Nos hemos referido al significado de la manipulación y a las repercusio- nes de la acción directa sobre los objetos en el desarrollo del pensamiento matemático. Sin embargo, los objetos no son más que eso, objetos. ¿Cuándo decimos que un objeto se convierte en un recurso potente para desarrollar el pensamiento matemático? El educador matemático Anton Aubanell mantiene que un objeto pasa por una especie de ciclo vital en su contacto con el mundo escolar, como si se tratara de un ser vivo (Aubanell, 2006):
– Nace como recurso cuando un profesor descubre en él posibilidades didácticas.
– Crece inmerso en el ambiente de la clase, alimentándose de cosas tan reales e indefinidas como el interés, la implicación, el entusiasmo, la sor- presa, las ganas de descubrir... del alumnado y del profesor.
– Se reproduce en forma de ideas matemáticas, estrategias, imágenes mentales, etc.
– Muere cuando, habiendo dado su fruto didáctico, vuelve a ser un objeto. Este ciclo es extensivo a todos los ámbitos: un objeto se convierte en un recur- so no sólo por mediación de un profesor, sino por fenómenos como la curiosidad de cada uno. Todo el mundo aprende observando y experimentando con el entorno. Los profesores tienen un papel importante, pero no son los únicos que pueden desencadenar un ciclo de estas características. No toda la educación matemática pasa por la escuela. Por delante, está la capacidad de descubrimien- to de cada uno y de interiorización de conocimientos aprendidos en otros con-
textos. Algunas clasificaciones sobre materiales manipulables dejan entrever esta idea. La clasificación de Alsina, À. (2006) distingue dos tipos de materiales:
– Materiales inespecíficos: a pesar de no haber sido diseñados con finalidad didáctica, la escuela les otorga esta función. Ejemplos: conchas, calaba- zas, piñas, pinzas de la ropa, plantas aromáticas, piezas de madera, tro- zos de ropa, etc.
– Materiales diseñados didácticamente: han sido concebidos con finalidad didáctica, y pueden ser comercializados o bien diseñados por el profe- sor. Ejemplos: bloques lógicos de Dienes, tangrams, geoplanos, penta- minós, tetrabolos, etc.
Unos y otros sirven para descubrir de qué están hechos los objetos —madera, metal, vidrio, ropa, etc.—, sus cualidades sensoriales —colores, tex- turas, temperaturas, olores, sonidos, medidas, etc.—, las acciones que se pue- den hacer —agrupar, clasificar, ordenar, emparejar, seriar, apilar, etc.— y los cambios que se producen. Aubanell propone una clasificación más exhaustiva que resumimos en el Cuadro 2.1. La clasificación completa se puede consultar en Recursos, materiales y actividades experimentales en la educación matemática secundaria (Aubanell, 2006). Todo el material clasificado por Aubanell debe
MATERIALES
Cuadro 2.1. Clasificación de materiales desarrollada por Aubanell (2006)
Instrumentos útiles para una acción concreta
• De medida y patrones: regla graduada, cinta métrica, pie de rey, etc. • De cálculo: calculadora, ordenador,
ábaco, etc.
• De representación: compás, calcula- dora gráfica, escuadra, etc.
• De comunicación: retroproyector, pizarra (electrónica), pantalla, etc.
Modelos materiales de uso didáctico en matemáticas
• Respecto al material y su manejo: está- ticos —basados en la analogía entre forma y concepto matemático que se representa (figuras de madera)— y dinámicos —implican una acción que permite descubrir una propie- dad matemática (dominó suma- resultado).
• Respecto del origen: construidos por nosotros, comercializados o bien objetos cotidianos.
• Respecto de la gestión de aula: indivi- duales o en grupos reducidos y colectivos.
• Respecto de la eficiencia: no llega al objetivo, lo alcanza o lo sobrepasa. • Respecto de la intención: para descubrir,
motivar, simular, construir, demorar, mostrar, visualizar o aplicar.
entenderse como un complemento de la actividad matemática, no como un sustituto de otras representaciones también importantes. Una función de los materiales es ayudar a establecer conexiones con otros tipos de representacio- nes (algebraicas, geométricas, numéricas, etc.).
El abanico de materiales aptos para aprender matemáticas a partir de la acción directa es casi infinito. El lector interesado puede consultar la dirección web http://gamar.udg.edu, donde hay una amplia muestra de materiales manipulables. El Gabinete de Materiales para la Matemática en la Escuela, GAMAR, es un espacio de reflexión y práctica en torno a la enseñanza de las matemáticas de la Universidad de Girona. Sus objetivos son trabajar a favor de un aprendizaje de las matemáticas ligado a las vivencias, basado en la experimentación y el descubrimiento, y potenciador de las capacidades de intuición, razonamiento y creatividad.
A continuación exponemos actividades centradas en materiales. Aportamos una muestra pequeña de las posibilidades de cada material. Habrá que usar estos materiales teniendo en cuenta que su uso nunca debe prolongarse más de lo necesario, de acuerdo con lo que nos enseñó Puig Adam (1956), gran didacta y matemático. El material es un recurso muy válido para fundamentar el apren- dizaje matemático, pero la verdadera actividad matemática es mental. De acuer- do con esto, hemos seleccionado materiales con un fuerte carácter exploratorio, especialmente adecuados como marco para la resolución de problemas, la dis- cusión, la comunicación y la reflexión. Comentamos los materiales porque su mera descripción no los hacen útiles, ni su mera manipulación hace «fáciles» las matemáticas. Hay que aprender a usarlos y explorarlos.