k ¿Cómo podemos encontrar el resultado exacto de 316 x 74 con el soroban?
Figura 2.1. Imagen
de un ábaco japonés o soroban
Después de haber pensado más de un minuto...
Nuestro algoritmo de la multiplicación permite encontrar la solución de una manera relativamente rápida. También se puede obtener el resultado de la operación haciendo un cálculo mental. A excepción de las personas capaces de hacer cálculos de una manera extraordinariamente rápida, como Gauss o, más recientemente, Ramanujan, en general se puede dar un resultado aproxi- mado. Una forma de obtener el resultado exacto y de manera casi instantánea es ir a buscar una calculadora. Cualquiera de estos procedimientos, sin embar- go, no garantizan la comprensión de la noción de multiplicación. La mayoría de personas han aprendido a calcular a través de una técnica, de un algorit- mo, sin hacer énfasis en la comprensión.
Hay culturas que han desarrollado maneras alternativas de calcular, basa- das en una combinación de técnica y comprensión. Un ejemplo lo encontramos en las culturas chinas, japonesas y rusas, que han usado el ábaco desde tiem- pos inmemoriales, para calcular de manera eficiente. En estas culturas, cuando se alcanza un nivel sofisticado de manipulación de las piezas del ábaco, no necesariamente se están entendiendo bien los conceptos matemáticos implica- dos. Sin embargo, si somos nosotros quienes exploramos las posibilidades del ábaco e indagamos formas de operar a partir de él, ponemos en marcha formas de comprensión mucho más completas porque construimos en base al pensa- miento inductivo, que en general es más productivo que el deductivo.
El ábaco es un material manipulable adecuado para la comprensión de la numeración en base diez y para el cálculo. Consiste en un tablero con alam- bres paralelos por donde se desplazan unas bolas agujereadas. Cada columna representa una posición decimal (unidades, decenas, centenas...) y, por lo tanto, diez bolas de una posición equivalen a una bola de la siguiente. Hay muchos modelos. El ábaco chino o suan pan se usa en China desde el siglo VIII. En cada columna hay cinco bolas que representan la unidad y dos bolas que representan cinco unidades, separadas por una barra central.
El ábaco japonés o soroban aparece en Japón en el siglo XIV, probablemente importado de China. En comparación con los ábacos chinos, ha perdido dos bolas: una de las unidades y una de cinco unidades, como se puede ver en la Figura 2.1. El ábaco ruso o stchoty, utilizado en regiones iraníes bajo el nombre de choreb y en Armenia y Turquía bajo el nombre de coulba, está formado por columnas de diez bolas con valor de unidad. En el ábaco ruso hay dos bolas negras en el centro de cada columna con el fin de orientar al usua- rio. Las bolas siempre se desplazan de derecha a izquierda. Hay una columna con cuatro bolas que tiene dos funciones: indicar la coma y permitir calcular en Figura 2.2. Ábaco chino o suam pan
cuartos de rublos. Las otras dos columnas permi- ten calcular en kopeks (1 rublo = 100 kopeks).
Finalmente, hay el ábaco de uso didáctico, donde se usan bolas o anillas de colores. En cada vara se pueden poner nueve bolas como máxi- mo, ya que siguiendo las normas de funciona- miento de cualquier ábaco, diez bolas de una posición equivalen a una bola de la siguiente.
El ábaco japonés funciona a partir de descom- posiciones del tipo 7=10-3 o bien 8=10-5+3, a causa de la reducción de bolas. El valor de las bolas es posicional: cada bola inferior vale una unidad y la supe- rior cinco. Las bolas sólo tienen valor cuando se apoyan en la barra central. La vara A representa las unidades, la B las decenas, y así sucesivamente. Para representar el 8, por ejemplo, se acerca la bola de cinco unidades a la barra cen- tral con el dedo índice y las tres inferiores con dicho pulgar de la mano dere- cha, mientras con la izquierda sujetan el ábaco. Se combina la técnica con la comprensión, dado que en todo momento se visualiza, y se pueden llegar a hacer movimientos a una velocidad extraordinaria. En el ábaco siguiente, por ejemplo, hay representado el número 1231.
La manera más habitual de multiplicar en Japón consiste en anotar el mul- tiplicando en la parte izquierda del soroban. Se dejan varas de separación con el multiplicador, que se anota en la parte derecha del soroban (dejando a su derecha tantas varas a cero como cifras tiene el multiplicando más una).
Se hace 3 x 4 = 12, que se anota a la derecha de la vara donde hay repre- sentado el 4 (D y C):
Posteriormente se multiplican las cifras del multiplicando por la cifra de las unidades del multiplicador y se anotan los resultados.
1 x 4 = 04 (0 en C y 4 en B) 6 x 4 = 24 (2 en B y 4 en A)
Se borra la cifra de unidades del multiplicador y se repite el proceso con la cifra de las decenas, y así sucesivamente hasta completar la operación. Cuan- do se han multiplicado todas las cifras por 4, se saca el 4 del soroban y se repi- te el mismo proceso con el 7. Se obtiene el resultado de la multiplicación: 23384. Finalmente se leen el multiplicando y el producto, ya que el multipli- cador desaparece en el cálculo.
El ábaco es un material didáctico que se tiene que explicar. Es difícil llegar a conocer sus posibilidades de forma autónoma. Después de haber pensado más de un minuto, es muy probable que el lector que no estuviera previa- mente familiarizado con este material no haya adivinado cómo usarlo. En este sentido, el ábaco no es un material accesible a todo el mundo. El material por él mismo no plantea problemas que el aprendiz pueda trabajar por cuenta pro- pia. Como decíamos, en este caso es difícil descubrir la función del material y provocar una actividad espontánea en torno a su manipulación. Eso, sin embargo, no impide que se pueda presentar, como lo hemos hecho, a fin que se haga el esfuerzo de conocerlo lo más autónomamente posible.
El conocimiento del ábaco como instrumento de cálculo lleva a reflexionar sobre las relaciones entre la cultura matemática de las personas y la cultura dominante en la sociedad donde viven. En la China actual, por ejemplo, la adquisición de la cultura china dominante pasa por el conocimiento del ábaco. En nuestra sociedad, en cambio, la cultura matemática de las personas tiene otros signos de identidad. Sería extraño encontrar a alguien que vive hace años en España y que no sabe reconocer una balanza de un solo plato. En el trabajo con materiales, por lo tanto, se ha de ser consciente del carácter media- dor de la cultura en su uso. Incluso aquellos materiales supuestamente neu- tros, desde un punto de vista cultural tienen fuertes connotaciones culturales.
De los materiales Montessori, por ejemplo, se acostumbra a decir que son accesibles a todo el mundo y que toda persona puede deducir fácilmente la característica particular que conviene aislar en cada uno de ellos. El espíritu matemático de toda persona, tal como decía Montessori, tiene que hacer que se pueda trabajar con el material de manera autónoma y segura. No obstante, hoy día, en las escuelas que usan material sensorial Montessori, hay muchos alumnos con dificultades para encontrar el sentido, ya sea por su cultura de origen o por sus características individuales.
La famosa bolsa de agua caliente que Montessori diseñó con la intención de trabajar el sentido del calor puede acabar siendo un obstáculo en la implicación de algunos niños. Una maestra nos explicaba que un niño de su aula no había entendido por qué alguien podía querer tener una bolsa con agua caliente. La maestra había dejado materiales sensoriales en rincones del aula —bloques cilín- dricos para la vista, campanillas cromáticamente acordadas para el oído, cajas de efectos sonoros y bolsas de agua caliente con diferentes temperaturas—. Había pedido tocarlos y observarlos tanto como se quisiera. Previamente, había pedi- do que se pensara para qué podían servir todos aquellos materiales. El niño dijo de todos los materiales que servían para decorar, salvo las bolsas de agua que eran «demasiado feas y no servían para nada». Ni siquiera quiso tocarlas.