las m´as elementales tenemos ´esta, que muestra que, realmente, la fibra gen´erica es “gen´erica”:
Teorema 5.26 Sea S un esquema ´ıntegro, X/S un esquema plano reducido y sean f, g:X −→Y dos homomorfismos en un esquema separado Y. Si ambos coinciden sobre la fibra gen´erica deX, entonces f =g.
Demostraci´on: CubrimosS con abiertos afinesW. Comof ygse restrin-
gen a homomorfismos πX−1[W] −→π−Y1[W] que cumplen las mismas hip´otesis, basta probar el teorema en el caso en queS= EspD. LlamemosK=K(S).
Si U = EspA es un abierto af´ın en Y y V = EspB es un abierto af´ın en f−1[U]∩g−1[U], tenemos quef|V yg|V se corresponden con dos homomorfismos
A −→ B que, compuestos con el monomorfismo B −→ B⊗DK, son iguales,
luego ambos homomorfismos son iguales, f|V = g|V y f = g por el teorema
[E 4.16].
Seg´un el teorema [E A.16], el teorema siguiente es una condici´on suficiente para que las fibras de una superficie fibrada sean conexas:
Teorema 5.27 Si π : X −→ S es una superficie fibrada con dimS = 1 y la fibra gen´erica Xη es geom´etricamente ´ıntegra, el homomorfismo can´onico OS −→π∗OX es un isomorfismo.
Demostraci´on: El homomorfismo OX(X) −→ OX
η(Xη) inducido por la
proyecci´on es inyectivo, ya que, para cada abierto af´ınU ⊂X, el homomorfismo
OX(U)−→OX(U)⊗DK(S) es inyectivo, ya queOX(U) es plano sobreD. Ahora
bien,OXη(Xη) = K(S) por [E 4.26] yOX(X) es entero sobreD por [E 4.24],
luego ha de ser OX(X) = D. Como π∗OX es cuasicoherente (por [E 5.9]),
concluimos queπ∗OX =OS.
As´ı, vemos que las fibras de cualquier modelo de una curva el´ıptica son siempre conexas. En general, cuando una superficie fibrada tiene fibras discone- xas, las componentes conexas de cada fibra pueden separarse en fibras distintas mediante un cambio de base:
Teorema 5.28 Sea X/S una superficie fibrada normal con dimS = 1, sea η
el punto gen´erico deS y ρ:S −→S la normalizaci´on de S en H0(X
η,OXη).
Entonces:
a) ρes finito y plano.
b) El homomorfismo estructuralπ:X −→Sfactoriza comoX −→S −→S, de modo que X/S es una superficie fibrada normal con la misma fibra gen´ericaXη.
c) Las fibras deX/S son conexas.
d) Si s ∈ S es un punto cerrado y s1, . . . , sn son sus antiim´agenes en S, entonces Xs es uni´on disjunta de curvas Xi, para i= 1, . . . , n, de modo queXsi es un subesquema cerrado deXi con el mismo espacio topol´ogico
subyacente.
Demostraci´on: Tenemos que S = EspD, donde D es un dominio de
Dedekind. Como X/S es propio, sabemos que A = H0(X,O
X) es una D-
´
algebra finitamente generada, y adem´as es un dominio ´ıntegro ´ıntegramente cerrado porqueX es normal.
Para cadax∈X, el anilloOX,xes unOS,π(x)-m´odulo plano, luego es libre de torsi´on por [AC A8]. Como adem´as es un dominio ´ıntegro, esto equivale a que el homomorfismoOS,π(x)−→OX,xes inyectivo, y de aqu´ı se deduce que lo mismo
sucede con el homomorfismo OS(S) −→ OX(X), es decir, el homomorfismo
D−→A. A su vez, esto implica que si Pes un ideal primo deA yp=P∩A, el homomorfismo naturalDp −→AP sea tambi´en inyectivo, por lo queAP es
unDp-m´odulo libre de torsi´on y, por consiguiente, es plano. En definitiva,Aes
unD-m´odulo plano.
Si K es el cuerpo de cocientes de D, por el teorema [E 6.15] sabemos que L=H0(X
η,OXη) =A⊗DK. Por [E 4.26] sabemos que Les un cuerpo, luego
enL y, por consiguiente,S = EspA. En particular,A es tambi´en un dominio de Dedekind.
Ahora a) es evidente y, como todos los anillos deOX sonA-´algebras, es claro
queπfactoriza como indica b). Es claro queX/S es una superficie proyectiva. Para que sea una superficie fibrada s´olo nos falta ver que es plana, para lo cual basta con que el homomorfismo π : X −→ S sea suprayectivo. Si s ∈ S, tenemos que
Xs=X×SEspk(s) =X×SS×SEspk(s) =X×S Esp(A⊗Dk(s)).
Cuando s = η es el punto gen´erico de S, tenemos que k(s) = K y queda que Xη = X ×S EspL, que es la fibra gen´erica de X/S. En particular, el
punto gen´erico deS est´a en la imagen deX, luego ´esta es todoS y as´ı queda probado b).
c) Es consecuencia del principio de conexi´on de Zariski (teorema [E A16]), ya que, por construcci´on,π∗OX=OS.
Para probar d) basta observar que, si s ∈ S se corresponde con el ideal maximalp deA, entonces
Ss =S×Sk(s) = Esp(A⊗D(D/p)) = Esp(A/pA).
Si si se corresponde con el ideal maximalPi deA, resulta que OSs,si = (A/pA)Pi=∼OS,si/pOS,s.
La fibra Ss es la uni´on disjunta de los esquemas Pi = Esp(OS,si/pOS,s)
y los epimorfismos naturales OS,si/pOS,s −→ OS,si/Pi = k(si) dan lugar a
inmersiones cerradas Espk(si) −→ Pi que son homeomorfismos, pues ambos
esquemas constan de un ´unico punto.
Antes hemos visto que Xs=X×SSs, luegoXses la uni´on disjunta de los
esquemas Xi =X ×S Pi y existen inmersiones cerradas Xsi −→ Xi que son
homeomorfismos, tal y como afirma d).
Ahora describimos los divisores primos de una superficie fibrada:
Teorema 5.29 Sea X/S una superficie fibrada y supongamos quedimS= 1. a) Si x es un punto cerrado de la fibra gen´erica Xη, entonces Γ = {x} es
un subconjunto cerrado irreducible de X de dimensi´on 1. Adem´as, la restricci´on Γ−→S del homomorfismo estructural deX es finita y supra- yectiva, y es un isomorfismo si xes racional.
b) Si Γ⊂X es un cerrado irreducible de dimensi´on1, o bien es una compo- nente irreducible de una fibra cerrada, o bien es de la forma descrita en el apartado anterior.
Demostraci´on: a) Obviamente Γ es irreducible, pues es la clausura de
un conjunto irreducible. El conjunto π[Γ] es cerrado en S (porque X/S es proyectivo) y contiene al punto gen´ericoη, luegoπ[Γ] =S.
Como xes cerrado en Xη, tenemos que Γ∩Xη ={x}, luego Γ=X y, por
consiguiente, dim Γ≤1.
Si s∈S es cerrado, el teorema 5.3 nos da que dimXs= 1, luego se cumple
que dim(Γ∩Xs)≤1. Si se diera la igualdad, la intersecci´on tendr´ıa una compo-
nente irreducible de dimensi´on 1, que ser´ıa un cerrado irreducible contenido en Γ y de la misma dimensi´on que Γ, luego habr´ıa de ser todo Γ. Tendr´ıamos entonces que Γ⊂Xs, en contradicci´on con la suprayectividad deπ. As´ı pues, las fibras
de π|Γ son finitas, y el teorema [E 4.43] nos da que π|Γ es un homomorfismo finito. El teorema [AC 3.68] implica ahora que dim Γ = 1.
Si x es racional (como punto de Xη/K), es decir, si k(x) = K = K(S),
entonces π : Γ −→ S es un homomorfismo finito y birracional. Como S es normal, el teorema [E A.21] implica que es un isomorfismo.
b) Tenemos que π[Γ] es un cerrado irreducible de S, luego, o bien es un punto, o bienπ[Γ] =S. En el primer caso Γ est´a contenido en la fibra de un punto cerrado, y como Γ y la fibra tienen ambos dimensi´on 1, concluimos que Γ es una componente irreducible de dicha fibra. En el segundo caso Γ contiene un puntox∈Xη, luego tambi´en contiene a{x}, que por a) es irreducible y de
dimensi´on 1, luego Γ ={x}.
Definici´on 5.30 Sea X/S una superficie fibrada y sea Γ un divisor primo de X. Diremos que Γ eshorizontal si dimS = 1 yπ|Γ : Γ−→S es suprayectiva. Siπ[Γ] se reduce a un punto diremos que Γ esvertical.
En estos t´erminos, el teorema anterior afirma que todo divisor primo es ho- rizontal o vertical. M´as en general, diremos que un divisor de Weil eshorizontal
overticalsi todos sus divisores primos lo son.
Ejemplo SiW/S es un modelo de Weierstrass, sus divisores primos verticales son sus fibras (porque son irreducibles), mientras que el conjuntoOdescrito en el teorema 5.10 es un ejemplo de divisor primo horizontal. Es el divisor “infinito”, que contiene al punto infinito de cada una de las fibras. El hecho de que corte a cada fibra exactamente en un punto es, como hemos visto, consecuencia de que el puntooη es racional. Para otros puntos no tiene por qu´e ser cierto.
Consideremos, por poner un ejemplo concreto, el modelo de WeierstrassW/Z asociado a la ecuaci´on
Y2=X(X2+ 1).
El punto racional u= (x, y)∈ Wη da lugar al divisor horizontal Γ ={u}
que corta a cada fibra en el punto racional (p, x, y) ∈ Wp. Sin embargo, el
punto cerradov = (x2+ 1, y)∈W
η (que se corresponde con el par de puntos
conjugados (x±i, y)∈WηQ¯) cumple que {v} ∩Wp= {(2, x+ 1, y)} sip= 2, {(p, x+a, y),(p, x−a, y)} sia2≡ −1 (m´odp),p= 2, {(p, x2+ 1, y)} sip≡ −1 (m´od 4).
En las superficies aritm´eticas podemos identificar las fibras cerradas con divisores:
Teorema 5.31 Sea X/S una superficie fibrada con dimS = 1, sea s ∈ S un punto cerrado y sean Γ1, . . . ,Γd las componentes irreducibles de la fibra Xs. Entonces,Xscoincide con el subesquema cerrado asociado al divisor de Cartier
π∗(s), dondeπ :X −→S es el homomorfismo estructural. Si X/S es normal en codimensi´on 1, este divisor se corresponde a su vez con el divisor de Weil
Γr11 · · ·Γrd
d , en el que las multiplicidades vienen dadas por ri = vξi(p), donde
ξi ∈ Γi es el punto gen´erico, p ∈ OS,s es un primo y vξi es la valoraci´on del
anillo de valoraci´on discretaOX,ξi.
Demostraci´on: Podemos ver ascomo divisor (primo) de Weil enS. Como
S es regular, s se corresponde a su vez con un divisor de Cartier, lo que nos permite considerar su imagen inversa D = π∗(s) ∈ Divc(X). Como s es un
divisor entero, tambi´en lo es D. Vamos a comprobar que, considerados como esquemas,Xs=D.
En primer lugar observamos que podemos sustituirS por cualquier entorno af´ın de s, y de este modo podemos suponer que, si S = EspD, el divisor de Cartiersest´a definido por un ´unicop∈D. Esto significa que, sipes el ideal de D que se corresponde con s, se cumplevp(p) = 1 yvq(p) = 0 para todoq=p.
A su vez, esto implica quep= (p). SiU es un abierto af´ın enX, entonces
OXs(Xs∩U) =OX(U)⊗A(A/(p))∼=OX(U)/pOX(U),
de donde deducimos queXs es el subesquema cerrado asociado deX al haz de
idealespOX, pero, por definici´on deπ∗(s), es inmediato queOX(D−1) =pOX,
luego Xs = D como esquemas. Cuando la superficie es normal en codimen-
si´on 1, el teorema 4.4 nos da que los exponentes de cada Γien el divisor de Weil
asociado aD vienen dados porri=vξi(Dξi) =vξi(p).
De acuerdo con el teorema 4.3, las fibras de las superficies fibradas normales son esquemas de Cohen-Macaulay, de modo que no tienen puntos asociados que no sean cuasigen´ericos. Ahora vamos a probar que si la superficie es localmente una intersecci´on completa (en particular, si es regular), lo mismo le sucede a cada fibra. Recordemos ([E 9.27]) que ´esta es la condici´on para que est´e definido el haz can´onico.
Teorema 5.32 Sea X/S una superficie fibrada con dimS = 1 y que sea lo- calmente una intersecci´on completa, sea s ∈S un punto cerrado y E |Xs un divisor de Cartier vertical entero. EntoncesE/k(s)es tambi´en localmente una intersecci´on completa.
Demostraci´on: Como la propiedad es local, podemos suponer que tenemos
un diagrama conmutativo E X An S Xs An k(s)
donde las flechas horizontales son inmersiones cerradas y las de la fila supe- rior son regulares. Por definici´on de inmersi´on regular, esto significa que, para cadax∈ E, tenemos que OE,x=OAn
S,x/(b1, . . . , bm), dondeb1, . . . , bm es una
sucesi´on regular. En particular (ver las observaciones tras [AC 5.22]) tenemos que
dimOE,x= dimOAn S,x−m.
Por otra parte, comoX/S yAnS/Sson planos, tenemos ([E 4.52]) que dimOE,x= dimOXs,x= dimOX,x−dimOS,s,
dimOAn
k(s),x= dimOA
n
S,x−dimOS,s,
de donde se sigue que dimOE,x= dimOAn
k(s),x−m. Como OE,x=OAn
k(s),x/(b1, . . . , bm),
es f´acil ver que b1, . . . , bm son tambi´en una sucesi´on regular en OAn
k(s),x. (Por
el teorema [AC 5.18], cadabi rebaja a lo sumo la dimensi´on en una unidad, y
si es un divisor de 0 es claro que no la rebaja.) Esto prueba que la inmersi´on E −→ An
k(s) es regular, luego E/k(s) es localmente una inmersi´on completa.
Notemos que una m´ınima variante del argumento anterior (eliminando el di- visor) muestra que todas las fibras deX/S(incluida la gen´erica) son localmente intersecciones completas.