EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Recuperación. Temas 1 a 5

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1º Bachillerato CS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano 1

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Recuperación. Temas 1 a 5

1. a) (1 punto) Calcula, agrupando:

( )

3 2

4· 3 · 3 1 · 2

2 2 4

x x

x x

     

− + − − +

     

     

b) (0,7 puntos) Halla el cociente y el resto de la división:

(

2x4+3x21 :

) (

x3

)

.

c) (0,5 puntos) Factoriza el polinomio P x( )=2x3−28x2+98x

2. a) Expresa en notación de intervalos (y represéntalos gráficamente) los siguientes conjuntos de números reales:

a1) x − ≤1 3 (0,3 puntos) a2) x ≥2 (0,3 puntos) b) Halla el valor de 2 20 80 2 125

3 45

+ +

. (0,8 puntos)

3. Resuelve las ecuaciones:

a) 4 3 2 2

=

− − x x

x (0,7 puntos) b) x+6+3=2x (0,7 puntos)

4. Resuelve las inecuaciones:

a) 3

2

1≥ +

x

x (0,5 puntos) b) (x+3)(2x−5)<0 (0,7 puntos) Representa gráficamente los intervalos solución. (0,3 puntos)

5. (1 punto) La edad de un padre es el triple de la de su hija más 2 años y hace 5 años la cuadriplicaba.

¿Qué edades tienen padre e hija?

6. (1,5 punto) Sea el sistema 4 6

2 3

x y x ay

− = −



− + =

. Calcula los valores que debe tomar a para que el sistema sea:

a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado.

c) Resuélvelo cuando a = −1.

7. (2 puntos) Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre.

Alcalá de Henares, 4 de diciembre de 2014.

JoséMMM

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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Soluciones:

1. a) (1 punto) Calcula, agrupando:

( )

3 2

4· 3 · 3 1 · 2

2 2 4

x x

x x

     

− + − − +

     

     

b) (0,7 puntos) Halla el cociente y el resto de la división:

(

2x4+3x21 :

) (

x3

)

.

c) (0,5 puntos) Factoriza el polinomio P x( )=2x3−28x2+98x Solución:

(

2

)

4 1 3 3 3 2

4 2

2

 +

 

 −

−

 

 +



 

xx x x

= 1 1

(

2

)

4 2 3 4

3 3

4 2 2

2 2

2

+

+

 −

 

− 

 −

 

x x x x

=

= 1 ( 2)

2 3 16 9 9

4 4 2

2

+

⋅

 

 − +

−



x x x

x = 

 

 + − − + +

− 3 2

2 3 8 9 16

36 9 3 2 2

2 x x x x x

x =

= 3 2

2 3 8 9 16

36 9 3 2 2

2− − xx + x + xx

x = 2 38

8 11 16

9 3 2

− + +

x x x .

b) Como −2x4+3x2− = −1 2x4+0x3+3x2+0x−1, se forma el esquema:

– 2 0 3 0 – 1

3 – 6 – 18 – 45 – 135 – 2 – 6 – 15 – 45 – 136

El cociente es un polinomio de grado tres, con coeficientes – 2, – 6, – 15 y – 45. El resto vale – 136.

Luego: C x( )= −2x3−6x2−15x−45. Resto: –136 c) Sacando factor común 2x, se obtiene:

3 2

( ) 2 28 98

P x = xx + x = 2x x

(

214x+49

)

Se observa que x214x+49=

(

x7

)

2.

En definitiva, P x( )=2x3−28x2+98x = 2x x −

(

7

)

2.

2. a) Expresa en notación de intervalos (y represéntalos gráficamente) los siguientes conjuntos de números reales:

a1) x − ≤1 3 (0,3 puntos) a2) x ≥2 (0,3 puntos) b) Halla el valor de 2 20 80 2 125

3 45

+ +

. (0,8 puntos) Solución:

a1) x − ≤1 3 ⇔ − ≤3 x− ≤ ⇒ − ≤1 3 2 x4⇒ ∈ −x

[

2, 4

]

.

a2) x ≥2 ⇔ 2 2 x

x

 ≤ −

 ≥

 ⇒ x ∈ −∞ −

(

, 2

] [

2, + ∞ .

)

b) 2 20 80 2 125 3 45

+ +

= 2 4·5 16·5 2 25·5 2·2 5 4 5 2·5 5 18 5 2

3 9·5 3·3 5 9 5

+ + + +

= = = .

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3. Resuelve las ecuaciones:

a) 4 3 2 2

=

− − x x

x (0,7 puntos) b) x+6+3=2x (0,7 puntos) Solución:

a) 4 3 2 2

=

− − x x

x ⇒ 4 3 2 2

4 3 4 3 0 1; 3

x x x x x x x x

x

− = ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ = = .

b) x+6+3=2xx+6 =2x− ⇒3 x+6=4x2−12x+ ⇒9 4x2−13x+ =3 0 ⇒

⇒ 13 169 48 13 121 13 11 1 / 4

8 8 8 3

x ± − ± ± 

= = = =

 . La solución 1

x =4 no es válida.

4. Resuelve las inecuaciones:

a) 3

2

1≥ +

x

x (0,5 puntos) b) (x+3)(2x−5)<0 (0,7 puntos) Representa gráficamente los intervalos solución. (0,3 puntos)

Solución:

a) 3

2

1≥ +

x

xx− ≥1 2

(

x+3

)

⇒ − ≥x 1 2x+ ⇒ − − ≥6 1 6 2xx⇒ ≤ − . x 7

b) (x+3)(2x−5)<0 → las soluciones de (x+3)(2x−5)=0 son x = –3 y x = 5/2 Estudiando los signos de cada factor, se deduce:

Si x < −3 ambos factores son negativos ⇒ (x+3)(2x−5)> → No es solución. 0

Si 5

3 x 2

− < < : el primer factor es positivo; el segundo, negativo ⇒ (x+3)(2x−5)<0 → todos los puntos de ese intervalo son solución.

Si 5

x >2 ambos factores son positivos ⇒ (x+3)(2x−5)>0 → No es solución..

Por tanto, el conjunto de soluciones viene dado por los puntos del intervalo 5 3, 2

 

− 

 .

5. (1 punto) La edad de un padre es el triple de la de su hija más 2 años y hace 5 años la cuadriplicaba.

¿Qué edades tienen padre e hija?

Solución:

3x− =3 4

(

x5

)

3x− =3 4x2017=x La hija tiene 17 años; el padre, 53.

Tiempo Hoy Hace 5 años Padre 3x + 2 3x – 3

Hija x x – 3

(4)

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6. (1,5 punto) Sea el sistema 4 6

2 3

x y x ay

− = −



− + =

. Calcula los valores que debe tomar a para que el sistema sea:

a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado.

c) Resuélvelo cuando a = −1.

Solución:

4 6

2 3

x y x ay

− = −



− + =

 ⇒

( )

4 6

2 1 0

2 1

x y

a y

E E

− = −



− =

+  ⇒

a) Si 1

a ≠2 el sistema es compatible determinado Su solución será: y = 0; 3 x = −2. b) Si 1

a =2 el sistema es compatible indeterminado. Su solución será:

3 1 2 4

x t

y t

 = +



 =

. (No se pide dar la solución en ninguno de los dos casos).

c) Si a = –1, el sistema queda: 4 6 4 6 3

; 0

2 3 2 1 2 3 2

x y x y

x y

x y E E x

− = − − = −

 

⇔ ⇒ = − =

 

− − = − = −

  .

7. (2 puntos) Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre.

Solución:

Sean x, y, z los kilogramos comprados de garbanzos, alubias y lentejas, respectivamente.

Debe cumplirse que:

x+y+z=45 → compra 45 kg 1, 30x+1, 20y+0,80z=43 → paga 43 €

( )

2

z= x+y Se obtiene el sistema:





=

− +

= + +

= + +

0 2

2

430 8

12 13

45

z y x

z y x

z y x





= +

= +

= + +

+

45 3 3

70 4 5

45

1 3

1 8 2

y x

y x

z y x

E E

E

E





=

= +

= + +

30 3

70 4 5

45

2 3 3

4 x

y x

z y x

E E

La solución es: x = 10, y = 5, z = 30

Alcalá de Henares, 4 de diciembre de 2014.

JoséMMM

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