1221 Sinodales: Ing. Luis Hernández Moreno Ing. Sergio Carlos Crail Corzas

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO

1221

Sinodales: Ing. Luis Hernández Moreno Ing. Sergio Carlos Crail Corzas

Alumno:__________________________________________________________ Semestre 2018-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Determina el intervalo de convergencia de la serie expresado por:

 

1

2 3

n

x n n







Incluir el análisi de los extremos

20 puntos

2. Empleando la interpretación geométrica de la integral definida, determinar el valor medio de la función f x( )  9 x² , cuya gráfica es

en el intervalo





10 puntos

1EE18-2

3. Calcular el área de la región limitada por las curvas:

C₁: y x²  4 , C₂: y0 , C₁: x 0 y C₁: x  4

15 puntos

4. Efectuar

3

) 4 cos 2 )  1

  ^x 

a x x dx b dx

x x

20 puntos

5. Obtener el recorrido de la función f x y( , )   16  y² , trazar su gráfica y representar gráficamente su dominio.

15 puntos

6. Calcular

3 2

0 , 2



 

 

 



  z

y x

z ^{ x} e

^{ y} e

20 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2018 – 2

1221

1.

Sea la razón de D'Alembert

 

 

 

   

   

 

1 1

1 1

2 1

1 3 2 1

3 2

2 3 1 2

3

3

1 3

1 3

2 2

3 3

Sea <1 2 <1, por lo que 3

-1< 2 1 3 2 3 de donde 5 1 3

5

3 1

2 3

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

       

 

        

 

  





 

 

n n

n n

n n

x n

n n

n x

n n n x

x x

n

n

n n

n n

r

x x

lim r lim x

x ; x , x

Si x

que es divergente

Si x

que es





 

Por lo que el intervalo es   5 1 divergente

x x ,

20 puntos

S1EE18-2

2. Determinar el valor medio de la función ^{f x}

 





.

 

   

 

 

 

3

2 3

2

9

3 3

3 9

2 2 9

6 6 12

3 4

3 4

b

a

f ( x )dx f c

b a

x dx f c

( )

( ) f c

f c

Re sultado f c

 









 



  

  









10 puntos

x y

S1EE18-2 3. Calcular el área de la región limitada por las curvas:

2

1 2 1 1

2 4

2 2

0 2

2 4

3 3

0 2

: 4 , : 0 , : 0 : 4

:

( 4) ( 4)

1 1

4 4

3 3

    

    

   

      

 

C y x C y C x y C x

Se tiene

A x dx x dx

A x x x x

2

8 1

8 (64 8) 4(2)

3 3

16 56 3 3 8 72 8

3 24 8

16

 

     

  

 

 

 A

A A A

A u

15 puntos

S1EE18-2 4. Efectuar

 

a) Por partes

4 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2



 

  

 

   





x cos x dx I

u x dv cos( x )dx

du dx v sen( x )

I x se n( x ) sen( x )( dx )

I xsen( x ) cos( x ) C

 

  ^{ }

 

2 2

2 2

2 2

2

2

b) Por descomposición en fracciones parciales Sea 1

1 1

0 1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

1

   

 

      



          

   



 

       

     

  

 

 

 



x A Bx C

x x ; x x

si x ; A A

x A x Bx Cx si x i ; i B Ci

B , C

I x dx

x x x

I lnx ln x ang tan x C

I ln x

x  

 ang tan x C

20 puntos

y x

z

-4

4

-4 f(x,y)

S1EE18-2

5. Obtener el recorrido de la función f x y( , )   16  y² , trazar su gráfica y representar gráficamente su dominio.

 

 ^{4 0} 

  

R

z | z ,

Gráfica del dominio

Gráfica de la función

15 Puntos

-4 4

x y

S1EE18-2

6. Calcular

3 2

0 , 2

  

 

 



  z

y x

cos s

 x

 y

z e e

cos s

cos s

2

2 s s

2 3

2 s s

2

3 2

0 , 2

cos

cos s

cos s

1

 

 

 

 

   



   



   

 

   

 

y en x

y en x

en x en x

en x en x

x y

z y x

x

z y x y enx

x

z x enx

y x z y x

Si z e e

e e

e e

e e



20 puntos