Geometr´ıa II Segundo de Matem´aticas
Curso 2004-2005 Hoja 1 (Curvas)
1. Da parametrizaciones regulares que tracen los conjuntos del plano definidos por las ecuaciones siguientes. Dibuja esas trazas.
Elipse: x92 +y42 = 1 Hip´erbola:x2−9y2= 1 Curva de Lam´e:x4+y4= 1
C´ubica nodal:y2=x2(x+ 1) (Indicaci´on:Usa el par´ametrot=y/x) Ocho de Lissajous:y2= 4x2(1−x2) (Indicaci´on:Usat= arc senx)
2. Probar que sif yg son funciones diferenciables en el intervalo (0,1) y verifican que f(t)2+g(t)2= 1 para todot∈(0,1),
entonces existe una funci´onθdiferenciable tal que
f(t) = cos(θ(t)) y g(t) = sin(θ(t))
(Sugerencia: T´omese θ tal que θ = f g−gf y verif´ıquese que, con una constante de integraci´on adecuada, (f(t)−cos(θ(t)))2+ (g(t)−sin(θ(t))2= 0 para todot).
3. Sea la curva γ(t) = (aebtcos(t), aebtsin(t)), t ∈ R, donde a > 0 y b < 0. Pru´ebese que cuando t → ∞, γ(t) tiende a (0,0) describiendo una espiral (logar´ıtmica). Y tambi´en que γ(t) → (0,0) cuandot→ ∞. Verif´ıquese que la curva tiene longitud finita:
Tl´ım→∞
T
0 γ(u)du <+∞
4. Dibuja las siguientes curvas parametrizadas, calcula su par´ametro longitud de arco y halla su curvatura escalar en funci´on del par´ametro longitud de arco.
Catenaria:γ(t) = (t,cosht), t∈R.
Espiral logar´ıtmica: γ(t) = (aebtcos(t), aebtsen(t)), t∈R, donde aybson constantes ambas distintas de cero.
Par´abola semic´ubica, o cuspidal:γ(t) = (13t3,12t2), t∈R.
5. Consideramos las siguientes curvas:
α(t) = (senht,cosht, t), t∈R. β(t) = (t, 1
√2t2,1
3t3), t∈R. γ(t) = (cost,sent,cosht), t∈R
Parametriza todas por longitud de arco. Calcula la curvatura y la torsi´on de las tres, y paraα y γ ponlas en funci´on de la longitud de arco. Calcula el triedro de Frenet y el plano osculador deβ. 6. Da f´ormulas para la funci´on longitud de arco y la curvatura de una curva regular en coordenadas polares: r =r(θ), es decir, la curva esγ(θ) = (r(θ) cos(θ), r(θ) sen(θ)). Halla as´ı la curvatura de la espiral logar´ıtmica, que est´a dada por r=aebθ.
7. Calc´ulese la curvatura de una curva dada impl´ıcitamente porF(x, y) = 0.
8. Seaα :R−→R3 una curva birregular parametrizada por longitud de arco con torsi´on positiva.
Denotamos por{t(s), n(s), b(s)}su triedro de Frenet. Definimos la curva γ(s) =
s
0
b(u)du.
Calcula el triedro de Frenet, la curvatura y la torsi´on deγ.
Halla una curva parametrizada por la longitud de arco que tengak= s
1 +s2 y τ =
√2 1 +s2 con s >0 (Indicaci´on: puedes dejar la parametrizaci´on indicada como una integral).
9. Consid´erese la curvaγ(t) = (cost,sint, et). Calc´ulense su triedro de Frenet,κ(t) yτ(t). Est´udiese el comportamiento deκyτ cuandot→ ±∞.
10. H´allense todas las funcionesf(t) que hacen queγ(t) = (cost,sint, f(t)) sea una curva plana.
11. Sea T =µI (µ >0) una homotecia en R2, γuna curva regular yβ=T◦γ la composici´on de γ yT .Halla la relaci´on entre las curvaturas de γ yβ. ¿Qu´e ocurre siT es una transformaci´on af´ın cualquiera del plano?
12. Seaγ :I→R2 una curva regular yt0 ∈I tal que la funci´onγ(t)tiene un m´aximo relativo ent0. prueba que|k(t0)| ≥ γ(t10),dondekes la curvatura deγ.
13. Seaγ una curva y seav=γ su rapidez. Pru´ebese que la curvaturaκsatisface κ2v4=γ2−
dv
dt 2
.
14. Halla curvas planas con las siguientes curvaturas, dondeses la longitud de arco:
k=1
s, s >0, k= 1
√1−s2, −1< s <1,
k= 1
1 +s2, k= 2
1 +s2, k= 2s.
15. Halla una curva parametrizada por la longitud de arco cuyo vector binormal es b(s) = ( (3/5) sen(s),(3/5) cos(s),4/5 ).
16. Determina las curvas regulares del espacio cuyas rectas tangentes pasan por un punto fijo.
17. Determina las curvas regulares del espacio cuyos planos normales pasan por un punto fijo. En el caso de que sean birregulares ¿Qu´e ecuaciones satisfacen la curvatura y la torsi´on?
18. Determina las curvas birregulares del espacio cuyos planos osculadores pasan por un punto fijo.
19. Determina las curvas birregulares del espacio cuyas rectas normales pasan por un punto fijo.
20. Demu´estrese que la curvatura de una curvaγ en un punto P es igual a la curvatura enP de la proyecci´on de γ sobre el plano osculador enP.
21. ¿Qu´e curvas regularesγ satisfacen queγ=γ×a, dondea es un vector fijo?
22. Demu´estrese que si una curva tiene toda su traza contenida en una bola de radioR, entonces en alg´un punto su curvatura es 1/R.
23. Seaγuna curva plana y seaT su recta tangente en un puntoP. SeaLuna l´ınea perpendicular a T en un puntoQdeTa distanciaddeP. Seahla distancia enLdesdeQa la curvaγ. Demu´estrese que
κ(P) = l´ım
Q→P
2h(Q) d(Q)2 .
Curvas especiales
24. H´elices generalizadas. Son las curvas espaciales que resultan de tomar una curva plana y levantarla por un m´ultiplo del arco. Concretamente, sea{e1,e2,e3} una base ortonormal de R3 yp un punto fijado; en el plano af´ınp+Re1+Re2 tomamos una curva α(t) =p+x0(t)e1+y0(t)e2 y hacemos
(x, y, z) =p+x0(t)e1+y0(t)e2+a s(t)e3,
siendos(t) el par´ametro longitud de arco deα(t) y auna constante. La rectaRe3es eleje de h´elice y el n´umeroaes elpaso (“de rosca”) de la misma.
Para una curva regularγ, demuestra que son equivalentes:
(i) γes una h´elice generalizada.
(ii) Las tangentes aγforman un ´angulo constante con una direcci´on fija.
(iii) Existen constantes c1, c2, c3 tales que c1x(t) +c2y(t) +c3z(t) es una funci´on longitud de arco paraγ.
Determina a partir de (c1, c2, c3) el eje y el paso.
25. Demuestra que una curva birregular es una h´elice generalizada si y s´olo si la funci´on τ(s) k(s) es constante. Relaciona dicha constante con el paso.
26. Dada una funci´onq(t)>0 y dos constantesa, b, construimos la curva (x, y, z) =
a
t
0
sen (q(u))du , a t
0
cos (q(u))du , b t
.
Demuestra que es una h´elice generalizada.
Halla su curvatura y su torsi´on.
Halla una curva espacial parametrizada por longitud de arcos >0 que tengak= 1
s y τ= 4 s. Haz un dibujo de la misma.
27. Evolutas: Al lugar geom´etrico de los centros de curvatura de una curva plana se le llama su evoluta. Parametrizamos la evoluta deγ(t) por: β(t) = centro de curvatura deγ ent.
Halla la evoluta de la par´abola γ(t) = (t,12t2), t∈R, y dibuja juntas la curva y su evoluta.
Dada la cicloideγ(t) = 14·(t−sent , 1−cost), t∈R, comprueba que la evoluta deγ es una trasladada deγ. (La cicloide tambi´en es notable por serbraquistocronay tautocrona).
Dada una curva regular γ(t), con curvatura k(t), demuestra que ρ(t) = 1
k(t) es una funci´on longitud de arco para la evoluta deγ.
Si la evolutaβes regular, prueba que para cadat∈Ila recta tangente aβenβ(t) coincide con la recta normal aγ enγ(t). Da condiciones enγ para queβsea una curva regular.
28. Involutas:las involutas de una curvaβ son las curvas que tienen aβpor evoluta.
Demuestra que sis(t) es un par´ametro longitud de arco de β y sic es una constante entonces γ(t) =β(t)−(s(t) +c)tβ(t) es una involuta deβ.
Halla una involuta de la circunferencia:β(t) = (cost,sent), t∈R, y dib´ujala.
29. Tractriz:es la curva que describe un esquiador acu´atico cuando la lancha remolcadora sigue una l´ınea recta, y la fricci´on del agua es tan importante que en vez de la ley de Newton (fuerza = masa·aceleraci´on) se cumple la “ley”de Arist´oteles (fuerza = contante·velocidad).
Supongamos que la lancha se mueve por el eje positivo Oy, que la cuerda de arrastre tiene longitud 1 y que el esquiador parte del punto (1,0). Sea γ(s) = (x(s), y(s)), conx(0) = 1, una curva parametrizada por longitud de arco cuya traza es la trayectoria del esquiador. Hallaγ(s).
(Nota:puedes dejary(s) expresada como una integral).
Para 0< r < π se define η(r) = ( senr , cosr+ log tanr2 ) .
• Comprueba queη es regular excepto enr=π2.
• Dado el nuevo par´ametro r tal que: e−s(r) = senr, π2 < r < π, comprueba que η(r) = γ(s(r)). Dibujaη ( y, al mismo tiempo,γ).
30. Catenaria. Parametr´ıcense, por longitud de arco, las curvas dadas pory=acosh(x/a),a >0.
P
Seaa= 1. Verif´ıquese que si un puntoP est´a sobre la catenaria, entonces la longitud de la proyecci´on sobre la tangente a la curva en P del segmento vertical desdeP al ejeOX (v´ease el dibujo) es igual a la longitud de arco desde el punto (0,1) de la catenaria al punto P. Demu´estrese que esta propiedad caracteriza a la catenaria (con a= 1).
31. Curvas esf´ericas. Seaγ una curva regular parametrizada por longitud de arco y conτ= 0.
a) Siγ est´a contenida en la esfera de centropy radior, entonces γ=p−1
κn+
1
κ
1 τb, y, en particular,
()
1
κ 2
+
1
κ
1 τ
2
=r2
b) Rec´ıprocamente, pru´ebese que si () se satisface y κ = 0,entonces γ est´a contenida en una esfera.
