Conversión de unidades y vectores

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Conversión de unidades y vectores

Por: Enrique Hernández Gallardo

Equivalencia entre unidades

Para convertir unidades de un sistema a otro, o bien a un múltiplo o submúltiplo del mismo, es necesario antes que nada, conocer sus equivalencias.

A continuación se muestra una tabla de equivalencia, la cual será necesaria consultar para realizar conversiones entre unidades de distintos sistemas.

Tabla de equivalencias 1 m = 100 cm 1 kg = 2.2 libras 1 m = 1000 mm 1 cm3 = 1 ml 1 cm = 10 mm 1 litro = 1000 cm3 1 km = 1000m 1 litro = 1 dm3 1 m = 3.28 pies 1 m3 = 1000 litros

1 m = 1.093 yarda 1 galón = 3.785 litros

1 pie = 30.48 cm 1 N = 1x105 dinas

1 pie = 12 pulgadas 1 kgf = 9.8 N

1 pulg = 2.54 cm 1 lbf = 0.454 kgf

1 milla = 1.609 km 1 tonelada = 1000 kg

1 libra = 454 g

Tabla1. Tabla de equivalencias de unidades de longitud. Tabla 2. Tabla de equivalencias de unidades de masa, volumen y fuerza.

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Para cambiar unidades de temperaturas expresadas en grados centígrados a grados Fahrenheit se utiliza la siguiente ecuación:

TF

=

9

5 TC

+

32

En donde TF es la temperatura expresada en grados Fahrenheit y TC es la temperatura expresada en grados centígrados.

Procedimiento para la conversión de unidades

El siguiente método nos indica los pasos para convertir unidades de un sistema a otro.

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A continuación se presentan algunos ejemplos:

1. Convertir 40 metros a pies.

Solución

a. Escribimos la cantidad a transformar: 40 m

b. Buscamos la equivalencia entre metros y pies: 1 m = 3.28 pies

c. Realizamos la operación correspondiente:

pies

m

pies

m

131 .

2

1

28 .

3

40 

=











/

En el paso 3, se eliminan las unidades de metros y solamente quedan unidades de pies.

Al multiplicar la fracción, ten cuidado de colocar adecuadamente las cantidades del numerador y del denominador. Observa los siguientes casos: uno correcto y el otro incorrecto.













/

m

pies

m

1

28 .

3

40

Correcto _{Las unidades de metros se pueden cancelar.}













pies

m

28 .

3

1

40

Incorrecto _{No se puede cancelar ninguna de las}

unidades.

2. Convertir 6 kilómetros a metros

Solución

a. Escribimos la cantidad: 6 km

b. Escribimos la equivalencia de kilómetros a metros: 1 km = 1000 m

c. Realizamos la operación correspondiente:

m

km

m

km

6000

1 1000

6 

=











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Como se desea convertir km a m, entonces km debe quedar en el denominador de la fracción para que se puedan eliminar las unidades y obtener el resultado en metros.

3. Convertir 60 kilómetros/hora en metros/segundo

Solución

a. Escribimos la cantidad 60 km/h

b. Es necesario considerar las equivalencias de las dos unidades: distancia y tiempo. 1 km = 1000 m

1 h = 60 min

1 min = 60 s

c. Multiplicamos por los factores de conversión necesarios para obtener las unidades deseadas.

s

m

s

h

km

m

h

km

67 .

16

60 min

1 min

60

1

1 1000

60 

=























/













/

En este caso fue necesario multiplicar por tres factores de conversión: el primero es para cambiar de kilómetros a metros, el segundo para cambiar de horas a minutos y el tercero para cambiar de minutos a segundos. De esta forma se obtiene el resultado en m/s.

Cantidades escalares

Todos los días utilizamos una serie de cantidades que quedan definidas por una cantidad y una unidad de medida.

Cuando compramos un litro de leche, la cantidad es un 1 litro y con esto nos queda claro que la magnitud de medida es

volumen.

Figura 2. Skimmed milk (Wikimedia, 2013).

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Figura 3. Current event clock (Wikimedia, 2007).

Cuando decimos que son las 9:30 de la mañana, la cantidad está implícita en la unidad, ya que todos entendemos que son 9 horas y 30 minutos. En este caso la magnitud medida es el tiempo.

Las situaciones anteriores quedan definidas por una cantidad y una unidad (magnitud), a estas cantidades se les llama cantidades escalares.

Cantidades vectoriales

Sin embargo, existen otras cantidades en donde es necesario definir además de su magnitud, algunas otras características.

Si estamos en la central camionera de la ciudad de Salamanca y queremos ir al centro, no basta que nos digan que el centro queda a 750 m, es necesario que nos digan además la orientación, es decir, hacia el Norte-Sur, Este-Oeste, etc. A esta orientación se le llama

dirección.

Figura 4. Compass icon matte (Wikimedia, 2010).

Supongamos que nos dicen que la dirección es Este-Oeste, -que corresponde a la avenida Valle de Santiago- con esta información ya estamos mejor orientados. Ahora sólo nos hace falta saber el

sentido, es decir hacia el este o hacia el oeste.

Como habrás observado, hablar de distancia es hablar de una cantidad vectorial, ya que para que esté bien definida es necesario establecer en dónde comienza, cuánto mide y hacia dónde se dirige. Resumiendo podemos decir que las cantidades vectoriales tienen las siguientes características:

1. Origen o punto de aplicación 2. Magnitud o intensidad 3. Dirección

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Representación de un vector

Podemos representar los vectores de manera gráfica mediante una flecha, en donde:

Punto de aplicación Sentido

Magnitud Dirección

Clasificación de vectores

De acuerdo a su posición, podemos clasificar a un conjunto de vectores de las siguientes formas. a. Vectores colineales.Dos o más vectores son colineales cuando se encuentran en la misma

dirección o línea de acción.

b. Vectores concurrentes. Se dicen concurrentes a dos o más vectores que tienen en mismo punto de aplicación.

Propiedades de los vectores

a. Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales cuando su magnitud, dirección y sentido son iguales, no importando su punto de aplicación.

Los vectores se escriben mediante una letra con una flecha, o bien con letra negrita. Cuando tenemos dos vectores iguales escribimos:

A



₌

B



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b. Suma de vectores. Sólo es posible hacer sumas de dos vectores si éstos tienen las mismas unidades de medida. De forma gráfica la suma de dos vectores se representa como lo muestra la siguiente figura.

El vector C, que es la suma de A y B, comienza en el origen del vector A y termina en la flecha de B. Esta suma se representa como:

_C



₌

_A



₊

_B



c. Negativo de un vector. El negativo de un vector tiene la misma magnitud y dirección de dicho vector, pero en su sentido contrario.

El negativo del vector A es

−

A



, es decir, sólo cambia el sentido del vector. Para este par de vectores siempre se cumple que

A



₊

(

₋

A



)

₌

0

.

Método del paralelogramo

Para encontrar la suma o resultante de dos vectores podemos utilizar un método gráfico llamado

método del paralelogramo. Este método consiste en:

a. Dibujar los dos vectores concurrentes (con el mismo punto de aplicación), utilizando una escala

apropiada.

b. Trazar líneas paralelas a los vectores como se indica en la figura.

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c. Trazar una línea desde el punto de origen hasta el punto en donde se intersectan las líneas punteadas. Esta línea es la resultante o suma de los dos

vectores.

d. Medir la magnitud del vector resultante y el ángulo que forma con eje x.

e. Expresar la magnitud del vector resultante en las unidades originales.

Este método es muy ilustrativo aunque poco práctico por el error que puede cometerse al hacer los trazos. Para sumar vectores es más común utilizar algún método analítico.

A continuación veremos un método que usa los teoremas de senos y cosenos para encontrar la magnitud y dirección del vector resultante de la suma de dos vectores.

Método analítico para la suma de dos vectores

• A partir del método del paralelogramo, podemos encontrar una fórmula para hallar la suma de los dos vectores utilizando el teorema de los cosenos, el cual se representa como:

)

180 (

2

2 2 2

θ

−

+

=

a

b

abCos

c

• Dado que

Cos

(

180 −

θ

)

=

−

Cos

θ

podemos escribir la expresión como:

θ

abCos

b

a

c

2 2 2

2 +

+

=

• Despejando c tenemos:

θ

abCos

b

a

c

2 2

2 +

+

=

--- (1)

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A continuación se presenta un ejemplo:

Encontrar la fuerza resultante de las fuerzas: a = 90N a 0° a partir del eje x, y b = 70N, a 60° a partir del eje x. Solución Aplicando la fórmula:

θ

abCos

b

a

c

2 2

2 +

+

=

°

+

=

90

2

70

2

2 (

90 )(

70 )

Cos

60 c

°

+

=

8100

4900

12600

Cos

60 c

6300

4900

8100

+

=

c

19300

=

c

N

c

=

139 Descomposición y composición de vectores

Todo vector puede ser expresado como dos vectores perpendiculares. A estos vectores se les llama

componentes y a este proceso se le llama descomposición de vectores.

En la figura 1 tenemos un vector situado a partir del origen del plano cartesiano. Sus componentes son las proyecciones sobre los ejes x y y.

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Para calcular el valor de las componentes dibujémoslos formando un triángulo como lo muestra figura 2. El valor de

_θ

es el ángulo del vector F con la horizontal.

• Aplicando las funciones trigonométricas seno y coseno, encontramos la relación entre F y sus componentes.

F

sen

Y

=

θ

despejando

F

Y

=

Fsen

θ

--- (1)

F

_X

=

θ

cos

despejando

F

X

=

F

cos

θ

--- (2)

• Con la función trigonométrica tangente, encontramos una expresión para calcular el valor de

θ

.

X Y

F

=

θ

tan

, despejando

θ

tenemos:

_











=

X Y

F

arctan

θ

--- (3)

• Aplicando el teorema de Pitágoras encontramos la relación entre F y sus componentes

F

_X y

Y

F

. 2 2 2 y x

F

=

+

• Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad tenemos:

2 2 y x

F

=

+

--- (4)

A continuación se presentan algunos ejemplos: 1. Descomposición de vectores

Encuentra las componentes

F

_X y

F

_Y de una fuerza F que tiene una magnitud de 40N y forma un ángulo de 30° con el eje x.

Recuerda que la fuerza es una magnitud vectorial que se mide en Newton.

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Solución

Para calcular las componentes utilizamos las expresiones:

Sustituyendo los valores de F =40N y

θ

=30°

N

sen

N

F

N

F

Y X

6 .

34 )

30 )(

40 (

20 )

30 )(cos

40 (

=

2. Composición de vectores

Encuentra la fuerza resultante P, que tiene como componentes

P

_X

₌

30 N

y

P

_Y

₌

40 N

, como se muestra en la siguiente figura.

Solución

Aplicando la expresión del teorema de Pitágoras

P

=

P

_x2

+

P

_y2 . Sustituyendo valores tenemos:

N

P

50 2500

900 1600

)

30 (

)

40 (

2 2

=

+

=

+

=

cos

X Y

F

Fsen

θ

=

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Bibilografía

Pérez, H. (2008). Física I. México: Grupo Editorial Patria.

Tippens, P. (2007). Física conceptos y aplicaciones (7ª. ed., Ángel Carlos González Ruiz, Universidad Nacional Autónoma de México, Trad.). México: McGraw-Hill.

Referencias de las imágenes Wikimedia. (2013). Skimmed milk. Recuperada de

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Skimmed_milk.jpg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain).

Wikimedia. (2007). Current event clock. Recuperada de

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Current_event_clock.svg?uselang=es (Imagen de dominio público, de acuerdo a:

http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain).

Wikimedia. (2010). Compass icon matte. Recuperada de

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Compass_icon_matte.svg (Imagen publicada bajo licencia Atribución 2.0 Genérica (CC BY 2.0), de acuerdo a: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/deed.en).