1. Área bajo curvas planas en coordenadas cartesianas

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1. Área bajo curvas planas en coordenadas cartesianas

1.1. Formular la integral definida que proporciona el área de la región dada.

1.1.1.

Resolución:

Como parte del área es negativa, se debe considerar en valor absoluto aplicando suma de integrales.

1.1.2.

Resolución:

Obsérvese que resulta una integral discontinua ya que en la función no es integrable.

Puede también formularse considerando la simetría de la función, como sigue:

Ejercicios propuestos:

1.1.3. 1.1.4.

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2 1.2. Hallar el valor del área limitada por la curva plana de la función

y el eje x.

Se comienza por graficar la función para dibujar el área.

Obsérvese que los dos ceros de la función proporcionan los límites de integración.

Como el área se encuentra en la zona negativa del gráfico debe considerarse en valor absoluto.

1.3. Hallar el valor del área de la elipse encerrada por la curva plana de la función

Obsérvese que el área es en parte positiva y en parte negativa. Gracias a la simetría de la curva puede calcularse la mitad positiva del área y luego multiplicar por 2, o podría calcularse un cuarto del área y proceder de modo similar.

Se hace sustitución de variable usando funciones trigonométricas. En este caso se opta por aunque podría aplicarse otras.

Los límites de integración en función de la nueva variable quedan:

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3 Sustituyendo:

Recuérdese que el área de la superficie interior de una elipse es: , siendo a y b los semiejes de la elipse.

Ejercicios propuestos:

1.4. Hallar el valor del área bajo la curva de la función en el intervalo . 1.5. Determinar cuál es el valor del área limitada por la función y el eje x entre las

abscisas y .

1.6. Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es igual a las 2/3 partes del producto de la base por la altura de dicho arco. Dibujar el arco parabólico limitado por y el eje x. Calcular su área mediante una integral adecuada. Encontrar la base y la altura del arco desde los datos de la gráfica y verificar la fórmula de Arquímedes.

1.7. Hallar el valor del área bajo la curva de la función en el intervalo . 1.8. Mediante cálculos integrales demostrar que el área de un círculo de radio 4 es igual a . 1.9. Demuestre mediante cálculos integrales que el área de una elipse es πab siendo a y b los

semiejes de la elipse.

1.10. Calcular el área encerrada bajo las curvas dadas a continuación. Graficar previo al cálculo:

1.10.1. y el eje x.

1.10.2. en el intervalo . 1.10.3. en el intervalo .

1.10.4. en el intervalo .

2. Área entre curvas planas en coordenadas cartesianas

2.1. Hallar el área limitada por las curvas de las funciones y .

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4 Se procede a graficar ambas funciones para indicar el área que se pide:

Para determinar los límites de integración se plantea la condición que cumplen ambos y se resuelve:

Ahora se plantea la integral que da respuesta a lo pedido y se resuelve (nótese que se coloca en la diferencia de la función integrando primero la función cuya curva se encuentra por arriba en el gráfico).

2.2. Calcular el área de la región rodeada por las gráficas de las funciones . Para empezar, se igualan ambas funciones con el fin de

obtener, al despejar la variable, las abscisas de los puntos de intersección.

Se procede a graficar ambas funciones para indicar el área que se pide.

En la figura se aprecia que en , mientras que en . Por consiguiente se necesitan dos integrales para obtener el área pedida:

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2.3. Calcular el valor del área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones y y el eje x.

Cuando se grafican las funciones y se indica el área pedida se observa que a pesar de participar dos funciones no se trata de un área entre dos curvas ya que no se encuentra totalmente circunscripta entre ellas.

Debe resolverse como área bajo la curva de una y de otra función según corresponda con el intervalo de integración y sumar los resultados de ambas integrales.

Para proceder se determina la abscisa de la intersección:

Y los ceros de ambas funciones:

Ahora se plantean las integrales para obtener el área:

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Ejercicios propuestos:

2.4. Calcular el área limitada por las curvas de las funciones y . 2.5. Grafique la región limitada por las curvas y y calcule el área

determinada por ambas.

2.6. Determine el área limitada por las curvas de las funciones y y el eje x.

2.7. Las gráficas de las funciones y se cortan infinitas veces, encerrando regiones de áreas iguales. Calcular el área de una de esas regiones.

2.8. Calcular el área limitada por las curvas de las funciones y . 2.9. Encontrar mediante uso de cálculos integrales el área del polígono circunscripto por las

siguientes tres rectas. Puede corroborar el resultado con cálculos geométricos.

2.10. Calcular el área encerrada entre las siguientes curvas de funciones. Graficar previo al cálculo.

2.11. Calcular el área encerrada entre las siguientes parábolas. Graficar previo al cálculo.

3. Volúmenes de sólidos de revolución

3.1. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la región acotada por la función y el eje x.

Obsérvese que los dos ceros de la función proporcionan los límites de integración.

Se plantea la integral que permite obtener lo pedido:

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3.2. Un fabricante diseña un objeto metálico, en forma de esfera con un radio de 5cm, y con un orificio cilíndrico en su interior, como muestra la figura. El hueco tiene un radio de 3cm. ¿Cuál es la masa del objeto resultante si la densidad del acero con que se fabricó es de 7,85 g/cm3?

Para lograr determinar la masa, primero debe encontrarse el valor de su volumen.

El objeto puede modelarse como un sólido de revolución generado por un segmento del círculo centrado en el origen de radio 5 cuya ecuación es: ; intersectado con un sólido de revolución (cilindro) generado por una función constante de valor igual al radio:

Como el radio del orificio es 3, ese es el valor en y hasta donde debe considerarse la ecuación.

Asignando ese valor a la variable y, se determinan los límites de x:

Entonces el volumen resulta ser:

El volumen del sólido es entonces; si consideramos que x e y están medido en cm, de cm3. Para calcular la masa empleamos la densidad.

Ejercicios propuestos:

3.3. Calcular el volumen del tronco cono determinado al hacer girar la recta de ecuación entre y .

3.4. Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar la función en torno al eje x en el intervalo .

3.5. Obtener el volumen del cuerpo engendrado cuando la región limitada por la gráfica de la función y la recta se hace girar en torno al eje x.

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8 3.6. Hallar el volumen de un cono cuya generatriz presenta una pendiente igual a 3 y tiene una

altura de 6.

3.7. Comprobar mediante integrales que el volumen del cilindro es el triple del volumen del cono.

3.8. La región limitada por la recta de ecuación , la parábola definida por y el eje x, gira alrededor de este eje. Hallar el volumen del cuerpo de revolución que genera.

4. Rectificación de curvas planas: Longitud de un arco de curva

4.1. Dada la función , calcular la longitud de la curva que define la función en el intervalo .

Si se grafica la función puede detallarse la longitud que se pide:

Para plantear la integral, primero se obtiene la derivada de la función:

Se resuelve la integral que permite obtener lo pedido:

4.2. Calcular la longitud de arco de la gráfica de

, entre y En la gráfica de la función puede observarse la longitud que se pide:

Se procede a obtener la derivada de la función:

Se plantea la integral y se resuelve para obtener lo pedido:

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Ejercicios propuestos:

4.3. Encontrar la longitud del segmento de recta cuya fórmula es entre y .

4.4. Calcular la longitud de arco de la gráfica de , entre y .

5. Áreas de superficies de revolución

5.1. Calcular el área de la superficie generada al rotar, en torno al eje x, el arco de la curva desde el punto al punto .

Se grafica la función, indicando los límites del segmento que se hará girar en torno al eje, y se muestra una figura de la superficie de revolución que se estudia:

Para plantear la integral que permita obtener lo pedido, se debe obtener la derivada de la función: . Ahora se reemplazan los datos en la fórmula de resolución:

Para resolver la integral se realiza un cambio de variables que facilite la integración:

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Los límites de integración en función de la nueva variable quedan:

Sustituyendo:

5.2. Obtener el valor del área de la superficie de revolución generada al girar la curva definida por la función en el intervalo alrededor del eje x.

Se grafica la función, indicando los límites del segmento que se hará girar en torno al eje, y se muestra una figura de la superficie de revolución que se estudia:

Para plantear la integral que permita obtener lo pedido, se debe obtener la derivada de la función:

.

Ahora se reemplazan los datos en la fórmula de resolución:

Para resolver la integral se hace una sustitución trabajando en la integral indefinida:

Reemplazando:

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Ejercicios propuestos:

5.3. Obtener el valor del área de la superficie de revolución generada al girar la curva definida por la función en el intervalo alrededor del eje y.

5.4. Calcular el área de la superficie de revolución formada al hacer girar en torno al eje la gráfica de en el intervalo .

5.5. Calcular el área lateral de la superficie generada por la revolución de la curva alrededor del eje x entre las rectas y . Graficar previo al cálculo.

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