Nos ocupamos ahora de la tercera y ´ultima propiedad que define a los anillos excelentes, debida a Grothendieck.
Definici´on 3.44 Diremos que un anillo noetherianoAtiene lapropiedadGsi, para cada ideal primopdeA, el homomorfismo naturalφp:Ap−→Aˆp (deAp
en su compleci´on) es suave. Notemos queφpsiempre es plano, luego lo que exige
realmente la propiedadGes que sus fibras sean geom´etricamente regulares. Los homomorfismosφpno son, en general, finitamente generados, y ´esta es la
raz´on por la que en la secci´on anterior hemos tenido que generalizar la suavidad al caso de homomorfismos que no sean necesariamente finitamente generados. Teorema 3.45 Si un anillo A tiene la propiedad G, tambi´en la tiene toda lo- calizaci´on y todo cociente de A.
Demostraci´on: SeaS⊂Aun subconjunto multiplicativo. Un ideal primo
de S−1A es de la forma S−1p, donde p es un ideal primo disjunto con S, y S−1A
S−1p=Ap. La conclusi´on es inmediata.
SiI es un ideal deA, todo primo de ¯A=A/I es de la forma ¯p=p/I, donde
pes un primo deA, y ¯A¯p=Ap/Ip. Notemos que, por [AC 4.17], la compleci´on
de ¯A¯p es ˆAp⊗ApA¯¯p. Hemos de estudiar las fibras del homomorfismo natural ¯
A¯p −→Aˆp⊗ApA¯¯p. Para ello, tomamos un primo de ¯A¯p, que ser´a de la forma ¯
q=qAp/Ip, dondeI⊂q⊂p. Su fibra es
ˆ
Ap⊗ApA¯¯p⊗A¯¯pk(¯q) = ˆAp⊗Apk(¯q) = ˆAp⊗Apk(q), donde hemos usado que
k(¯q) = (Ap/Ip)qAp/Ip (qAp/Ip)(Ap/Ip)qAp/Ip ∼ = (Aq/Iq) (qAq/Iq)∼=Aq/qAq=k(q).
As´ı pues, la fibra de ¯qcoincide con la fibra deqAp respecto al homomorfismo
Ap−→Aˆp, que, por hip´otesis, es geom´etricamente regular sobrek(q).
Ahora es inmediato que un anillo noetheriano A tiene la propiedad G si y s´olo si la tienen todas sus localizacionesAp, donde precorre los ideales primos
de A. M´as a´un, basta con que esto se cumpla para los ideales maximales, ya que, sip⊂m, entoncesAp es una localizaci´on deAm.
Similarmente, la prueba del teorema anterior muestra que si A/I tiene la propiedadGpara todo idealIdeA, entoncesAtiene la propiedadG. M´as a´un, basta con que esto suceda para todo ideal primo.
Teorema 3.46 Si un anillo noetheriano local tiene la propiedad G, tambi´en tiene la propiedadJ2.
Demostraci´on: Si A es un anillo local con la propiedadG, el homomor-
fismoA −→Aˆ es suave y fielmente plano, y ˆA tiene la propiedadJ2 por 3.32, luego basta aplicar el teorema 3.41.
Teorema 3.47 Si φ : A −→ B es un homomorfismo de anillos suave y fiel- mente plano y B tiene la propiedadG, entonces Atambi´en la tiene.
Demostraci´on: Si p ∈ EspA, el teorema 1.24 nos da un P ∈ EspB tal
queφ−1[P] =p. Consideremos el diagrama conmutativo
ˆ Ap ˆ φp ˆ BP Ap φp α BP β
Por hip´otesis,β es suave, y es f´acil ver queφptambi´en lo es por serloφ. Por
otra parte, ˆφp es plano. Esto es consecuencia del teorema [AC A.14]: como ˆBP
es plano sobreAp, llamandom=pAp, tenemos quem⊗ApBˆP∼=mBˆP= ˆmBˆP, pero, seg´un [AC 4.18],
m⊗ApBˆP∼=m⊗ApAˆp⊗Aˆp ˆ BP∼= ˆm⊗Aˆ p ˆ BP, luego tambi´en ˆm⊗Aˆp ˆ
BP ∼= ˆmBˆP, y el isomorfismo es el natural. Aplicando
de nuevo [AC A.14] concluimos que ˆBP es plano sobre ˆAp, tal y como hemos
afirmado.
Como los anillos son locales, ˆφp es, de hecho, fielmente plano. Ahora basta
aplicar el teorema 3.39, seg´un el cualα◦φˆp=φp◦β es suave, luego tambi´en lo
esα. Esto prueba queAtiene la propiedadG.
Como todas las propiedades que estamos estudiando, la propiedadGla cum- plen los anillos locales completos:
Teorema 3.48 Todo anillo noetheriano local y completo tiene la propiedad G.
Demostraci´on: Sea A un anillo noetheriano local y completo y tome-
mos p ∈ EspA. Hemos de probar que el homomorfismoAp −→ Aˆp es suave.
Para ello tomamos un primop de Ap y hemos de probar que la fibra dep es
Notemos que p = qAp, donde q ⊂ p es un primo de A. En la prueba del
teorema 3.45(tomandoI=q) hemos visto que, si ¯A=A/qy ¯p=p/q, la fibra de
pcoincide con la fibra de 0 respecto al homomorfismo de ¯A¯p en su compleci´on.
Como ¯Atambi´en es un anillo noetheriano completo, no perdemos generalidad si suponemos queAes un dominio ´ıntegro y quep= 0. En definitiva, si llamamos L al cuerpo de cocientes de A, lo que hemos de probar es que ˆAp ⊗Ap L es geom´etricamente regular sobreL.
Seg´un el teorema 2.21, tenemos que A contiene un anillo local regular y completo R tal que A es una R-´algebra finita. Sea q = p∩R. Consideremos la localizaci´on Aq = A⊗RRq. Por el [AC 3.63 y 3.64] vemos que Aq tiene
un n´umero finito de ideales maximales (en correspondencia con los ideales ma- ximales de A cuya antiimagen en R es q, uno de los cuales es p) y Ap es la
localizaci´on de Aq respecto de uno de ellos. El mismo argumento empleado
en la prueba del teorema 3.32 muestra que ˆAp es un sumando directo de la
compleci´on ˆAq = ˆRq⊗RqAq. Si llamamos K al cuerpo de cocientes deR, la situaci´on es la siguiente: ˆ Aq Aˆp A Aq Ap L R Rq K
Ahora observamos que ˆAp⊗ApL= ˆAp⊗AqL(porque, en ˆAp⊗AqLse cumple quea(a/s)⊗b=a(a/s)⊗(s/s)b=a⊗(a/s)b, para todoa/s∈Ap). Por lo
tanto, es un sumando directo de ˆAq⊗AqL= ˆRq⊗RqL= ( ˆRq⊗RqK)⊗KL. Por consiguiente, si probamos que ˆRq⊗Rq K es geom´etricamente regular sobre K, tendremos que ˆAq⊗AqLser´a geom´etricamente regular sobreL, y lo mismo valdr´a para ˆAp⊗ApL.
Equivalentemente, cambiandoAporR, podemos suponer queAes un anillo local regular y completo, con lo que tambi´en son regularesAp, ˆAp y ˆAp⊗ApL (el tercero por ser una localizaci´on del segundo). Si L tiene caracter´ıstica 0, entonces ˆAp⊗ApLes geom´etricamente regular sobreLpor el teorema 3.36. As´ı pues, en adelante podemos suponer queL tiene caracter´ıstica prima p. Por la observaci´on tras 2.22, tenemos queA=k[[X1, . . . , Xn]].
Recordemos que queremos probar que ˆAp⊗ApLes geom´etricamente regular sobreL, para lo cual basta probar que lo son sus localizaciones en cada uno de sus primosP. Como se trata de la fibra del homomorfismoAp−→Aˆp, el primo
P puede identificarse con un primoP∈Esp ˆAp tal que P∩Ap= 0. M´as a´un,
por [E 3.47] resulta que, a trav´es de dicha identificaci´on, la localizaci´on enP
es isomorfa a ( ˆAp)P. Basta probar, pues, que este anillo es geom´etricamente
Fijemos un generador dek/kpy llamemosFa la familia de todos los cuerpos intermedioskp⊂F ⊂kque resultan de adjuntar akp todos los elementos del
generador salvo un n´umero finito de ellos. As´ı, los ´ındices|k:F| son finitos y
F∈F
F =kp.
Para cadaF ∈F, llamemosAF =F[[X1p, . . . , Xnp]] y seaLF ⊂Lsu cuerpo
de cocientes. Tenemos que A es un AF-m´odulo finitamente generado, luego
la extensi´onA/AF es entera. Adem´as AF es ´ıntegramente cerrado, porque es
regular, luegoA∩LF =AF.
Sia∈
F∈F
LF ⊂L, podemos expresarlo en la formaa=u/v, para ciertosu,
v∈A. Multiplicando porvp−1 podemos suponer quev ∈Ap ⊂L
F. Entonces
u∈A∩LF =AF para todoF ∈F, luegou∈
F∈F
AF =Ap. Esto prueba que
F∈FLF =L
p.
Llamemos pF = p∩AF. Del hecho de que Ap ⊂ AF ⊂ A se sigue que
Ap=A⊗AFAF,pF, puess∈AF\pF, entoncess∈A\po, de lo contrario,s
p∈p F
y tambi´ens∈pF. Esto permite definir un homomorfismoA⊗AFAF,pF −→Ap,
que claramente es un isomorfismo.
Como A es unAF-m´odulo finitamente generado,Ap es tambi´en unAF,pF-
m´odulo finitamente generado. M´as a´un, es claro que, a trav´es del isomorfismo anterior, pFAp = p, es decir, la topolog´ıa p-´adica en Ap coincide con la to-
polog´ıapF-´adica al considerarlo como AF,pF-m´odulo. Esto nos da a su vez la
identificaci´on ˆAp=Ap⊗AF,pF AˆF,pF.
Vamos a probar que ˆApes 0-suave sobreAp con respecto aAF,pF. Para ello
consideramos un diagrama conmutativo ˆ AF,pF Aˆp u C/N AF,pF Ap u C
dondeCes un anillo yN un ideal tal queN2= 0. Suponemos queuse eleva a unAF,pF-homomorfismo de ´algebras v : ˆAp −→C. Llamamos w=v|AˆF,pF y
v=u⊗w: ˆAp=Ap⊗AF,pF
ˆ
AF,pF −→C. Es f´acil ver quev eleva a uy es un
Ap-homomorfismo.
De aqu´ı se sigue a su vez que ( ˆAp)P es 0-suave sobreL con respecto aLF.
ˆ Ap ( ˆAp)P u C/N Ap L C AF,pF LF
Si use levanta a unLF-homomorfismov : ( ˆAp)P −→ C, la restricci´on de
v a ˆAp es un AF,pF-homomorfismo que levanta a la restricci´on de u. Seg´un
hemos visto, la restricci´on de u se levanta entonces a un Ap-homomorfismo
v : ˆAp −→C. Las im´agenes por u de los elementos de ˆAp\P son unidades
de C/N, luego las im´agenes por v de dichos elementos son unidades en C (v´ease la prueba de 2.5). Esto implica quevse extiende a unL-homomorfismo v: ( ˆAp)P−→C que eleva au.
Vamos a llamarE= ( ˆAp)P, que es un anillo local con ideal maximalP. Al
ser 0-suave, tambi´en es P-suave sobre L con respecto a LF. Seg´un 2.37, esto
implica que el homomorfismo
Ω1L/LF ⊗L(E/P)−→Ω1E/LF ⊗E(E/P)
tiene inverso por la derecha y, en particular, es inyectivo. Por otra parte, el teorema 2.30 aplicado a la extensi´onL/Lp nos da que el homomorfismo
Ω1L/Z−→ ←−l´ım
F∈FΩ
1
L/F
tambi´en es inyectivo (notemos que Ω1L/Lp= Ω1L/Z), y lo mismo vale para
Ω1L/Z⊗L(E/P)−→ ←−l´ım F∈F(Ω
1
L/F⊗L(E/P)).
Por ´ultimo, el diagrama conmutativo: Ω1 L/Z⊗L(E/P) Ω1 E/Z⊗E(E/P) ←−l´ım F∈F(Ω 1 L/LF ⊗L(E/P)) ←−Fl´ım∈F(Ω 1 E/LF ⊗E(E/P))
nos da que el homomorfismo Ω1
L/Z⊗L(E/P)−→Ω1E/Z⊗E(E/P) es inyectivo.
As´ı pues, el teorema 2.41 implica queEesP-suave sobre Ly 3.35nos permite concluir que es geom´etricamente regular sobreL.
Combinando los dos ´ultimos teoremas, obtenemos una condici´on caracteri- zaci´on d´ebil de la propiedadG:
Teorema 3.49 Si A es un anillo noetheriano y para todo ideal maximal m de
Ael homomorfismoAm−→Aˆm es suave, entoncesA tiene la propiedadG. Demostraci´on: Por el teorema anterior, ˆAm tiene la propiedad G, y por
el teorema 3.47 tambi´en la tieneAm. Como esto vale para todo ideal maximal
deA, las observaciones tras el teorema 3.45implican queAtiene la propiedadG.
Ahora necesitamos un ´ultimo resultado t´ecnico:
Teorema 3.50 Sea A un anillo noetheriano y X = EspA. Si Z ⊂ X es la intersecci´on de un abierto con un cerrado y Z =∅, entonces existe un p ∈Z
tal quedimA/p≤1.
Demostraci´on: Podemos suponer queZ =D(f)∩V(P), dondef ∈A\P.
EntoncesZes isomorfo a Esp((A/P)f¯), donde ¯f es la clase def m´oduloP. Sea
mun ideal maximal de (A/P)f¯y seapsu imagen enA. Entoncesm= (p/P)f¯, con lo que es evidente quep∈Z. Por otra parte, es f´acil ver que, siges la clase def m´odulop, entonces
(A/p)g∼=Af/pAf ∼= (A/P)f¯m
es un cuerpo. Esto significa queg est´a contenido en todos los ideales no nulos del dominio ´ıntegro D = A/p. En particular, los primos minimales de g son todos los primos de altura 1 deD, que, en particular, son un n´umero finito.
Sipes cualquier ideal primo deDyd∈pno es nulo, entoncesdpertenece a cualquiera de sus primos minimales, que, por el teorema de los ideales principales [AC 5.2], tiene altura 1. As´ı pues,p est´a contenido en la uni´on de los primos minimales degy por [AC 3.51] es uno de ellos. As´ı pues altp≤1. Esto prueba que dimD≤1.
Teorema 3.51 Si un anilloAtiene la propiedadGy B es una A-´algebra fini- tamente generada, entoncesB tiene tambi´en la propiedad G.
Demostraci´on: No perdemos generalidad si suponemos que B = A[t].
Tomamos un ideal maximal P deB y hemos de probar que el homomorfismo BP −→BˆP es suave. Sea m = P∩A. Como BP es la localizaci´on deAm[t]
respecto de un ideal maximal yAmtambi´en tiene la propiedadG, no perdemos
generalidad si suponemos queAes un anillo local y quem es su ideal maximal. El teorema 3.40 nos da que el homomorfismo natural B −→B =B⊗AAˆ
es suave, y claramente es fielmente plano, por lo que podemos tomar un ideal maximalPdeBcuya antiimagen enB seaP. La prueba de 3.47 muestra que siBP −→BˆP es suave, tambi´en lo es BP−→BˆP. ComoB= ˆA[t], podemos
suponer queAes un anillo local completo.
Llamemos C = BP. Hemos de probar que C −→ Cˆ es suave. Para ello
tomamos un primo p ∈ EspC y una extensi´on finita L de k(p). Hemos de probar que ˆC⊗CL es regular. Como k(P) es el cuerpo de cocientes de C/p,
podemos tomar una k(p)-base de L formada por elementos enteros sobreC/p. Sea D ⊂ Lla adjunci´on aC/p de dicha base, con lo que D es una C-´algebra finita yL es su cuerpo de cocientes. As´ı, podemos ver a ˆC⊗CL como la fibra
gen´erica del homomorfismoD−→Cˆ⊗CD= ˆD. Teniendo en cuenta el teorema
[E 3.47], basta probar que si Q ∈Esp ˆD cumple Q∩D = 0, entonces ˆDQ es
regular.
En definitiva, tenemos los anillos siguientes:
A−→B=A[t]−→C=BP−→D−→Dˆ −→DˆQ.
Observemos queD es un dominio ´ıntegro, por lo que el n´ucleoN del homo- morfismoC −→D es un ideal primo. Podemos cambiar A porA/(A∩N), B porB/(B∩N) yPporP/N, con lo queAsigue siendo un anillo local completo, s´olo que ahora es adem´as un dominio ´ıntegro.
Notemos que, como D es una extensi´on finita de C, se trata de un anillo semilocal, y la fibra dePrespecto al homomorfismoC−→DesD/PD. Por lo tanto, si I es la intersecci´on de los ideales maximales deD, resulta queI/PD es el radical de D/PD, luego existe un n≥1 tal que In ⊂PD ⊂I, luego la
topolog´ıaI-´adica enDcoincide con laP-´adica, luego ˆD es la compleci´on deD en el sentido usual para anillos semilocales.
Sean X = EspD, X = Esp ˆD y f : X −→ X el homomorfismo natural. Basta probar que f−1[Reg(X)] ⊂Reg(X), pues, como D es ´ıntegro, tenemos quef(Q) = 0∈Reg(X), y lo que queremos probar es queQ∈Reg(X).
Sabemos queAesJ2por el teorema 3.32, luego tambi´en lo sonB,CyD. En particularD esJ1, es decir, Reg(X) es abierto enX. Por otra parte, Reg(X) es abierto enX de nuevo por 3.32.
Supongamos que f−1[Reg(X)]\Reg(X)=∅y vamos a llegar a una con-
tradicci´on. Por el teorema anterior existe un primop ∈f−1[Reg(X)]\Reg(X)
tal que dim ˆD/p ≤1.
No puede suceder que el ideal p sea maximal en ˆD, ya que entonces tendr´ı- amos queI ⊂p∩D=f(p), luegof(p) ser´ıa un ideal maximal deD. Si los ideales maximales de D sonm1 =f(p),m2, . . . ,mr, seg´un hemos visto tras la
definici´on 1.12, ˆD= ˆDm1⊕ · · · ⊕Dˆmr. Por la observaci´on previa a 3.32, resulta
que Esp ˆD es uni´on disjunta de abiertos isomorfos a los espectros de los anillos ˆ
Dmi, y es f´acil ver que, a trav´es de estos isomorfismos, ˆDp = ˆDm1 (o, con m´as
precisi´on: ( ˆD)p =Dm1). Pero esto es contradictorio, pues tenemos queDm1 es
regular, luego tambi´en lo es su compleci´on, y por otra parte tenemos que ˆDp
no es regular.
As´ı pues, podemos concluir que dim ˆD/p = 1. Llamemos p = p ∩D. Estamos suponiendo queDp es regular pero ˆDp no.
El homomorfismoDp−→Dˆp es plano. Si la fibra ˆDp/pDˆp fuera regular, el
mismo argumento empleado en la prueba de 3.38 nos dar´ıa que ˆDp es regular.
Esto nos permite cambiarDporD/p(luego ˆDpor ˆD/pD,ˆ CporC/(p∩C), etc.) y suponer quep= 0. De este modo tenemos las inclusiones:
A−→B=A[t]−→C=BP−→D−→D/ˆ p,
dondeAes un anillo local completo yD es unaC-´algebra finita.
LlamemosE = ˆD/p y seaJ la intersecci´on de los ideales maximales deE. Recordemos que I es la intersecci´on de los ideales maximales deD y quem es el ideal maximal deA.
ComoC/PC∼=B/P= (A/m)[¯t] es un cuerpo, tenemos que ¯tes algebraico, luego la extensi´on k(P)/k(m) es finita. Como D es finito sobre C, tambi´en D/I∼= ˆD/Iˆtiene dimensi´on finita sobrek(P), luego sobrek(m). El epimorfismo
ˆ
D/Iˆ−→E/J, nos da queE/J es unk(p)-espacio vectorial de dimensi´on finita. Si Jn admite un sistema generador con g elementos, tenemos una aplicaci´on k(m)-lineal suprayectiva (E/J)e −→ Jn/Jn+1, lo que nos da que todos los cocientesJn/Jn+1 tienen dimensi´on finita, y lo mismo vale paraE/Jn.
Vamos a probar que A es un cuerpo. En caso contrario, m = 0, luego tambi´enmE = 0. Como dimE = 1, los primos minimales demE son ideales maximales, luego,J ⊂rad(mE), con lo que existe unn≥1 tal que Jn ⊂mE y
el epimorfismoE/Jn −→E/mEnos da queE/mEes unk(m)-espacio vectorial
de dimensi´on finita. El teorema 2.20 nos da queE es unA-m´odulo finitamente generado. (Notemos quemE ⊂J y como, por [AC 4.21], la topolog´ıa J-´adica es de Hausdorff, lo mismo vale para la topolog´ıam-´adica enE.)
Como A es noetheriano y D ⊂E, resulta queD tambi´en es un A-m´odulo finitamente generado. Esto implica que la topolog´ıaI-´adica en Dcoincide con la topolog´ıam-´adica. Por consiguiente, ˆD=D⊗AAˆ=D, luego p = 0, y esto
es una contradicci´on, ya quep no es regular.
Tenemos, pues, que Aes un cuerpo, luego dimB ≤1 por [AC 4.63], luego dimC≤1 y dimD≤1 porque es finito sobreC(teorema [AC 3.68]). El teorema [AC 4.57], junto con las observaciones tras 1.12 nos dan que dim ˆD= 1. Como
p no es un ideal maximal, ha de ser un primo minimal. Ahora bien, A es un anillo de Nagata por 3.18,B tambi´en lo es por 3.24,C tambi´en lo es por 3.13 yD lo es tambi´en por 3.24. El teorema 3.22 nos da que ˆD es reducido, luego
ˆ
Dp es regular por 1.16, contradicci´on