En esta secci´on demostraremos un teorema similar a [AC 5.73] para anillos de series formales de potencias sobre un cuerpo en lugar de anillos de polino- mios. Esto nos permitir´a demostrar a su vez un an´alogo de [AC 5.74], que es el resultado que necesitaremos m´as adelante. En realidad nos va a interesar ´
unicamente el caso de cuerpos de caracter´ıstica prima, aunque para situar en su contexto el primer concepto que vamos a discutir empezaremos demostrando un resultado en caracter´ıstica 0:
Teorema 2.24 SeaK/k una extensi´on de cuerpos de caracter´ıstica0, conside- remos un conjuntoB ⊂K y seadB={db|b∈B} ⊂Ω1K/k.
a) B es algebraicamente independiente sobre ksi y s´olo sid|B es inyectiva y
dB es K-linealmente independiente.
b) B es una base de trascendencia deK/k si y s´olo sid|B es inyectiva y dB es una K-base deΩ1K/k.
Demostraci´on: Supongamos en primer lugar que B es una base de tras-
cendencia de K/k y sea L = k(B). Si V es un L-espacio vectorial, es claro que toda aplicaci´oni:B −→V se extiende de forma ´unica a unak-derivaci´on D:L−→V dada por D(a) = i ∂F ∂Xi (b1,...,bn) i(bi),
dondeF ∈k[X1, . . . , Xn] ya=F(b1, . . . , bn). Seg´un el teorema [E 7.31] existe
una ´unica aplicaci´onL-linealφ: Ω1
φ(db) = i(b), para todo b ∈ B. Para que esto sea posible (para cualquier elecci´on dei) es necesario qued|Bsea inyectiva. Adem´as tenemos que cualquier
aplicaci´on dB −→ V se extiende a una ´unica aplicaci´on lineal sobre Ω1
L/k, lo
cual s´olo es posible sidB es unaL-base de Ω1L/k.
Si L⊂ L ⊂ K y L/L es una extensi´on finita, el teorema [E 7.38] nos da que el homomorfismo natural Ω1L/k⊗LL −→Ω1L/k es un isomorfismo.
Las k-derivacionesdL : L −→ Ω1L/k −→ Ω1L/k⊗LL −→ Ω1L/k⊗LK se
extienden a unak-derivaci´ondK :K−→Ω1K/k⊗LK.
Por otra parte, una k-derivaci´onD : K −→ V est´a completamente deter- minada por sus restricciones DL : L −→ V, dondeL recorre las extensiones
finitas deL. Cada una de ellas es unak-derivaci´on que determina una aplicaci´on L-lineal φL : Ω1L/k −→V. A su vez, las aplicacionesψL : Ω1L/k⊗LL −→V
determinan una aplicaci´onK-linealψ: Ω1
L/k⊗LK−→V tal queD =dK◦ψ.
Esto significa que Ω1
L/k⊗LKydK cumplen la propiedad universal del teorema
[E 7.31], de donde se sigue que Ω1
K/k∼= Ω1L/k⊗LK, as´ı como qued|Bes inyectiva
ydB es unaK-base de Ω1
K/k.
Como todo conjunto algebraicamente independienteBse extiende a una base de trascendencia, concluimos tambi´en que dB es, en este caso, K-linealmente independiente.
Rec´ıprocamente, si d|B es inyectiva y dB es K-linealmente independiente,
entonces B ha de ser algebraicamente independiente. En caso contrario exis- tir´ıanb1, . . . , bn ∈B distintos dos a dos y un polinomioF ∈k[X1, . . . , Xn] no
nulo tal queF(b1, . . . , bn) = 0. Podemos tomar F de grado m´ınimo. Entonces
0 =d0 = i ∂F ∂Xi (b1,...,bn) dbi,
donde las derivadas no son nulas porque tienen grado menor que F (y aqu´ı usamos que los cuerpos tienen caracter´ıstica 0), lo que nos lleva a que losdbi no
son linealmente independientes.
Si dB es unaK-base de Ω1K/k, tenemos queB es algebraicamente indepen- diente, luego est´a contenido en una base de trascendencia B, luego d|B es
inyectiva ydB es unaK-base de Ω1K/k, luegodB=dB, luegoB =B. Para extensiones de cuerpos de caracter´ıstica primap, la condici´on necesaria y suficiente para que dB sea una base de Ω1
K/k no es que B sea una base de
trascendencia de K/k, sino que sea una p-base, en el sentido de la definici´on siguiente:
Definici´on 2.25 Sea K/k una extensi´on de cuerpos de caracter´ıstica prima p. Un conjunto B ⊂K esp-independientesobre k si los monomios be11 · · ·ben
n ,
donde b1, . . . , bn ∈ B son distintos dos a dos y 0 ≤ ei < p, son linealmente
independientes sobre kKp. (Notemos que los elementos de k son algebraicos
Diremos que B es una p-basede K sobrek si esp-independiente y adem´as K=kKp[B], es decir, si todo elemento deKse expresa de forma ´unica como un
polinomio con coeficientes enkKp, cuyos monomios tienen grado menor quepen
cada variable, evaluado en elementos deB. (A tales polinomios los llamaremos polinomiosreducidos.)
Es claro que un conjuntoB⊂Kesp-independiente si y s´olo si lo son todos sus subconjuntos finitos. SiB es finito, entonces esp-independiente si y s´olo si |kKp[B] :kKp| =p|B| (ya que losp|B| monomios reducidos enb1, . . . , b
n son,
en cualquier caso, un generador dekKp[B] sobre kKp).
Notemos tambi´en que una p-base es un sistema p-independiente maximal respecto de la inclusi´on, ya que si B es p-independiente pero kKp[B] K,
entonces cualquier b ∈ K\kKp[B] cumple que las potencias 1, b, b2, . . . , bp−1 son linealmente independientes sobrekKp[B], luego (por la prueba del teorema
de transitividad de grados) los monomios reducidos enB∪ {p} son linealmente independientes sobre kKp. As´ı pues, B∪ {b} es tambi´en p-independiente. El
lema de Zorn implica entonces que todo sistemap-independiente puede exten- derse hasta unap-base.
Ahora ya podemos demostrar el an´alogo del teorema 2.24:
Teorema 2.26 Sea K/k una extensi´on de cuerpos de caracter´ıstica prima p, seaB⊂K y sea dB={db|b∈B} ⊂Ω1K/k.
a) B es p-independiente sobre k si y s´olo si d|B es inyectiva y dB es K- linealmente independiente.
b) B es unap-base si y s´olo sid|B es inyectiva ydBes unaK-base deΩ1K/k.
Demostraci´on: Supongamos en primer lugar que B es una p-base de K
sobrek. SiV es unK-espacio vectorial, toda aplicaci´oni:B−→V se extiende de forma ´unica a unak-derivaci´onD:K−→V mediante
D(a) = i ∂F ∂Xi (b1,...,bn) i(bi), dondeF ∈kKp[X 1, . . . , Xn] es un polinomio reducido ya=F(b1, . . . , bn).
En efecto, notemos que todo monomio puede expresarse en la forma F =αX1r1p· · ·Xrnp
n G,
dondeα∈kKp yGes un monomio reducido. SiF∗=αbr1p1 · · ·brnp
n G, tenemos queF(b1, . . . , bn) =F∗(b1, . . . , bn) y ∂F ∂Xi (b1,...,bn) = ∂F ∗ ∂Xi (b1,...,bn) .
Esto implica que la f´ormula que define aDvale para cualquier monomioF, no necesariamente reducido y, por linealidad, para cualquier polinomio F, no necesariamente reducido. De aqu´ı se sigue queDes ciertamente una derivaci´on.
Al igual que en la prueba de 2.24, esto implica que d|B es inyectiva y que
dB es unaK-base de Ω1
K/k.
Si B es p-independiente, se extiende a una p-base B, luego dB ⊂ dB es K-linealmente independiente.
Si B no es p-independiente pero d|B es inyectiva, B tiene un subconjunto
finito que no esp-independiente. Esto significa que existe un polinomio reducido F ∈kKp[X1, . . . , Xn] no nulo tal queF(b1, . . . , bn) = 0, para ciertos elementos
b1, . . . , bn∈Bdistintos dos a dos. Podemos elegirlo de grado m´ınimo. Entonces
0 =d0 = i ∂F ∂Xi (b1,...,bn) dbi,
donde las derivadas no son id´enticamente nulas porqueF es reducido, y no se anulan en (b1, . . . , bn) por la minimalidad de F. Esto significa quedb1, . . . , dbn
no son linealmente independientes.
As´ı termina la prueba de a). Para terminar la prueba de b) suponemos qued|B es inyectiva y quedB es unaK-base de Ω1K/k. Por a) sabemos que B
es p-independiente, luego est´a contenido en una p-base B. Entonces, d|B es
inyectiva, dB ⊂dB y dB es K-linealmente independiente, luego dB =dB, luegoB=B.
Definici´on 2.27 SeaAun anillo, seanx1, . . . , xr∈Ay consideremos derivacio-
nesD1, . . . , Ds∈Der(A) = DerZ(A, A). Llamaremosmatriz jacobianaasociada
a estos elementos a la matrizJ(x1, . . . , xr;D1, . . . , Ds) = (Dixj)i,j. SiPes un
ideal de A, llamaremos J(x1, . . . , xr;D1, . . . , Ds)(P) a la matriz formada por
las clases m´oduloPde los coeficientes de la matriz jacobiana. Si Pes un ideal primo y contiene ax1, . . . , xr, entonces el rango de esta matriz s´olo depende del
idealI= (x1, . . . , xr), por lo que lo representaremos por rangJ(I;D1, . . . , Ds).
(Nos referimos al rango de la matriz considerada como matriz con coeficientes en el cuerpo de cocientes deA/P. M´as en general, siA es un dominio ´ıntegro con cuerpo de cocientes K yM es unA-m´odulo, llamaremos rangode M a la dimensi´on deM⊗AK.)
En efecto, si y1, . . . , yt es otro generador deI, tenemos que
yl= j ajxj, Diyl= j (ajDixj+xjDiaj)≡ j ajDixj (m´odP), luego rangJ(x1, . . . , xr;D1, . . . , Ds) = rangJ(x1, . . . , xr, y1, . . . , yt;D1, . . . , Ds) = rangJ(y1, . . . , yt;D1, . . . , Ds).
Si ∆ ⊂ Der(A), definimos rangJ(I; ∆)(P) como el m´aximo de los rangos rangJ(I;D1, . . . , Ds)(P), donde las derivaciones D1, . . . , Ds recorren los sub-
Observemos que, en realidad, siIP= (x1, . . . , xr)AP, entonces
rangJ(I; ∆)(P) = rangJ(x1, . . . , xr; ∆)(P).
En efecto, si y∈I, tenemos que sy=
j
ajxj, aj ∈A, s∈A\P.
luego siDi∈∆, se cumple que,
sDiy≡
j
ajDixj(m´odP), s≡0 (m´odP),
por lo que rangJ(x1, . . . , xr; ∆)(P) = rangJ(x1, . . . , xr, y; ∆)(P).
El teorema siguiente nos da una condici´on suficiente para que un punto de un espectro Esp(A/I), dondeAes un anillo regular, sea tambi´en regular:
Teorema 2.28 Sea A un anillo regular, I un ideal de A y P∈EspA tal que
I⊂P. Sear= altIP y ∆⊂Der(A). Entonces:
a) rangJ(I; ∆)(P)≤r.
b) SirangJ(f1, . . . , fr; ∆)(P) =rpara ciertosf1, . . . , fr∈I, entoncesIP=
(f1, . . . , fr)P y AP/IP es regular.
Demostraci´on: Sea Q un ideal primo tal que I ⊂ Q ⊂P y altQ = r.
Entonces, considerando determinantes vemos que
rangJ(I; ∆)(P)≤rangJ(I; ∆)(Q).
Tenemos que AQ es un anillo local regular de dimensi´on r, luego existen
g1, . . . , gr ∈ Q tales que QAQ = (g1, . . . , gr)Q. As´ı, todo f ∈ I satisface una
relaci´on de la formasf = i aigi, conai∈A,s∈A\Q. Si D∈∆, tenemos que sDf ≡ i aiDgi(m´odQ),
lo que significa que la fila de la matrizJ(I; ∆)(Q) correspondiente af es combi- naci´on lineal de las filas correspondientes ag1, . . . , gr, luego rangJ(I; ∆)(Q)≤r.
b) Sea m=PAP, el ideal maximal deAP. Vamos a probar que las clases
de f1, . . . , fr en m/m2 son linealmente independientes m´odulo m. Para ello
suponemos que
a1f1+· · ·+arfr∈m2, ai∈AP,
y hemos de probar que ai ∈ m. Multiplicando por un elemento adecuado de
hecho, enP2. Por hip´otesis, existenD1, . . . , Dn∈∆ tales que la matriz (Difj)
tiene determinante no nulo m´oduloP. Como
a1Dif1+· · ·+arDifr≡0 (m´odP),
ha de seraj∈Ppara todoj.
Por consiguiente,f1, . . . , frse extienden a un sistema regular de par´ametros
deAP (teorema [AC 4.52]) y el teorema [AC 5.26] nos da que (f1, . . . , fr)P es
un ideal primo de altura r, luego ha de ser IAP (pues existe un primo Q de
alturartal que (f1, . . . , fr)P⊂IP⊂QAP). El cocienteAP/IP es regular por
[AC 5.19].
Bajo ciertas condiciones, tenemos una condici´on necesaria y suficiente: Teorema 2.29 Sea A un anillo regular, sea P ∈ EspA y ∆ ⊂ Der(A). Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
a) rangJ(P; ∆)(P) = altP.
b) Para cada primo Q ⊂ P, el cociente AP/QAP es regular si y s´olo si
rangJ(Q; ∆)(P) = altQ.
Demostraci´on: a) es el caso particular Q = P de b). Suponiendo a),
si rangJ(Q; ∆)(P) = altQ, tenemos que AP/QAP es regular por el teorema
anterior aplicado aI=Q.
Rec´ıprocamente, si el cociente es regular, [AC 5.19] nos da que existen f1, . . . , fr ∈ P, tales que PAP = (f1, . . . , fr)AP y QAP = (f1, . . . , fs)AP,
donder= altP, s= altQ. Por a), tenemos que rangJ(f1, . . . , fr; ∆)(P) =r,
luego
rangJ(Q; ∆)(P) = rangJ(f1, . . . , fs; ∆)(P) =s.
Vamos a probar que la condici´on a) del teorema anterior se cumple para todo
PcuandoAes un anillo de series formales de potencias. Para ello necesitamos varios resultados previos.
Teorema 2.30 Sea K/k una extensi´on de cuerpos de caracter´ıstica prima py seaF una familia de cuerpos intermedios tal que la intersecci´on de dos cuales- quiera de ellos contenga a un tercero. Las afirmaciones siguientes son equiva- lentes: a) L∈FLK p=kKp. b) La aplicaci´on natural Ω1 K/k−→ ←−Ll´ım∈FΩ1K/L es inyectiva.
c) Para cada B ⊂K finito y p-independiente sobrek, existe un L ∈ F tal que B esp-independiente sobreL.
d) Existe una p-base B deK sobrek tal que para cada subconjunto finito de
Demostraci´on: Observemos que sik⊂L⊂L⊂K, tenemos aplicaciones
K-lineales naturales Ω1
K/L −→ Ω
1
K/L, determinados por que db → db. M´as
concretamente, se trata del homomorfismo dado por el teorema [E 7.31] a partir de laL-derivaci´ond:K−→Ω1K/L.
Estos homomorfismos convierten a {Ω1K/L}L∈F en un sistema inverso (en un sentido que generaliza de forma obvia a la definici´on [AC 4.4]). Por el mismo motivo tenemos aplicacionesK-lineales Ω1K/k−→Ω1K/L, que inducen un homomorfismo natural Ω1
K/k−→ ←−Ll´ım∈FΩ1K/L.
a)⇒c) Seanv1, . . . , vnlos monomios reducidos en los elementos deB, que,
por hip´otesis, son linealmente independientes sobre kKp. Podemos tomar un L∈Ftal que el rango de dichos monomios sobreLsea m´aximo. Si este rango es r < n, entonces tenemosrmonomiosL-independientes, digamosv1, . . . , vr, pero
vn=c1v1+· · ·+crvr, conci∈L. Por la independencia sobrekKp, para alg´un
´ındice, por ejemploi= 1, se cumple quec1∈/ kKp. Por a) tenemos quec1∈/ L, para ciertoL ∈Fque podemos tomar contenido enL. Entoncesv1, . . . , vr, vn
sonL-independientes, puesv1, . . . , vrlo son por serL-independientes, luego, si
fueranL-dependientes,vndeber´ıa ser combinaci´on lineal de los otros, pero, por
la unicidad de las coordenadas, la primera deber´ıa serc1, lo cual es imposible. Esto contradice la maximalidad del rango.
c) ⇒d) es trivial. (Sirve cualquierp-base.)
d)⇒b) Seaω∈Ω1K/kno nulo. ComodBes unaK-base, podemos expresarlo como ω = c1db1+· · ·+cndbn, para ciertos bi ∈ B y ci ∈ K. Por d), existe
un L ∈ F tal que b1, . . . , bn son p-independientes sobre L. Por consiguiente,
db1, . . . , dbn son linealmente independientes en Ω1K/L, luego la imagen deω en
Ω1
K/L es no nula, al igual que su imagen en el l´ımite inverso.
b)⇒a) Sia∈K\kKp, entonces esp-independiente sobrek, luegoda∈Ω1
K/k
es no nulo. Por b), existe unL∈Ftal que da∈Ω1
K/L tambi´en es nulo, lo que
implica quea /∈LKp.
Teorema 2.31 Sean K/k y F como en el teorema anterior y sea E/K una extensi´on finitamente generada. Si
L∈F
LKp=kKp, entonces L∈F
LEp=kEp.
Demostraci´on: La extensi´on E/K puede descomponerse en un n´umero
finito de extensiones simples, por lo que no perdemos generalidad si suponemos queE=K(a). Distinguiremos varios casos:
1) Siaes trascendente sobreK, entonces
L∈F
LEp=
L∈F
LKp(ap) =kKp(ap) =kEp.
(El paso no trivial es la segunda igualdad: notemos que un elemento deLKp(ap)
es de la formab =F(ap), para un cierto F ∈LKp[X] un´ıvocamente determi-
2) Supongamos ahora que a es algebraico separable sobre K. Entonces, seg´un [E 7.38] tenemos que Ω1
K/k⊗KE ∼= Ω
1
E/k, por lo que unap-base deK/k
es tambi´en unap-base deE/ky basta usar el apartado d) del teorema anterior. 3) Ahora supongamos que a es puramente inseparable sobre K. Descom- poniendo la extensi´onE/K en m´as extensiones simples, podemos suponer que ap=b∈K. EntoncesE=K[X]/(Xp−b) y [E 7.34] nos da que
Ω1E/k∼= (Ω1K[X]/k⊗K[X]E)/db⊗1.
Por otra parte, la prueba del teorema [E 7.37] aplicado a I = 0 nos da un isomorfismo
Ω1K[X]/k ∼= (Ω1K/k⊗KK[X])⊕Ω1K[X]/K.
M´as expl´ıcitamente, es Ω1K[X]/k∼= (ΩK/k1 ⊗KK[X])⊕ dXK[X]. Por consi- guiente, Ω1K[X]/k⊗K[X]E∼= (Ω1K/k⊗KE)⊕ 1⊗daE, y a su vez, Ω1E/k∼= (Ω1K/k/db)⊗KE ⊕ da.
Lo mismo es v´alido para cualquierL∈Fen lugar dek, es decir: Ω1E/L∼= (Ω1K/L/db)⊗KE
⊕ da.
Si db = 0, entonces b /∈ kKp, por lo que es p-independiente y podemos extenderlo hasta unap-base de Ksobrek, digamos{b} ∪B. As´ı,{db} ∪dB es unaK-base de Ω1K/k, luego{da} ∪dBes unaE-base de Ω1E/k, luego{a} ∪B es unap-base deE sobrek.
M´as a´un, podemos suponer queBresulta de eliminar un elemento adecuado de unap-base deK sobre k que cumpla la propiedad d) del teorema anterior. Entonces, si b, b1, . . . , bn son p-independientes en K sobre unL ∈ F, tenemos
quea, b1, . . . , bn sonp-independientes en E sobreL.
Si db = 0 tomamos como B cualquier p-base de K sobre k que cumpla la citada propiedad d) y tenemos igualmente que{a}∪Bes unap-base deEsobre kque cumple dicha propiedad paraE.
Teorema 2.32 Sea K un cuerpo de caracter´ıstica prima p, sea F una familia de subcuerpos tal que la intersecci´on de dos cualesquiera de ellos contenga a un tercero. Supongamos adem´as que para todo L ∈ F se cumple |K : L| < ∞, as´ı como que
L∈F
L=Kp. Sea E/K una extensi´on finita. Entonces existe un
L∈Ftal que, para todo subcuerpo K⊂L que cumpla |K:K|<∞, tenemos quedimEΩ1E/K = dimKΩ1K/K.
Demostraci´on: Sea K = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kt = E una cadena de
cuerpos intermedios de modo que Ki =Ki−1(ai), dondexi es separable sobre
L∈FLK
p i =K
p
i. Esto hace que baste probar el teorema para cada una de las
extensionesKi/Ki−1, ya que en tal caso podemos tomar un mismo L∈F que sirva para todos los tramos, y as´ı, siK ⊂L,|K:K|<∞, tambi´enK ⊂LKip, |Ki;K|<∞, luego
dimEΩ1E/K = dimKt−1Ω
1
Kt−1/K =· · ·= dimKΩ1K/K.
Equivalentemente, podemos suponer que E = K(a). Si a es separable, seg´un [E 7.38] tenemos que Ω1
E/K = Ω1K/K⊗KE, y el resultado es cierto para
cualquierL.
Supongamos ahora que ap =b∈ K, pero que b /∈Kp. Entonces existe un
L∈Ftal queb /∈L. SiK⊂Lcumple|K:K|<∞, al igual que en la prueba del teorema anterior vemos que
Ω1E/K ∼= (Ω1K/K/db)⊗KE
⊕ da.
Como KKp ⊂L, tenemos que b /∈ KKp, luego es p-independiente sobre
K, luegodb= 0, lo que implica la igualdad de las dimensiones.
Teorema 2.33 Sea k un cuerpo de caracter´ıstica p, sea R =k[[X1, . . . , Xn]], sea P∈EspR y sea A=R/P. SeaF una familia de subcuerpos de k tal que la intersecci´on de dos cualesquiera de ellos contenga a un tercero. Supongamos adem´as que|k:L|<∞para todoL∈Fy q ue
L∈F
L=kp. Entonces existe un
L∈Ftal que para todo cuerpo intermedio kp ⊂k⊂L tal que|k:k|<∞, se cumple que
rangADerkA= dimA+ dimkDerkk.
Demostraci´on: Sean= dimAy seax1, . . . , xn un sistema de par´ametros
de A. En la prueba del teorema 2.21 hemos visto que si B =k[[x1, . . . , xn]],
entoncesB es isomorfo ak[[X1, . . . , Xn]] y queAes unaB-´algebra finita.
Tomemos un cuerpo intermedio kp⊂k⊂k tal que|k:k|<∞. Entonces
|k:k|=pr. Si u1, . . . , u
res unap-base dek sobrek, entonces
Derkk= Homk(Ω1k/k, k),
luego dimkDerkk= dimkΩ1k/k =r.
SiC=k[[xp1, . . . , xp
n]], entoncesBes unC-m´odulo libre con base el conjunto
de los monomios reducidos enu1, . . . , ur, x1, . . . , xn.
El mismo argumento empleado en la prueba del teorema 2.26 prueba enton- ces que Ω1B/C es unB-m´odulo libre de basedu1, . . . , dur, dx1, . . . , dxn. Concre-
tamente, siB ={u1, . . . , ur, x1, . . . , xn} y V es un B-m´odulo, cada aplicaci´on
i:B−→V se extiende de forma ´unica a una C-derivaci´onD:B −→V dada por D(a) = i i(ui) ∂F ∂Xi (u1,...,ur,x1,...,xn) + i i(xi) ∂F ∂Yi (u1,...,ur,x1,...,xn) ,
dondeF ∈C[X1, . . . , Xr, Y1, . . . , Yn] es un polinomio reducido y
a=F(u1, . . . , ur, x1, . . . , xn).
De aqu´ı obtenemos un ´unico homomorfismo deB-m´odulosφ: Ω1
B/C −→V
que cumpleφ(dui) =i(ui), φ(dxi) =i(xi). Esto s´olo puede ocurrir si Ω1B/C es
unB-m´odulo libre con la base indicada.
Notemos ahora que toda derivaci´onD:B−→B es continua, ya que, clara- mente,D[mmB]⊂mmB−1, luego las derivaciones atraviesan las sumas infinitas y, por consiguiente, todaD∈Derk(B) se anula enC. As´ı pues,
DerkB = DerCB= HomB(Ω1B/C, B).
Como Ω1
B/C es un B-m´odulo libre de rango r+n, lo mismo le sucede al
B-m´odulo de homomorfismos enB, luego concluimos que
rang DerkB= rangBΩ1B/C =n+r= dimA+ dimkDerkk,
luego se cumple el teorema cuandoA=B. Como antes, tenemos que
DerkA= DerCA= HomA(Ω1A/C, A).
Como A es unC-m´odulo finitamente generado, se cumple que Ω1A/C es un A-m´odulo finitamente generado ([E 7.35]). Por lo tanto, siK⊂K⊂E son los cuerpos de cocientes respectivos deC⊂B ⊂A,
DerkA⊗AE= HomA(Ω1A/C, A)⊗AE
∼
= HomE(Ω1A/C⊗AE, E)∼= HomE(Ω1E/K, E)
(El primer isomorfismo es una relaci´on natural entre m´odulos de homomorfis- mos y productos tensoriales que s´olo usa que Ω1A/Ces unA-m´odulo finitamente generado; el segundo isomorfismo se sigue de [E 7.34 c)], que nos da el isomor- fismo Ω1A/C⊗AE ∼= Ω1E/C, junto con [E 7.34 b)] y [E 7.33], que nos dan que
Ω1
E/C ∼= Ω1E/K.) As´ı pues,
rangADerkA= dimE(DerkA⊗AE) = dimKΩ1E/K.
Por el caso A =B, que hemos probado antes, todo se reduce a demostrar que dimKΩ1E/K = rangBΩ1B/C o, por el mismo argumento anterior, que
dimKΩ1E/K = dimFΩ1K/K.
M´as concretamente, recordemos queK es el cuerpo de cocientes del anillo C=k[[xp1, . . . , xp
n]] y hay que probar esto para todok contenido en un cierto
Para cada L ∈ F, sea FL el cuerpo de cocientes de CL = L[[xp1, . . . , xpn]].
Como B es un CL-m´odulo finitamente generado, es entero sobre CL y, como
´este es ´ıntegramente cerrado (por ser regular) resulta queB∩FL=CL.
Si a ∈
L∈F
FL ⊂ K, podemos expresarlo en la forma a = u/v, con u,
v∈B. Multiplicando por vp−1 podemos suponer quev ∈Bp⊂F
L. Entonces
u∈B∩FL=CLpara todoL∈F, luegou∈
L∈F
CL=Bp. Esto prueba que
L∈F
FL=Kp.
Ahora basta aplicar el teorema anterior, ya que sik ⊂Lcumple|k:k|<∞, entoncesK⊂FL cumple|K:K|<∞.
Ahora ya podemos probar el resultado que persegu´ıamos:
Teorema 2.34 (Nagata) Seak un cuerpo de caracter´ıstica primap, seaR= k[[X1, . . . , Xn]] y sea P∈EspR. EntoncesrangJ(P; Der(R))(P) = altP.
Demostraci´on: SeaA=R/Pys= dimA. Fijemos unap-base deksobre
kpy seaFla familia de cuerpos intermedios que resultan de adjuntar akptodos los elementos de lap-base salvo un n´umero finito de ellos. Es claro que estamos en las condiciones del teorema anterior, por lo que existe un cuerpokp⊂k⊂k
tal que|k:k|<∞y
rangADerkA=s+r,
donder= dimkDerkky, seg´un hemos visto en la prueba, cumple tambi´en que
|k:k|=pr.
Por otra parte, en la prueba del teorema anterior, particularizada parap= 0 (es decir, para A = R), muestra que si u1, . . . , ur es una p-base de k sobre
k y llamamos ur+i = Xi, entonces cada aplicaci´on {u1, . . . , ur+n} −→ A se
extiende a una ´unica k-derivaci´on deR en A. Llamamos Di : R −→ A a la
´
unica derivaci´on que cumple Diuj=
1 sii=j, 0 sii=j.
Es claro entonces que D1, . . . , Dr+n son una A-base de Derk(R, A). Sea
ahoraD∈Derk(A) y seaci=D(φ(ui))∈A. SeaD0=
ciDi∈Derk(R, A),
de modo queD =D0◦φ. Vemos as´ı queD est´a completamente determinada por losci. Por otra parte, para que unos (c1, . . . , cr+n)∈Ar+n determinen una
derivaci´onD, es necesario y suficiente que cumplan las ecuaciones lineales
r+n i=1
ciDi(f) = 0, f ∈P.
Es claro entonces que
Por consiguiente,
rangJ(P, D1, . . . , Dr+n)(P) =n−s= altP,
por [AC 5.44], ya queRes un anillo local regular, luego es de Cohen-Macaulay. Esto implica que rangJ(P,DerR)(P)≥altP, y la otra desigualdad se cumple por 2.28.
Combinando esto con 2.29, tenemos finalmente:
Teorema 2.35 Sea k un cuerpo de caracter´ıstica prima, R =k[[X1, . . . , Xn]] y A = R/I, donde I es un ideal de R. Entonces, el conjunto de los puntos regulares de EspAes abierto.
Demostraci´on: Sea p = P/I un punto regular de EspA. Entonces, en
particular, Ap = RP/IP es un dominio ´ıntegro, luego IP = QRP, para un
cierto Q ∈ EspR, Q ⊂ P. El teorema 2.29, junto con el teorema anterior, implica que rangJ(Q; DerR)(P) = altQ= altIQ.
Sear= altIQ. Entonces existenf1, . . . , fr∈Itales queIP= (f1, . . . , fr)P.
Podemos tomarg∈R\Ptal que Ig= (f1, . . . , fr)g. SeanD1, . . . , Dr∈DerR
tales que h= det(Difj)∈/ P. As´ı, sip =P/I ∈EspA cumple que gh /∈P,
entonces IP = (f1, . . . , fr)P y rangJ(I,DerR)(P) = r. El teorema 2.28
implica entonces queApes regular. As´ı pues, el conjunto de los puntos regulares
de EspAcontiene al abierto principalD(gh), que es un entorno dep.