Para terminar el cap´ıtulo demostraremos una caracterizaci´on de la suavidad formal en t´erminos de los espacios de formas diferenciales. Necesitamos varios resultados previos, el primero de los cuales requiere un concepto auxiliar: Definici´on 2.36 Sean k −→ A −→ B homomorfismos de anillos y sea I un ideal en B. Diremos que B esI-suavesobre A con respecto a k si para toda A-´algebra C, todo ideal N de C tal que N2 = 0 y todo A-homomorfismo u : B −→ C/N que cumpla u[In] = 0 para cierto n ≥ 1, si u se eleva a
un k-homomorfismo v : B −→ C, entonces tambi´en puede elevarse a un A- homomorfismov:B−→C.
Teorema 2.37 Seank−→A−→Bhomomorfismos de anillos y seaIun ideal deB. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
a) B esI-suave sobre Acon respecto a k.
b) Si N es un B-m´odulo tal que InN = 0 para cierto n ≥ 1, entonces la aplicaci´on natural Derk(B, N)−→Derk(A, N)es suprayectiva.
c) Para cadan≥1, la aplicaci´onΩ1
A/k⊗A(B/In)−→Ω1B/k⊗B(B/In)tiene una inversa por la derecha.
Demostraci´on: Llamemosk−→f A−→g B a los homomorfismos dados.
a)⇒b) SeaC= (B/In)∗N la extensi´on construida tras la definici´on 2.9 a
partir del cociclo nulo. Seau:B −→B/In =C/N el homomorfismo natural.
DadaD∈Derk(A, N), definimosλ:A−→Cmedianteλ(a) = (u(g(a)), D(a)).
Claramente es un homomorfismo, que nos permite considerar a C como A- ´
algebra. Por otra parte, v : B −→ C dado por v(b) = (u(b),0) es un k- homomorfismo que eleva au. Por hip´otesis, existe tambi´en unA-homomorfismo v:B−→Cque eleva au. Necesariamente, ser´a de la formav(b) = (u(b), D(b)), dondeD ∈Derk(B, N). Quev sea un A-homomorfismo significa quegv =λ,
luegogD =D, luego se cumple b).
b)⇒a) Supongamos dado un diagrama conmutativo B u C/N k f A g λ C j
seg´un exige la definici´on de I-suavidad relativa a k. Supongamos que existe un k-homomorfismo v : B −→ C que eleva a u. Que eleve a u significa que vj = u, y que sea un k-homomorfismo significa que f gv = f λ. Entonces D=λ−gv ∈Derk(A, N). En efecto, tenemos queDj=λj−gu= 0, luego D
toma im´agenes enN. Adem´as, multiplicando
v(g(a)) =λ(a)−D(a) por v(g(a)) =λ(a)−D(a) y teniendo en cuenta queD(a)D(a)∈N2= 0, vemos que
v(g(aa)) =λ(aa)−λ(a)D(a)−λ(a)D(a),
luego D(aa) = aD(a) +aD(a). Por ´ultimo, f D = 0, luego D es una k- derivaci´on.
Consideramos a N como B-m´odulo a trav´es de v. Si u[In] = 0, entonces
v[In] ⊂N, luego InN ⊂N2 = 0. Por hip´otesis, existe D ∈ Der
k(B, N) tal
queD=gD. Llamamosv=v+D. Claramente,
v(b)v(b) =v(bb) +v(b)D(b) +v(b)D(b) =v(bb) +D(bb) =v(bb), luegov es un homomorfismo. Adem´as,
vj=vj+Dj=u y gv=gv+gD=gv+D=λ, luegov es una elevaci´on deuy un A-homomorfismo.
b) ⇔ c) Observemos, en general, que una condici´on necesaria y suficiente para que un homomorfismo de A-m´odulosα : M −→ N tenga inverso por la derecha (es decir, que exista unβ :N −→M tal que αβ= 1) es que para todo A-m´oduloP, el homomorfismo HomA(M, P)−→HomA(N, P) sea suprayectivo.
En nuestro caso, c) equivale a que para todo B-m´oduloN tal queInB= 0, el homomorfismo natural
HomB/In(Ω1B/k⊗B(B/In), N)−→HomB/In(Ω1A/k⊗A(B/In), N)
sea suprayectivo. A trav´es de dos isomorfismos can´onicos, este homomorfismo se corresponde con
HomB(Ω1B/k, N)−→HomA(Ω1A/k, N),
que a su vez se corresponde con
Derk(B, N)−→Derk(A, N),
luego, ciertamente, b) es equivalente a c).
Teorema 2.38 Sea A un anillo, B una A-´algebra eI un ideal deB. SiB es
I-suave sobreA, entoncesΩ1
B/A⊗B(B/I) es unB/I-m´odulo proyectivo.
Demostraci´on: Hemos de probar que si φ: L−→M es un epimorfismo
deB/I-m´odulos, entonces el homomorfismo
HomB/I(Ω1B/A⊗B(B/I), L)−→HomB/I(Ω1B/A⊗B(B/I), M)
tambi´en es suprayectivo. A trav´es de isomorfismos can´onicos, este homomor- fismo se corresponde con
HomB(Ω1B/A, L)−→HomB(Ω1B/A, M),
y ´este a su vez con DerA(B, L)−→DerA(B, M).
Sea C= (B/I)∗Lla extensi´on construida tras la definici´on 2.9 a partir del cociclo nulo, y seaN⊂Lel n´ucleo deφ. Podemos considerar tanto aN como a Lcomo ideales deC, de modo queL2= 0 y, por consiguiente, tambi´enN2= 0. Adem´asC/L=B/I, mientras queC/N = (B/I)∗M.
Para cada D ∈DerA(B, M), tenemos un A-homomorfismou:B −→C/N
dado poru(b) = (¯b, D(b)). Por hip´otesis podemos elevarlo a unA-homomorfismo v:B −→C, que ser´a de la formav(b) = (b, D(b)), dondeD ∈DerA(B, L) es
una antiimagen deD.
Teorema 2.39 Sea B un anillo, e I un ideal nilpotente. Sea u:L−→M un homomorfismo deB-m´odulos, dondeM es proyectivo. Entoncesutiene inverso por la derecha si y s´olo si lo tiene u¯:L/IL−→M/IM.
Demostraci´on: Una implicaci´on es trivial. Si ¯v:M/IM −→L/ILes un
inverso por la derecha de ¯u, comoM es proyectivo, existe un homomorfismov que hace conmutativo el diagrama siguiente:
M v L M/IM ¯ v L/IL
Llamemos w = uv : L −→ L. As´ıw induce la identidad en L/IL, lo que implica queL=w[L] +IL. Por lo tanto,
L/w[L] =I(L/w[L]) =I2(L/w[L]) =· · ·
Como I es nilpotente, concluimos que w es suprayectivo. Por otra parte, si x ∈ Nw, entonces 0 = w(x) ≡ x(m´odI)L, luego x ∈ IL. Por lo tanto, x=aiyi, conai∈I,yi∈L. De aqu´ı,
0 =w(x) =aiw(yi)≡
aiyi(m´odI2L),
luego x∈I2L. Prosiguiendo de este modo concluimos que x∈InL = 0. As´ı
pues,wes un automorfismo deLyvw−1es un inverso por la derecha deu, ya queuvw−1=ww−1= 1.
Finalmente podemos probar:
Teorema 2.40 Seank−→A−→B homomorfismos de anillos y seaIun ideal deB tal queB seaI-suave sobrek. Entonces B esI-suave sobreAsi y s´olo si el homomorfismo naturalΩ1
A/k⊗A(B/I)−→Ω1B/k⊗B(B/I)tiene inverso por la derecha.
Demostraci´on: Si B es I suave sobre A, entonces tambi´en es I suave
sobreAcon respecto ak, luego basta aplicar el teorema 2.37. Rec´ıprocamente, si n ≥1, llamemos Bn = B/In. Como la I-suavidad es lo mismo que la In-
suavidad, el teorema 2.38 nos da que Ω1
B/k⊗BBn es unBn-m´odulo proyectivo.
SeaIn=I/In, de modo queIn es nilpotente yBn/In=B/I. M´as a´un,
(Ω1A/k⊗ABn)/In(Ω1A/k⊗ABn)∼= Ω1A/k⊗A(B/I),
e igualmente conB en lugar deA. El teorema anterior nos da entonces que el homomorfismo
Ω1B/k⊗BBn−→Ω1A/k⊗ABn
tiene inverso por la derecha, luego el teorema 2.37 implica que B es I-suave sobreAcon respecto ak. Como tambi´en esI-suave sobrek, concluimos que es I-suave sobreA.
En realidad nos interesar´a la siguiente consecuencia inmediata:
Teorema 2.41 SeaA un anillo local regular que contenga un cuerpok0, seam
su ideal maximal yk=A/m su cuerpo de restos. EntoncesA esm-suave sobre
k0 si y s´olo si el homomorfismo Ω1k0/Z⊗k0k−→Ω1A/Z⊗Ak es inyectivo.
Demostraci´on: Seak⊂k0el cuerpo primo. EntoncesAesm-suave sobre
k por el teorema 2.23. Basta aplicar el teorema anterior a k −→ k0 −→ A. (Notemos que Ω1
k0/Z= Ω
1
Cap´ıtulo III
Anillos excelentes
La clase de los anillos excelentes contiene a la de las ´algebras de tipo finito sobre un cuerpo y conserva sus propiedades m´as importantes; pero es mucho m´as extensa, hasta el punto de que contiene casi todos los anillos que aparecen de forma natural en geometr´ıa algebraica, en especial los anillos noetherianos locales completos. La definici´on es un tanto t´ecnica, y dedicaremos secciones sucesivas a describir las propiedades que aparecen en ella y otras relacionadas.
3.1
Anillos universalmente catenarios
La propiedad que estudiamos aqu´ı est´a relacionada con el comportamiento de la dimensi´on de Krull:
Definici´on 3.1 Un anillo noetheriano A es catenario si para toda terna de ideales primosq⊂p⊂mse cumple la igualdad
alt(m/q) = alt(m/p) + alt(p/q).
Diremos que A es universalmente catenariosi toda A-´algebra finitamente ge- nerada es catenaria. (Y, en tal caso, es obvio que, de hecho, es universalmente catenaria.)
Recordemos que, por definici´on, alt(m/q) es el m´aximo de las longitudesn de las cadenas de ideales primos
q=p0p1· · ·pn=m.
Se cumple que un anillo noetherianoAes catenario si y s´olo si toda cadena maximal que una q con m tiene longitud n = alt(m/q). En efecto, si A es catenario y la cadena anterior es maximal, entonces
alt(m/q) = alt(p1/p0) +· · ·+ alt(pn/pn−1),
pero es obvio que alt(pi/pi−1) = 1, luego alt(m/n) =n. Rec´ıprocamente, dados ideales q⊂p ⊂m, tomamos cadenas maximales que unan q con p y p con m,
cuyas longitudes ser´an alt(p/q) y alt(m/p), respectivamente. La uni´on de ambas cadenas ser´a una cadena maximal que une q con m, luego su longitud ser´a alt(m/q) = alt(m/p) + alt(p/q).
Teorema 3.2 SeaA un anillo noetheriano.
a) Aes universalmente catenario si y s´olo siA[X1, . . . , Xn]es catenario para todo n≥1.
b) Toda localizaci´on y todo cociente de un anillo (universalmente) catenario es (universalmente) catenario.
c) A es (universalmente) catenario si y s´olo si Ap es (universalmente) cate-
nario, para todo ideal maximal p deA.
Demostraci´on: Es evidente que las localizaciones y los cocientes de los
anillos catenarios son catenarios, de donde se sigue a). Veamos que esto implica la parte de b) para anillos universalmente catenarios.
En efecto, siAes universalmente catenario yS⊂Aes un conjunto multipli- cativo, entonces (S−1A)[X1, . . . , X
n] =S−1(A[X1, . . . , Xn]), luego es catenario.
Similarmente, siI es un ideal deA, entonces
(A/I)[X1, . . . , Xn] =A[X1, . . . , Xn]/I[X1, . . . , Xn],
luego es catenario.
Una implicaci´on de c) es un caso particular de b). Tambi´en es claro que si Ap es catenario para todo ideal maximalp, entonces A es catenario. (Para
comprobar la definici´on para tres primos p⊂q⊂m localizamosA respecto de un ideal maximal que contenga am.)
Supongamos ahora queApes universalmente catenario, para todo ideal ma-
ximal p, y hemos de probar que A[X1, . . . , Xn] es catenario, para lo cual a su
vez basta probar que lo esA[X1, . . . , Xn]P, para un ideal maximalP. Tomamos
p =A∩P, que es un ideal maximal de A, ya que si a∈A\p, entonces a es una unidad m´oduloP, luego existe un polinomioF tal que aF−1∈P, luego aF(0)−1∈p, luegoaes una unidad m´odulop.
Es claro que A[X1, . . . , Xn]P =Ap[X1, . . . , Xn]P, donde P = Pp, y este
anillo es catenario por ser una localizaci´on de unaAp-´algebra finitamente gene-
rada.
Si A es un dominio ´ıntegro catenario, aplicando la definici´on para q = 0 obtenemos la relaci´on
altm= alt(m/p) + altp
y, rec´ıprocamente, esta relaci´on (para todo par de ideales primosp⊂m) implica queAes catenario, aunque no sea un dominio ´ıntegro.
El ejemplo m´as importante de anillos universalmente catenarios es el si- guiente:
Teorema 3.3 Toda ´algebra af´ın sobre un cuerpo es universalmente catenaria.
Demostraci´on: Puesto que toda ´algebra af´ın es un cociente de un anillo
de polinomios, basta probar que el anillo A = k[X1, . . . , Xn] es catenario. Si q⊂p son dos ideales primos, entoncesA/qes unak-´algebra af´ın ´ıntegra, luego [AC 3.75] nos da que
dimA/q= alt(p/q) + dimA/p. Por el mismo teorema aplicado aAvemos que
dimA= altp+ dimA/p, dimA= altq+ dimA/q, y as´ı concluimos que altp= alt(p/q) + altq.
Otra familia notable de anillos catenarios es la de los anillos locales regulares. M´as en general:
Teorema 3.4 Todo anillo local de Cohen-Macaulay es catenario.
Demostraci´on: SeaAun anillo local de Cohen-Macaulay y seapun ideal
primo deA. Por el teorema [AC 5.44] tenemos que dimA= altp+ dim(A/p).
Si p ⊂q es otro ideal primo, el teorema [AC 5.43] implica queAq tambi´en
es un anillo local de Cohen-Macaulay, y la igualdad precedente aplicada aAqes
dimAq= alt(pAq) + dim(Aq/pAq),
que equivale a altq= altp+ alt(q/p).
Pasamos ahora a la propiedad correspondiente en esquemas:
Definici´on 3.5 Diremos que un esquema localmente noetheriano X es (uni- versalmente) catenariosi los anillosOX,P son (universalmente) catenarios, para
todo puntoP ∈X.
Es claro queX es (universalmente) catenario si y s´olo si, para cada abierto af´ın U ⊂ X, el anillo OX(U) es (universalmente) catenario o, tambi´en, si X
puede cubrirse por abiertos afines U con esta propiedad. En particular, un anilloAes (universalmente) catenario si y s´olo si lo es el esquema EspA.
Por otra parte, observemos queX es universalmente catenario si y s´olo si el productoAn
X=AnZ×ZX es catenario. En efecto, basta tener en cuenta que, si
U ⊂X recorre los abiertos afines deX, los abiertosAn
U cubrenAnXy se cumple
queOAn X(A
n
U) =OX(U)[X1, . . . , Xn].
Un esquema localmente noetheriano X es catenario si y s´olo si para toda terna de cerrados irreducibles no vac´ıosW ⊂Y ⊂Z ⊂X se cumple que
En efecto, siP es el punto gen´erico deW, entoncesW,Y,Zse corresponden con tres ideales primos deOX,P, de modo que la igualdad anterior equivale a la
igualdad que define a los anillos catenarios.
El teorema siguiente es una mera reformulaci´on de 3.3:
Teorema 3.6 Todo conjunto algebraico sobre un cuerpo es universalmente ca- tenario.
Por otra parte:
Teorema 3.7 Todo esquema regular localmente noetheriano es universalmente catenario.
Demostraci´on: SeaX un esquema regular localmente noetheriano. Como
An
Z es suave sobre Z, tenemos que AnX es suave sobreX, luego [E 7.50] implica
queAnX tambi´en es regular, luego es catenario, pues los anillos locales regulares son catenarios.
Terminamos la secci´on con algunas consecuencias sobre la dimensi´on de Krull:
Teorema 3.8 Sea f : X −→ Y un homomorfismo denso localmente de tipo finito entre esquemas ´ıntegros localmente noetherianos, sea x∈X y llamemos
y=f(x). Entonces
dimOX,x+ grad.tr.k(y)k(x)≤dimOY,y+ grad.tr.K(Y)K(X),
y si Y es universalmente catenario se cumple la igualdad.
Demostraci´on: No perdemos generalidad si suponemos que X = EspB
e Y = EspA son afines noetherianos y que f es de tipo finito, con lo que se corresponde con un homomorfismo de anillosA−→Bque convierte aBen una A-´algebra finitamente generada. Que f sea denso se traduce en que el punto gen´erico deX se corresponde con el punto gen´erico deY, luegoA−→B es un monomorfismo de anillos. Pongamos que B =A[b1, . . . , bn]. Los puntosxe y
se identifican con ideales primosPypdeByAtales quep=P∩A. En estos t´erminos, el teorema equivale a que
dimBP−dimAp≤grad.tr.A0B0−grad.tr.k(p)k(P),
y se cumple la igualdad si A es universalmente catenario. (Notemos que las localizacionesA0yB0son los respectivos cuerpos de fracciones.) Consideremos lasA-´algebras Bi =A[b1, . . . , bi] con los ideales Pi =P∩Bi. Si A es univer-
salmente catenario, todos losBi lo son. Cada extensi´onBi⊂Bi+1 cumple las mismas hip´otesis que la extensi´on A ⊂B. Si probamos la f´ormula para cada una de ellas, tenemos que
(con igualdad siAes universalmente catenario). Sumando todas las desigualda- des (o igualdades) obtenemos la correspondiente a A⊂B. Equivalentemente, podemos suponer quen= 1 o, lo que es lo mismo, queB=A[b].
CambiandoAporApyBporBp =Ap[b] no se modifican ni las localizaciones
ni los grados de trascendencia que aparecen en la desigualdad. Adem´as, siAes universalmente catenario tambi´en lo esAp. Equivalentemente, podemos suponer
queAes un anillo local y quepes su ideal maximal. Llamemosk=k(p) =A/p
y seaB=A[b] =A[X]/I, dondeI es un ideal primo deA[X].
Si I = 0, entonces B = A[X], grad.tr.A0B0 = 1 y B/pB = k[X] tiene dimensi´on 1, luego
alt(P/pB) =
1 sipBP, 0 sipB=P.
En el primer caso P = P/pB es un ideal maximal de k[X], luego P es un ideal maximal deB, luegok(P) =B/P es una extensi´on finita dek, pues
P es un punto cerrado del conjunto algebraico Espk[X], y esto implica que k(P) =k(P) es una extensi´on finita dek. Por consiguiente, grad.tr.kk(P) = 0.
En el segundo caso k(P) ∼= k(X), luego grad.tr.kk(P) = 1. En ambos casos
concluimos que
alt(P/pB) = 1−grad.tr.kk(P) = grad.tr.A0B0−grad.tr.kk(P). Por otra parte, B es un A-m´odulo libre, luego es plano, luego podemos aplicar el teorema [E 4.52], que en t´erminos de anillos afirma que
alt(P/pB) = dimBP−dimAp.
(Observemos que la fibra depesB⊗A(A/p)∼=B/pB y quePse corresponde
en este anillo conP/pB.) Uniendo las dos igualdades obtenemos que la f´ormula del enunciado se cumple con igualdad.
Supongamos ahora queI= 0. Entoncesbes ra´ız de cualquier polinomio no nulo de I, por lo que es algebraico sobre k, y esto hace que grad.tr.A0B0 = 0. SeaP=P∗/I. ComoA−→A[X]/Ies inyectiva, tenemos queA∩I= 0, luego altI = altIA0[X], pues A0[X] =S−1A[X], donde S =A\ {0}, y los ideales primos de este anillo se corresponden con los ideales deA[X] disjuntos conS. As´ı pues,
altI= altIA0[X]≤dimA0[X] = 1 y, puesto queI= 0, ha de ser altI= 1. Por consiguiente,
altP≤altP∗−altI= altP∗−1,
y si A es universalmente catenario, entonces A[X] es catenario y tenemos la igualdad.
Por otra parte, es claro queP∗∩A=p, as´ı como quek(P∗) =k(P), por lo que podemos aplicar el caso I = 0, ya probado, a la extensi´onA⊂A[X] y el idealP∗. Esto nos da la igualdad
Combinando ambas resulta
altP−altp≤ −grad.tr.k(p)k(P),
y si A es universalmente catenario se cumple la igualdad. Es claro que esto equivale a la f´ormula del enunciado.
Como consecuencia obtenemos la siguiente generalizaci´on de [E 4.53]: Teorema 3.9 Sea f : X −→ Y un homomorfismo plano, suprayectivo y de tipo finito entre esquemas ´ıntegros noetherianos, y supongamos adem´as que Y
es universalmente catenario. Entonces, para todoy∈Y, la fibraXy tiene todas sus componentes irreducibles de la misma dimensi´on, y ´esta es igual a
dimXy= dimX−dimY.
Demostraci´on: La fibraXy es un conjunto algebraico sobre k(y), luego
contiene un punto cerrado x∈ Xy. Entonces k(x) es una extensi´on finita de
k(y). Seg´un el teorema anterior:
dimOX,x−dimOY,y =d,
donded= grad.tr.K(Y)K(X) no depende dexni dey. El teorema [E 4.52] nos da que dimOXy,x = d, para todo punto cerrado x ∈ Xy, lo que implica que
todas las componentes irreducibles deXy tienen la misma dimensi´ond.
Si ahora tomamos comoy∈Y un punto cerrado, entonces dimOY,y= dimY
y, como la fibraXy es cerrada enX, el puntoxtambi´en es cerrado enX, luego
dimOX,x= dimX, de donde se sigue qued= dimX−dimY.
Ahora podemos demostrar otro hecho destacable:
Teorema 3.10 Sea f :X −→Y un homomorfismo propio y birracional entre esquemas ´ıntegros localmente noetherianos. EntoncesdimX= dimY.
Demostraci´on: Para todox∈X, llamandoy=f(x), tenemos que
dimOX,x≤dimOY,y+ grad.tr.K(Y)K(X)−grad.tr.k(y)k(x)≤dimOY,y
porqueK(X) =K(Y). Si enX podemos formar una cadena creciente den+ 1 cerrados irreducibles, cualquier x que pertenezca al primero de ellos cumple dimOX,x ≥ n, luego existe un y ∈ Y tal que dimY ≥ dimOY,y ≥ n, luego
dimX ≤ dimY (entendiendo que si X tiene dimensi´on infinita, lo mismo le sucede aY).
Ahora vamos a probar la desigualdad opuesta, dimX ≥dimY. Basta probar que si U ⊂ Y es un abierto noetheriano, entonces dimU ≤ dimX, pues la dimensi´on de Y es el supremo de las dimensiones de los abiertos U. (Ver la prueba de [E 3.22].) Como dimX ≥dimf−1[U], basta probar el teorema para la restricci´on f−1[U] −→ U o, equivalentemente, podemos suponer que X e Y son noetherianos. (notemos quef−1[U] es noetheriano porque f es de tipo finito.)
En general, la desigualdad dimX≥dimY es v´alida para cualquier aplicaci´on continua, cerrada y suprayectiva entre espacios topol´ogicos noetherianos. En efecto, siX tiene dimensi´on infinita no hay nada que probar. En caso contrario, razonamos por inducci´on sobre la dimensi´on deX.
Supongamos que dimX = n y que el resultado es cierto para espacios de dimensi´on menor que n. Sea X =X1∪ · · · ∪Xm la descomposici´on de X en
componentes irreducibles. Entonces,
Y =f[X1]∪ · · · ∪f[Xm]
es una descomposici´on deY en cerrados irreducibles (aunque puede que alguno sea redundante, por estar contenido en la uni´on de los otros). Basta probar que dimXi≥dimf[Xi], pues entonces
dimX = m´ax
i dimXi≥m´axi dimf[Xi] = dimY.
Como la restricci´onf|Xi:Xi−→f[Xi] cumple las mismas hip´otesis quef,
concluimos que no perdemos generalidad si suponemos que X es irreducible. (En principio, puede ser dimXi< n, pero entonces tenemos la desigualdad por
hip´otesis de inducci´on. As´ı pues, mantenemos la hip´otesis de que dimX =n.) Si X es irreducible, tambi´en lo esY. Si dimY = 0 no hay nada que probar. Sea, pues,
Y0Y1· · ·Ym=Y
una cadena de cerrados irreducibles enY, conm≥1. Entoncesf−1[Y
m−1]X es cerrado y obviamente dimf−1[Y
m−1]< n, luego, por hip´otesis de inducci´on m−1≤dimYm−1< n, luegom≤n. Esto prueba que dimY ≤n.