Hemos visto un ejemplo de c´omo podemos eliminar un punto singular de una superficie aritm´etica mediante una explosi´on. No obstante, a veces es nece- sario realizar varias explosiones sucesivas. Dedicamos ´ıntegramente esta ´ultima secci´on a discutir un ejemplo de desingularizaci´on no trivial. Concretamente, partiremos de la superficie fibradaX/Zdefinida por la ecuaci´on de Selmer:
3X3+ 4Y3+ 5Z5= 0.
El criterio jacobiano implica que esta ecuaci´on define una curva geom´etrica- mente regular sobre todo cuerpo de caracter´ıstica distinta de 2, 3 o 5.
No vamos a necesitar este hecho, pero en el ´ultimo ejemplo del cap´ıtulo VIII de [CE] se demuestra que esta curva no tiene puntos racionales sobreQ, mientras que s´ı que los tiene sobre cada cuerpop-´adicoQpy, por consiguiente, sobre cada
cuerpo finito Z/pZ. As´ı pues, Xη/Qno es una curva el´ıptica, mientras que s´ı
que lo es cada fibraXp (sobreZ/pZ) para todo primop= 2,3,5.
Los ´unicos posibles puntos singulares de X han de estar en las fibras X2, X3 o X5. Empezando por la ´ultima, vemos que se trata de la curva proyectiva sobreZ/5Zdefinida por la ecuaci´on homog´enea
El criterio jacobiano muestra que su ´unico punto no geom´etricamente regular es el asociado al ideal homog´eneo (5, x, y). Ahora bien, un entorno af´ın de este punto enX es la superficie determinada por la deshomogeneizaci´on de la ecuaci´on respecto deZ, que es
3X3+ 4Y3+ 5 = 0,
y, como ideal de Z[x, y], el punto es p = (5, x, y) = (x, y), y esto implica que el ideal maximal de OX,p est´a generado tambi´en por dos elementos, luego p
es regular en X. As´ı pues, en X5 hay un punto no suave, pero ning´un punto singular enX.
Para estudiar la fibraX2podemos sustituirX porX×ZEspZ2y considerar queX est´a definido sobre el anillo de valoraci´on discretaZ2. La fibraX2es la curva proyectiva sobrek=Z/2Zdada por la ecuaci´on
X3+Z3= (X+Z)(X2+XZ+Z2) = 0.
Vemos que consta de dos componentes irreducibles con multiplicidad 1: Γ1= (2, x+z), Γ2= (2, x2+xz+z2).
La primera es una recta Γ1 ∼= P1k, mientras que la segunda es una c´onica
singular, cuyo punto singular es, concretamente, el punto p0 = (2, x, z) en el que corta a Γ1. Vemos as´ı que todos los puntos de la fibra son geom´etricamente regulares (luego suaves enX, luego regulares) excepto el punto de intersecci´on de las componentes.
Podr´ıamos probar que p0 es, de hecho, singular enX, pero podremos llegar a esta conclusi´on indirectamente al calcular la explosi´onX−→X de centrop0. En efecto, el teorema 5.25 afirma que sip0fuera regular, su fibra en la explosi´on ser´ıa isomorfa a P1
k, pero vamos a ver que es una recta doble, de modo que ser´a
isomorfa a P1
k con la estructura de subesquema cerrado reducido, pero no con
la estructura de esquema asociada a la fibra.
Para determinar la fibra de p0 en X y, m´as en general, la fibra X2 de la explosi´on, podemos restringirnos al entorno af´ın U de p0 determinado por la deshomogeneizaci´on de la ecuaci´on respecto deY, que es
3X3+ 5Z3+ 4 = 0.
Como ideal deZ2[x, z], el puntop0 se corresponde con el idealp= (2, x, z). La explosi´on U es uni´on de tres abiertos. Dejamos que el lector calcule las ecuaciones deU1= EspZ2[x, z, x/2, z/2] y que compruebe que su fibra cerrada es vac´ıa, por lo que podemos prescindir deU1.
En cuanto a U2 = EspZ2[x, z, z/x,2/x] = EspZ2[x, z, u], sustituyendo z = xz, 2 = xu en la ecuaci´on y dividiendo entre x2, llegamos a que est´a determinado por las ecuaciones
Por ´ultimo,U3 = EspZ2[x, z, x/z,2/z] = EspZ2[x, z, u] est´a determinado por las ecuaciones
3x3z+ 5z+u2= 0, zu= 2.
Los puntos cuasigen´ericos de la fibra cerradaU2son los primos minimales del ideal (2)⊂Z2[x, z, u]. SiP es uno de ellos, como 2∈P, la segunda ecuaci´on implica que x ∈ P o bien u ∈ P. En el primer caso, la primera ecuaci´on implica que tambi´en u∈ P. En el segundo caso, la primera ecuaci´on nos da quex(z3+ 1) =x(z+ 1)(z2+z+ 1)∈P. En total, llegamos a que el ideal (2) tiene tres primos minimales:
P1= (2, u, z+ 1), P2= (2, u, z2+z+ 1), P3= (2, u, x).
Podemos comprobar que son realmente primos viendo que sus cocientes son dominios ´ıntegros. Por ejemplo,
Z2[x, z, u]/P
2∼=Z2[X, Z, U]/(2, U, Z2+Z+ 1) ∼
=k[X, Z]/(Z2+Z+ 1)∼=k[X], dondek=k[Z]/(Z2+z+ 1) es el cuerpo de cuatro elementos.
Similarmente, el ideal (2)⊂k[x, z, u] tiene los tres primos minimales
Q1= (2, u, x+ 1), Q2= (2, u, x2+x+ 1), Q3= (2, u, x). As´ı pues, las fibras cerradas deU2 yU3 tienen tres componentes irreducibles cada una, pero ´estas resultan ser las intersecciones con los abiertos correspon- dientes de tres ´unicas componentes irreducibles de X2, a las que llamaremos Γ1, Γ2 y Γ3. Para comprobar que es as´ı observamos que la relaci´on entre los sistemas coordenados deU2 yU3 es la dada por
x= 1/z, z=xz, u =u/z, x=xz, z= 1/x, u=u/x. Esto significa queU2∩U3esD(z) enU2yD(x) enU3. As´ı, por ejemplo, el idealP2define una componente irreducible enU2cuya intersecci´on conU2∩U3 viene dada por el ideal (2, u, z2+z+ 1)⊂D(z) que se corresponde con el ideal
(2, u/x,1/x2+ 1/x+ 1) = (2, u,1 +x+x2)⊂D(x), que a su vez se corresponde con el idealQ2deU3.
La fibra deprespecto de la explosi´on es
U2,p= Esp(Z2[x, z, u]/(x)),
cuyo ´unico primo minimal esP3, pero con multiplicidad mayor que 1. Concre- tamente, su multiplicidad es vP3(x). Para calcularla observamos que el ideal
maximal deO
U ,P3 esP3= (u), ya que, en este anillo local,
x= u 2
En efecto, notemos que z3+ 1 ∈/ P3, porque Z2[x, z, u]/P3 =k[Z]. Por consiguiente,vP3(x) = 2. Seg´un observ´abamos m´as arriba, esto prueba quep
es singular enX.
Observemos que Γ3 tiene multiplicidad 2 en la fibra Xp (respecto de la
explosi´on), pero su multiplicidad en la fibra X2 (respecto del homomorfismo estructural) esvP3(2) =vP3(xu) = 3.
Hemos probado que Γ3 es la ´unica componente irreducible de X2 que se contrae al puntop de X2. Ahora vamos a ver que la explosi´on transforma Γ1 y Γ2 en las componentes del mismo nombre en X (y ´esta es la raz´on por la que las hemos llamado as´ı). En efecto, la explosi´onU2 −→U est´a asociada al homomorfismoZ2[x, z]−→Z2[x, z, u] dado por
x→x, z→xz.
La antiimagen deP1(es decir, la imagen del punto gen´erico de Γ1) contiene a 2 y ax+z=x(1 +z), luego contiene a (2, x+z), y se tiene que dar la igualdad o, de lo contrario, Γ1 ⊂U se contraer´ıa a un punto de U, pero s´olo Γ3 puede contraerse a un punto. Similarmente se concluye que Γ2⊂U tiene por imagen a Γ2⊂U.
Podr´ıamos calcular las multiplicidades de Γ1 y Γ2, pero han de ser iguales a 1, porque la explosi´on se restringe a un isomorfismo sobre un entorno de sus puntos gen´ericos y Γ1 y Γ2 tienen multiplicidad 1 enU.
Notemos que, enU, se cumple que Γ1∩Γ2=∅(pues no se cortan ni enU2 ni en U3), mientras que ambas componentes cortan a Γ3 en puntos distintos, que, por ejemplo, enU2vienen dados por los ideales
Γ1∩Γ3= (2, u, x, z+ 1), Γ2∩Γ3= (2, u, x, z2+z+ 1).
(Tambi´en se cortan enU3, pero los puntos resultan ser los correspondientes a estos dos por el cambio de coordenadas.)
Por ´ultimo, vamos a determinar la estructura de subesquema cerrado redu- cido de Γ1, Γ2 y Γ3. La m´as simple es Γ3, que est´a contenida en la uni´on de los dos abiertos afines Γ3∩U2y Γ3∩U3, y los dos son isomorfos aA1k, pues
Z2[x, z, u]/P
3∼=k[Z], Z2[x, z, u]/Q3∼=k[Z].
Por consiguiente, Γ3 es una curva proyectiva regular birracionalmente equi- valente a A1
k, luego Γ3∼= P1k, porque dos curvas proyectivas regulares birracio-
nalmente equivalentes son isomorfas.
Lo mismo vale para Γ1con la ´unica salvedad de que no est´a cubierto por los abiertos Γ1∩U2y Γ1∩U3, porque Γ1 contiene tambi´en la antiimagen del ´unico punto de Γ1⊂X que no est´a enU. Ahora bien, como este punto es regular y la explosi´on es un isomorfismo fuera de la fibra dep, podemos concluir igualmente que Γ1⊂X es una curva proyectiva regular birracionalmente equivalente a P1
k,
luego Γ1∼= P1
Para Γ2 sucede tambi´en que no est´a cubierta por U2 y U3, pero adem´as resulta que
Z2[x, z, u]/P
2∼=k[X], Z2[x, z, u]/Q2∼=k[Z],
dondek es el cuerpo de 4 elementos. As´ı pues, Γ2∩U2∼=A1k, Γ2∩U3∼=A1k.
M´as a´un, los puntos de Γ2 que no est´an en U tienen un entorno isomorfo a Γ2∩D(z)⊂X, que es la curva asociada al ideal (2, x2+x+ 1)⊂Z2[x, y], y tambi´en
Z2[x, y]/(2, x2+x+ 1)∼=k[Y].
En suma, con la estructura de subesquema cerrado reducido, todo punto de Γ2⊂X tiene un entorno isomorfo aA1k. Esto prueba que Γ2(con su estructura de esquema ya fijada) est´a definido sobrek, y resulta ser una curva proyectiva regular birracionalmente equivalente a P1
k. As´ı pues, Γ2∼= P1k.
En particular, vemos que, aunque Γ2 ⊂X y Γ2 ⊂X son birracionalmente equivalentes, no son isomorfos, pues el primero es regular y, tras una extensi´on de constantes, se escinde en dos rectas proyectivas disjuntas, isomorfas a P1
k,
luego es geom´etricamente regular; por el contrario, el segundo tiene un punto singular y se escinde en dos rectas proyectivas, tambi´en isomorfas a P1
k, pero que
se cortan en un punto singular. (M´as precisamente, Γ2⊂X es la normalizaci´on de Γ2⊂X.) Γ3 3 Γ2 Γ1 Γ1 Γ2 π
Con esto tenemos ya la estructura de la fibra cerradaU2. Est´ a formada por dos componentes simples Γ1 ∼= P1k y Γ2 ∼= P1k que se biyectan
con las componentes irreducibles de U2 y una componente triple Γ2 ∼= P1k que se contrae al
punto singular deU2. De aqu´ı se sigue que los puntos de Γ1 y Γ2 que no est´an en Γ3 son suaves en X, y en particular regulares. Los puntos de Γ3 no pueden ser suaves, pues no son reducidos en la fibra, luego no son regulares en ella, pero esto no impide que sean regulares enX.
Vamos a ver que todos los puntos de Γ3son regulares enX excepto aquellos en los que corta a Γ1 y a Γ2. En efecto, consideremos un punto que est´e enU2 (conU3se razona an´alogamente). Ser´a un idealPque contiene aP3pero no a z3+ 1. ComoZ2[x, z, u]/P
3∼=k[Z], ser´a, concretamente, de la forma
P= (2, u, x, p(z)), y, como ideal deO
X,P, se cumple queP= (u, p(z
)), pues 2 =xuy
x= u 2
z3+ 1.
Esto prueba que P es regular. No necesitamos probar que los dos puntos que faltan son realmente singulares enX, pues ahora vamos a calcular la explosi´ on deX1=X respecto de Γ3 con la estructura de subesquema cerrado reducido,
y el teorema 5.25 implica que si fueran regulares sus fibras se reducir´ıan a un punto cada una. Sin embargo, veremos que no es as´ı.
Como sabemos que las fibras de los puntos de Γ3ser´an todas triviales excepto a lo sumo las de los puntos de intersecci´on con Γ1y Γ2y ambos puntos est´an en U2, podemos limitarnos a calcular la explosi´on deU2. En este abierto, tenemos que Γ3= (2, x, u) = (x, u), luego la explosi´on ser´a la uni´on de dos abiertos, U21 yU22.
El primero esU21= EspZ2[x, z, u, x/u] = EspZ2[x, z, u], cuyos generado- res cumplen las ecuaciones
3x+ 5xz3+u= 0, xu2= 2.
Como podemos despejaruen la primera ecuaci´on, resulta que Z2[x, z, u] =Z2[x, z]
y los generadores cumplen la ecuaci´on
x3(3 + 5z3)2= 2. Se comprueba que es irreducible. El segundo abierto es
U22= EspZ2[x, z, u, u/x] = EspZ2[x, z, u], cuyos generadores cumplen
3 + 5z3+xu2= 0, x2u= 2.
Los puntos gen´ericos de las componentes irreducibles de la fibra cerrada de U21 son
P3= (2, x), P4= (2, z+ 1), P5= (2, z2+z+ 1), mientras que los deU22son
Q1= (2, u, z+ 1), Q2= (2, u, z2+z+ 1).
Q4= (2, x, z+ 1), Q5= (2, x, z2+z+ 1),
Los sub´ındices est´an elegidos de modo que Pi y Qi definen abiertos en la
misma componente irreducible Γi de la fibra cerradaX21. Esto se comprueba sin dificultad teniendo en cuenta quex=ux =−x2(3 + 5z3)∈P
4∩P5. Tambi´en es f´acil ver que Γ4se contrae al punto (2, u, x, z+1) y Γ5se contrae a (2, u, x, z2+z+ 1). Basta tener en cuenta que la explosi´onU
21−→U2 est´a inducida por el homomorfismo de anillosZ2[x, z, u]−→Z2[x, z] dado por
x→ −x2(3 + 5z3), u→ −x(3 + 5z3).
Por consiguiente, Γ1, Γ2 y Γ3 han de corresponderse con las componen- tes irreducibles de la fibra cerrada de U2 con el mismo nombre. (Es f´acil ver
que, concretamente, la correspondencia es la que determina la elecci´on de los sub´ındices.) Γ3 Γ4 Γ1 Γ2 Γ5 2 2 3
La fibra cerrada deU21 tiene ecuaci´on x3(z+ 1)2(z2+z+ 1)2= 0,
de donde se sigue que Γ3 tiene multiplicidad 3 (esto ya lo sab´ıamos) y Γ4y Γ5tienen multiplicidad 2. Analizando las intersecciones, se comprueba sin dificultad que la estructura de la fibra cerrada es la que indica la figura. Tambi´en es f´acil ver que Γ1∼= Γ2∼= Γ3∼= Pk1, Γ4∼= Γ5∼= P1k.
Teniendo en cuenta que la explosi´on es un isomorfismo fuera de la antiimagen de Γ3, los posibles puntos singulares deX1han de estar en Γ4∪Γ5. Ahora bien,
P4= (2, z+ 1) = (z+ 1), de donde se sigue que todos los puntos de Γ4∩U21 se corresponden con ideales generados por dos elementos, luego son regulares enX1. El ´unico punto de Γ4 que no est´a enU21es el punto de intersecci´on con Γ1, es decir,q= (2, x, z+ 1, u). Pero enOX1,qse cumple que q= (x, u), pues
z+ 1 =−(1 + 2z
3)2 +xu2 z2+z+ 1 .
Similarmente se razona con Γ5. Resulta, pues, queX1es un modelo regular de la curva de Selmer sobreZ2.
Seguidamente consideramos la superficie fibrada definida por la ecuaci´on de Selmer sobreZ3. Ahora la fibra cerrada tiene ecuaci´on (Y −Z)3= 0, luego est´a formada por una recta Γ1 ∼= P1k con multiplicidad 3 (donde ahora llamamos
k=Z/3Z). Estudiemos el abierto af´ın D(x) = EspZ3[y, z], cuyos generadores cumplen la ecuaci´on
3 + 4y3+ 5z3= 0.
La componente irreducible de la fibra cerrada es (3, y−z). Como Z3[y, z]/(3, y−z) =k[Y],
un punto cerrado de la fibra es de la formap= (3, y−z, p(y)), pero observamos que
3 + 3y3+ 6y3+y3−z3= 0, luego
3(1 +y3+ 2z3) =−(y3−z3) =−(y2+yz+z2)(y−z), luego
3 =−y
2+yz+z2
1 +y3+ 2z3(y−z),
donde el denominador no est´a enp. Por consiguiente, el ideal maximal deOX,p
admite un generador con dos elementos, y esto prueba que p es regular en X. Esto s´olo nos deja un posible punto singular, el ´unico punto de la fibra cerrada
que no est´a enD(x), a saber, (3, x, y−z). Para estudiarlo podemos restringirnos al abierto af´ınU =D(z), en el que la ecuaci´on deX es
3X3+ 4Y3+ 5 = 0,
y el punto se corresponde con el ideal p = (3, x, y−1). Esta vez son necesa- rias cuatro explosiones sucesivas para llegar a una superficie regular. La figura resume el proceso: Γ1 3 Γ1 3 Γ2 Γ32 Γ3 2 Γ2 Γ1 3 Γ4 Γ5 4 2 Γ1 3 Γ5 2 Γ3 2 Γ4 4 Γ6 6 Γ2 Γ7 Γ4 Γ3 3 Γ1 Γ8 Γ9 Γ6 2 4 6 5 3 Γ2 Γ7 3 4 Γ5 2
Todas las componentes irreducibles son isomorfas a P1
k y tienen la multipli-
cidad indicada (igual a 1 si no se especifica). Los ´unicos puntos singulares son los destacados. Nos limitaremos a dar un esbozo del proceso y dejaremos los detalles a cargo del lector.
En primer lugar, para simplificar los c´alculos, hacemos el cambio de variable y = y−1, con lo que el punto singular pasa a ser (3, x, y). La ecuaci´on se transforma en:
3x3+ 4y3+ 12y2+ 12y+ 9 = 0.
La transformaci´on y = xy1, 3 = xz nos da la superficie definida por las ecuaciones
3x+ 4xy31+ 4y1z+z2= 0, xz= 3.
La fibra cerrada tiene tres componentes irreducibles, cuyos puntos gen´ericos son
Γ1= (3, y1, z), Γ2= (3, x, y1+z), Γ3= (3, x, z).
Las tres se cortan en un ´unico punto singular: (3, x, y1, z) = (x, y1, z). La transformaci´ony1 =xy2,z=xz1 nos lleva a la superficie determinada por las ecuaciones
xz1+ 4x2y23+ 12y22+ 4y2z1+z12= 0, x2z1= 3.
La fibra cerrada consta de tres componentes irreducibles, cuyos puntos gen´e- ricos son
Las tres se cortan en un ´unico punto singular: (3, x, y2, z1) = (x, y2, z1). La transformaci´ony2=xy3,z2=xz1 nos lleva a las ecuaciones:
z2+ 4x3y33+ 12y23+ 4y3z2+z22= 0, x3z2= 3.
La fibra cerrada consta de tres componentes irreducibles, cuyos puntos gen´e- ricos son
Γ1= (3, y3, z2), Γ6= (3, x, z2), Γ7= (3, x, y3+z2+ 1).
El ´unico punto singular es la intersecci´on de las dos ´ultimas: (3, x, y3+ 1, z2). Hacemos el cambio de variablesy3=y3−1, con lo que el punto se convierte en (x, y3, z2), y las ecuaciones pasan a ser
−3z2+4x3y3
3−12x3y32+12x3y3−4x3+12y23−24y3+4y3z2+z22+12 = 0, x3z2= 3. La transformaci´ony4=xy3,z3=xz2 nos lleva a las ecuacionesx4z3= 3, −x3z23+ 4x4y43−12x3y24+ 12x2y4−4x+ 12y42−8x3y4z3+ 4y4z3+z32+ 4x2z3= 0.
La fibra cerrada consta de tres componentes irreducibles, cuyos puntos gen´e- ricos son
Γ1= (3, xy4−1, z3), Γ8= (3, x, z3), Γ9= (3, x, y4+z3). La superficie obtenida de este modo resulta ser regular.
Terminamos la secci´on con una observaci´on: hemos trabajado con las curvas definidas por la ecuaci´on de Selmer sobreZ2 y Z3 por una simple cuesti´on de comodidad. Podr´ıamos haber trabajado igualmente sobreZ para obtener dos superficies sobreZ, una con una ´unica singularidad en la fibra del 2 y otra con una ´unica singularidad en la fibra del 3. A su vez, estas dos superficies pueden pegarse para formar una superficie regularX/Zcuyas fibras coinciden con las de la superficie de partida exceptoX2 yX3, que tendr´an la estructura que hemos obtenido. No obstante, no merece la pena entrar en ello porque m´as adelante ser´a inmediato.3
Cap´ıtulo VI
Superficies regulares
En las tres secciones de este cap´ıtulo sentaremos las bases del estudio de las superficies aritm´eticas que realizaremos en el cap´ıtulo siguiente. En la primera expondremos los resultados b´asicos de la teor´ıa de intersecciones de curvas en superficies regulares; en la segunda estudiaremos las aplicaciones birracionales entre superficies fibradas normales, y demostraremos, entre otras cosas, que todo homomorfismo birracional entre superficies fibradas regulares es una com- posici´on de explosiones de puntos cerrados; y en la tercera enunciaremos el teorema de Lipman sobre desingularizaci´on de superficies excelentes y, a partir de ´el, demostraremos que toda superficie fibrada (con fibra geom´etricamente regular) admite una desingularizaci´on.
6.1
Intersecciones de curvas
Consideremos un esquema noetheriano regular y conexoX de dimensi´on 2. En este contexto los divisores de Weil se identifican con los de Cartier, por lo que no distinguiremos entre ambos. Sean D, E ∈ Div(X) dos divisores enteros primos entre s´ı. Esto se traduce en queD∩Etiene dimensi´on 0, luego, dado cualquier punto cerrado P ∈ X, existe un entorno af´ın U de P tal que D∩E∩U ⊂ {P}.
Pongamos queP ∈D∩Ey queU = EspA, de modo queP se corresponde con un ideal maximalmdeA. EntoncesI=OX(D−1)(U) +OX(E−1)(U) es un
ideal deAtal queV(I) ={m}, lo que a su vez implica que el ´unico ideal primo deAm que contiene aIm es el ideal maximal, luegoAm/Im tiene dimensi´on cero
(pero no es nulo). SiP /∈D∩E, entoncesAm/Im = 0.
As´ı pues, hemos probado que, para todo punto cerradoP ∈X, se cumple que
OX,P/(OX(D−1)P+OX(E−1)P)
es un anillo noetheriano de dimensi´on 0, y es nulo si y s´olo siP /∈D∩E. Por el teorema [AC 4.38] sabemos que los anillos noetherianos de dimensi´on 0 tienen longitud finita, lo cual justifica la definici´on siguiente:
Definici´on 6.1 Sea X un esquema noetheriano regular y conexo de dimen- si´on 2 y seanD, E∈Div(X) dos divisores enteros primos entre s´ı. Para cada punto cerradoP ∈X definimos eln´umero de intersecci´ondeD yE enP como
iP(D, E) =lOX,P OX,P/(OX(D−
1)
P+OX(E−1)P)
.
Es obvio queiP(D, E) =iP(E, D), y hemos visto queiP(D, E) = 0 si y s´olo
siP /∈D∩E.
Por el teorema 4.3 sabemos que los puntos asociados deE coinciden con sus puntos cuasigen´ericos, luego el teorema [E 8.32] nos garantiza que est´a definido el divisorD|E =i∗(D)∈Divc(E). Vamos a probar que, siP ∈E es un punto
cerrado, entonces
iP(D, E) =vP(D|E).
En efecto, como todas las definiciones son locales, no perdemos generalidad si suponemos queX = EspAes af´ın y queDyEest´an definidos por elementos a,b∈A, respectivamente. As´ı,OX(D−1) = (a) yOX(E−1) = (b).
Considerando E como subesquema cerrado de X, es E = Esp(A/(b)). El divisori∗(D) est´a definido por [a]∈A/(b), luego, de acuerdo con la definici´on [E 8.26], tenemos que
vP(D|E) =l(A/(b))P((A/(b))P/([a])) =lAP(AP/(a, b)) =iP(D, E).
De esta relaci´on se deduce que el n´umero de intersecci´on es bilineal, es decir, que
iP(DF, E) =iP(D, E) +iP(F, E),
donde los tres divisores tienen sus soportes sin componentes irreducibles comu- nes.
Si D ∈ Div(X) es un divisor cualquiera, podemos expresarlo en la forma D=D0/D∞, donde los divisoresD0 yD∞no tienen divisores primos comunes y el soporte de D es la uni´on de sus soportes. Si E ∈ Div(X) es otro divisor primo conD, podemos definir
iP(D, E) =iP(D0, E0)−iP(D∞, E0)−iP(D0, E∞) +iP(D∞, E∞).
Es inmediato que esta extensi´on de iP es tambi´en bilineal y sim´etrica. Ya
sabemos queiP(D, E) = 0 significa que P /∈D∩E. El teorema siguiente nos
da el significado deiP(D, E) = 1 para el caso de divisores primos:
Teorema 6.2 SeaX un esquema noetheriano regular y conexo de dimensi´on2, sean D y E dos divisores primos distintos y P ∈ D ∩E. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
a) iP(D, E) = 1.
b) OX(D−1)P+OX(E−1)P =mP.
Demostraci´on: La condici´onP∈D∩E implica que
OX(D−1)P +OX(E−1)P ⊂mP.
Por definici´on, a) equivale a que el cocienteOX,P/(OX(D−1)P+OX(E−1)P)
tenga longitud 1, y esto equivale claramente a que la inclusi´on anterior sea una igualdad, es decir, a que se cumpla b).
Respecto a c), observemos ante todo que la inmersi´on cerrada D −→ X induce un monomorfismo dek(P)-espacios vectoriales TPD −→TPX, que nos
permite considerar aTPD (y an´alogamente aTPE) como subespacio deTPX.
Pongamos que OX(D−1)P =fOX,P,OX(E−1)P =gOX,P. En estos t´ermi-
nos, b) equivale a quemP = (f, g), de donde se sigue que el ideal maximal de OD,P est´a generado porg, luego dimk(P)TPD ≤1, luegoP es regular enD, y
lo mismo sucede conE.
Sean dPf, dPg las clases de f y g en mP/m2P =TPX∗. Suponiendo b) y
teniendo en cuenta queX es regular, resulta que dPf y dPg son una base del
espacio cotangente deXenP. Es claro queTPDse identifica con el subespacio
de TPX anulado por dPf y TPE se identifica con el subespacio anulado por
dPg. Esto implica que TPX = TPD+TPE y, como los dos sumandos tienen
dimensi´on 1, la suma ha de ser directa. As´ı pues, tenemos c).
Rec´ıprocamente, si suponemos c), seg´un el teorema [AC 5.19] podemos es- cogerf de modo que, como antes,OX(D−1)P =fOX,P y adem´asmP = (f, f),
para ciertof. Al igual que antes, vemos queTPDse identifica con el subespacio
deTPX anulado pordPf y, an´alogamente, podemos tomargde modo queTPE
sea el subespacio anulado pordPg. La hip´otesis sobre la suma directa implica
entonces queTPX∗ =dPf, dPg, es decir, que mP/m2P est´a generado por las
clases def yg. El teorema [AC 4.52] implica entonces que mP = (f, g), y esto
es la propiedad b).
Definici´on 6.3 Cuando dos divisores primos D y E cumplan las condiciones del teorema anterior diremos quese cortan transversalmente en P. Si D y E son regulares enP y cumpleniP(D, E)≥2, entonces se dice que sontangentes
enP. (Si no exigimos la regularidad, por el propio teorema resultar´ıa que un divisor singular en un punto dado ser´ıa tangente a cualquier otro que pasara