1º Bachillerato CS
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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I
Recuperación. Temas 1 a 5
1. a) (1 punto) Calcula, agrupando:
( )
3 2
4· 3 · 3 1 · 2
2 2 4
x x
x x
− + − − +
b) (0,7 puntos) Halla el cociente y el resto de la división:
(
−2x4+3x2−1 :) (x−3)
.
c) (0,5 puntos) Factoriza el polinomio P x( )=2x3−28x2+98x
2. a) Expresa en notación de intervalos (y represéntalos gráficamente) los siguientes conjuntos de números reales:
a1) x − ≤1 3 (0,3 puntos) a2) x ≥2 (0,3 puntos) b) Halla el valor de 2 20 80 2 125
3 45
+ +
. (0,8 puntos)
3. Resuelve las ecuaciones:
a) 4 3 2 2
−
=
− − x x
x (0,7 puntos) b) x+6+3=2x (0,7 puntos)
4. Resuelve las inecuaciones:
a) 3
2
1≥ +
− x
x (0,5 puntos) b) (x+3)(2x−5)<0 (0,7 puntos) Representa gráficamente los intervalos solución. (0,3 puntos)
5. (1 punto) La edad de un padre es el triple de la de su hija más 2 años y hace 5 años la cuadriplicaba.
¿Qué edades tienen padre e hija?
6. (1,5 punto) Sea el sistema 4 6
2 3
x y x ay
− = −
− + =
. Calcula los valores que debe tomar a para que el sistema sea:
a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado.
c) Resuélvelo cuando a = −1.
7. (2 puntos) Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre.
Alcalá de Henares, 4 de diciembre de 2014.
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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I
Soluciones:
1. a) (1 punto) Calcula, agrupando:
( )
3 2
4· 3 · 3 1 · 2
2 2 4
x x
x x
− + − − +
b) (0,7 puntos) Halla el cociente y el resto de la división:
(
−2x4+3x2−1 :) (x−3)
.
c) (0,5 puntos) Factoriza el polinomio P x( )=2x3−28x2+98x Solución:
(
2)
4 1 3 3 3 2
4 2
2
+
−
−
+
x − x x x
= 1 1
(
2)
4 2 3 4
3 3
4 2 2
2 2
2
+
+
⋅
⋅
−
−
−
x x x x
=
= 1 ( 2)
2 3 16 9 9
4 4 2
2
+
⋅
− +
−
− x x x
x =
+ − − + +
−
− 3 2
2 3 8 9 16
36 9 3 2 2
2 x x x x x
x =
= 3 2
2 3 8 9 16
36 9 3 2 2
2− − x − x + x + x−x−
x = 2 38
8 11 16
9 3 2
− + +
− x x x .
b) Como −2x4+3x2− = −1 2x4+0x3+3x2+0x−1, se forma el esquema:
– 2 0 3 0 – 1
3 – 6 – 18 – 45 – 135 – 2 – 6 – 15 – 45 – 136
El cociente es un polinomio de grado tres, con coeficientes – 2, – 6, – 15 y – 45. El resto vale – 136.
Luego: C x( )= −2x3−6x2−15x−45. Resto: –136 c) Sacando factor común 2x, se obtiene:
3 2
( ) 2 28 98
P x = x − x + x = 2x x
(
2−14x+49)
Se observa que x2−14x+49=
(
x−7)
2.En definitiva, P x( )=2x3−28x2+98x = 2x x −
(
7)
2.2. a) Expresa en notación de intervalos (y represéntalos gráficamente) los siguientes conjuntos de números reales:
a1) x − ≤1 3 (0,3 puntos) a2) x ≥2 (0,3 puntos) b) Halla el valor de 2 20 80 2 125
3 45
+ +
. (0,8 puntos) Solución:
a1) x − ≤1 3 ⇔ − ≤3 x− ≤ ⇒ − ≤1 3 2 x≤4⇒ ∈ −x
[
2, 4]
.a2) x ≥2 ⇔ 2 2 x
x
≤ −
≥
⇒ x ∈ −∞ −
(
, 2] [
∪ 2, + ∞ .)
b) 2 20 80 2 125 3 45
+ +
= 2 4·5 16·5 2 25·5 2·2 5 4 5 2·5 5 18 5 2
3 9·5 3·3 5 9 5
+ + + +
= = = .
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3. Resuelve las ecuaciones:
a) 4 3 2 2
−
=
− − x x
x (0,7 puntos) b) x+6+3=2x (0,7 puntos) Solución:
a) 4 3 2 2
−
=
− − x x
x ⇒ 4 3 2 2
4 3 4 3 0 1; 3
x x x x x x x x
x
− = ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ = = .
b) x+6+3=2x ⇒ x+6 =2x− ⇒3 x+6=4x2−12x+ ⇒9 4x2−13x+ =3 0 ⇒
⇒ 13 169 48 13 121 13 11 1 / 4
8 8 8 3
x ± − ± ±
= = = =
. La solución 1
x =4 no es válida.
4. Resuelve las inecuaciones:
a) 3
2
1≥ +
− x
x (0,5 puntos) b) (x+3)(2x−5)<0 (0,7 puntos) Representa gráficamente los intervalos solución. (0,3 puntos)
Solución:
a) 3
2
1≥ +
− x
x ⇒ x− ≥1 2
(
x+3)
⇒ − ≥x 1 2x+ ⇒ − − ≥6 1 6 2x−x⇒ ≤ − . x 7b) (x+3)(2x−5)<0 → las soluciones de (x+3)(2x−5)=0 son x = –3 y x = 5/2 Estudiando los signos de cada factor, se deduce:
• Si x < −3 ambos factores son negativos ⇒ (x+3)(2x−5)> → No es solución. 0
• Si 5
3 x 2
− < < : el primer factor es positivo; el segundo, negativo ⇒ (x+3)(2x−5)<0 → todos los puntos de ese intervalo son solución.
• Si 5
x >2 ambos factores son positivos ⇒ (x+3)(2x−5)>0 → No es solución..
Por tanto, el conjunto de soluciones viene dado por los puntos del intervalo 5 3, 2
−
.
5. (1 punto) La edad de un padre es el triple de la de su hija más 2 años y hace 5 años la cuadriplicaba.
¿Qué edades tienen padre e hija?
Solución:
⇒ 3x− =3 4
(
x−5)
⇒3x− =3 4x−20⇒17=x La hija tiene 17 años; el padre, 53.Tiempo Hoy Hace 5 años Padre 3x + 2 3x – 3
Hija x x – 3
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6. (1,5 punto) Sea el sistema 4 6
2 3
x y x ay
− = −
− + =
. Calcula los valores que debe tomar a para que el sistema sea:
a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado.
c) Resuélvelo cuando a = −1.
Solución:
4 6
2 3
x y x ay
− = −
− + =
⇒
( )
4 6
2 1 0
2 1
x y
a y
E E
− = −
− =
+ ⇒
a) Si 1
a ≠2 el sistema es compatible determinado Su solución será: y = 0; 3 x = −2. b) Si 1
a =2 el sistema es compatible indeterminado. Su solución será:
3 1 2 4
x t
y t
= +
=
. (No se pide dar la solución en ninguno de los dos casos).
c) Si a = –1, el sistema queda: 4 6 4 6 3
; 0
2 3 2 1 2 3 2
x y x y
x y
x y E E x
− = − − = −
⇔ ⇒ = − =
− − = − = −
.
7. (2 puntos) Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre.
Solución:
Sean x, y, z los kilogramos comprados de garbanzos, alubias y lentejas, respectivamente.
Debe cumplirse que:
x+y+z=45 → compra 45 kg 1, 30x+1, 20y+0,80z=43 → paga 43 €
( )
2
z= x+y Se obtiene el sistema:
=
− +
= + +
= + +
0 2
2
430 8
12 13
45
z y x
z y x
z y x
= +
= +
= + +
+
−
⇔
45 3 3
70 4 5
45
1 3
1 8 2
y x
y x
z y x
E E
E
E
−
=
−
= +
= + +
−
⇔
30 3
70 4 5
45
2 3 3
4 x
y x
z y x
E E
La solución es: x = 10, y = 5, z = 30
Alcalá de Henares, 4 de diciembre de 2014.
JoséMMM
