SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

(1)

Página 22

La siguiente lista consta de todos los números escritos en la pizarra y algunos más:

0; 4; –11; 0,31; ; ; ; ; ;

; – ; ; ; 7,31;

)

π; –

Sitúalos, en tu cuaderno, sobre un cuadro como el de abajo. Ten en cuenta que un mismo número puede estar en más de uno de los conjuntos.

Página 23

1

Halla la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales y descompón en factores primos sus denominadores:

a) 6,388 b) 0,00875 a) 6,388 = = b) 0,00875 = = 7 800 875 100 000 1 597 250 6 388 1 000 5 9 √81 3 √–8 √3 –24 4 24 6 3 √5 7 4 3 4 √2 NATURALES(N) 0; 4; ; ENTEROS(Z) 0; 4; –11; ; ; ; RACIONALES(Q) 0; 4; –11; 0,31; ; ; ; ; ; ; 7,

)

31; – NO RACIONALES √2; 3√5; –√3; π 5 9 √81 3 √–8 –24 4 24 6 7 4 3 4 √81 3 √–8 –24 4 24 6 √81 24 6 NATURALES(N) ENTEROS(Z) RACIONALES(Q) NO RACIONALES

(2)

2

Explica por qué las siguientes fracciones son equivalentes a números decimales exactos:

a) b) c) d)

a) Es exacto por ser el denominador una potencia de 10. b) Descomponemos en factores primos el denominador:

1 250 = 54· 2

Basta multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por 23_para

obtener:

= → decimal exacto por ser el denominador una po-tencia de 10.

c) Comenzamos por simplificar la fracción: =

Multiplicando el numerador y el denominador por 2, obtendremos 102como denominador y, por tanto, un decimal exacto.

d) Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador: =

Observamos que la descomposición factorial coincide con la del apartado c) que ya sabemos que corresponde a un número decimal exacto.

3

Halla la fracción generatriz de:

a) 0,051 b) 1,23) 456 c) 7,45) )6 a) Llamamos N= 0,051:

)

→ N= = b) Llamamos N= 1,23456:

)

99 900N= 123 333 N= = c) Llamamos N= 7,456:

)

900N= 6 711 → N= = 2 237 300 6 711 900    1 000N= 7 456,66… 100N= 745,66… 41 111 33 300 123 333 99 900    100 000N= 123 456,456456… 100N= 123,456456… 17 330 51 990 1 000N– 10N = 51 990N = 51    1 000N= 51,5151… 10N= 0,5151… 2 · 32· 5 · 7 · 91 22· 3 · 53· 7 57 330 10 500 3 · 91 2 · 52 2 · 32· 5 · 7 · 91 22_{· 3 · 5}3_{· 7} 3 147 · 8 104 3 147 · 23 54_{· 2}4 57 330 10 500 2 · 32_{· 5 · 7 · 91} 22 _{· 3 · 5}3 _{· 7} 3 147 1 250 3 741 100 000

(3)

4

Explica por qué las siguientes fracciones son equivalentes a números decimales periódicos:

a) b) c)

a) Es un número decimal periódico porque el denominador no tiene como factores ni el 2 ni el 5.

b) y c) En el denominador, además de los factores 2 ó 5, hay otros. Luego, ambos son números decimales periódicos.

Página 24

1

Expresa con un número razonable de cifras significativas las siguientes cantidades:

• Visitantes anuales a una exposición de pintura: 1 345 589 personas. • Asistentes a una manifestación ecológica: 125 341 personas.

• Bacterias existentes en 1 dm3de cierto preparado: 203 305 123 bacterias. • Número de gotas de agua que hay en una piscina: 8 249 327 741 gotas. • Número de granos en un saco de arena: 2 937 248 granos.

• Visitantes anuales a cierta exposición: 1 345 589 personas. 1 350 000

• Asistentes a una manifestación ecológica: 125 341 personas. 125 000

• Bacterias en 1 dm3de cierto preparado: 203 305 123 bacterias. 203 millones

• Número de gotas de agua que hay en una piscina: 8 249 327 741 gotas. 8 250 millones

• Número de granos en un saco de arena de 50 kg: 2 937 248 granos. 3 millones

Página 25

2

Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las cantidades que has expresado en el ejercicio de la página anterior.

22· 3 · 5 · 11 2 · 3 · 52 · 19 37 2 · 5 · 7 3 7

(4)

Página 26

1

Calcula: a) (7,823 · 10–5) · (1,84 · 1013) b) 2,35 · 108_{+ 1,43 · 10}7 a) (7,823 · 10–5_{) · (1,84 · 10}13_{) = (7,823 · 1,84) · 10}–5 + 13₌ = 14,39432 · 108= 1,439432 · 109 b) 2,35 · 108+ 1,43 · 107= 23,5 · 107+ 1,43 · 107= = (23,5 + 1,43) · 107= 24,93 · 107= 2,493 · 108 Página 29

1

Escribe en cada caso un número racional y otro irracional comprendidos entre

M y N:

a) M= ; N= b) M= 0,438; N= 0,439 c) M= 0,31; ) N= 0,32) ¿Podrías encontrar siempre un racional y un irracional que estén comprendidos entre dos números cualesquiera? Razona tu respuesta.

Entre dos números cualesquiera hay infinitos “huecos” ocupados por números racionales o irracionales. Luego, siempre es posible encontrar un racional y un irracional entre dos números dados.

1 3 1

2

COTA DE ERROR ABSOLUTO COTA DE ERROR RELATIVO

5 000 1 350 000 0,004 500 125 000 0,004 500 000 203 MILLONES 0,002 5 000 000 8 250 MILLONES 0,006 500 000 3 MILLONES 0,17 RACIONAL IRRACIONAL 5 12 M= ; N= 1 3 1 2 M= 0,438; N= 0,439 M= 0,

)

31; N= 0,

)

32 √0,15 0,4385 √0,192 0,

)

315 √0,0992

(5)

2

Representa en la recta numérica los siguientes números: –

Página 30

1

Representa en la recta real los números: a) –2; 3,75; ; 0,666… de forma exacta. b) Φ= 1,618… de forma aproximada.

a) Expresamos en forma de fracción los números decimales: 3,75 = = 0,666 = =

b)

Página 32 Cálculo mental

1. Di el valor de k en cada caso:

a) = 2 b) = –3 c) = d) = 2 a) k= 8 b) k= 5 c) k= d) 16 k= 10 81 k √1 024 2 3 4 √k k √–243 3 √k 2 3 6 9 15 4 375 100 √5 √10 3 √10 3 √10 1 2 3 1 –3 –2 –1 0 √10 √10 –√10 — 3 √10 — ₃ √10 — 3 — = 2 0,6 3 — = 3,75 15 4 –2 –1 0 1 2 3 4 √—5 ) 1 2 1,6 1,7 1,61 _1,618 1,6 1,7 1,62

(6)

2. Calcula las raíces siguientes:

a) b) c) d) e) f) a) –2 b) 2 c) –2 d) 0 e) 3 f ) 5

1

Expresa en forma exponencial:

a) b)

(

)

5 _c) d) e) f) a) x1/5 _{b) =}_x10/3 _c)_a2/5 d) = a7/2 _{e) =}_x1/6 _{f ) =}_ak/(m· n)

2

Calcula: a) 41/2 b) 1251/3 c) 6251/4 d) 82/3 e) 645/6 a) 41/2= (22)1/2= 2 b) 1251/3_{= (5}3₎1/3_{= 5} c) 6251/4= (54)1/4= 5 d) 82/3_{= (2}3₎2/3_{= 2}2_{= 4} e) 645/6= (26)5/6= 25= 32

3

Expresa en forma radical:

a) x7/9 _{b) (}_m5_·_n5₎1/3 _c)_a1/2_·_b1/3 _{d) [(}_x2₎1/3_]1/5

a) b)

(

)

5 c) · d) =

Página 33

4

Utilizando la tecla , calcula:

; ; ; ; ; → 1 025 32,0156… → 48 2,6321… → 3 024 2,7231… → 0,03 0,1732… → 0,03 0,4161… → 0,03 0,6451… 8 √0,03 4 √0,03 √0,03 8 √3 024 4 √48 √1 025 8 √0,03 4 √0,03 √0,03 8 √3 024 4 √48 √1 025 15 √x2 5 √3 √–x2 3 √b √a 3 √m· n 9 √x7 n· m √ak 6 √x √a7 3 √x10 n √m √a–k 3 √√–x

√

a13 a6 15 √a6 3 √x2 5 √x 3 √125 4 √81 8 √0 5 √–32 5 √32 3 √–8

(7)

5

Utilizando la tecla , halla: 74; 2100; 1,4120 74 → 7 4 2 401

2100 → 2 100 1,2676506 · 1030 1,4120 → 1,41 20 964,6777308

6

Utilizando la tecla , halla: ; ;

→ 7 2 2,645751311

→ 7 3 1,912931183

→ 7 3 5 3,21409585

7

Utilizando la tecla o bien , halla: ; ; ; → 5 2 2,236067977 → 11 3 2,223980091 → 128 7 2 → 5 500 5 5,598511026 Página 35

1

Simplifica: a) b) c) d) e) f) a) b) c) y2 d) = e) = = f ) = =

2

¿Cuál de los dos es mayor en cada caso?:

a) y b) y

a) Reducimos a índice común:

⇒ > b) Reduciendo a índice común:

⇒ 3√51 > 9√132 650    3 √—51 = 9√—513= 9√—132 651 9 √—132 650 3 √13 4 √31    4 √—31 = 12√—313= 12√—29 791 3 √—13 = 12√—134= 12√—28 561 9 √132 650 3 √51 3 √13 4 √31 √3 8 √34 8 √81 3 √4 3 √22 9 √26 √2 6 √23 3 √x2 4 √x3 8 √81 9 √64 6 √8 5 √y10 12 √x8 12 √x9 5 √5 500 7 √128 3 √11 √5 5 √5 500 7 √128 3 √11 √5 x 5 √73 3 √7 √7 5 √73 3 √7 √7

(8)

3

Reduce:

a) b) c)

a) = = b) = =

c) =

4

Saca del radical todos los factores que sea posible:

a) b) c) a) = = 2x = 2x b) = 3ab c) = 2

5

Simplifica: a) b) c) d) ( )6 _{e) (} ₎3₍ ₎ _f)

(

√

—_√—

)

8 a) = 6 = 6 = = b) = 10 = 10 = c) = 4 = 4 = 4 d)

(

)

6= = a4 e)

(

)

3· = · = = x f )

(

√

—√—

)

8=

(

)

8= 2

6

Efectúa: a) + – – b) – a) + – – = + – – = = 3 + 5 – – 2 = 5 b) _√₅₀_a – = _√₁₈_a _√₅2 _{· 2}_a – = √32 _{· 2}_a 5√2a – 3√2a = 2√2a √2 √2 √2 √2 √2 √23 √2 √52· 2 √32· 2 √8 √2 √50 √18 √18a √50a √8 √2 √50 √18 8 √2 √2 6 √x5 6 √x11 6 √x2 6 √x9 3 √x √x 3 √a12 3 √a2

√

a b · c 1 c

√

a bc5

√

a3_b5_c a2b6c6 4 √a3b5c √ab3_c3 10 √23

√

28 25

√

(24)2 25 5 √16 √2 3 √32 6 √34

√

36 32

√

93 32 √9 3 √3 √2 3 √x √x 3 √a2 4 √a3b5c √ab3_c3 5 √16 √2 √9 3 √3 5 √2 5 √64 3 √3b2c 3 √81a3b5c 3 √4x 3 √22_x 3 √25_·_x4 3 √32x4 5 √64 3 √81a3_b5_c 3 √32x4 5 √a2b3 10 √a4b6 6 √35 6 √3 6 √34 6 √3 3 √9 15 √28 15 √23 15 √25 5 √2 3 √2 10 √a4_b6 6 √3 3 √9 5 √2 3 √2

(9)

7

Racionaliza los denominadores: a) b) c) d) e) f) a) = = = b) = = = c) = = = = 6 + 3 d) = = = = = 4( – ) e) = = f ) = = = = = = 3√3 √3 3 3√3 (√3)2 3√3 √3 · √–3 3 √3 6 2√3 6 √—3 + √—3 5 √33 3 5 √33 5 √32 · 5√—33 1 5 √32 √2 √3 4 (√3 – √–2) 3 – 2 4 (√3 – √–2) (√3)2_{– (}√–₃₎2 4 (√3 – √–2) (√3 + √–2)(√–3 – √–2) 4 √—3 + √—2 √3 3 (2 + √3) 4 – 3 3 (2 + √3) 22_–√₃2 3 (2 + √3) (2 – √3) (2 + √–3) 3 2 – √3 √35 7 √35 √72 √5 √–5 √7 √–7 √5 √7 √5 3√—22 2 √5 3√—22 3 √23 √5 3√—22 3 √2 3√—22 √5 3 √2 6 √–3 + √–3 1 5 √32 4 √–3 + √–2 3 2 – √–3 √5 √7 5 3 √2