Recordamos ahora las propiedades b´asicas de las curvas el´ıpticas expues- tas en el cap´ıtulo II de [CE], aunque aqu´ı las presentaremos en el lenguaje de la teor´ıa de esquemas desarrollada en [E]. Debemos se˜nalar que en [CE] tra- baj´abamos ´unicamente con curvas definidas sobre cuerpos perfectos, mientras que aqu´ı no necesitaremos esa hip´otesis salvo cuando lo indiquemos expl´ıcita- mente.
Recordemos que unaecuaci´on de Weierstrass(homog´enea) con coeficientes en un cuerpoK es una ecuaci´on c´ubica de la forma
F =Y2Z+a1XY Z+a3Y Z2−X3−a2X2Z−a4XZ2−a6Z3= 0, conai∈K.
Sea ¯K una clausura algebraica deK. En primer lugar demostraremos que F es irreducible en ¯K[X, Y, Z] (luego tambi´en en K[X, Y, Z]). Para ello es m´as pr´actico razonar en t´erminos de la geometr´ıa cl´asica. Consideremos el conjunto algebraico proyectivo V(F) ⊂ P2( ¯K) en sentido cl´asico, es decir, el conjunto de los puntos de P2( ¯K) cuyas coordenadas homog´eneas cumplen la ecuaci´on. Observamos que corta a la recta Z = 0 ´unicamente en el punto o = [0,1,0]. Para estudiar este punto podemos deshomogeneizar la ecuaci´on respecto deY, con lo que nos queda la ecuaci´on
F∗(X, Z) =Z+a1XZ+a3Z2−X3−a2X2Z−a4XZ2−a6Z3= 0. El puntoo se corresponde ahora cono= (0,0).
Consideremos un factor irreducibleF0 deF en ¯K[X, Y, Z], que ser´a un po- linomio homog´eneo que definir´a una curva irreducible V(F0). Es claro que no puede ser F0 = Z, luego V(F0) corta a V(Z) al menos en un punto (por [GA 3.24]). Ahora bien, comoV(F0)⊂V(F), dicho punto no puede ser sinoo. Esto implica que F0∗(0,0) = 0. Por consiguiente, si F puede descomponerse en factores irreducibles, esta factorizaci´on dar´a lugar a una descomposici´on de F∗(X, Z) en otros tantos factores, todos los cuales se anular´an en (0,0). Si hay m´as de uno (no necesariamente distintos), podemos factorizar F∗ =f1f2, con f1(0,0) = f2(0,0) = 0. Aplicando la regla de derivaci´on del producto, esto implica que ∂F∗ ∂Z (0,0) = 0,
mientras que un calculo directo muestra que la derivada vale 1, contradicci´on. A partir de aqu´ı consideraremos la curva proyectiva en sentido abstracto
C/K = Proy(K[X, Y, Z]/(F)) = ProyK[x, y, z].
Puesto que, seg´un acabamos de ver, el polinomioF es irreducible, tenemos que C/K es una curva ´ıntegra y, m´as a´un, geom´etricamente ´ıntegra.
El hecho de que, en t´erminos cl´asicos, la curva corte a la rectaZ= 0 s´olo en el punto [0,1,0], se traduce ahora en que el cerradoV(z)⊂Ccontiene ´unicamente al puntoo= (x, z). Esto es algo que podemos constatar directamente: Por una parte,oes ciertamente un ideal primo homog´eneo deK[x, y, z]. Es primo porque
K[x, y, z]/o∼=K[X, Y, Z]/(X, Z)∼=K[Y],
que es un dominio ´ıntegro. Por otra parte, los generadoresx,y,z satisfacen la ecuaci´on de Weierstrass,
y2z+a1xyz+a3yz2=x3+a2x2z+a4xz2+a6z3
luego un ideal primo homog´eneop∈C que contenga azdebe contener tambi´en a x3, luego a x, de modo que o ⊂p. Adem´as se ha de dar la igualdad, pues si tuviera alg´un generador homog´eneo no contenido eno, ser´ıa de la formayn,
luego tendr´ıamos quey∈p y, por consiguiente,p= (x, y, z), contradicci´on. Para estudiar el puntooconsideramos su entorno af´ın
D(y) = Esp(K[X, Z]/(F∗)),
en el cual se corresponde con el punto o = (x, z), visto ahora como ideal de K[X, X]/(F∗). Vemos que es un punto racional, y adem´as es geom´etricamente regular, pues su ´unica antiimagen enUK¯, que es tambi´eno= (x, z), es regular, seg´un se desprende del criterio jacobiano 4.1, ya que
∂F∗ ∂Z (0,0) = 1.
Comooes geom´etricamente regular, en particular es regular. Esto es pr´acti- camente todo lo que necesitamos saber del puntoo: que es racional y geom´etrica- mente regular. Para estudiar los restantes puntos deCconsideraremos el abierto af´ınU =D(z) definido por la deshomogeneizaci´on deF respecto deZ:
f =Y2+a1XY +a3Y −X3−a2X2−a4X−a6= 0.
En la pr´actica escribiremos siempre las ecuaciones de Weierstrass en su forma af´ınf, es decir, deshomogeneizadas respecto de Z. El polinomiof define una curva af´ınU = Esp(K[X, Y]/(f)), pero, cuando hablemos de “la curva definida por una ecuaci´on de Weierstrass (af´ın)”, no nos referiremos a U/K, sino a la curva proyectiva C/K definida por la ecuaci´on homog´enea correspondiente. A los puntos deU los llamaremos “puntos finitos” de la curva C, mientras queo (el ´unico punto deC que no est´a enU) ser´a el “punto infinito” de C.
Recogemos en un teorema todo lo que hemos obtenido:
Teorema 4.20 Sea K un cuerpo yC/K el conjunto algebraico proyectivo de- finido por una ecuaci´on de Weierstrass
Y2+a1XY +a3Y =X3+a2X2+a4X+a6
con coeficientes enK. Entonces,C es una curva geom´etricamente ´ıntegra con un ´unico punto infinitoo, que es racional y geom´etricamente regular.
Las curvas definidas por ecuaciones de Weierstrass no son necesariamente regulares, pero a lo sumo tienen un punto singular:
Teorema 4.21 SiC/K es una curva definida por una ecuaci´on de Weierstrass, entonces es geom´etricamente regular salvo a lo sumo en un punto, necesaria- mente finito. Si tiene un punto singular, entonces es racional, y la normali- zaci´on deC es isomorfa a P1K.
Demostraci´on: ComoC/K es geom´etricamente ´ıntegra, su normalizaci´on
C/k tambi´en lo es (por el teorema [E 3.61]). Por consiguiente, pa(C) ≥ 0
y pa(C) ≥ 0. Si C/K tiene un punto singular, el teorema 4.17 implica que
pa(C)< pa(C) = 1, luego ha de ser pa(C) = 1 ypa(C) = 0.
El teorema 4.17 nos da tambi´en queC/K s´olo puede tener un punto singu- larp, necesariamente racional. La restricci´on deπaC\π−1[{p}]−→C\{p}es la normalizaci´on deC\{p}, pero esta curva es normal, luego, por la unicidad, la restricci´on es un isomorfismo. En particular, comoCcontiene un punto racional distinto dep, (el punto infinito), su antiimagen enCtambi´en es racional, luego el teorema [E 10.23] nos da queC ∼= P1K.
Si aplicamos la parte ya probada a CK¯, donde ¯K es la clausura algebraica de K, dado que CK¯/K¯ tambi´en es una curva definida por una ecuaci´on de Weierstrass, concluimos queCK¯ tiene a lo sumo un punto singular, luegoC/K tiene a lo sumo un punto geom´etricamente singular, necesariamente finito, pues ya hemos visto que el punto infinito es geom´etricamente regular.
Vamos a probar que, salvo en casos muy particulares, si una curva definida por una ecuaci´on de Weierstrass tiene un punto geom´etricamente singular, de hecho es singular, pero para ello necesitamos estudiar m´as a fondo las ecuaciones. El primer paso es recordar las definiciones siguientes:
Definici´on 4.22 A cada ecuaci´on de Weierstrass se le asocian las cantidades siguientes:
b2=a21+ 4a2, c4=b22−24b4,
b4= 2a4+a1a3, c6=−b32+ 36b2b4−216b6, b6=a23+ 4a6, ∆ =−b22b8−8b34−27b26+ 9b2b4b6, b8=a21a6+ 4a2a6−a1a3a4+a2a23−a24, j=c34/∆.
En particular, ∆ es eldiscriminante de la ecuaci´on y j (definido s´olo cuando ∆= 0) es suinvariante.
Una simple comprobaci´on muestra que todo cambio de variables de la forma X =u2X+r, Y =u3Y+su2X+t, u, r, s, t∈K, u= 0, transforma una ecuaci´on de Weierstrass en otra. En t´erminos m´as conceptuales, se comprueba que el homomorfismo de anillosK[X, Y, Z]−→K[X, Y, Z] dado por
define un automorfismo deK-´algebras, que a su vez induce unK-automorfismo K[X, Y, Z]/(F)−→K[X, Y, Z]/(F),
dondeF es la ecuaci´on de Weierstrass que resulta del cambio de variables. A su vez, este automorfismo induce un isomorfismo
Proy(K[X, Y, Z]/(F))−→Proy(K[X, Y, Z]/(F))
que transforma el punto infinito en el punto infinito y que, restringido a los abiertos definidos por las ecuaciones afines, se identifica con el automorfismo
Esp(K[X, Y]/(f))−→Esp(K[X, Y]/(f))
inducido por el automorfismo de K-´algebras K[X, Y] −→ K[X, Y] determi- nado por el cambio de variables. En definitiva: tenemos que las ecuaciones de Weierstrass relacionadas por un cambio de variables del tipo indicado determi- nan curvas isomorfas.
Una comprobaci´on rutinaria demuestra el teorema siguiente:
Teorema 4.23 Al aplicar a una ecuaci´on de Weierstrass un cambio de varia- bles de la forma
X =u2X+r, Y =u3Y+su2X+t, u, r, s, t∈K, u= 0,
sus constantes se transforman seg´un las f´ormulas siguientes:
ua1 =a1+ 2s, u2a2 =a2−sa1+ 3r−s2, u3a3 =a3+ra1+ 2t, u4a 4 =a4−sa3+ 2ra2−(t+rs)a1+ 3r2−2st, u6a 6 =a6+ra4+r2a2+r3−ta3−t2−rta1, u2b2 =b2+ 12r, u4b 4 =b4+rb2+ 6r2, u6b 6 =b6+ 2rb4+r2b2+ 4r3, u8b8 =b8+ 3rb6+ 3r2b4+r3b2+ 3r4, u4c 4 =c4, u6c 6 =c6, u12∆ = ∆, j =j.
El teorema [EC 2.7] muestra las simplificaciones que pueden llevarse a cabo en una ecuaci´on de Weierstrass mediante la aplicaci´on de cambios de variables oportunos. Dichas simplificaciones permiten a su vez estudiar el posible punto geom´etricamente singular de una curva definida por una ecuaci´on de Weiers- trass, precisando el teorema 4.21:
Teorema 4.24 Sea C/K la curva definida por una ecuaci´on de Weierstrass de discriminante ∆. Si carK = 2,3 supondremos que K es perfecto. Enton- ces C/K es geom´etricamente regular si y s´olo si ∆ = 0, y en caso contrario tiene un ´unico punto geom´etricamente singular, necesariamente singular, finito y racional.
Demostraci´on: La prueba es exactamente la misma que la de [CE 2.8]
(y no la repetiremos). S´olo hemos de hacer algunas observaciones derivadas del hecho de que en [CE] supon´ıamos que el cuerpoKes perfecto, cosa que no vamos a hacer aqu´ı. CuandoKes perfecto, la regularidad coincide con la regularidad geom´etrica y por ello, aunque en el enunciado de [CE 2.8] se dice queC/K es regular salvo a lo sumo en un punto, lo que realmente se demuestra es que es geom´etricamente regular salvo a lo sumo en un punto, pues lo que se hace en la prueba puede interpretarse como la aplicaci´on del criterio jacobiano 4.1 a la curvaCK¯ (es decir, se prueba que todos los puntos deCK¯ son regulares salvo a lo sumo uno de ellos).
Por lo dem´as, el car´acter perfecto de K s´olo se utiliza para probar que el punto geom´etricamente singular es racional cuando la caracter´ıstica deK es 2 o 3, y por ello hemos incluido esta hip´otesis en el enunciado.
Por ´ultimo, en [CE 2.8] se prueba que si ∆ = 0 hay un punto finito, racional que no es geom´etricamente regular, pero, si K no es perfecto, eso no implica que sea singular. Es lo ´unico que tendremos que demostrar aqu´ı.
Concretamente, lo que se prueba en [CE 2.8] bajo la hip´otesis de que ∆ = 0, es que existe un par (r, t) ∈K2 que cumple la ecuaci´on de Weierstrass y que anula sus dos derivadas parciales. Haciendo el cambio de variablesX =X+r, Y =Y+tpodemos cambiar la ecuaci´on de Weierstrass y suponer que el punto geom´etricamente singular esP = (0,0).
Que el punto cumpla la ecuaci´on de Weierstrass equivale a que a6 = 0, y que anule a las derivadas equivale a que a3 = a4 = 0, luego la ecuaci´on de Weierstrass se reduce ahora a
f(X, Y) =Y2+a1XY −X3−a2X2= 0.
En t´erminos de ideales, el punto racional (0,0) se corresponde con el ideal
p= (X, Y) de
K[x, y] =K[X, Y]/(f). ´
Este es el ´unico punto deCque es geom´etricamente singular, y hemos de ver que es singular. Para ello consideramos su anillo localOC,p, que es la localizaci´on
respecto depdeK[x, y] y cumple dimOC,p= 1. Su ideal maximal esm= (x, y)
y lo que hemos de probar es quem no es principal.
Ahora bien, seg´un [AC 5.52], el n´umero m´ınimo de generadores demcoincide con la dimensi´on dem/m2como espacio vectorial sobre K=OC,p/m. Por con-
siguiente, basta ver que las clases ¯x, ¯y∈m/m2 son linealmente independientes sobreK. Para ello tomamos α, β ∈K y suponemos queα¯x+βy¯= 0. Hemos de probar queα=β = 0.
Tenemos que αx+βy∈m2, es decir, que αx+βy=u/v, dondeu∈p2 y v∈K[x, y]\p. Siu= ¯U,v= ¯V, conU, V ∈K[X, Y], tenemos que
V(αX+βY)−U ∈(f), U ∈(X, Y)2= (X2, Y2, XY), V /∈(X, Y). Como f ∈ (X, Y)2, vemos que V(αX +βY) ∈ (X2, Y2, XY) y, teniendo en cuenta que el t´ermino independiente de V ha de ser no nulo, esto implica inmediatamente queα=β= 0.
Definici´on 4.25 SiKes un cuerpo, unacurva el´ıpticadefinida sobreKes una curva proyectiva ´ıntegra y geom´etricamente regularE/Kde g´enero 1 en la que hemos seleccionado un punto racionalo∈E(K).
El teorema [CE 2.3] prueba que toda curva el´ıptica E/K es isomorfa a una curva definida por una ecuaci´on de Weierstrass con coeficientes enK, de modo que el isomorfismo hace corresponder el punto racionalocon el punto infinito de la ecuaci´on de Weierstrass. Adem´as, dos ecuaciones de Weierstrass que definan curvas isomorfas aE/K est´an relacionadas por un cambio de variables del tipo considerado en el teorema 4.23.
Por el teorema 4.2, toda c´ubica plana tiene g´enero 1, luego lo ´unico que necesita cumplir una ecuaci´on de Weierstrass para definir una curva el´ıptica es que su discriminante sea no nulo.2
En realidad, un isomorfismo entre curvas el´ıpticas se define como un iso- morfismo entre curvas que hace corresponder el punto racional prefijado de una con el punto racional prefijado de la otra. Cuando hablemos de la curva el´ıptica definida por una ecuaci´on de Weierstrass sobrentenderemos que su punto ra- cional prefijado es su punto infinito. As´ı podemos decir simplemente que toda curva el´ıpticaE/K es isomorfa a una curva el´ıptica definida por una ecuaci´on de Weierstrass.
Cuando hablemos de una ecuaci´on de Weierstrass asociada a una curva el´ıptica dada E/K nos referiremos a una ecuaci´on de Weierstrass que defina una curva el´ıptica isomorfa aE/K.
Observemos que las constantes definidas en 4.22 no pueden asociarse di- rectamente a una curva el´ıptica dada, sino que dependen concretamente de la ecuaci´on de Weierstrass que consideremos, salvo en el caso del invariantej, de modo que podemos hablar del invariante de una curva el´ıptica dada, definido como el de cualquiera de sus ecuaciones de Weierstrass asociadas.
El teorema [EC 2.9] prueba que dos curvas el´ıpticasE1/K yE2/K tienen el mismo invariante si y s´olo siE1 ¯K∼=E2 ¯K, aunque esto no implica necesariamente queE1∼=E2. Como los cuerpos que vamos a considerar —cuerpos de cocientes de dominios de Dedekind— no ser´an algebraicamente cerrados, el invariante no nos ser´a apenas de ninguna utilidad.
2La condici´on sobre que el cuerpo sea perfecto en el teorema 4.24 s´olo es necesaria para
Cap´ıtulo V
Superficies fibradas
En este cap´ıtulo sentaremos las bases del proyecto que hemos esbozado en la introducci´on. En la primera secci´on introduciremos y estudiaremos el concepto de superficie fibrada, que nos permitir´a reunir en un ´unico objeto geom´etrico a una curva proyectiva definida por una ecuaci´on con coeficientes en un dominio de DedekindD y sus reducciones m´odulo los divisores primos deD. En la se- gunda secci´on estudiaremos las explosiones, que son una familia de aplicaciones birracionales con las cuales podremos eliminar o “resolver” las singularidades de las superficies fibradas obtenidas de este modo, es decir, podremos obtener una superficie regular birracionalmente equivalente a una superficie dada. De momento veremos ´unicamente casos concretos de resoluci´on de singularidades, y dejaremos para el cap´ıtulo siguiente la discusi´on del problema general. Una vez estemos provistos de ejemplos suficientes, dedicaremos la tercera secci´on a estudiar con m´as detenimiento las superficies fibradas y terminaremos con una secci´on dedicada ´ıntegramente a un ejemplo de resoluci´on de singularidades con el que ilustraremos los conceptos introducidos hasta el momento.