Guía 09: Geometría Ángulos

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(1)C u r s o : Matemática Material N° 11 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 9 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA. Ángulo nulo. : Es aquel que mide 0°.. Ángulo agudo. : Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°.. Ángulo recto. : Es aquel que mide 90°.. Ángulo obtuso. : Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.. Ángulo extendido : Es aquel que mide 180°. Ángulo completo. : Es aquel que mide 360°.. EJEMPLOS. 1.. Si α es un ángulo agudo, entonces el ángulo BOC de la figura 1 es A) B) C) D) E). 2.. C 3α 0 6α. fig. 1 A. 2α α D. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera? A) B) C) D) E). 3.. B. agudo recto obtuso extendido completo. La La La La La. suma de un ángulo agudo con un obtuso resulta extendido mitad de un obtuso es un ángulo recto suma de un ángulo obtuso con uno extendido resulta completo suma de dos ángulos rectos con un extendido resulta completo suma de dos ángulos agudos resulta un recto. En la figura 2, A) B) C) D) E). 120° 60° 45° 30° 15°. α = 3β y δ = 2β, entonces 2δ =. fig. 2 β. δ α.

(2) CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN. Ángulos consecutivos. :. Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. C B β α. O. Ángulos adyacentes o : par lineal. α y β consecutivos A. Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y los otros dos lados sobre una misma recta. B β C. Ángulos opuestos por el vértice. :. O. α. A. α y β adyacentes. Son aquellos que tienen el vértice en común y que los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro. α. β. α y β opuestos por el vértice, ( α ≅ ( β. OBSERVACIONES N. Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes). β α. N. (α≅ (β. Rectas perpendiculares : Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto. L2 L1. L1 ⊥ L2. EJEMPLOS. 1.. En la figura 1, si α + β = 250º A) B) C) D) E). 2.. y. β + λ = 270º, entonces β – λ =. 110º 90º 70º 50º 30º. α β λ. fig. 1. En la figura 2, se cumple que α = δ y β = λ. Entonces, α + 4β + 2λ + 5δ = A) B) C) D) E). 180° 360° 720° 1080° ninguna de las anteriores. α β. λ δ. 2. fig. 2.

(3) CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS. Ángulos complementarios. : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si α y β son complementarios, α es el complemento de β y β es el complemento de α. El complemento de un ángulo x es 90° – x.. Ángulos suplementarios. : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si α y β son suplementarios, α es el suplemento de β y β es el suplemento de α. El suplemento de un ángulo x es 180° – x. EJEMPLOS. 1.. El complemento de un ángulo α es igual al doble de dicho ángulo. ¿Cuánto mide α? A) B) C) D) E). 2.. El suplemento de un ángulo 3β es 60°. ¿Cuánto mide β? A) B) C) D) E). 3.. 60° 45° 30° 20° 15°. 120° 90° 60° 40° 20°. Si α y 5β son ángulos suplementarios, entonces α en función de 5β es A) B) C) D) E). 90° – 5β 5β – 90° 180° – 5β 5β – 180° 180° + 5β. 3.

(4) PARES DE ÁNGULOS TRANSVERSAL. FORMADOS. POR. DOS. RECTAS. PARALELAS. ÁNGULOS ALTERNOS:. N. CORTADAS. ALTERNOS INTERNOS. 1 con 7 2 con 8. 3 con 5 4 con 6. 1 4. Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida.. 5 8. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES. N. 2 con 6. 3 con 7. UNA T. L1 // L2. ALTERNOS EXTERNOS. 1 con 5. POR. 2 3. L1. 6 L2. 7. 4 con 8. Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida.. ÁNGULOS COLATERALES. N. COLATERALES EXTERNOS. COLATERALES INTERNOS. 1 con 8 2 con 7. 4 con 5 3 con 6. Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180°.. EJEMPLOS. 1.. En la figura 1 AB // C D . Entonces, la clasificación de β corresponde a un ángulo. A) B) C) D) E). 2.. agudo recto obtuso extendido completo. β. A. B. C. 6β – 280°. fig. 1. D. En la figura 2, AB // CD . ¿Cuánto mide β?. A) B) C) D) E). C. 15° 20° 25° 30° 35°. D. 3β. fig. 2 5β – 70°. A. B. 4.

(5) ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS TEOREMAS N. La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°. α + β + γ = 180º. N. La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°. α’ + β’ + γ’ = 360º. N. γ’ C γ. α’ α A. β β’ B. La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. β’ = α + γ. α’ = β + γ. γ’ = α + β. EJEMPLOS. 1.. En el triángulo de la figura 1, el valor del ángulo x es A) B) C) D) E). C. 19° 23° 29° 58° 116°. fig. 1. 18° 35° D. 46° B. A. x. 2.. En el ∆GHI de la figura 2, el valor de x es A) B) C) D) E). 3.. 150°. 45° 75° 135° 150° 210°. I. fig. 2 G. x 2x-15. H. El valor de γ en el ∆DEF de la figura 3 con G ∈ DE , es. A) B) C) D) E). F. 30° 40° 50° 60° 70°. γ D. 5. fig. 3. 4γ E. G.

(6) CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS. Según sus lados. Según sus ángulos. Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta Acutángulo: Tiene sus tres ángulos medida. agudos. Isósceles: Tiene sólo dos lados de igual Rectángulo: Tiene un ángulo recto. medida. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso. Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida.. EJEMPLO. 1.. La clasificación del triángulo de la figura 1, es A) B) C) D) E). fig. 1. C x. escaleno y acutángulo escaleno y rectángulo isósceles y acutángulo isósceles y obtusángulo isósceles y rectángulo. 30º. B. 4x A. 2.. En la figura 2, ∆ABC equilátero y ∆BDC rectángulo isósceles, ¿cuál es la medida del (x?. A) B) C) D) E). 45º 60º 75º 105º 135º. C. x. D. fig. 2 A. 6. B.

(7) EJERCICIOS 1.. Sea α un ángulo. Si el triple de α es un ángulo agudo, entonces α puede tomar el(los) valor(es): I) II) III) A) B) C) D) E). 2.. 110º 75º 65º 60º 55º. x x 100º 150º. fig. 1. En la figura 2, L1 // L2, el valor de (x es. A) B) C) D) E). 4.. Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo I y II I, II y III. ¿Cuál es la medida del (x en la figura 1?. A) B) C) D) E). 3.. α = 28° α = 14° α = 31°. 100º. 60º 70º 80º 100º 120º. L1. x. fig. 2. L2. En el ∆ABC de la figura 3, AC = BC . ¿Cuál es la medida del (x?. A) B) C) D) E). 30º 60º 75º 80º 150º. B x. fig. 3. 150º. A. 7. C.

(8) 5.. Si α es la mitad de β en la figura 4, entonces el ( γ =. A) B) C) D) E). 6.. β. fig. 4. α γ. En la figura 5, L es una recta, x + y = 120º, z + v = 90º y x = v. ¿Cuál es el valor de x? A) B) C) D) E). 7.. 30º 45º 60º 75º 85º. L. 15º 75º 100º 105º 150º. x w. fig. 5. y. v z. En la figura 6, L1 // L2 , L3 // L4 y α + β = 50°. Entonces, el suplemento de β es A) B) C) D) E). 25° 50° 90° 130° 155°. β γ. L3 fig. 6 L4. α. L2 L1. 8.. En la figura 7, α + β = δ y α = 2β, ¿cuánto mide el (β?. A) B) C) D) E). C δ. 60º 90º 45º 30º 120º. α A. 8. fig. 7. β B.

(9) 9.. En la figura 8, si el triángulo ABC es rectángulo en A y α + β = 120º, entonces α + γ = C A) B) C) D) E). 10.. 90º 120º 140º 150º 160º. γ. fig. 8. α A. β B. En la figura 9, AB // L, ¿cuál es el valor de α + β? B A) B) C) D) E). 105º 120º 130º 150º 175º. 50º. L A. α. fig. 9. β C. 11.. Si el triángulo ABC de la figura 10, es rectángulo en C, entonces el complemento del ( x mide C A) B) C) D) E). 22° 36° 44° 46° 34°. fig. 10. 46°. x. B. A. 12.. El valor de γ en el ∆DEF de la figura 11, con G ∈ DE , es. A) B) C) D) E). 20º 30º 80º 100º 120º. F γ. 80º D. 9. fig. 11. 5γ E. G.

(10) 13.. En el triángulo ABC de la figura 12, se traza la transversal DE , ¿cuánto mide el ángulo x?. A) B) C) D) E). C. 63° 70° 117° 103° Ninguna de las anteriores. 54º. fig. 12. D x. 47°. A. 14.. 16°. B. E. En la figura 13, ( DAB = ( CBA. Entonces, el ( x mide A) B) C) D) E). 80° 100° 110° 120° 140°. D. C fig. 13. E x 110°. B. A. 15.. En la figura 14, L es recta y α = 54º. Entonces, ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) igual(es) al triple de β? I) II) III) A) B) C) D) E). 16.. β+α 2α 180 – 2α. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III. L. β. β β α. fig. 14 α. ¿Cuánto mide el ( x en el ∆MNL de la figura 15? A) B) C) D) E). L. 60º 40º 30º 20º 10º. fig. 15. α x. 2α M 10. 120º. O. α N.

(11) 17.. De acuerdo a la información suministrada en la figura 16, ¿cuál es la medida del ( x? A) B) C) D) E). R. 110° 120° 150° 160° 170°. T. fig. 16. α. x α. α. Q. P. 18.. S. En la figura 17, γ = 2β, β = 2α, γ = 40º y δ = 70º. ¿Cuánto mide el (x?. A) B) C) D) E). C δ. 40º 60º 70º 130º 140º. fig. 17. α β x B. γ. A. 19.. 40°. En el triángulo ABC de la figura 18, AE y CD son bisectrices de los ángulos CAB y ACB respectivamente. Entonces, el ángulo x mide A) B) C) D) E). C. 146º 158º 168º 68º 36º. E. x. fig. 18. 68°. A. 20.. B. D. En el ∆ABC de la figura 19, si M es punto medio de AB y (MCB = (MBC = 30º, entonces el (ACB mide. A) B) C) D) E). C. 120º 100º 90º 80º 60º. fig. 19. A 11. M. B.

(12) 21.. En el triángulo ABC de la figura 20, rectángulo en C, CD ⊥ AB y AE es bisectriz del ( A. Si ( AFD = 57º, entonces la medida del ( ABC es C A) B) C) D) E). 24º 26º 28º 34º 57º. E F A. 22.. B. D. Si el triple del complemento de (α – 30°) es igual al suplemento de (α – 40°), entonces α mide A) B) C) D) E). 23.. fig. 20. 25° 70º 80° 100° 155°. En la figura 21, L1, L2, L3 y L4 son rectas tales que L3 // L4 y L3 es bisectriz del ángulo obtuso formado por L1 y L2. El valor de x es A) B) C) D) E). 20° 30° 60° 70° 50°. L3 fig. 21 2x x + 30°. L1. 24.. L4. L2. En un triángulo ABC, uno de sus ángulos interiores mide 20º más que el otro, pero 35º menos que el tercero. ¿Cuál es el complemento del menor? A) B) C) D) E). 25º 35º 55º 65º 75º. 12.

(13) 25.. En el triángulo de la figura 22, el ángulo β es igual a A) B) C) D) E). C. 2γ + α 2γ – α γ+α 2γ γ. β γ A. 26.. 27.. 28.. fig. 22. E. α. α. D. B. En la figura 23, AD // CB . Se puede determinar que AB es bisectriz del ( CAD si: (1). ∆ACB rectángulo en C.. (2). ( BAD = 45º. A) B) C) D) E). (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional. A D. C. fig. 23. B. En el ∆PQR de la figura 24, S es punto medio de PQ . Se puede determinar que el ∆PQR es isósceles si: (1). RS ⊥ PQ. (2). (α ≅ (β. A) B) C) D) E). (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional. R α. fig. 24. P. En la figura 25, L1 // L2 si: (1). α + β = 180º. (2). α+β=β+γ. A) B) C) D) E). β. S. 55º. Q. L fig. 25 α. L1. β γ. (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional. L2. 13.

(14) 29.. 30.. En la figura 26, se puede determinar la medida del ( α si: (1). AC // BD. (2). 7α = 2β. A) B) C) D) E). (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional. A. B. α C fig. 26. β. D. El ∆ABC de la figura 27 es rectángulo si: C. (1). ( BAC = ( ABC. (2). ( AFB = 135° ; AD y BE son bisectrices.. A) B) C) D) E). (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional. E. D. F. fig. 27 A. B. RESPUESTAS. Ejemplos. Págs.. 1 2 3 4 5 6. 1. 2. 3. B D C A C D. D D D E B C. A. CLAVES PÁGINA 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.. C A. D E C C C A E D D C. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.. C A C E C D C E A C. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.. A B E C E C D D C B. DSIMA11. Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://clases.e-pedrodevaldivia.cl/ 14.

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