Integrales triples en

C

F

C

Integrales triples en coordenadas esféricas

Aplicaciones de la

integral triple

Logros esperados

 Representa gráfica y simbólicamente la región de integración de una integral triple en

coordenadas esféricas.

 Analiza el uso coherente y pertinente de

coordenadas esféricas en el cálculo de una integral triple.

 Calcula integrales dobles haciendo uso de un cambio adecuado de coordenadas.

 Resuelve ejercicios y problemas de aplicación a

diversas ciencias y en diversos contextos que

involucran algún cambio de coordenadas, y

mediante el uso del Jacobiano.

Integrales triples en otras coordenadas

Un relativamente nuevo tratamiento llamado

hypertermia es usado para el tratamiento de tumores. En este tratamiento es importante el volumen relativo del tumor

𝑉_𝑇0

𝑉 , donde 𝑉 es el volumen del tumor y 𝑉_𝑇0 es el volumen de la región limitada por una

superficie equitermal del tumor de temperatura 𝑇₀. ¿Cómo

calcularías el volumen de un tumor como el mostrado en la figura?

Coordenadas esféricas

En un sistema de coordenadas esféricas, un punto 𝑃 en el espacio se representa mediante la terna

ordenada (𝜌; 𝜃; 𝜙)

𝜙

𝜃 𝜌

𝒙

𝒚 𝒛

𝑷 𝝆; 𝜽; 𝝓

𝝆 : Distancia de 𝑃 al origen 𝜌 ≥ 0 𝜽 : Ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas 𝜃 ∈ 0; 2𝜋

𝝓 : Ángulo entre el eje 𝑍 positivo y el segmento 𝑂𝑃 𝜙 ∈ 0; 𝜋

La relación entre coordenadas esféricas y rectangulares es:

𝒙 = 𝝆𝐬𝐞𝐧 𝝓 𝐜𝐨𝐬 (𝜽) ; 𝒚 = 𝝆𝐬𝐞𝐧 𝝓 𝐬𝐞𝐧 (𝜽) ; 𝒛 = 𝝆 𝐜𝐨𝐬 𝝓

Coordenadas esféricas

Una relación muy usada es:

𝒙

+ 𝒚

+ 𝒛

= 𝝆

Las coordenadas esféricas son útiles para describir regiones que tienen simetría.

0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑐 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋

0 ≤ 𝜌

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝑐

Ejemplo

Coordenadas esféricas

1

Describa en coordenadas esféricas el sólido limitado por la superficie esférica de ecuación 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝑅²

Solución

Ejemplo

Coordenadas esféricas

2

Describa el coordenadas esféricas el sólido mostrado en la figura

Solución

Cambio a coordenadas esféricas

El siguiente teorema muestra el cambio de coordenadas cartesianas a esféricas para calcular integrales triples.

Sea 𝑓 continua en el sólido 𝐸 ⊂ ℝ

, entonces se cumple

𝑬

= 𝒇 𝝆𝐬𝐞𝐧𝝓𝐜𝐨𝐬𝜽; 𝝆𝐬𝐞𝐧𝝓𝐬𝐞𝐧𝜽; 𝝆𝐜𝐨𝐬𝝓 𝝆^𝟐𝐬𝐞𝐧𝝓 𝒅𝑽

𝑬

donde en la integral de la derecha el sólido 𝐸 debe

estar descrito en coordenadas esféricas.

Ejemplo

Cambio a coordenadas esféricas

1

Determine

𝑒^{(𝑥2+𝑦2+𝑧2)}

32𝑑𝑉

𝐵

donde 𝐵 = (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² ≤ 1

Solución

Ejemplo

Cambio a coordenadas esféricas

2

Si 𝐵 es el sólido limitado por las dos superficies 𝑥² + 𝑦² + 𝑧²

= 9 y 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 4, modele la siguiente integral 𝑧

(𝑥² + 𝑦² + 𝑧²)³² 𝑑𝑉

𝐵

como una integral triple iterada en coordenadas esféricas

Solución

Ejemplo

Cambio a coordenadas esféricas

3

Determine el valor de la integral 𝑧𝑑𝑉

𝐵

donde 𝐵 es el sólido limitado por las superficies 𝑦 = 𝑥 ; 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 1 y 𝑥 = 0 en el primer octante

Solución

Caso para que analice el estudiante: 1

Sea la integral

𝑥² + 𝑦² + 𝑧²𝑑𝑉

𝐸

donde 𝐸 es el sólido limitado por la superficie de ecuaciones:

𝑧 = 𝑥² + 𝑦² ; 𝑧 = 2

Use coordenadas esféricas y modele la integral anterior como una integral triple iterada,

Solución

PASO 1: Notamos que el sólido se obtiene por la rotación de una revolución completa (0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋) de la región 𝑅 mostrada en la figura.

𝒛

𝒛 = 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐 𝜃

𝒛 = 𝟐

𝑹

𝒚 𝒙

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 3: Tendremos que dividir la región 𝑅 en dos partes.

𝜌

Ecuación del plano 𝑧 = 2.

A coordenadas esféricas:

𝜌 cos(𝜙) = 2 → 𝜌 = 2 sec(𝜙) Las variaciones de 𝜌 y 𝜙 son:

0 ≤ 𝜌 ≤ 2 sec 𝜙 ; 0 ≤ 𝜙 ≤ arctan 2

2

𝜙 𝜌

Ecuación del paraboloide 𝑧 = 𝑥² + 𝑦² A coordenadas esféricas:

𝜌 cos(𝜙) = 𝜌² sen² 𝜙

→ 𝜌 = cot 𝜙 csc(𝜙) Las variaciones de 𝜌 y 𝜙 son:

0 ≤ 𝜌 ≤ cot 𝜙 csc 𝜙 ; arctan 2

2 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 2

𝜙

Caso para que analice el estudiante: 1

El sólido descrito en coordenadas esféricas está dado en dos partes:

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝜙 ≤ arctan 2

2 ; 0 ≤ 𝜌 ≤ 2 sec 𝜙 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ; arctan 2

2 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋

2; 0 ≤ 𝜌 ≤ cot 𝜙 csc 𝜙 PASO 4: Modelamos la integral triple

𝑥² + 𝑦² + 𝑧²𝑑𝑉

𝐸

= 𝝆^𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝝓 𝜌𝑑𝜌

2 sec 𝜙

0

𝑑𝜙

arctan 22

0

𝑑𝜃

2𝜋

0

+

𝝆^𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝝓 𝜌𝑑𝜌

cot 𝜙 csc 𝜙

0

𝑑𝜙

𝜋2

arctan 22

𝑑𝜃

2𝜋

0

Volumen de un sólido

Sabemos que el volumen de la región sólida acotada 𝐸 está dado por:

𝑉 𝐸 = 𝑑𝑉

𝐸

Sólido 𝐸

Ejemplo

Volumen de un sólido

1

Use la integral triple para calcular el volumen del tetraedro 𝑇 limitado por los planos 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2; 𝑥 = 2𝑦; 𝑥 = 0 y z = 0 .

Solución:

Ejemplo

Volumen de un sólido

2

Halle el volumen del sólido que se encuentra limitado

inferiormente por el cono 𝑧 = 𝑥² + 𝑦², y superiormente por la superficie esférica 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝑧.

Solución

Masa

Considere un sólido 𝐸 que tiene la forma dada por la

región 𝐷 de ℝ

y cuya densidad está dada por la función continua 𝜌(𝑥; 𝑦; 𝑧), entonces la masa 𝒎 del sólido está dada por

𝑚 = 𝜌 𝑥; 𝑦; 𝑧

𝐸 𝑑𝑉

𝒚 𝒙

𝒛

Sólido 𝐸

Ejemplo

Masa de un sólido

1

Determine la masa de un cubo de arista igual a 1, ubicado en el primer octante (con un vértice en el origen de

coordenadas) sabiendo que en cada punto 𝑥; 𝑦; 𝑧 su densidad es proporcional al cuadrado de su distancia al origen de coordenadas.

Solución

Ejemplo

Masa de un sólido

2

Sea 𝐵 el sólido acotado por las superficies 𝑧 = 0, 𝑧 = 6𝑦 y 𝑦 = 4 − 𝑥², cuya densidad viene dada por 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥². Calcule la masa de 𝐵.

Solución

Momento y centro de masa

Considere un sólido que tiene la forma dada por la región 𝐸 del plano y cuya densidad está dada por la función

continua 𝜌(𝑥; 𝑦; 𝑧), entonces los momentos de masa respecto a los planos cartesianos son:

𝑴_𝒙𝒚 = 𝒛𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝑩 𝒅𝑽

Momento respecto al plano 𝑌𝑍: 𝑴_𝒚𝒛 = 𝒙𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝑩

𝒅𝑽 Momento respecto al plano 𝑋𝑍: 𝑴_𝒙𝒛 = 𝒚𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝑩

𝒅𝑽 Momento respecto al plano 𝑋𝑌:

Momento y centro de masa

Luego, si 𝑚 es la masa del sólido, las coordenadas del

se calculan por la expresiones:

𝒙 = 𝑴

𝒎 = 𝒙𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝒅𝑽 𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝒅𝑽

𝒚 = 𝑴

𝒎 = 𝒚𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝒅𝑽 𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝒅𝑽

𝒛 = 𝑴

𝒎 = 𝒛𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝒅𝑽

𝝆 𝒙; 𝒚; 𝒛

𝒅𝑽

Ejemplo

Centro de masa

1

Determine el centro de masa del sólido 𝑆 acotado por el paraboloide 𝑧 = 4𝑥² + 4𝑦² y el plano 𝑧 = 16 si 𝑆 tiene densidad constante e igual a 𝑘 [Sugerencia: use

coordenadas cilíndricas]

Solución

Ejemplo

Centro de masa

2

Sea el sólido limitado por la superficie cónica de ecuación 𝑧 = 𝑕 1 − _𝑟^𝑟

0 (en coordenadas cilíndricas). Si la densidad del solido en cualquier punto 𝑃 es proporcional a la distancia

entre el punto 𝑃 y el eje del cono, modele la integral iterada que permita calcular las coordenadas del centro de masa del sólido.

Solución

Cambio de variable en integrales dobles

Considere una transformación (función) 𝑇: ℝ

→ ℝ

. Esta transformación “transforma” o convierte una región plana 𝐷

⊂ ℝ

en una región D = 𝑇 𝐷

⊂ ℝ

v

u

X Y

𝑻 𝑫^∗

𝑫

Esta transformación puede describirse por dos ecuaciones de la forma

𝑥 = 𝑔(𝑢; 𝑣) 𝑦 = 𝑕(𝑢; 𝑣)

Funciones reales de dos variables

Ejemplo

Transformación de coordenadas

1

Sea la transformación descrita por 𝑥 = 1

2 𝑣 − 𝑢 ; y = 1

2 𝑣 + 𝑢

Grafique la imagen de la región 𝑅 limitada por las curvas:

𝑢 = 𝑣; 𝑣 = 2

Solución

Ejemplo

Transformación de coordenadas

2

𝐷 es la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de 𝑥𝑦 = 1 ; 𝑥𝑦 = 4 ; 𝑦² − 𝑥² = 1 y la recta 𝑦 = 𝑥. Considere la transformación 𝑇 𝑥; 𝑦 = (𝑢; 𝑣) definida por las ecuaciones

𝑢 = 𝑥𝑦 ; 𝑣 = 𝑦² − 𝑥² a.- Grafique la región 𝐷.

b.- Represente gráficamente la imagen de la región 𝐷 (gráfica en el plano 𝑢𝑣)

Solución

El jacobiano

El Jacobiano de la transformación diferenciable 𝑇 descrita por las ecuaciones:

𝑥 = 𝑔 𝑢; 𝑣 ; 𝑦 = 𝑕 𝑢; 𝑣 es:

𝐽 = 𝜕 𝑥; 𝑦

𝜕 𝑢; 𝑣 =

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑦 𝜕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

=

𝜕𝑔

𝜕𝑢

𝜕𝑔

𝜕𝑕 𝜕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑕

𝜕𝑣

NOTACIÓN

Ejemplo

El Jacobiano

1

Calcule el Jacobiano de la transformación descrita por 𝑥 = 1

2 𝑣 − 𝑢 ; y = 1

2 𝑣 + 𝑢

Teorema del cambio de variable

Supongamos que 𝑇 sea una transformación inyectiva de clase 𝐶

cuyo Jacobiano es no nulo y que transforma una región D

Si además 𝑓 es continua en D

, entonces se cumple:

𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑫

= 𝒇 𝑻 𝒖; 𝒗 𝝏 𝒙; 𝒚

𝝏 𝒖; 𝒗 𝒅𝑨

𝑫^∗

Ejemplo

Teorema del cambio de variable

1

Use el Teorema del cambio de variable para integrales dobles para calcular la integral

(𝑥 + 𝑦)³ 𝑥 − 𝑦 ²𝑑𝐴

𝐷

donde 𝐷 es la región limitada por las rectas

𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 2, 𝑥 − 𝑦 = −1; 𝑥 − 𝑦 = 1

Solución

Ejemplo

Teorema del cambio de variable

2

Use el Teorema del cambio de variable para integrales dobles para calcular la integral

𝑒^{𝑦−𝑥𝑦+𝑥}𝑑𝐴

𝐷

donde 𝐷 es la región acotada por el trapecio de vértices 0; 1 , 0; 2 , (2; 0) y 1; 0

Solución

Lo que no debes olvidar

• Al calcular una integral triple, sobre un sólido simétrico, la integral triple no siempre se obtiene dividiendo el solido en sus partes simétricas.

𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝑽

𝑹

≠

𝟖 𝒇 𝒙; 𝒚; 𝒛 𝒅𝑽

𝑹_𝒔

Intersección de superficies Sólido 𝑹 Porción representativa 𝑹_𝒔

• Sin embargo para volúmenes, esto si se cumple

𝑽𝒐𝒍 𝑹 = 𝒅𝑽

𝑹

= 𝟖 𝒅𝑽

𝑹_𝒔

= 𝟖 𝑽𝒐𝒍(𝑹

)

Responde las siguientes interrogantes:

Para reflexionar

 ¿Me resultó más fácil representar ciertos sólidos en coordenadas esféricas?

 ¿Qué ventajas halle al calcular integrales triples en coordenadas esféricas? y ¿realizando un

cambio de coordenadas usando el Jacobiano?

 ¿En qué otras situaciones relacionadas a mi

carrera puedo aplicar lo que aprendí?

Actividades autónomas

La gráfica inferior muestra una aproximación de un tumor cuyo borde es descrito en coordenadas esféricas como

𝜌 = 1 + 0,2 sin 8𝜃 sin 4𝜙

donde 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋. Calcule el volumen de este tumor

𝑥

𝑦 𝑧

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson