La igualdad de números racionales

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(1)TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA. La igualdad de números racionales. Trabajo de Suficiencia Profesional para optar el Título de Licenciado en Educación Secundaria Mención Ciencias Matemáticas. AUTOR. Br. Vásquez Sánchez, Rigoberto. TRUJILLO - PERÚ 2019. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Dedicatoria. A mis padres Arturo Vásquez Ylatoma y Rosa Sánchez Dávila, Por todo el amor y el apoyo que me han brindado durante los estudios de mi carrera profesional. A mi familia: Mi gratitud eterna y todo mi. amor. invalorable. por. su. sacrificio. para llegar a ser el profesional. que. ellos. anhelan.. ii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Jurado Dictaminador. ______________________________________ Mg. Yupanqui Pereda, Juan Presidente. __________________________________________ Mg. Mendoza Montoya, Liliana Marcela Secretaria. ____________________________________________ Dr. Amaya Sauceda, Rosas Amadeo Miembro. iii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Agradecimiento. A. Dios,. por. darme. el. entendimiento y sabiduría para culminar esta etapa académica.. A. familiares,. por. su. apoyo. incondicional para concluir con esta etapa académica profesional y por estar a mi lado en los buenos y malos momentos de mi vida.. iv. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Índice Dedicatoria............................................................................................................................. ii Jurado Dictaminador............................................................................................................. iii Agradecimiento .................................................................................................................... iv Índice ..................................................................................................................................... v Presentación ......................................................................................................................... vii Resumen ............................................................................................................................. viii Abstract ................................................................................................................................. ix Introducción ......................................................................................................................... 10 I.. Diseño de Sesión de Aprendizaje Implementada ......................................................... 11 1.1. Datos informativos: ............................................................................................. 11 1.2. Aprendizajes Esperados ...................................................................................... 11 1.3. Estrategias Metodológicas. ................................................................................. 13 1.4. Bibliografía ......................................................................................................... 17. II. Sustento Teórico ........................................................................................................... 18 2.1. Introducción ........................................................................................................ 19. 2.2. Sistema de Números Reales ................................................................................ 20. 2.3. La Igualdad de Números Reales ......................................................................... 27. III. Sustento Pedagógico ...................................................................................................... 33 3.1. Introducción ........................................................................................................ 34. 3.2. Concepción de Educación ................................................................................... 35 3.2.1 Principios Pedagógicos .............................................................................. 35 3.2.2 Principios Educacionales ........................................................................... 37 3.2.3 Enfoque por Competencias ........................................................................ 38 3.2.4 Proceso de Aprendizaje ............................................................................. 41 3.2.5 Proceso de Enseñanza ................................................................................ 44 3.2.6 Teorías del Aprendizaje ........................................................................... 45 3.2.7 Método ....................................................................................................... 49 3.2.8 Estrategias .................................................................................................. 50 3.2.9 Medios y Materiales Educativos................................................................ 51 3.2.10 Infraestructura ............................................................................................ 52 3.2.11 Tiempo ...................................................................................................... 52 3.2.12 Evaluación ................................................................................................. 52 v. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Conclusiones........................................................................................................................ 54 Referencias Bibliográficas .................................................................................................. 56 Anexos ................................................................................................................................. 57. vi. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Presentación. Señores Miembros del Jurado:. De conformidad con las disposiciones vigentes en el Reglamento de Grados y Títulos de la Escuela de Educación Secundaria de la Facultad de Educación y Ciencias de la Comunicación, de la Universidad Nacional de Trujillo, presento a vuestra consideración el presente trabajo de suficiencia profesional con el tema: La Igualdad de números racionales, con el propósito de optar el título profesional de licenciado en Educación Secundaria con mención: Ciencias Matemática. El presente trabajo de suficiencia se ha realizado sobre la base de consultas bibliográficas, con la finalidad de cumplir con el propósito planteado en forma concreta. El trabajo realizado está a disposición de los miembros del jurado así como de personas interesadas en el tema. Asimismo les solicito comprender los errores u omisiones involuntarios cometidos en su ejecución. Aprovecho la oportunidad para agradecer a los Señores Miembros del Jurado y a la plana docente de catedráticos de la Escuela de Educación Secundaria por contribuir a través de sus conocimientos y experiencias en mi formación profesional.. vii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Resumen. La igualdad es una relación que se define entre números. Las tres propiedades más importantes de la igualdad se resumen en una estructura matemática que se conoce como relación de equivalencia. Pero la matemática va mucho más allá de “su aplicación”, si bien los diversos propósitos prácticos han influido en su desarrollo, su mismo interés intrínseco ha sido fundamental en él. El desarrollo de la matemática teórica y aplicada están desde luego interrelacionados, múltiples desarrollos teóricos matemáticos han permitido modelar y avanzar en campos de las ciencias naturales o sociales, así mismo, la necesidad de resolver problemas prácticos de la humanidad ha impulsado importantes descubrimientos de la matemática teórica. En consecuencia es sumamente importante presentar situaciones y contextos que permitan al estudiante modificar sus concepciones y empezar a comprender la verdadera naturaleza de la matemática; situaciones, que les permitan avanzar del nivel de solucionar problemas pragmáticos o cotidianos a entender la matemática en sí misma. Este tipo de contextos se pueden encontrar por ejemplo, en la geometría, las demostraciones geométricas de propiedades aritméticas o algebraicas permiten trascender los significados de la igualdad y la equivalencia en contextos rutinarios ligados exclusivamente a la solución de problemas netamente operatorios y cotidianos. Así tenemos el propósito de la sesión es resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio. Usa estrategias y procedimientos para encontrar equivalencias y reglas generales.. Palabras clave: educación, matemáticas, números racionales.. viii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Abstract. Equality is a relationship that is defined between numbers. The three most important properties of equality are summarized in a mathematical structure known as an equivalence relationship. But mathematics goes far beyond "its application", although the various practical purposes have influenced its development, its very intrinsic interest has been fundamental in it. The development of theoretical and applied mathematics are certainly interrelated, multiple mathematical theoretical developments have allowed to model and advance in fields of the natural or social sciences, also the need to solve practical problems humanity has driven important discoveries of theoretical mathematics. It is therefore extremely important to present situations and contexts that allow the student to modify his conceptions and begin to understand the true nature of mathematics; situations, that allow them to move forward from the level of solving problems pragmatic or every day to understand mathematics itself. This type of context can be found, for example, in geometry, geometric demonstrations of arithmetic or algebraic properties allow transcending the meanings of equality and equivalence in routine contexts linked exclusively to clearly operational and day-to-day problems.. Keywords: education, math,rational, numbers.. ix. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Introducción. Desde que somos muy pequeños las matemáticas ocupan gran parte de nuestra vida cotidiana, siendo la base además de una gran variedad de ciencias exactas, como también en la elaboración de los diseños y la fabricación de todo lo que utilizamos a diario, desde el ordenador hasta la ingeniería que nos permite construir una casa, aunque para esto último necesitamos conocimientos más avanzados. En la actualidad nos enfrentamos a una diversidad de problemas en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas en la educación básica regular y superior. Uno de ellos es la poca motivación frente al área expresada en la actitud de los estudiantes cuando se discuten los temas en la clase o cuando se proponen preguntas o problemas. Está situación desde luego no depende solamente de los estudiantes, sino que está relacionada con el tipo de prácticas que realiza el docente en el aula; las propuestas didácticas, curriculares y metodológicas no difieren de las utilizadas hace más de una década. Se necesita entonces, replantear tanto los contenidos como la forma de trabajarlos en la clase involucrando nuevas estrategias y herramientas actuales para su discusión. Un análisis epistemológico y didáctico de los tópicos de la matemática escolar, por ejemplo, podría ayudar al docente a repensar sus prácticas. Los Números Reales son parte importante de nuestra vida diaria. Los usamos continuamente y de manera inconsciente, en simples cálculos, en las cuentas de la casa, el banco, el presupuesto, la hora, compras, ventas, etc. El sistema de números reales está formado principalmente por dos grandes grupos, el de los números racionales, que son todos aquellos números que pueden ser expresados como la división de dos números enteros, y el sistema de números irracionales cuya representación decimal es expansiva, infinita y aperiódica. Los números racionales pueden ser también divididos en subgrupos, entre los cuales podemos mencionar: las fracciones no enteras con sus notaciones negativas; los números enteros incluyendo los números negativos y los enteros positivos; estos últimos a su vez incluyen a los números naturales y al cero.. 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. I.. Diseño de Sesión de Aprendizaje Implementada. 1.1. Datos informativos: 1.1.1. Institución Educativa. : Adventista “José de San Martín”. 1.1.2. Grado. : 2do. 1.1.3. Unidad de aprendizaje. : Identificamos las propiedades de la igualdad.. 1.1.4. Tema. : “La igualdad de números racionales”. 1.1.5. Área. : Matemática. 1.1.6. Profesor (a) de Aula. : Vásquez Sánchez, Rigoberto. 1.1.7. Duración. : 45 minutos. 1.1.8. Lugar y fecha. : Trujillo, 10 de diciembre de 2019. 1.2. Aprendizajes Esperados Compe. Capacidad. tencia. Indicadores de. Campo temático. desempeño  Plantea afirmaciones sobre las propiedades. La Igualdad. Resuelve. Usa estrategias y. problemas. procedimientos.  Aplica las propiedades. de regulari. para encontrar. en la resolución d. igualdad.. dad,. equivalencias y. planteamiento de.  Reflexiva. equivalen. reglas generales. problemas.  Simétrica. cia y cambio.. de igualdad..  Justifica usando. Propiedades de la.  Transitiva. ejemplos y sus.  Aditiva. conocimientos.  Multiplica. matemáticos.  Reconoce errores en sus justificaciones o en las de otros, y las corrige.. 11. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Enfoque. Acciones Observables. transversal Inclusivo o Respeto por las diferencias Docentes y estudiantes demuestran tolerancia, de atención apertura y respeto a todos y cada uno, evitando cualquier forma de a la. discriminación basada en el prejuicio a cualquier diferencia.. diversidad Intercultu ral. Género. Respeto a la identidad cultural Los docentes y estudiantes acogen con respeto a todos, sin menospreciar ni excluir a nadie en razón de su lengua, su manera de hablar, su forma de vestir, sus costumbres o sus creencias. Igualdad y dignidad docente y estudiantes no hacen distinciones discriminatorias entre varones y mujeres.. Medios y Materiales M. Concretos. Aspecto Metodológico. M. Representativo . M. Simbólico. . Texto guía.. . Hoja bon.. . Plumones.. . Pizarra.. Método lógico.. . Cuadernos.. inductivo. . Lapiceros.. Procedimiento.. . Fotos.. Relacionar los saberes.. La palabra hablada, escrita.. . Anécdotas. Método:. de hechos. Activo individualizado y. reales. colectivizado.. . Saber conocer.. . Saber hacer.. . Saber ser y convivir.. . Lluvia de ideas.. . Trabajo grupal e individual.. Formas: Verbal sensorial – visual.. 12. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.3. Estrategias Metodológicas. Situación de Aprendizaje. Tiempo. Situación de Inicio (equilibrio) Reunidos en el aula el profesor iniciara la sesión saludando y dando la bienvenida a todos los estudiantes propiciando un ambiente de confianza y tranquilidad, que permita que sus estudiantes expresen sus opiniones y sentimientos sin sentirse censurados o juzgados.. Recojo de los saberes previos Mediante tarjetas identificadas con letras N, Z, Q, I, Los estudiantes se forman. 7 Minutos. equipos de trabajo para representar. mediante el Diagrama de Venn los diferentes conjuntos numéricos. (Anexo 01). Luego exponen sus conclusiones en plenaria. Se les propone las siguientes preguntas:  ¿Cómo ubican el conjunto de los números reales en los Diagramas de Venn presentados por cada equipo?  ¿Cómo se conforma el conjunto de los números reales? Reflexionan y presentan sus resultados.  El docente realiza una breve reseña sobre los conjuntos numéricos con su representación gráfica, con la participación activa de los estudiantes, llegando a concluir con la gráfica del conjunto de los números reales. 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT.  Luego el docente comunica el propósito de la sesión: hoy identificamos las propiedades de la igualdad.  Establece las normas de convivencia con tus estudiantes. Recuerda que estas se deben consensuar dentro del aula para tener mejores logros en los compromisos de autocontrol en el comportamiento y en la creación de un clima favorable para el aprendizaje. (Anexo 02). Situación de Proceso. Tiempo. Familiarización con el problema. Se les plantea la siguiente situación.  Que le valores puede tomar ”X” para que cumplan las siguientes igualdades: X + 3 = 12. 3x = 18. 14 – x = 8. x/4 = 5. Participan activamente dando sus respuestas. Se formula las siguientes interrogantes.  ¿Qué es igualdad?  ¿En qué casos utilizamos la palabra igualdad?  ¿Existe igualdad de derechos entre el hombre y la mujer? Búsqueda y ejecución de estrategias. Se le alcanza una ficha informativa sobre la igualdad y sus propiedades,. 35 Minutos. lo analizan, luego el maestro lo explica haciendo uso de ejemplos. Así mismo el estudiante usa estrategias para sistematizar la información alcanzada. (Anexo 03).. 14. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Socializa sus representaciones. El estudiante sistematiza y resuelve planteamientos de ejercicios como ejemplos dados por el maestro en la pizarra y lo socializa y explica a sus compañeros. Reflexión y formalización. Resuelve ejercicios (Anexo 04) sin ayuda del maestro para lograr identificar estrategias ¿Qué aprendió? ¿Cómo aprendió? ¿Para qué aprendió? Así mismo elabora un mapa conceptual con las propiedades de la igualdad. 1. X + 9 = 12 2. X – 9 = 5 3. X + 4 = 1 4. X – 10 = 3 5. X + 2/9 = 5/9 6. X – 1/7 = 3/7 7. 2 + 3x =11 15. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 8. 2x/2 = 7/3 9. x/5 -8 = 17 10. 3x + 9 = 32 Planteamiento de otros problemas. Cada estudiante plantea un ejemplo de cada propiedad de igualdad, partiendo de lo trabajado en clase.. Situación Salida. Tiempo. El docente promueve la reflexión y conversa con los estudiantes sobre los siguiente: ¿Qué han aprendido hoy?, ¿Les pareció fácil?, ¿Dónde encontraron dificultad?, ¿por qué?, ¿trabajar en equipo los ayudo a superar las dificultades?, ¿Qué es la igualdad?, ¿Qué propiedades tiene la igualdad?, ¿en qué situaciones de la vida diaria han tenido que utilizar o han visto utilizar propiedades de la igualdad?, ¿Cómo se han sentido?, ¿les gusto?,. 5 Minutos. ¿Qué debemos hacer para mejorar?, ¿Cómo complementarían este aprendizaje? (Anexo 05). Evaluación Desempeños Precisados  Plantea afirmaciones sobre las propiedades de igualdad  Justifica usando ejemplos y. Evidencias. Instrumento de Evaluación. Intangible: Describe la representación gráfica.  Lista de. del conjunto de los números reales.. cotejo.. sus conocimientos. Tangible:. (Anexo 06). matemáticos.. Representa gráficamente el conjunto.  Reconoce errores en sus justificaciones. de los números reales..  Registro auxiliar.. Resuelve ejercicios planteados.. 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.4. Bibliografía  Para el Educando Ministerio de Educación (2019) Matemática 2 Editorial Norma Lima –Perú.  Para el Educador Vygotski, L (1979) “El desarrollo de los procesos psicológicos” superiores. Barcelona. Editorial Crítica. Ministerio de Educación (2016). Diseño Curricular de Educación. Ministerio De Educación (2019) Diseño Curricular Básico.. 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. II. Sustento Teórico. 18. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) TSP UNITRU. 2.1. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Introducción En matemáticas, el conjunto de los números reales incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; 1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicos, tales como √5, π, o el número real log, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII. Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.3 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind. Una igualdad en el campo de las matemáticas representa una comparación de valores que se establece a través del signo igual, el cual llega a crear una separación entre el primer y el segundo miembro.. 19. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) TSP UNITRU. 2.2. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Sistema de Números Reales En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraico Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales a periódicas, tales como: √5𝜋 , el número real log, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII. Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind. 2.2.1. Notación Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se sub-representan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia. Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad. Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos. Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, ". ") en vez de su respectiva aproximación decimal.. Los matemáticos usan el símbolo. (o, de otra forma,. , la letra "R" en. negrita) para representar el conjunto de todos los números reales. La notación matemática. se refiere a un espacio de. números reales; por ejemplo, un valor. dimensiones de los. consiste de tres números reales y. determina un lugar en un espacio de tres dimensiones. En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, función real, y Álgebra de Lie real.. 2.2.2. Tipos de Números Reales Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).. 21. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 3. √7+1 2. = 1,456465591386194 … es irracional y su expansión decimal es. aperiódica. Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si. 𝑝 𝑞. es un número racional, con p entero. y q natural, entonces es raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales. Ejemplos El. número. es. algebraico. puesto. que. es. la. raíz. del. polinomio Un ejemplo de número trascendente es. 2.2.3. Construcciones de los Números Reales A. Caracterización Axiomática Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados equivalentes al de Hilbert. Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directo que introduce el sistema (ℝ, +,., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ. Se presenta una variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades: Un conjunto (K, + , ., ≤) es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones: 1.. (K, + , .) es un campo.. 2.. (K, ≤) es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo: Si a ≤ b entonces; a + c ≤ b + c; Si a ≤ b y 0 ≤ c entonces ac ≤ bc. 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 3.. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. . El axioma del supremo es una variante del Principio de Weirstrass" que dice que toda sucesión de números reales acotada superiormente tiene supremo. Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma. Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales. En vista de lo anterior podemos hablar del conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo. para. representarlo. Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que. es completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros. axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunos de estos son: . (Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.. . (Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.. . Cualquier cerrados. sucesión. decreciente. de. intervalos. tiene intersección no vacía.. Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto 23. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas. 1. Si. , entonces. (Cerradura en la suma). 2. Si. , entonces. (Conmutatividad en la. entonces. (Asociatividad. suma) 3. Si en la suma) 4. Existe. de. todo 5. Para. manera. que. para. (Neutro aditivo) cada. existe. que. un. elemento. tal. (Inverso aditivo). 6. Si. , entonces. 7. Si. (Cerradura en la multiplicación). , entonces. (Conmutatividad en la. multiplicación) 8. Si. , entonces. (Asociatividad en la. multiplicación) 9. Existe. de manera que. para cualquier. (Neutro multiplicativo) 10. Para cada. existe un elemento. que. tal. (Inverso multiplicativo). 11. Si. , entonces. (Distributividad. de la multiplicación en la suma) 12. Si. , entonces se cumple sólo una de estas:. (Tricotomía)   . 13. Si. ,. y. entonces. (Transitividad) 14. Si. y. ,. entonces 15. Si entonces. (Monotonía en la suma) ,. y. ,. (Monotonía en la multiplicación) 24. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 16. Si. es un conjunto no vacío acotado superiormente en ,. entonces. tiene supremo en. (Axioma del supremo). Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue otros cuerpos ordenados como. de. . Debe señalarse que los axiomas. 1 a 15 no constituyen una teoría categórica ya que puede demostrarse que admiten al menos un modelo no estándar diferente de los números reales, que es precisamente el modelo en el que se basa la construcción de los números hiperreales.. B. Construcción por números decimales Consideramos. los. números. decimales. como. los. intuitivamente. Sabemos que. conocemos , es decir,. el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc. Un número decimal se expresa entonces como x.d1d2d3d4d… donde x es un número entero y cada di es un elemento del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, }. Además, consideramos que no existen las colas de 9. Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero positivo se le denota por. y se le llama el conjunto de los números reales. positivos. Al conjunto de todos los números decimales donde negativo se le denota por. es un número entero. y se le llama el conjunto de los números reales. negativos. Al número decimal 0,00000…se le llama cero. Al conjunto. se le denota por. y se le llama. conjunto de números reales. Se define la relación de orden total de los números decimales como 1.. para todo. 2.. siempre que. 3.. para todo. y. 25. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 4. Dados dos números reales cualesquiera ,. y. en cualquiera de los casos siguientes:.  . y además existe. tal que. para todo. y. C. Construcción por cortaduras de Dedekind Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de. . Sin embargo es claro que se puede aproximar. con números. racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los números racionales en dos subconjuntos conjunto en. y. de manera que en el. se encuentran todos los números racionales. todos los números racionales tales que. y. .. Una cortadura de dedekind es un par ordenado. que hace. precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay entre. y. . De esta manera es posible definir a. como. tal. Es posible demostrar que. queda unívocamente definido por. , de esta. manera la cortadura. se reduce simplemente a. que. y. .. .. También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de esta manera todas. las. cortaduras. de. Dedekind.. Esta. es el conjunto de es. la. primera. construcción formal de los números reales bajo la teoría de conjuntos.. D. ¿Construcción por sucesiones de Cauchy? Artículo principal: Sucesión de Cauchy Las sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese por ejemplo, la igualdad.. Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma:. 26. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. sin embargo el resultado final es el número irracional. . Cada vez que se. añade un término, la expresión se aproxima más y más a. .. Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que una sucesión de números racionales es una función se denota simplemente por. .. Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes. Más formalmente, se define una sucesión de Cauchycomo una sucesión de números racionales tales que para todo. existe un. cumple. .. tal que para todo. De esta manera es posible definir al número real. se. como la sucesión de. números racionales:. E. Propiedad Arquimediana (Axioma de Arquímedes) Sean a > 0 y b números reales cualesquiera, existe un número natural n tal que na > b; esto expresa a su vez que la sucesión b/n tiende a cero.. 2.3. La Igualdad de Números Reales A pesar de que las matemáticas tenían desarrollos muy importantes en tiempos anteriores a la cultura griega (egipcios, babilonios, chinos), el interés fundamental se centraba hasta entonces, según los historiadores, en contar, medir y construir. Son los matemáticos griegos, los primeros en ocuparse de analizar la naturaleza de los objetos matemáticos y a partir de allí estructurar la matemática, por primera vez, como un sistema de conocimientos. Su concepción mística de los números, dio origen a la matemática como ciencia rigurosa y axiomática. En la concepción griega desde el comienzo estuvieron ligados dos conceptos: “el número y la forma”, se concebía el número como cantidad (multitud de unidades) o asociado a la medida de un segmento. Los números representaban segmentos finitos de recta (la longitud de un segmento de recta), un número (construido como un. 27. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. segmento) se podía transformar mediante diferentes operaciones, en otro número (otro segmento de recta). ¿Pero cómo evidenciar que las operaciones efectuadas con los números, son correctas si los segmentos iniciales (unidad seleccionada), que se asocian, son diferentes?, es decir ¿cómo garantizar que la operación (o las operaciones) está (n) unívocamente definida (s)?.Para resolver este problema, los griegos demostraron que los dos segmentos iniciales y los dos segmentos obtenidos al efectuar las operaciones son semejantes usando el teorema de Thales, Encontramos aquí la que se podría caracterizar como una primera mención al significado de igualdad como equivalencia. Si se parte de dos segmentos unidad, de diferente longitud, a y b, y efectuando las mismas operaciones a ambos segmentos, se obtienen respectivamente los segmentos c y d:. Los segmentos que se obtienen son diferentes, pero semejantes, (teorema de Thales1), observemos la ilustración. Los segmentos obtenidos guardan la proporción, en esta proporción aparece por primera vez el significado de la igualdad como equivalencia, que posteriormente permite definir el concepto de fracción como razón.. A. Euclides Con respecto a la igualdad Euclides en los Elementos hace referencia a ella en el contexto geométrico. En el primer libro parte de las definiciones, en donde trabaja elementos de la igualdad. En la definición 10, define la igualdad de ángulos2; en la 17, la división de un círculo por su diámetro, en partes iguales3; en la 20, trabaja la definición de triángulos equiláteros e isósceles4; y en la 22, la definición de cuadrados y rombos.. 28. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Pero es en las nociones comunes, donde Euclides hace referencia a propiedades de la igualdad que son fundamentales en el campo aritmético y algebraico, la primera: “Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí” Castaño, (1991), propiedad transitiva de la igualdad. La segunda y tercera: “Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.”, “Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.” Y la cuarta: “Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.” Estas nociones son la base para poder resolver una ecuación de primer grado y permiten dar significado a la igualdad como una relación de equivalencia, e ir más allá del concepto de igualdad como una acción. Heiberg adiciona a las nociones planteadas por Euclides un par de nociones comunes: “Y los dobles de una misma cosa son iguales entre sí” “Y las mitades de una misma cosa son iguales entre sí” Castaño, (1991), estas nociones permiten entender más profundamente la bilateralidad de la igualdad y se utilizan para la resolución de ecuaciones algebraicas: B. Arquímedes Desarrolló en su fantástica obra “El arenario” una construcción de una notación matemática capaz de relacionar los objetos cotidianos, como semillas de amapola, arena y dedos, con tamaños del sistema solar y de todo el universo, y relacionarlos mediante una sucesión de equivalencias.. Arquímedes intenta dar significado a la noción de infinito partiendo de una interesante pregunta: “Hay algunos, rey Gelón, que creen que el número de los granos de arena es infinito por su multitud… También hay algunos que sin creer que sea infinita, piensa sin embargo que o existe ningún número que sea lo bastante grande como para superar tal abundancia. Y es claro que, si aquellos que sostienen esa opinión imaginasen una masa hecha de arena tan grande como la masa de la tierra, incluyendo en ella todos los mares y huecos de la tierra llenos hasta la altura de la más alta montaña, seguirán muy lejos de reconocer que se puede expresar cualquier número que supere esta multitud de arena.” (Arquimedes) Para responder la pregunta Arquímedes presenta pruebas geométricas, usa desigualdades y una relación de equivalencia, que le permite relacionar cantidades 29. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. y unidades cotidianas con tamaños tan solo imaginablemente “infinitos” hasta ese momento. C. Acerca del signo de igualdad Los signos para representar conceptos y relaciones se empezaron a usar desde los inicios de la matemática, aparecen ya algunos en los documentos de los egipcios y babilónicos. Pero la mayoría de los signos que se utilizan en la actualidad, entre ellos el de la igualdad aparecen hasta los siglos XVI y XVII Antes del siglo XVI los símbolos utilizados eran pocos, por lo general se utilizaba la abreviación de palabras para representar conceptos u operaciones. Durante y posteriormente a este siglo, se da un paso hacia la matemática puramente simbólica, permitiendo el planteamiento y resolución de problemas generales. En el siglo XVI, el álgebra avanzó de manera muy significativa debido a la introducción del álgebra simbólica, que permitió plantear problemas y presentar soluciones generales. Los símbolos adquirieron así significado más allá de sustituir una palabra o término y esto permitió un florecimiento del conjunto de las matemáticas. El símbolo “=” como muchos de los símbolos aritméticos, tuvo su origen en el álgebra. Particularmente es Robert Recorde, quien cansado de escribir “is equalle to” “escribía la igualdad con el signo =, ya que no habían dos cosas que pudieran ser “más iguales” que “un par de paralelas”…” Bell, (2003). Recorde utilizó este símbolo por primera vez en el libro: “The Whetstone of Witte” (El aguzador del ingenio o la Piedra de afilar el Ingenio) en 1557. Posteriormente otros matemáticos como Thomas Harriot y De Lagny acogen esta simbología y la utilizan en sus escritos del siglo XVII y XVIII. Se han identificado unas variaciones de la notación introducida por Recorde, los segmentos más distanciados, una leve inclinación hacia arriba o como dos unos (11) horizontales. Pero el que consideran los historiadores como el principal rival del signo de Recordé fue el empleado por Descartes: “un signo parecido al del infinito pero abierto por la izquierda, procedente de la contracción de la palabra aequalis, que significa igual” Molina, Castro, & Castro.. 30. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. En la actualidad el signo “=” es utilizado en varios contextos, contextos que determinan diferentes significados. La igualdad entre dos objetos depende del dominio al que pertenecen los objetos: aritmético, geométrico, algebra.. 2.3.1 Propiedades de La Igualdad Imagina que tienes una balanza y quieres pesar un kilogramo de azúcar. De un lado de la balanza colocas un contrapeso que te indique el peso deseado, es decir un kilogramo. En el otro lado, irás vaciando azúcar hasta que la balanza quede nivelada. En el momento que la balanza quede nivelada puedes decir que los pesos son iguales. En matemáticas puedes decir que dos objetos son iguales si tienen el mismo valor y para indicarlo, utilizas el signo de igualdad, en el anterior ejemplo, la balanza representaría el símbolo de igualdad. Cuando tienes un símbolo de igualdad y una proposición matemática de cada lado de la igualdad, a esta expresión se le llama ecuación. La igualdad relaciona dos expresiones con el signo “=”, la igualdad tiene algunas propiedades que son verdades evidentes, no requieren ser demostradas, a partir de estas propiedades se pueden demostrar otras propiedades. Las primeras cuatro propiedades que se muestran a continuación son propiedades evidentes de la igualdad: Considera que a, b, c Propiedad Propiedad reflexiva: Todo número es igual a si. R Proposición a=a. Ejemplo. 5=5. mismo Propiedad de simetría: Si un número es igual a otro, éste es igual al. Si a = b. b=a. x=4. 4=x. primer. 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Propiedad transitiva: Si un número es igual a un segundo número y éste es igual a un tercero, el. Si a = b y b = c. a=c. x=4y4=z. x=z. primero y el tercero son iguales Propiedad de sustitución: Si un número es igual a otro, en cualquier expresión en que aparezca. Si a = b. a puede sustituir ab. el primero puede. Si x = 4. 2(x) + 3 =. 2(4) + 3. reemplazarse por el segundo Propiedad aditiva de la igualdad: Si sumamos el mismo número a ambos lados de. Si a = b. a+c=b+c. Si x = 4. x+2=4+ 2. la igualdad, la igualdad permanece Propiedad multiplicativa de la igualdad: Si multiplicamos el mismo número en ambos lados de. Si a = b. a.c=b.c. Si x = 4. x.2=4.2. la igualdad, la igualdad permanece. 32. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. III. Sustento Pedagógico. 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) TSP UNITRU. 3.1. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Introducción La sesión de aprendizaje es el conjunto de situaciones que cada docente diseña, organiza con secuencia lógica para desarrollar un conjunto de aprendizajes propuestos en la unidad didáctica, la sesión de aprendizaje desarrolla dos tipos de estrategias de acuerdo a los actores educativos: • Del Docente: Estrategias de enseñanza o procesos pedagógicos • Del Estudiante: Estrategias de aprendizaje o procesos cognitivos / afectivos / motores. Los Procesos Pedagógicos cómo "actividades que desarrolla el docente de manera intencional con el objeto de mediar en el aprendizaje significativo del estudiante" estas prácticas docentes son un conjunto de acciones intersubjetivas y saberes que acontecen entre los que participan en el proceso educativo con la finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y desarrollar competencias para la vida en común. Cabe señalar que los procesos pedagógicos no son momentos, son procesos permanentes y se recurren a ellos en cualquier momento que sea necesario Estos procesos pedagógicos son: Problematización: . Son situaciones retadoras y desafiantes de los problemas o dificultades que parten del interés, necesidad y expectativa del estudiante. . Pone a prueba sus competencias y capacidades para resolverlos. Propósito y Organización: Implica dar a conocer a los estudiantes los aprendizajes que se espera que logren el tipo de actividades que van a realizar y como serán evaluados.. Motivación, Interés, Incentivo: La auténtica motivación incita a los estudiantes a perseverar en la resolución del desafío con voluntad y expectativa hasta el final del proceso para ello se debe despenalizar el error para favorecer un clima emocional positivo Procesamiento de la Información: Es el proceso central del desarrollo del aprendizaje en el que se desarrollan los procesos cognitivos u operaciones mentales; estas se ejecutan mediante tres fases: Entrada - Elaboración - Salida.. 34. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Gestión y Acompañamiento: Implica generar secuencias didácticas y estrategias adecuadas para los distintos saberes y así mismo acompañar a los estudiantes en su proceso de ejecución y descubrimiento suscitando reflexión, critica, análisis, dialogo, etc para lograr la participación activa de los estudiantes en la gestión de sus propios aprendizajes. Evaluación: Es inherente al proceso desde el principio a fin, se diseña a partir de tareas auténticas y complejas que movilicen sus competencias . Es necesario que el docente tenga claro lo que se espera logren y demuestren sus estudiantes y cuales son la evidencias que demuestran los desempeños esperados. 3.2. Concepción de Educación Según la ley general de educación Nº28044 conceptualiza a: La educación es un proceso de aprendizaje y enseñanza que se desarrolla a lo largo de toda la vida y que contribuye a la formación integral de las personas, al pleno desarrollo de sus potencialidades, a la creación de cultura, y al desarrollo de la familia y de la comunidad nacional, latinoamericana y mundial. Se desarrolla en instituciones educativas y en diferentes ámbitos de la sociedad.. 3.2.1 Principios Pedagógicos a) Principio de Ética La Educación debe ser ética, es decir debe rescatar los valores que permitan la construcción de una sociedad solidaria, justa, en la que se respete la vida y la libertad. b) Principio de Necesidad del Desarrollo de la Comunicación y el Acompañamiento en los Aprendizajes. -. Principio de construcción de los propios aprendizajes.. -. Principio de necesidad del desarrollo de la comunicación y el acompañamiento.. -. Principio de significativita de los aprendizajes.. -. Principio de organización de los aprendizajes.. -. Principio de organización de los aprendizajes. 35. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. -. Principio de integridad de los aprendizajes.. -. Principio de evaluación de los aprendizajes.. c) Principio del Trabajo La Educación debe preparar para el trabajo, otorgando al educando capacidades laborales adecuadas no solo para emplearse en un mercado competitivo, sino para crear su propio trabajo productivo, en el marco de la transformación y modernización de la estructura productiva del país. d) Principio de la Construcción de los Propios Aprendizajes El aprendizaje es un proceso de construcción: interno, activo e individual e interactivo con el medio social y natural. Los alumnos, para aprender, utilizan estructuras lógicas que dependen de variables como los aprendizajes adquiridos anteriormente y el contexto. e) Principio de la Significatividad de los Aprendizajes El aprendizaje significativo es posible si se relaciona los nuevos conocimientos con los que ya posee el sujeto. En la medida que el aprendizaje sea significativo para los educandos hará posible el desarrollo de la motivación para aprender y la capacidad para construir nuevos aprendizajes. f). Principio de la Organización de los Aprendizajes Las relaci9ones que se establecen entre los diferentes conocimientos se amplían a través del tiempo y de la oportunidad de aplicarlos en la vida, lo que permite establecer nuevas relaciones con otros conocimientos y desarrollar la capacidad para evidenciarlas. Los aprendizajes se dan en los procesos pedagógicos, entendidos como las interacciones en las sesiones de enseñanza aprendizaje, en esos procesos hay que considerar que, tanto el docente como los estudiantes, portan en sí la influencia. y los. condicionamientos de su edad , de su herencia, de su propia historia, de su entorno escolar , socio cultural , ecológico, ambiental y mediático; estos aspectos intervienen en el proceso e inciden en los resultados de aprendizaje, por ello la importancia de considerarlos en la organización de los aprendizajes.. 36. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 3.2.2 Principios Educacionales. La Ley de Educación Nº 28044 considera los siguientes principios:. La ética, que inspira una educación promotora de los valores de paz, solidaridad, justicia, libertad, honestidad, tolerancia, responsabilidad, trabajo, verdad y pleno respeto a las normas convivencia; que fortalece la conciencia moral individual y hace posible una sociedad basada en el ejercicio permanente de la responsabilidad ciudadana.. La equidad, que garantiza a todos iguales oportunidades de acceso, permanencia y trato en un sistema educativo de calidad.. La inclusión, que incorpora a las personas con discapacidad, grupos sociales excluidos, marginados y vulnerables, especialmente en el ámbito rural, sin distinción de etnia, religión, sexo y otra causa de discriminación, contribuyendo así a la eliminación de la pobreza, la exclusión y las desigualdades.. La calidad, que asegura condiciones adecuadas para una educción integral, pertinente, abierta, flexible y permanente.. La democracia, que promueve el respeto irrestricto a los derechos humanos, la libertad de conciencia, pensamiento y opinión, el ejercicio pleno de la ciudadanía y el reconocimiento de la voluntad personal, que contribuye a la tolerancia mutua en las relaciones entre las personas y entre la mayoría y la minoría, así como el fortalecimiento del estado de derecho.. La interculturalidad, que asume como riqueza la diversidad cultural, étnica y lingüística del país y encuentra en el reconocimiento y respeto a las diferencias, así como en el mutuo conocimiento y actitud de aprendizaje del otro sustento para la convivencia armónica y el intercambio entre las diversas culturas del mundo.. 37. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. La conciencia ambiental, que motiva el respeto, cuidado y conservación del entorno natural como garantía para el desenvolvimiento de la vida... La creatividad y la innovación, que promueve la producción de nuevos conocimientos en todos los campos del saber, el arte y la cultura.. 3.2.3 Enfoque por Competencias a.. Competencia: un concepto polisémico y variante Cuando se recurre al diccionario, aparecen seis acepciones de competencia: significa autoridad (como en "ese lago es competencia de los alcaldes A y B?), capacitación ("cuando habla en inglés, muestra la competencia. que. ha. adquirido. después. de. estudiar. un. año"), incumbencia (?ese problema es de la competencia de un(a) juez penal"), cualificación ("contrataremos profesoras que tengan una adecuada competencia docente"), suficiencia ("Jorge ha certificado su competencia profesional. para. ser. nombrado. director. de. ese. plantel"). y. competición ("nuestro equipo ganó en la competencia ciclística"). El concepto de competencia surge del planteamiento de Chomsky, que abarca dos elementos diferentes: la competencia, que es una capacidad idealizada (mental o psicológica), y la actuación (performance o desempeño), que es la producción real de enunciados. La competencia es el conjunto de reglas subyacentes a las infinitas oraciones de una lengua, y por ello es diferente de la actuación, que produce oraciones específicas y es una conducta lingüística observable. b.. Caracterización de la competencia La caracterización de la competencia reclama, de alguna manera, una definición de la misma. Podemos decir, entonces, que: Competencia es un conjunto de potencialidades que posibilita un desempeño exitoso, que se materializa al responder a una demanda compleja que implica resolver un(os) problema(s) en un contexto particular, pertinente y no rutinario. 38. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. O, también, que una persona tiene una determinada competencia cuando muestra desempeños de adecuados a notables-, en un campo específico de la acción humana, en el desarrollo de tareas concretas y relevantes, en las cuales proporciona respuestas o soluciones variadas y pertinentes, con recursos propios y externos, que vistos desde criterios objetivos y válidos permiten concluir la existencia de una determinada competencia. Hay competencia cuando de la actuación o saber hacer de una persona en un contexto específico se puede inferir que tiene una potencialidad que puede aplicar -y aplica- de manera flexible, adaptativa y eficiente en distintas situaciones o tareas de la vida, al igual que dar cuenta de ella. c.. Importancia de la competencia en educación Las competencias: . Centran el protagonismo en quien está aprendiendo, porque es quien tiene que irse haciendo competente.. . Dotan a las y los estudiantes de herramientas básicas y claves, como la lectura y la escritura, para que gracias a las competencias crecientes adquiridas tengan mayor probabilidad de obtener buenos resultados en diversas áreas del conocimiento.. . Contrarrestan la obsolescencia del conocimiento y de la información. Como esta se desactualizada vertiginosamente en el mundo de hoy, el énfasis se pone en elementos que permanecen, como el saber hacer o el aprender a aprender.. . Preparan para afrontar diversas tareas, personales, laborales y profesionales. Una persona que, por ejemplo, es competente para hablar en público, tiene a su favor una competencia para desempeñarse efectivamente en muy diversas situaciones, lo que con mucha seguridad le abrirá puertas.. . Se centran en elementos de la persona, más que en aspectos externos a ella. Por ejemplo, en la autonomía ("tengo criterios para saber si he hecho bien o mal una determinada tarea y no necesito que venga el o la profesor(a) -que desaparecen de la vida en un determinado momento-, a decirme si lo hice bien o mal, si estoy en lo correcto o si me equivoqué), en el autodesarrollo ("hacerme más competente 39. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. para. vs. tener más información enciclopédica") o en la automotivación (aprendo porque quiero ser competente para...vs. aprendo porque me toca hacerlo, porque van a calificarme, porque debo aprobar una asignatura"). Para los y las estudiantes las competencias son importantes porque cambian la acumulación de información (que cada vez se desactualiza más rápido) por la utilización, en diferentes contextos, de lo aprendido; porque sienten que realmente se están preparando para la vida, al conectar aprendizaje con entorno escolar y extraescolar, y que no estudian solo para aprobar unas asignaturas o pasar de un grado al siguiente; porque van adquiriendo herramientas para resolver problemas de la realidad, en contraposición a problemas escolares que son o les parecen ficticios o sin sentido; porque le encuentran respuesta más pronto a la pregunta reiterativa: "esto, ¿para qué sirve, profe?"; porque vivencian que el aprendizaje es acumulativo, y no repetitivo, al darse cuenta de que se van convirtiendo en personas más competentes y, finalmente, porque asocian las competencias con su desarrollo humano, conscientes de que no pueden limitarse a ser competentes para responder a las exigencias del mercado, sino también para otras dimensiones. d.. Clasificaciones de competencia Cuando se habla de competencias, entran en acción diferentes maneras de enfocarlas, de clasificarlas, de resaltarlas. Por eso, se habla tanto de competencias. generales. -básicas,. clave,. cognitivas,. emocionales, intelectuales, prácticas, transversales, etc.- como de competencias específicas, que son las propias de cada asignatura curricular (por ejemplo, dentro del área de Lenguaje un autor menciona competencias como comunicativa, lingüística o gramatical, discursiva o textual, sociolingüística y estratégica y otro desglosa la competencia comunicativa en léxica, gramatical, semántica, fonológica, ortográfica y ortoépica) o como las competencias propias de diversas labores profesionales.. 40. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 3.2.4 Proceso de Aprendizaje La nueva pedagogía plantea otra forma de trabajo con el alumno, ésta nueva concepción de la educación toma una nueva perspectiva del aprendizaje. Si definimos el aprendizaje diríamos que produce cambiar permanentes en la conducta de la persona que se adquieren a través de las experiencias, el cual el alumno va desarrollando a través de actividades que realiza en forma repetida. Crisólogo Arce (P.P.166) define “Aprendizaje es un cambio en la disposición o capacidad humana que puede ser retenido y que no es simplemente atribuible al proceso de crecimiento”. El aprendizaje desde una perspectiva constructivista significa que: “El constructivismo pedagógico califica el aprendizaje como una actividad organizadora compleja del alumno que elabora sus nuevos conocimientos” Plancad – Secundaria, (1999). Teresa Mauri, (1996) hace referencia “La construcción de conocimientos por parte del aluno y de la alumna es posible gracias a la actividad que estos desarrollan para atribuir significado a los contenidos escolares que se le presentan”. Cabe mencionar que el proceso de interacción empieza, con una estructura cognitiva y un determinado nivel de pensamiento, con la intromisión externa se produce un cambio en la forma cotidiana de pensar generando de este modo un conflicto cognitivo y un desequilibrio; el sujeto compensa es desequilibrio 41. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

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