Al trazar una relación funcional en una gráfica, hemos asumido que los cambios en el va- lor de la variable dependiente están relacionados de forma continua con los cambios en la variable independiente. Intuitivamente, se dice que una función es continua si se puede dibujar en una gráfica sin quitar el lápiz del papel.33Tal vez la mejor forma de entender
una función continua es mediante la observación de su opuesto, la función con disconti- nuidad. Suponga que el precio de admisión a un parque de diversiones se establece como sigue: niños de 1 a 12 años pagan $3, personas entre 13 y 60 años pagan $8, y de 61 años en adelante pagan $5. Una gráfica de la relación entre precio de admisión y edad se pre- senta en la figura 2A.8. Observe que existe un brinco o rompimiento en la gráfica al nivel de separación de niños y adultos, y en el nivel de separación entre adultos y gente de mayor edad. Debido a estos rompimientos en la relación entre las variables dependiente e independiente, esta relación discontinua se conoce también como función escalón.
A menos que se especifique otra cosa, las relaciones funcionales analizadas en este texto se considerarán continuas. Al observar nuestro ejemplo anterior de las funciones de la demanda y de las funciones de ingreso total, podemos ver que, de hecho, indican una relación continua entre el precio y la cantidad, y entre el ingreso total y la cantidad (vea fi- guras 2A.1 y 2A.4). Sin embargo, una mirada más de cerca a los intervalos usados en los ejemplos puede llevar a cuestionarnos la aplicabilidad de una función continua en las si- tuaciones reales de negocio. Por ejemplo, observe de nuevo en la figura 2A.9 la relación entre ingreso total y cantidad que se mostró antes en la figura 2A.4.
El lector curioso podrá preguntar si esta relación, IT 7Q 0.01Q2, de hecho es o no
válida para los puntos dentro de cada intervalo dado. Por ejemplo, si la empresa vende 150 unidades, ¿podría tener un ingreso de $825? Aun si la respuesta es afirmativa, para
P ($) Edad (años) 8 10 20 30 40 50 60 70 0 7 6 5 4 3 2 1 Figura 2A.8 Ejemplo de una función escalón: grupos por edad y precio de admisión
33Esta forma particular de explicar una función continua está tomada de Gulati, College Mathematics. A decir verdad, el autor proporciona una definición mucho más rigurosa de este concepto.
ser verdaderamente una función continua, la relación tendría que mantenerse sin impor- tar qué tan pequeños se consideren los intervalos.34Por ejemplo, si una empresa vendió
150.567 unidades, su ingreso sería de $827.265.
Pero en este punto, un apego a las matemáticas estrictas debe templarse con el sentido común. Existen muchos casos en el análisis económico en los que se supone que funcio- nes continuas representan relaciones entre variables, incluso cuando las variables por sí mismas están sujetas a limitaciones acerca de qué tan finamente pueden subdividirse. Por ejemplo, tal vez una empresa sólo sea capaz de vender sus productos en lotes de 100 o, en el caso extremo, en unidades individuales. Una empresa quizá no quiera considerar los cambios en el precio en términos de centavos, sino sólo en términos de unidades mone- tarias completas. En otros casos, tal vez no sea cuestión de la elección de la compañía, sino de qué recursos están disponibles. Por ejemplo, suponga que tenemos una función que re- laciona a las personas contratadas con la producción que realizan. (En el capítulo 7 esto se denomina función de producción de corto plazo.) Supongamos además que los recursos de mano de obra se miden en términos de unidades de personas (en oposición a horas, minu- tos o hasta segundos de tiempo de trabajo). Muchas actividades económicas en los nego- cios implican variables que deben medirse en intervalos discretos (por ejemplo, personas, unidades de producción, unidades monetarias, máquinas y fábricas). Para propósitos de análisis, supondremos que todas las variables económicas están relacionadas unas con otras de una forma continua, pero que son válidas sólo en los intervalos discretos indicados.
El cálculo es una técnica matemática que permite encontrar tasas de cambio instantáneo de una función continua. Esto es, en lugar de encontrar la tasa de cambio entre dos puntos
IT ($) Q 100 200 300 400 500 600 700 800 500 1,000 0 150 unidades IT = $825 Figura 2A.9 Intervalos discretos en una función continua: el ejemplo del ingreso total
34De acuerdo con los matemáticos, “se dice que una función es continua en un intervalo abierto si es con- tinua en cada punto de ese intervalo” (Gulati, College Mathematics, p. 505).
en una línea graficada, como se observa en la figura 2A.2, el cálculo nos permite encontrar la tasa de cambio en una variable dependiente relativa a la variable independiente en un punto particular de la función. Sin embargo, el cálculo puede aplicarse sólo si la función es continua. Por tanto, necesitamos establecer firmemente la validez del uso de funciones continuas para representar las relaciones entre las variables económicas.
Nuestra breve introducción al cálculo y a su papel en el análisis económico comienza con la afirmación de que si todas las relaciones funcionales en economía fueran lineales, ¡no habría necesidad del cálculo! Este punto se aclara mediante la referencia a una defini- ción intuitiva del cálculo. Citaremos al autor de un libro extremadamente útil y fácil de leer en esta materia:
El cálculo, primero que nada, se bautizó erróneamente. Nunca se le debió haber dado ese nombre. Su nombre verdadero y con más significado es “BÚSQUEDA- DE-PENDIENTE”.35
No es difícil encontrar la pendiente de una función lineal. Simplemente se toma cual- quiera de los dos puntos en la línea y se encuentra el cambio en Y relativo al cambio en X. Por supuesto, el cambio relativo se representa mediante el coeficiente b en una ecuación lineal. Además, debido a que es lineal, la pendiente o tasa de cambio permanece igual entre dos puntos cualesquiera sobre el rango entero de intervalos que uno desee considerar para la función. Esto se muestra en la expresión algebraica de la función lineal por la constancia del coeficiente b.
Sin embargo, encontrar la pendiente de una función no lineal presenta un problema. Tomemos arbitrariamente dos puntos de la curva de la figura 2A.10 y llamémoslos A y D. La pendiente o tasa de cambio de Y relativa al cambio en X puede verse como DL/AL. Ahora, en esta misma curva encontremos la pendiente de un punto cercano del punto D y llamémosle C. Observe que la pendiente de la línea entre estos dos puntos es menor que la pendiente entre D y A. (La medida de esta pendiente es DM/CM.) La misma asevera- ción es válida si consideramos el punto B, un punto que es todavía más cercano a D; la pendiente entre B y D es menor que las dos pendientes consideradas. En general, pode- mos decir que en referencia a la curva mostrada en la figura 2A.10, la pendiente entre el punto D y un punto a la izquierda decrece a medida que dicho punto se acerca a D. Obviamente, éste no es el caso de una ecuación lineal, debido a que la pendiente es constante.
Para entender cómo el cálculo nos permite encontrar la pendiente o tasa de cambio de una función no lineal, resumamos el experimento. Suponga que continuamos midiendo los cambios en Y relativos a cambios cada vez más pequeños en X. Gráficamente, esto se representa en la figura 2A.10 al mover el punto B hacia el punto D. Al considerarse los cambios cada vez más pequeños en X, el punto B se mueve cada vez más cerca del punto D hasta el límite en el que parece que se convertirá en uno con el punto D. Cuando esto ocu- rre, la pendiente o tasa de cambio de Y relativa al punto X se puede representar como el punto D mismo. Gráficamente, esto se representa por la pendiente de una línea tangente al punto D. En efecto, esta pendiente es una medida de cambio en Y relativa a un muy pe- queño (infinitesimalmente pequeño) cambio en X. Para encontrar la magnitud de la pen- diente de la tangente en cualquier punto de la línea, necesitamos emplear el cálculo, o más específicamente, un concepto usado en cálculo, llamado la derivada.
35Eli S. Pine, How to Enjoy Calculus, Hasbrouck Heights, NJ: Steinlitz-Hammacher, 1983. La definición de Pine es, por supuesto, una simplificación, debido a que deja de lado al cálculo integral. Sin embargo, reco- mendamos este libro ampliamente para quienes desean un repaso “fácil de leer” del cálculo diferencial.
En matemáticas, una derivada es la medida del cambio en Y en relación a un cambio muy pequeño en X. Mediante el uso de una notación matemática formal, la derivada se define como:
Esta notación puede expresarse como, “la derivada de Y con respecto a X es igual al límite (si tal límite existe) del cambio en Y relativo al cambio en X al acercarse el cambio en X a cero”.36Como podrá observar a partir de los dos párrafos anteriores, la derivada
resulta ser la pendiente de la línea que es tangente a un punto dado en una curva. Por convención, los matemáticos usan d para representar cambios muy pequeños en una variable. De aquí que dY/dX signifique “cambios en Y relativos a cambios muy pequeños en X”. Para cambios entre dos puntos distintos, se utiliza el signo delta ().