3. Para los límites longitudinales, que comprenden seis espacios horarios de cada lado de K, tomamos un intervalo de 4 unidades en el meridiano central HZ que en el paralelo que pasa por Rodas
<equivale> a cinco grados dada la proporción de aproximada- mente 5:4 entre éste y el gran círculo. Contamos entonces con 18 intervalos de éstos a cada lado de K, a lo largo del arco GKL y obtenemos los puntos a través de los cuales los meridianos que delimitan los intervalos distantes de un tercio de hora deben ser dibujados a partir de H, así como los <meridianos> que marcan los límites <longitudinales>, HGM y HLN.
4. Correlativamente se trazará: el <paralelo> que pasa por Tule –a una distancia de 52 unidades de H sobre HZ, sea XOP–, el Ecuador –también a una distancia de 115 unidades de H, sea RST– y el <paralelo> simétrico al de Meroe, en el extremo sur –con 131 5/12 unidades, sea MYN.
5. La relación de proporción entre RST y XOP será de 115:52, en correspondencia con la relación de proporción de esos para- lelos sobre la esfera.
6. Dado que HS está conformado por 115 unidades, HO contiene 52, y el arco RST es a XOP como HS es a HO.
La distancia OK sobre el meridiano, esto es, la <distancia>
entre el que pasa por Tule y el que lo hace por Rodas, será de 27 unidades; KS, esto es, la <distancia> entre el que pasa por Tule y el Ecuador, será de 32 de las mismas <unidades>; SY, esto es, la <distancia> entre el Ecuador y el simétrico al que pasa por Meroe, será de 16 5/12 de las mismas <unidades>.
Además, si la distancia latitudinal OY de la tierra conocida es de 79 5/12 (o, redondeando, 80), la distancia longitudinal me- dia GKL será de 144, en conformidad con las suposiciones que se derivan de las demostraciones [en 1.7-14]. En efecto, los 40,000 estadios latitudinales tienen aproximadamente la misma
relación de proporción con los 72,000 estadios longitudinales en el paralelo que pasa por Rodas [que la relación de proporción 79 5/12:144]. Trazaremos el resto de los paralelos, según que- ramos, nuevamente con H como centro y, para los radios, tan- tas unidades a partir de S como números establecidos en la lista de las distancias a partir del Ecuador [en I.23].
7. Podemos, en lugar de continuar las líneas de los meridianos como rectas hasta el paralelo MYN, <hacerlo> sólo hasta el Ecuador RST, a partir de donde, dividiendo el arco MYN en partes iguales y en igual número respecto a las <partes> esta- blecidas en el <paralelo> que pasa por Meroe, uniremos estas secciones con las del Ecuador mediante rectas para los meri- dianos que se encuentran en medio [entre el paralelo MYN y el Ecuador], de manera que la inflexión de los meridianos del otro lado del Ecuador hacia el Mediodía se muestre de alguna manera, como tenemos en las líneas RF y TU.
8. Por lo que resta, para ordenar fácilmente los lugares indicados, elaboraremos también una pequeña regla, igual en longitud a HZ, o sólo a HS, fijándola a H, de manera que cuando recorra el dibujo a todo lo largo, uno de sus costados encaje exactamen- te con las rectas de los meridianos, ya que ésta corta al polo por su centro. Dividiremos este costado en 131 5/12 segmentos para HZ, o los 115 segmentos correspondientes a HS. Indica- remos además los números comenzando por la sección del Ecuador –lo que permitirá a la vez trazar los paralelos–, sin dividir el meridiano <central> del dibujo en todas las partes e indicarlas, haciendo confundir las inscripciones de las localida- des cercanas a éste.
9. Dividiremos también el Ecuador, para intervalo de doce horas, en 180 grados, añadiendo los números comenzando por el meridiano más occidental. Transportaremos en cada caso el costado de la regla al grado indicado de longitud y, mediante la división de la regla, se llegará a la posición indicada en lati- tud, haciendo una marca como se requiere en cada caso, de la manera en que se señaló para la esfera.
[Elementos técnicos para el dibujo de la segunda proyec- ción de Ptolomeo, llamada proyección cónica modificada o hemeótera]176
10. Es posible en una <superficie> plana hacer más similar y mejor proporcionado [con relación a la esfera] el dibujo de la ecumene si tomamos las líneas meridianas según la imagen de
176 Comienza aquí la descripción del procedimiento para la elaboración de la lla- mada segunda proyección. Habiendo coincidencia en este sentido entre Stückel- berger-Graßhoff y Berggren-Jones, estos últimos hacen una subdivisión en tres etapas (precedidas de una introducción correspondiente al parágrafo 10): una primera que sirva para la determinación del punto apropiado que sirva como centro común de los arcos de los paralelos (parágrafos 11 al 13), seguida de la construcción de los arcos para los paralelos (parágrafos 17 al 19), y una última en la que se construyen los arcos de los meridianos (parágrafos 20 al 24).
los meridianos de la esfera. <Esto es,> como si el eje de la mirada con respecto a la posición de la esfera pasara a través de <tanto> la intersección, frente al ojo, entre el meridiano que divide en dos partes iguales la dimensión longitudinal del mundo conocido y el paralelo que divide en dos partes iguales la dimensión latitudinal, como <a través> del centro de la esfera. De esta manera, los límites extremos opuestos [de la latitud y la longitud] serán captados por la mirada y percibidos iguales.
11. Debe primero establecerse cuál es la inclinación de los círculos paralelos con respecto al plano, perpendicular al meridiano medio de la distancia longitudinal, que pasa por el punto de intersección indicado y por el centro de la es- fera. Imaginemos el gran círculo ABCD que delimita el he- misferio visible y, en el meridiano que divide el hemisferio en dos partes iguales, el semicírculo AEC, donde el punto E es la intersección –<que se encuentra> frente al ojo– en- tre este <meridiano> y el paralelo que divide en dos partes iguales la dimensión longitudinal; tracemos además, a tra- vés de E otro semicírculo de gran círculo, BED, perpendi- cular a AEC, cuyo plano pasará evidentemente por el eje de la mirada.
12. Tomemos el arco EZ con una inclinación de 23º5/6 (pues es el <arco> que separa al Mediodía del paralelo de Siena se encuentra aproximadamente a la mitad de la distancia longitudinal [de la tierra conocida]) y tracemos a través de Z un semicírculo BZD. El plano del Mediodía y el de los demás paralelos se mostrará inclinado respecto a éste me- diante el eje de la mirada en el ángulo del arco EZ, que es de 23º5/6.
13. Imaginemos las rectas AEZC y BED en lugar de estos arcos, donde la relación de proporción entre BE y EZ sea de 90 : 23 5/6.
14. Prolonguemos CA y coloquemos en H el centro desde el cual el segmento circular BZD será trazado. Propongámonos encon- trar la relación de proporción entre HZ y EB. Juntemos Z y B en una recta, dividámosla en dos partes iguales en el punto G y tracemos GH, la cual es evidentemente perpendicular a BZ.
15. Dado entonces que para EZ se supuso 23 5/6 de tales <unida- des> y para la recta BE 90 de las mismas, la hipotenusa BZ valdrá 93 1/10, y el ángulo BZE valdrá 150 1/3 de tales <uni- dades [= medios grados]>, así como dos ángulos rectos valen 360, y el ángulo complementario GHZ vale 29 2/3 de la misma unidad.
16. Por esta razón, la relación de proporción de HZ a ZG es de 181 5/6 : 46 11/20. De tales <unidades> de las que la recta GZ vale 46 11/20, la recta BE 90. De manera que de tales <unidades>
de las que BE vale 90 y ZE 23 5/6 de las mismas <unidades>, tendremos también que la recta HZ valdrá 181 5/6, con lo que obtendremos el punto H, de donde se trazarán todos los para- lelos en el dibujo plano.
17. Habiendo establecido lo anterior, consideremos el plano ABCD, siendo AB nuevamente del doble <de tamaño> que AC, AE igual a EB, y EZ perpendicular respecto a aquél [AB]. Di- vidamos una recta del tamaño de EZ en 90 unidades [grados]
del cuadrante. Admitamos 16 5/12 unidades para ZH, 23 5/6
para HG, y 63 de las mismas <unidades> para HK, y H puesto en el Mediodía. G será <el punto> por el que se trazaría el paralelo de Siena, cerca del centro de la dimensión latitudinal;
Z por el que se trazaría el horizonte que marca el límite más al sur y el opuesto al que pasa por Meroe; K por el que se trazaría el horizonte que marca el límite más al norte y que pasa por la isla de Tule.
18. Prolongaremos HL a partir de éste [EZ], con 181 5/6 de las mismas <unidades> (o sólo 180 partes, puesto que el dibujo no se verá significativamente alterado al respecto). Con L por centro y como radios sus distancias de Z, G y K, trazamos los arcos PKR, XGO y MZN.
19. La relación apropiada de inclinación de las paralelas con res- pecto al plano del mapa que pasa por el eje de la mirada se ha entonces conservado, ya que aquí también [como en la visión hipotética de la esfera], el eje <de la mirada> debe a la vez di- rigirse a G y ser perpendicular al plano del mapa, de forma que también los extremos opuestos del dibujo sean captados iguales [equidistantes y del mismo tamaño] por la mirada.
20. La dimensión longitudinal debe ser proporcional a la latitu- dinal. En una esfera, en las que en <unidades> tales que el círculo vale 5, el paralelo que pasa por Tule cuenta cerca de 2
¼, el que pasa a través de Soene 4 7/12 y el que lo hace por Meroe 4 5/6. De cada lado de la línea del meridiano ZK deben colocarse dieciocho meridianos con <una separación> de un tercio de hora equinoccial, alcanzando a cubrir los semicírcu- los [de los paralelos de latitud] comprendidos en la dimensión longitudinal total.
21. Tomaremos para cada uno de los tres paralelos mencionados segmentos equivalentes a 5º, <que valen> un tercio de hora.
[Así], partiendo de K haremos segmentos de 2 ¼ de <unidades>
tales como de las que la recta EZ tiene 90, de G en segmentos de 4 7/12 y de Z en segmentos de 4 5/6 de las mismas <uni- dades>.
22. Trazaremos entonces los arcos para los restantes meridianos pasando por los tres puntos del mismo valor, en particular STY y FUV (que marcan los límites longitudinales extremos), añadiendo los arcos de los otros paralelos teniendo –nueva- mente– a L como centro y por radio los segmentos en ZK con respecto a la distancia al Mediodía de cada paralelo.
23. Es evidente la mayor semejanza a la figura sobre la esfera de este dibujo respecto al anterior.
24. Puesto que, si la esfera estuviese fija y no gira (como nece- sariamente sucede con el dibujo), y si la mirada es dirigida su centro, un meridiano –el central–, caería en el plano que pasa por el eje de la mirada dando la impresión de ser una recta.
Por su parte, los <meridianos> a cada lado de éste parecerían curvos con sus concavidades vueltas hacia él, y de manera más marcada entre más alejados estén. También en este caso se mantendrá esta <apariencia> en una relación de proporción justa. Además, la proporcionalidad de los arcos paralelos guar- dan entre ellos una relación apropiada, no sólo para el que
<cae> bajo el Mediodía y para el que pasa por Tule, como en aquél [el primer tipo de mapa], sino también, tan bien como es posible, para los demás (como puede constatar todo aquel que lo pruebe).
25. Así con <la relación de proporción> entre la dimensión latitu- dinal y la dimensión longitudinal totales. De nueva cuenta, no sólo para el paralelo trazado a través de Rodas como en aquél [el primer tipo de mapa], sino para prácticamente todos.
26. Si, en efecto, también aquí, como en el primer esquema, dibu- jamos la recta SWY, el arco GW tendrá obviamente, respecto a
ZS y KY, una relación de proporción menor respecto a la relación de proporción correcta en este dibujo, donde se tomó todo <el arco> GT proporcionalmente con respecto al Mediodía.
27. Si hacemos éste [GW] en proporción con el intervalo latitu- dinal KZ, ZS y KY serían más grandes que los <arcos> propor- cionales a ZK, como con GT. Si conservamos ZS y KY en una
<apropiada> relación de proporción respecto a KZ, GW será inferior al <arco> en la correcta relación de proporción res- pecto a KZ, como lo es con respecto a GT.
28. En estos <aspectos>, entonces, este método es superior al an- terior. Pero puede ser inferior respecto al otro <por lo que re- fiere a> la facilidad de la elaboración del dibujo. En aquél [= el primer método] bastaba, para inscribir cada localidad, con ma- niobrar la regla de lado a lado, con sólo haber trazado y gradua- do uno de los paralelos; mientras que en éste dicha <regla> no ayuda dada la curvatura del meridiano en dirección del <meri- diano> central, debiéndose entonces trazar todos los círculos en el mapa, y las posiciones que caen al interior del cuadriláte- ro no puede sino estimárseles calculándolas sobre la base de los costados que las contienen mediante las partes señaladas [= los registros numéricos].
29. Aún así, pienso que, en este como en todos <los casos>, el <mé- todo> superior y más complicado ha de preferirse al inferior y más sencillo. Deben sin embargo preservarse ambos métodos para quienes se sientan atraídos por el inferior al ser más senci- llo.
30. De las mencionadas 5 partes supuestas al Mediodía, el <pa- ralelo> que pasa por Meroe tiene 4 5/6, de manera que su relación de proporción es de 29 : 30.
31. De las mencionadas 5 partes supuestas al Mediodía, el <pa- ralelo> que pasa por Siena tiene 4 7/12, de manera que su relación de proporción es de 55 : 60, esto es, de 11.12.
32. De las mencionadas 5 partes supuestas al Mediodía, el <pa- ralelo> que pasa por Rodas tiene 4, de manera que su relación de proporción es de 4 : 5.
33. De las mencionadas 5 partes supuestas al Mediodía, el <pa- ralelo> que pasa por Tule tiene 2 ¼, de manera que su relación de proporción es de 9 : 20.]