k ¿Qué figuras se obtienen si proyectamos los siguientes cuerpos geomé-
tricos en una pantalla? ¿Y si los seccionamos?
2La idea de la actividad fue introducida por los profesores Miquel Mallén y Pere Díaz, del
grupo GAMAR.
Después de haber pensado más de un minuto...
Todo cuerpo geométrico tiene tres dimensiones (longitud, anchura y altu- ra). Se pueden construir con plastilina, con barro... y algunos de ellos (los que tienen formas más conocidas) se pueden adquirir en comercios especializados. Con todo, está la opción de utilizar cajas de múltiples formas con las que se comercializan muchos alimentos (galletas, bombones, chocolate, etc.). Uno de los problemas de la educación en el ámbito escolar y, en particular, de la edu- cación matemática es la desconexión entre el aula y la vida cotidiana. La edu- cación matemática a menudo se olvida de ayudar a entender y resolver los problemas de la vida real. En cuanto al uso de materiales, se tiende a introdu- cir materiales estructurados, generalmente clásicos como la colección de polie- dros regulares. Hay que conocer los poliedros regulares, pero sería bueno introducir la manipulación de cuerpos geométricos habituales en la vida de los aprendices, como los representados en la Figura 2.6.
La selección anterior del ábaco, de las regletas y del tangram es una elec- ción clásica. No podemos despreciar el gran valor educativo de estos materia- les. La información que se adquiere y los procesos de pensamiento que se desa- rrollan por medio de la acción sobre materiales concretos son de gran importancia independientemente del tipo de materiales. No obstante, el des- cubrimiento de las matemáticas a partir de la manipulación de objetos familia- res ha de repercutir en una mayor motivación e implicación de quien aprende. Dicen algunos educadores que el descubrimiento de matemáticas en objetos próximos queda registrado de manera más permanente en la memoria y de forma más gratificante. En cualquier caso, se debe considerar la necesidad de combinar el uso de materiales clásicos con otros objetos al alcance en el día a día. Por el hecho de haber tenido en cuenta la presencia de la vida cotidiana en los otros capítulos de este libro, nos hemos permitido la licencia de no equili- brar la ejemplificación de materiales estructurados y no estructurados.
Dicho esto, volvemos a la actividad planteada. Con la ayuda de un foco luminoso (proyector o linterna) se pueden manipular libremente los cuerpos escogidos y observar las sombras en la pantalla o en un papel blanco. Se pue- den hacer sombras de un mismo cuerpo a distancias diferentes y se pueden reseguir. Saliendo a la calle, en un día soleado, se pueden recorrer sobre un papel las sombras surgidas de haber proyectado los cuerpos. Se observa un fenómeno matemático que tiene una explicación física: la distancia no afecta a la forma de las proyecciones, contrariamente a lo que pasaba con las sombras producto de la iluminación artificial. Otra actividad interesante es investigar por qué pasa eso.
La tabla de la Figura 2.7 recoge proyecciones de los principales cuerpos regulares. Se puede usar la ayuda de esta tabla a fin de estudiar las proyec- ciones de los distintos envases. Se podría hacer una tabla similar con los pro- ductos escogidos, utilizando los tres ejes básicos sobre cada cuerpo, el hori-
zontal, el vertical y el inclinado en 45º. Así, se pueden sacar conclusiones res- pecto de las figuras planas que surgen —cuadrado, rectángulo, triángulo, cir- cunferencia, elipse, etc.— en función del cuerpo proyectado.
De la observación de las diferentes sombras salen al menos dos conclu - siones:
a) Se pueden hacer familias de cuerpos clasificándolos según las sombras producidas.
b) De ninguna figura, observando las tres proyecciones, salen sombras iguales.
Si en lugar de proyectar, se secciona, no se puede usar cualquier cuerpo. Hay que usar cuerpos previamente construidos con barro o plastilina, por ejemplo. Para seccionarlos se puede usar hilo de pescar o un cuchillo. Así se observan las figuras planas que se pueden obtener dependiendo de la orien- tación del plano secante.
– Las secciones de un cubo. Si el plano secante es paralelo en una cara, queda cortado en dos paralelepípedos rectángulos y las secciones son cuadra- das. Si el plano es perpendicular a una diagonal del cubo y se desplaza el plano de corte paralelamente a él mismo hacia el vértice más cercano, se obtienen triángulos equiláteros cada vez más pequeños. Si se despla-
Proyecciones/ Cuerpos Horizontal Vertical Inclinada CUADRADO A PRISMA B PIRÁMIDE C CILINDRO D CONO E ESFERA F Familia A BD CE F ABC DEF ABD CE F E S T U D I O D E L A S S O M B R A S
za el plano paralelamente a él mismo, pero en sentido opuesto, se obtie- ne un hexágono regular.
– Las secciones de un cilindro. Si el plano que corta es perpendicular al eje del cilindro, la sección es un círculo. Si el plano secante no es paralelo al eje se obtiene una elipse. Si el plano secante es paralelo a la altura, se obtiene un rectángulo.
– Las secciones de un prisma. Si el plano secante es vertical, se obtienen sec- ciones rectangulares. Si el plano secante corta todas las aristas verticales, se obtienen secciones poligonales que dependen del polígono del que sea la base.
– Las secciones de una pirámide. Si el plano secante es perpendicular en el eje, se obtiene un polígono parecido al de la base. Si el plano secante pasa por el eje de la pirámide, se obtiene un triángulo. Si el plano secan- te es cualquier otro, se obtiene un triángulo en la pirámide triangular y un trapecio en la cuadrangular.
– Las secciones de un cono. Si el plano secante es perpendicular al eje del cono, se obtiene una circunferencia. Si el plano secante es paralelo al eje del cono, se obtiene un triángulo. Si los planos secantes son de otro tipo, se obtiene una elipse, una parábola o una hipérbole.
– Las secciones de una esfera. Cualquier plano secante da una circunferencia. A partir del estudio de las secciones, se pueden sacar diversas conclu- siones. La tabla de la Figura 2.8. puede ayudar. De esta tabla se desprende, por ejemplo, que se pueden hacer familias de cuerpos clasificándolos en función de las secciones obtenidas; de ninguna figura, observando los tres
Secciones/ Cuerpos Horizontal Vertical Inclinada CUBO A PRISMA B PIRÁMIDE C CILINDRO D CONO E ESFERA F Familia ABC DEF A B CE DF AB C DE F E S T U D I O D E L A S S E C C I O N E S
planos secantes, se obtienen secciones iguales (excepto en el caso de la esfera).
Las actividades manipulables propuestas sirven para imaginar cuerpos geométricos en ausencia del objeto real; para ejercitar la visión geométrica teniendo en cuenta las propiedades proyectivas (punto de vista, direccionali- dad...); para descubrir propiedades de los cuerpos tridimensionales a partir de la realización práctica de transformaciones, captando aquello que se mantiene y aquello que cambia; o bien para descubrir y comparar cuerpos tridimensio- nales a partir de sus sombras y proyecciones, estableciendo diversas categorías. Las tablas de las Figuras 2.7. y 2.8. pertenecen a libros de texto contemporá - neos a la obra de Estalella. La adaptación de estas tablas ha dado lugar a otras tablas habituales en los libros actuales. Muchos adultos tuvieron que aprender estas tablas de forma memorística dentro de los temarios escolares de geome- tría espacial. Somos conscientes de la necesidad de vigorizar la facultad de la memoria, pero hay muchas otras maneras de afirmarla. Propuestas de trabajo con envases de productos alimentarios, salir a la calle en un día soleado y hacer sombras, ejercitan la comprensión por delante del uso exclusivo de la memoria. Por medio de la experimentación, podemos llegar a construir nues- tras propias tablas sin recurrir al sacrificio absurdo de memorizarlas.