Operaciones combinadas con polinomios
Objetivos
1. Aplicar las leyes de potencias.
2. Aplicar las propiedades de la suma y el producto.
3. Aplicar los productos notables en las operaciones con polinomios. 4. Efectuar divisiones de polinomios.
Temas
1. De…niciones básicas: Operaciones suma, resta, multiplicación. 2. Productos notables.
3. División algebraica y división sintética. 4. Operaciones combinadas
Resumen de conceptos fundamentales
Leyes de Potencias Six; y 2R; a; b2Z entonces 1. x0 = 1; x 6 = 0 2. x1 =x 3. x a = 1 xa; x6= 0 4. xa xb =xa+b 5. x a xb =x a b 6. (x y)a =xa ya 7. (xa)b =xab 8. x y a = x a ya; y6= 0Leyes de Signos para Potencias Six2R; a2 N; entonces ( x)a = x a si a es par xa si a es impar Ejemplos ( 2)2 = 2 2 = 4 ( 2)3 = 2 2 2 = 8 22 = 2 2 = 4 23 = 2 2 2 = 8 Notemos que( 2)2 = 22 y ( 2)3 = 23 Fórmulas Notables Seanx; y 2R; 1. (x+y)2 =x2+ 2xy+y2 2. (x y)2 =x2 2xy+y2 3. (x+y)(x y) =x2 y2
4. (x+y)3 =x3+ 3x2y+ 3xy2+y3
5. (x y)3 =x3 3x2y+ 3xy2 y3 6. (x+y)(x2 xy+y2) =x3+y3
7. (x y)(x2+xy+y2) =x3 y3
Operaciones combinadas
Para simpli…car una operación combinada:
se efectúan las operaciones dentro de paréntesis, si los hay se aplican las fórmulas notables, si las hay
se efectúan las multiplicaciones o divisiones …nalmente, se efectúan sumas o restas
Ejemplo 1 Efectuar las operaciones y simpli…car la expresión algebraica
3(2a 3)2 2(2a 1)3
Solución
Se aplican las fórmulas notables
3(2a 3)2 2(2a 1)3 = 3 (4a2 12a+ 9) 2 (8a3 12a2+ 6a 1)
se efectuan las multiplicaciones
= 12a2+ 36a 27 16a3+ 24a2 12a+ 2
se efectuan las sumas o restas
= 16a3+ 12a2+ 24a 25
Ejemplo 2 Efectuar las operaciones y simpli…car la expresión algebraica
2 3m 1 2n 2 2 3m 1 2n + 8 27m 3 Solución 2 3m 1 2n 2 2 3m 1 2n + 8 27m 3 = 2 3m 1 2n 3 + 8 27m 3
= 8 27m 3 2 3m 2n+ 1 2mn 2 1 8n 3 + 8 27m 3 = 2 3m 2n 1 2mn 2+1 8n 3
Ejemplo 3 Efectuar las operaciones y simpli…car la expresión algebraica
9n (3n+1 3n)2 Solución 9n (3n+1 3n)2 = 9n (32n+2 2 32n+1+ 32n) = 9n (32n(9 2 3 + 1)) = 9n 4 9n = 3 9n = 32n+1
Ejemplo 4 Efectuar las operaciones y simpli…car la expresión algebraica
9 1 3b 2 1 2 3(b2+ 3) Solución 9 1 3b 2 1 2 3(b2+ 3) = 9 1 9b 4 2 3b 2+ 1 3b2 9 =b4 6b2+ 9 3b2 9 =b4 9b2
Ejemplo 5 Efectuar las operaciones y simpli…car la expresión algebraica 1 1 m m 2 1 m 1 m m Solución 1 1 m m 2 1 m 1 m m = 1 1 m2 2 +m 2 + 1 1 m2 = 4 m2 2 m2
Ejemplo 6 Efectuar las operaciones y simpli…car la expresión algebraica
1 a b b 2a 3 + b 3 8a3 Solución 1 a b b 2a 3 + b 3 8a3 = 1 3 4ab 3 2 a b 1 8a3b 3+ a 3 b3 + b3 8a3 = 3 2 a b 3 4ab+ 1 4a3b 3 a 3 b3 + 1
Ejemplo 7 Efectuar las operaciones y simpli…car la expresión algebraica
3a2(2a b) (2b 3a) (a b) (3a b)3 Solución 3a2(2a b) (2b 3a) (a b) (3a b)3 = 6a3+ 3a2b (2ab 2b2 3a2+ 3ab) (27a3 27a2b+ 9ab2 3b3) = 6a3+ 3a2b+ 2ab+ 2b2+ 3a2 3ab 27a3+ 27a2b 9ab2+ 3b3 = 33a3+ 30a2b 5ab+ 2b2+ 3a2 9ab2+b3
División de polinomios Algoritmo de la división
De…nición 1 Dados a; b 2 Z con b 6= 0 existen y son únicos q; r 2 Z tales que a=bq+r; 0< r < q:
El número a se llama dividendo, b divisor, q cociente y r residuo. La de…nición anterior se puede ampliar a división de polinomios.
De…nición 2 Dados los polinomiosD(x)yd(x), existen y son únicos los poli-nomiosc(x) y r(x) tales que D(x) =d(x) c(x) +r(x);
grador(x) <grado d(x) o bien r(x) igual al polinomio nulo.
La división de polinomios se hace con un proceso semejante a la división de números enteros:
a. Se ordenan el dividendo y divisor de grado mayor a menor
b. Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor, el resultado es el primer término del cociente
c. Se multiplica el monomio obtenido, por el polinomio divisor, se coloca el resultado bajo el dividendo
d. Con el polinomio que se obtiene en el paso anterior se repite el proceso b y c.
e. Se continúa hasta que se obtenga un polinomio de grado menor que el dividendo. Éste se llamará residuo.
Ejemplo 8 Efectuar la división
(2x3 2x2 1) (x2+ 2) Solución (2x3 2x2+0x 1) (x2+0x+ 2) 2x3 2x2 0x 1 x2+ 0x+ 2 (2x3 +0x2 +4x) 2x 2 2x2 4x (2x2 +0x 4) 4x + 3
División Sintética
Se aplica cuando el divisor es de la forma (x a); a2Q Ejemplo 9 Efectuar la división (x3+ 4x4 x 3) (x+ 2)
Solución
Se puede aplicar división sintética pues el divisor es de la forma x a;donde a= 2
El primer paso es ordenar y completar el polinimio dividendo de grado mayor a menor.
(x3+ 4x4 x 3) = 4x4+x3+ 0x2 x 3
Se trabaja sólo con los coe…cientes numéricos del dividendo 4x4+x3+ 0x2
x 3; los cuales son: 4 1 0 1 3
El divisor es (x+ 2) entonces el divisor que se usa en la división sintética es
2
4 1 0 -1 -3 -2
-8 14 -28 58 4 -7 14 -29 55
Los datos de la división sintética se interpretan: el cociente es 4x3 7x2 +
14x 29(un polinomio un grado menor que el dividendo) y el residuo es 55: Ejemplo 10 Efectuar la división
(8x3+ 8x2+ 22x 15) (2x 1)
Solución
En principio no se puede aplicar división sintética pues el divisor no es de la formax a:
Se puede ver que(2x 1) = 2 x 1
2 ;reescribiendo la división se tiene que (8x3+ 8x2+ 22x 15) (2x 1) = 8x
3+ 8x2+ 22x 15
2 x 1
2
se procede a realizar la división con divisor x 1
2 con división sintética
8 8 22 15 1
2
8 12 28 1
El cociente es 8x
2+ 12x+ 28
2 = 4x
2+ 6x+ 14. y el residuo es 1
Ejemplo 11 Efectúe las operaciones y determine el cociente de
(2x+ 1)3 (2x 4)2 1 (2x 1)
Solución
(2x+ 1)3 = 8x3+ 12x2+ 6x+ 1
(2x 4)2 = 4x2 16x+ 16
(2x+ 1)3 (2x 4)2 1 = 8x3+ 8x2+ 22x 16
Con división sintética
8 8 22 16 1=2 4 6 14 8 12 28 2 Cociente 8x 2+ 12x+ 28 2 = 4x 2+ 6x+ 14
Ejemplo 12 Efectúe las operaciones y determine el cociente de
(8y6 21x3y3 x6 24xy5) (3xy x2 y2): Solución x6 +0x5 +0x4 21x3y3 +0x2 24xy5 + 8y6 x2 + 3xy y2 x6 3x5y + x4y2 x4+x3y+ 8x2y2+ 42xy3+ 118y4 3x5y+ x4y2 3x5y 9x4y2 +3x3y3 8x4y2 18x3y3 8x4y2 24x3y3 +8x2y4 42x3y3 +8x2y4 42x3y3 26x2y4+ 42xy5 118x2y4 + 18xy5 118x2y4 354xy5+ 118y6 336xy5+ 126y6
Ejemplo 13 Efectuar las operaciones y simpli…car la expresión algebraica (2m3 7m2+ 7m 2) (2m 1) 2 m 1 3 8 3 2 Solución
Como (2m3 7m2+ 7m 2) (2m 1) = m2 3m+ 2 se tiene que
(2m3 7m2+ 7m 2) (2m 1) 2 m 1 3 8 3 2 = m2 3m+ 2 2 3m 2 3 8 3 2 = m2 3m+ 2 2 3m 2 3 8 3 2 = m2 11 3 m 2 =m4 22 3 m 3+ 121 9 m 2
