Ei ⊂X es cons-
tructible.
SeaW una componente irreducible deE yξ∈W su punto gen´erico. Enton- cesW ∩E es denso enW. En efecto, un abierto no vac´ıo enW es de la forma U∩W, dondeU es abierto en X. SiV es el complemento enX de las dem´as componentes irreducibles deE, entoncesV ∩W =∅, y, comoW es irreducible, U∩V ∩W =∅. Claramente, entonces, U∩V ∩E=∅, y cualquier punto en esta intersecci´on est´a enU ∩W∩E=∅.
Por consiguiente,W∩Eitambi´en es denso enW. Por 1.26, vemos queW∩Ei
contiene un abierto enW no vac´ıo, luegoξ∈Ei. Como esto es cierto para todo
i, resulta que ξ ∈ E. Pero todos los puntos de W son especializaciones de ξ, luegoW ⊂E. Como esto es cierto para todas las componentes irreduciblesW, concluimos queE=E.
Ahora podemos probar un ´ultimo teorema sobre los homomorfismos fiel- mente planos:
Teorema 1.33 Sea A un anillo noetheriano, B una A-´algebra, X = EspB,
Y = EspA y f :X −→ Y el homomorfismo natural. Si B es fielmente plano sobre A, entonces un conjunto C ⊂Y es cerrado en Y si y s´olo si f−1[C] es
cerrado en X.
Demostraci´on: Supongamos que f−1[C] es cerrado en X. Esto significa
quef−1[C] =V(I), dondeI es un ideal deB. Sabemos quef es suprayectivo por 1.24, luegoC =f[f−1[C]]. Aplicamos 1.31 al homomorfismo asociado a la composici´on A−→B −→B/I, que nos da queC es intersecci´on de conjuntos
constructibles. Por el teorema anterior, basta probar que C es cerrado por especializaciones.
Tomemos, pues, p1, p2 ∈ Y, p2 ⊂ p1, p2 ∈ C. Hemos de probar que
p1 ∈ C. Podemos tomar P1 ∈ X tal que f(P1) = p1. El homomorfismo natural Ap1 −→ BP1 es plano, luego fielmente plano, luego el homomorfismo
EspBP1 −→ EspAp1 es suprayectivo, luego existe un ideal P2 ∈ X tal que P2⊂P1, f(P2) =p2. ComoP2∈f−1[C] y este conjunto es cerrado, tambi´en
P1∈f−1[C], luego p1∈C.
Notemos que, bajo las hip´otesis del teorema anterior, se cumple igualmente que un conjunto U ⊂ Y es abierto si y s´olo si f−1[U] es abierto en X. Esto significa que la topolog´ıa deY es la topolog´ıa cociente inducida porf desdeX.
Cap´ıtulo II
Anillos locales completos
Dedicamos este segundo cap´ıtulo a demostrar algunos resultados sobre ani- llos locales completos respecto a la topolog´ıam-´adica determinada por su ideal maximal. Recordemos que, en general, [AC 4.2 y 4.8] siA es un anillo,Ies un ideal deAyM es unA-m´odulo, la topolog´ıaI-´adica enM es la ´unica topolog´ıa enM compatible con la estructura deA-m´odulo (es decir, que hace continuas a las operaciones deM) y que tiene a los subm´odulosInM como base de entornos
de 0. Seg´un [AC 4.21], siM es finitamente generado eIest´a contenido en todos los ideales maximales deA(en particular, siAes local eIes su ideal maximal) entonces la topolog´ıaI-´adica enM es de Hausdorff.
2.1
Suavidad formal
La suavidad formal es un concepto t´ecnico debido a Grothendieck que nos permitir´a demostrar f´acilmente algunos teoremas de estructura sobre anillos locales completos debidos a Cohen, as´ı como otras propiedades de inter´es de este tipo de anillos.
Definici´on 2.1 Sea Aun anillo,B unaA-´algebra eI un ideal deB. Diremos que B es I-suave sobre A si para toda A-´algebra C, todo ideal N de C tal que N2 = 0 y todo A-homomorfismo u: B −→ C/N tal que u[In] = 0 para
cierton≥1 (es decir, que sea continuo cuando enB consideramos la topolog´ıa I-´adica y enC/N la topolog´ıa discreta), existe unA-homomorfismov que hace conmutativo el diagrama B u v C/N C
Diremos que v es una elevaci´on de u. Si cada u tiene una ´unica elevaci´on v diremos queB esI-llanosobreA.
Notemos que la elevaci´onv es necesariamente continua, ya que siu[In] = 0, entoncesv[In]⊂N, luegov[I2n]⊂N2= 0.
La condici´on N2 = 0 en la definici´on anterior supone la reducci´on al caso m´as simple de la propiedad que realmente tiene inter´es, y que viene dada por el teorema siguiente:
Teorema 2.2 Sea A un anillo, B una A-´algebra, I un ideal deB, C una A- ´
algebra completa y de Hausdorff para la topolog´ıaN-´adica y u:B−→C/N un homomorfismo continuo (considerando en B la topolog´ıa I-´adica y en C/N la topolog´ıa discreta). Entoncesutiene una elevaci´onv:B−→C.
Demostraci´on: Podemos considerar aC/N como cociente deC/N2sobre
el idealN=N/N2, para el que se cumpleN2= 0. La definici´on anterior nos da una elevaci´on (continua)u2 :B −→C/N2. Nuevamente, podemos considerar C/N2 como cociente de C/N3 respecto al ideal N = N2/N3, que tambi´en cumpleN2= 0, lo que nos da una elevaci´onu3:B−→C/N3. Procediendo de este modo, obtenemos homomorfismos continuosui que a su vez determinan un
homomorfismo (claramente continuo)v:B −→ ←−l´ım
i C/N
i= ˆC=Cque cumple
el teorema.
Notemos que la hip´otesis de queCtenga la propiedad de Hausdorff respecto de la topolog´ıa N-´adica se usa al final de la prueba, al identificar a C con su compleci´on ˆC.
Veamos ahora algunas propiedades elementales de la suavidad formal: Teorema 2.3 SeanA−→g B−→g B homomorfismos de anillos de modo queg
sea continuo para la topolog´ıaI-´adica deB y la topolog´ıaI-´adica deB. Si B
esI-suave (resp. llano) sobreAyB esI-suave (resp. llano) sobreB, entonces
B esI-suave (resp. llano) sobreA.
Demostraci´on: Consideremos el diagrama siguiente, dondeu,CyN est´an
en las condiciones de la definici´on de anillo I-suave sobreA:
B u v C/N B g w C
Comog◦ues unA-homomorfismo continuo, se eleva a unA-homomorfismo w que hace conmutativo el diagrama. ´Este convierte a C en una B-´algebra y a u en un B-homomorfismo. Usando que B es I-suave sobre B, obtenemos un B-homomorfismov que hace conmutativo el diagrama, el cual prueba que B es tambi´en I-suave sobre A. La versi´on para anillos llanos se obtiene sin dificultad.
Teorema 2.4 SeaAun anillo, seanB yAdosA-´algebras y seaB =B⊗AA. Si B es I-suave (resp. llano) sobre A, entonces B es IB-suave (resp. llano) sobreA.
Demostraci´on: Tenemos el diagrama siguiente:
B p B u w C/N A A C
donde u[(IB)n] = 0, con lo que (pu)[In] = 0. Esto implica quepu se eleva a unA-homomorfismo v : B −→ C. ´Este induce a su vez unA-homomorfismo w:B −→C, y es f´acil ver que es una elevaci´on de u. Las unicidades para el caso de anillos llanos son inmediatas.
Veamos algunos ejemplos de suavidad formal. En primer lugar, es inme- diato que un anillo de polinomiosA[X1, . . . , Xn] es 0-suave sobreA. Otro caso
elemental es el siguiente:
Teorema 2.5 SeaAun anillo yS⊂Aun subconjunto multiplicativo. Entonces
S−1Aes 0-llano sobreA.
Demostraci´on: Si tenemos un A-homomorfismo u : S−1A −→ C/N en
las condiciones de la definici´on, para cada s ∈ S necesariamente u(s) = [s] (identificandos=s·1∈C), y [s] es una unidad enC/N. Esto implica queses una unidad enC, ya que en caso contrario existir´ıa un ideal primoP deC tal ques∈C, pero, como N es nilpotente, ser´ıaN ⊂P, y entonces [s]∈P/N no podr´ıa ser una unidad.
El hecho de que los elementos deSsean unidades deCimplica que existe un ´
unicoA-homomorfismov : S−1A −→C, que claramente es la ´unica elevaci´on posible deu.
Teorema 2.6 Sea B un anillo local, sea m su ideal maximal y sea Bˆ su com- pleci´on. Entonces B es m-suave (resp.m-llano) sobre un anilloA si y s´olo si
ˆ
B es m-suave (resp.ˆ m-llano) sobreˆ A.
Demostraci´on: La clave est´a en que todo homomorfismou:B −→C/N
tal que u[mn] = 0 se extiende a un ´unico homomorfismo ˆu : ˆB −→ C/N, a saber, el inducido por los homomorfismosur:B/mr−→C/N, parar≥n. (En
t´erminos topol´ogicos, comoC/N es un anillo topol´ogico discreto, es completo, y todo homomorfismo continuo deB enC/N se extiende a la compleci´on deB.) La extensi´on cumple adem´as que ˆu[ ˆmn] = 0.
As´ı, si ˆB es ˆm suave (resp. llano) sobre A, el homomorfismo ˆu se eleva a un (´unico)A-homomorfismo ˆv: ˆB −→C, que a su vez se restringe a un ´unico A-homomorfismov : B −→C, que es una elevaci´on de u, luego B es m-suave (resp. llano) sobreA.
Rec´ıprocamente, si B esm-suave (resp. llano) sobre A, un homomorfismo ˆ
u: ˆB−→C/Nse restringe a un homomorfismou:B−→C/N, que se eleva a un (´unico) homomorfismov:B−→C, que se extiende a un ´unico homomorfismo ˆ
v: ˆB −→Cque eleva a ˆu. As´ı pues, ˆB es ˆm-llano (resp. suave) sobreA. En particular, como A es obviamente m-llano sobre A, el teorema anterior implica que ˆAes ˆm-llano sobreA.
Teorema 2.7 SeaK/k una extensi´on de cuerpos.
a) Si es algebraica separable, entonces K es0-llano sobrek. b) Si es separablemente generada, entoncesK es 0-suave sobre k.
Demostraci´on: a) Sea C unak-´algebra,N ⊂C un ideal tal queN2 = 0
y u : K −→ C/N un k-homomorfismo. Consideremos una extensi´on finita intermediak⊂L⊂K. Por el teorema del elemento primitivo, ser´a de la forma L=k(α). Seaf(X)∈k[X] el polinomio m´ınimo deα. La separabilidad nos da quef(α)= 0. Sea y∈C un representante deu(α). As´ı,
[f(y)] =f(u(α)) =u(f(α)) = 0, luegof(y)∈N. ComoN2= 0, para todon∈N tenemos que
f(y+n) =f(y) +f(y)n.
(La igualdad es k-lineal enf, luego basta probarla para f =Xi.) Perof(α)
es una unidad enK, luego u(f(α)) = [f(y)] es una unidad enC/N, de donde se sigue que f(y) es una unidad en C. (Por el mismo argumento empleado en la prueba del teorema anterior.) Tomemos entoncesn=−f(y)/f(y)∈N. De este modo, f(y+n) = 0. Cambiando y por y+n tenemos que f(y) = 0. Ahora podemos definir vL :L=k[X]/(f(X))−→C mediantevL(α) =y, que
claramente es una elevaci´on deu|L.
Observemos que la elevaci´onvL es ´unica, ya que, si tuvi´eramos dos, cum-
plir´ıan que v1(α) = v2(α) +n, con n ∈ y f(v1(α)) = f(v2(α)) = 0, luego f(v1(α))n = 0 y, seg´un hemos visto, f(v1(α)) ser´ıa una unidad en C, luego n= 0, luego v1(α) =v2(α), luegov1=v2.
Esta unicidad permite extender todas las elevaciones vL hasta un (´unico)
k-homomorfismov:K−→C, que es una elevaci´on deu.
b) La hip´otesis significa queK es separable sobre una extensi´on puramente trascendentek(X) dek(dondeX es un conjunto de indeterminadas). Por 2.3 y el apartado anterior, podemos suponer que K=k(X). La 0-suavidad se sigue inmediatamente de la definici´on: si tenemos un homomorfismou:K−→C/N, tomamos un conjuntoY ⊂Ccuyas clases m´oduloN sean las im´agenes porude las indeterminadas deX. Existe unk-homomorfismo de anillosv0:k[X]−→C que biyectaX conY, de modo que compuesto conC−→C/N es la restricci´on de u. Los elementos de v0[k[X]] son unidades en C/N (porque est´an en el cuerpou[K]), luego tambi´en son unidades enC. Esto permite extenderv0a un monomorfismov:K−→C que obviamente eleva au.
Para obtener otros ejemplos de suavidad formal vamos a necesitar varios resultados previos. El primero es elemental:
Teorema 2.8 SeaA un anillo noetheriano local cuyo ideal maximal sea nilpo- tente. Entonces unA-m´odulo es plano si y s´olo si es libre.
Demostraci´on: En general, todo m´odulo libre es plano. Supongamos
ahora queM es unA-m´odulo plano, seamel ideal maximal deAy seak=A/m
el cuerpo de restos. Tomemos un conjuntoB⊂M tal que las im´agenes deBen M/mM =M ⊗Ak sean unak-base y vamos a probar queB es unaA-base de
M. SeaN el subm´odulo generado porB. Tenemos queM =N+mM, luego M/N=m(M/N) =m2(M/N) =m3(M/N) =· · ·
Como m es nilpotente, concluimos que M/N = 0, luego B es un sistema generador deM.
Ahora basta demostrar que sim1, . . . , mn ∈M sonk-linealmente indepen-
dientes enM/mM, entonces son tambi´enA-linealmente independientes. Razo- namos por inducci´on sobre n. Si n= 1, suponemos que am1 = 0 y hemos de probar quea= 0.
SeaK⊂Ael n´ucleo del homomorfismoA−→Adado por la multiplicaci´on pora. La sucesi´on exactaK−→A−→a Ada lugar a otra sucesi´on exacta
K⊗AM −→M −→a M.
Como x1 est´a en el n´ucleo de la multiplicaci´on por a, podemos expresarlo como x1 = b1y1+· · ·+bryr, donde bi ∈ A y abi = 0. Como x1 no es nulo
enM/mM, no todos losbi est´an en m, es decir, alg´unbi es una unidad, luego
a= 0.
Supongamos ahora que a1x1+· · ·+anxn = 0, con n > 1. Razonamos
igualmente, pero ahora partiendo del homomorfismo An −→ A determinado por (b1, . . . , bn)→a1b1+· · ·+anbn. Ahora tenemos una sucesi´on exacta
K⊗AM −→Mn−→M
y (x1, . . . , xn) est´a en el n´ucleo del segundo homomorfismo, luego
xi= j bijyij, i aibij = 0.
Comoxn∈/mM, ha de serbnj ∈/m para alg´unj. As´ı,bnj es una unidad, lo
que nos permite expresaran como combinaci´on lineal de los otros ai, digamos
an = c1a1+· · ·+cn−1an−1. Sustituyendo en la combinaci´on lineal original, resulta que
a1(x1+c1xn) +· · ·+an−1(xn−1+cn−1xn) = 0
Es claro que los elementos xi +cixn son k-linealmente independientes en
M/mM, luego, por hip´otesis de inducci´on, concluimos quea1=· · ·=an−1= 0, de donde tambi´enan = 0, ya que es combinaci´on lineal de losai.
Seguidamente probamos algunos resultados sobre la cohomolog´ıa de las ex-