En el pensamiento matemático se puede discernir rápidamente la diferencia {310} entre operaciones en el nivel de la inteligencia y operaciones en el nivel de la reflexión.
captar sus soluciones, de ver el punto alcanzado en cada una de una serie de afirmaciones matemáticas, y luego ver cómo los puntos sucesivos permanecen unidos.
El nivel de la reflexión es el proceso complementario de la comprobación. Uno entiende, y ahora uno quiere saber si lo que se entendió es también correcto. Uno ha captado el punto y pregunta si es {335} correcto. Uno ha visto cómo permanecen unidos los pasos sucesivos, y uno sale para asegurarse de que lo que los mantiene unidos realmente puede imponerse.
Ahora bien, el proceso de la comprobación puede desarrollarse hasta convertirse en una técnica elaborada. Lo comprobado se convierte en todo un sector de las matemáticas. Se desarrollan las definiciones. Se añaden los postulados. Por las definiciones y los postulados se muestra que todas las conclusiones del sector pueden alcanzarse mediante el procedimiento riguroso de la inferencia deductiva.
Pero ¿cuál es la meta de la comprobación? Claramente es ordenar la evidencia de tal forma que el entender reflexivo pueda captar el incondicionado virtual y así fundar un juicio racional. En tanto que la comprobación reduce las conclusiones a sus premisas, se da el incondicionado virtual bajo la forma de la inferencia deductiva. En tanto que las definiciones y postulados se reúnen en una significación que se justifica a sí misma, se da el incondicionado virtual de las proposiciones analíticas. Estos dos tipos del incondicionado virtual ya se han considerado y así, para nosotros, el problema del juicio matemático consiste en determinar qué más se requiere para tal juicio.
Antes que nada, se requiere algo más. Porque si bien las premisas del pensamiento matemático son proposiciones analíticas, con todo, no todas las proposiciones analíticas son premisas matemáticas. Las proposiciones analíticas pueden producirse a voluntad indefinidamente. En cambio las premisas del pensamiento matemático se han de alcanzar sólo mediante los descubrimientos del genio y el trabajo de aprender lo que el genio ha captado. Además, sucede que las regiones abstrusas de las matemáticas ocasionalmente se sacan de sus frías y aireadas regiones para convertirse en los instrumentos de las hipótesis y teorías empíricas y para compartir con tales formulaciones la referencia existencial probable que ellas poseen. Pero antes de una referencia o isomorfismo existencial probable se da una referencia o isomorfismo existencial posible; antes de que {311} pueda aplicarse un sector de las matemáticas debe poseer una posibilidad inherente de aplicarse. ¿Qué es, pues, esa posibilidad inherente? Y ¿cuál es su criterio?
Segundo, tenemos que emprender un examen de las matemáticas para determinar cuál es ese elemento ulterior y cuál es su criterio. Digamos, pues, que hay una serie matemática; que cada término de la serie es un sector de las matemáticas; que cada sector consiste (1) en reglas que gobiernan y, así, definen las operaciones, y (2) en operaciones que pasan desde unos términos hasta otros y así los relacionan y los definen.
Además, podemos presuponer que cada sector de las matemáticas se formalice, esto es, que se establezca en un grupo de definiciones, postulados, {336} y deducciones. Finalmente, presupondremos que hay otras formalizaciones, igualmente rigurosas, igualmente elegantes, pero que de hecho no son miembros de la serie matemática. Nuestro problema se convierte así en la pregunta: "A la luz de nuestro análisis general del conocimiento, ¿cómo va uno a reconocer algunas formalizaciones como matemáticas y otras como no matemáticas?"
Nuestra respuesta contiene tres elementos, y será conveniente referirnos a ellos respectivamente como el elemento material, el elemento formal, y el elemento actual.
El elemento material es lo que hemos llamado el residuo empírico. Hay unos aspectos en los datos de los que el entender siempre abstrae. Se ha visto que son lo individual, el continuo, los lugares y tiempos particulares, y la divergencia asistemática en la frecuencia actual respecto a las expectativas probables.
El elemento formal puede designarse por la abstracción en cuanto enriquecedora. Se ha visto que el chispazo inteligente va más allá de las imágenes y datos añadiendo unidades, correlaciones y frecuencias inteligibles, que, en realidad, contienen una referencia a las imágenes o datos pero que, no obstante, le añaden un componente al conocimiento que no existe actualmente en el nivel de sentidos o imaginación.
Finalmente el elemento actual se halla en la conjunción de los elementos material y formal.
El matemático ve comúnmente al elemento formal como dinámico. Se da un proceso laborioso llamado "aprender matemáticas". Consiste en adquirir gradualmente los chispazos inteligentes que se necesitan para entender los problemas matemáticos, para seguir los argumentos matemáticos, para desarrollar soluciones matemáticas. Esta adquisición ocurre en una sucesión {312} de puntos de vista superiores. Un sector de las matemáticas le sigue a otro. Lógicamente ellos son discontinuos, porque cada uno tiene sus propias definiciones, postulados, e inferencias. Pero intelectualmente ellos son continuos, en la medida en que la representación simbólica de las operaciones en el campo inferior proporciona las imágenes en las que la inteligencia capta la idea de las nuevas reglas
Sin embargo, esta expansión de la inteligencia no parece ser completamente libre. No sólo se da el nexo entre los puntos de vista superiores y los precedentes puntos de vista inferiores, sino que también se da un sesgo desde lo particular hasta lo general, desde la parte hasta la totalidad, desde lo aproximado hasta lo ideal. Si de dan instancias concretas del uno, dos, tres, el matemático explora la totalidad de los números enteros positivos, de los números reales, de los números complejos, de los grupos ordenados. Si se dan bordes y superficies, el matemático no desarrolla meramente una geometría, sino la serie total de geometrías posibles. {337} Si se dan varios campos en los que parece que pueden aplicarse las matemáticas, el matemático se pone a explorar, íntegras, a cada una de las regiones en que ocurren los campos.
Igualmente, además de su preferencia por lo general, lo completo, lo ideal, el desarrollo del pensamiento matemático parece también restringido por su elemento material. Con esto no quiero decir que el matemático esté confinado a los individuos que existen, a los continuos que existen, a los lugares y tiempos que existen, a las divergencias asistemáticas que ocurren, ni a cualquier otro elemento actual en el residuo empírico que pueda descubrirse por la introducción de nuevas técnicas de abstracción. Porque está muy claro que el pensamiento matemático, en su búsqueda de lo general, lo completo, y lo ideal revela un profundo descuido de lo existente. Con todo, parece ser verdadero que el residuo empírico les proporciona a las matemáticas unas muestras del tipo de material al que las ideas matemáticas le confieren inteligibilidad y orden. Porque a no ser que el matemático esté investigando las inteligibilidades puras que Aquino identificó como ángeles, 57 debe haber alguna materia matemática; y puesto que hay otras ciencias que manejan los datos en cuanto son de clases determinadas, le queda al matemático el residuo empírico de todos los datos.
Si hemos tenido éxito en caracterizar los elementos material y formal de las matemáticas, queda la pregunta acerca de la significatividad de su conjunción. En suma, esto puede indicarse recordando que ya encontramos que las estructuras heurísticas del método empírico operan a la manera de unas tijeras. No sólo está una cuchilla inferior que surge desde los datos a través de las mediciones y trazado de la curva hasta las fórmulas, sino que también hay {313} una cuchilla superior que se mueve hacia abajo desde la ecuación diferencial y la ecuación de operadores * y desde los postulados de invariancia y equivalencia. Más aún, no es secreto que la cuchilla superior les debe su efectividad a los trabajos de los matemáticos. Pero ¿cuáles son las posibilidades para esa cuchilla superior?
Para captar la respuesta a dicha pregunta se deben contemplar de una vez dos tendencias complementarias. Por una parte está el movimiento de la ciencia empírica desde la descripción hasta la explicación, desde los territorios propios de los datos hasta los sistemas de leyes que definen implícitamente los términos que ellos relacionan; y al final de este movimiento está la meta ideal que ha de alcanzarse cuando todos los aspectos de los datos, excepto el residuo empírico, tengan su contraparte inteligible en los sistemas de conjugados explicativos y frecuencias ideales. Por otra parte, está el movimiento del pensamiento matemático {338} que empieza con el residuo empírico e intenta explorar la totalidad de maneras como la abstracción enriquecedora puede darles inteligibilidad a cualesquiera materiales que reúne el residuo empírico. Claramente estos dos movimientos son complementarios. Porque el matemático empieza por el residuo empírico con el que el científico empírico terminaría; y si la exploración matemática de sistemas inteligibles es completa, entonces está destinada a incluir los sistemas de conjugados explicativos que las ciencias empíricas verificarán en sus dominios respectivos.
Retornemos ahora a nuestra distinción entre los principios analíticos cabales, los principios analíticos provisionales, y los principios seriadamente analíticos. Todos son proposiciones analíticas, es decir, instancias del incondicionado virtual en que el condicionado está unido a sus condiciones por reglas sintácticas, y las condiciones se cumplen al definir los términos. Ninguna es una proposición meramente analítica que se obtenga diseñando definiciones o reglas sintácticas a placer. Porque los términos y relaciones de los principios analíticos cabales ocurren, en su sentido definido, en juicios factuales ciertos. Los términos y relaciones de los principios analíticos provisionales ocurren, en su sentido definido, en los juicios factuales probables. Finalmente, los términos y relaciones de los principios seriadamente analíticos fundamentan las extensiones deductivas que exploran completa, general e idealmente la serie total de campos a los que los principios analíticos cabales y los provisionales dan acceso de manera particular, fragmentaria o aproximada.
Segundo, parece posible identificar las proposiciones básicas de las matemáticas con los principios seriadamente analíticos. Porque hay un elemento material en el pensamiento matemático, y tiene alguna semejanza con el residuo empírico de los datos de las ciencias empíricas. Igualmente, hay un elemento {314} formal en el pensamiento matemático, y él tiende hacia una explicación general, completa e ideal de las maneras como la abstracción enriquecedora puede añadirle inteligibilidad y orden al elemento material. Pero las ciencias empíricas están en la búsqueda de la inteligibilidad y orden que, cuando se combina con el residuo empírico en los datos de sus varios dominios, proporcionarán una explicación completa y definitiva de dichos datos. De ello se sigue que al matemático le concierne establecer general, completa e idealmente la serie de los posibles sistemas que incluya los sistemas científicos verificables como casos
particulares, fragmentarios o aproximados.
Tercero, si las proposiciones básicas de las matemáticas son principios seriadamente analíticos, entonces tenemos la respuesta para nuestra pregunta principal que preguntó por la diferencia entre las formalizaciones libres y las formalizaciones matemáticas.
{339} Cuarto, de ahí se sigue fácilmente una explicación de la posibilidad de isomorfismo entre las relaciones matemáticas y las relaciones de las ciencias empíricas. Ambos grupos de relaciones son productos de la abstracción enriquecedora, y ambos poseen una relevancia para el residuo empírico en los datos.
Finalmente, parece apropiado añadir una nota sobre la diferencia entre la explicación anterior del campo de las matemáticas y las visiones en boga. Por lo común, se estaría de acuerdo en que las matemáticas se basan en proposiciones meramente analíticas, y se explicaría que si uno desatiende las definiciones y reglas sintácticas meramente arbitrarias, uno puede distinguir h (1) la lógica, que maneja relaciones tales como 'y', 'o', 'si ... entonces'; (2) las matemáticas, que manejan las relaciones de equivalencia o congruencia en los individuos y grupos, y (3) un tema más general -- llamémoslo mathesis --, que maneja las reglas comunes a la lógica y las matemáticas.
La diferencia principal que hay en nuestro enfoque es que va detrás de los conceptos y afirmaciones hasta los actos que fundamentan al entender directo y reflexivo. De esta característica se sigue su carácter dinámico, porque contiene una invitación a que los matemáticos exploren la posibilidad de establecer la serie de extensiones deductivas que harían tanto por las otras ciencias empíricas como lo que han hecho por la física. Por otra parte, mientras que hemos enfatizado una relación entre las matemáticas y la ciencia empírica, debe insistirse que no lo hemos hecho restringiendo materialmente el campo de las matemáticas. El matemático queda libre de tomar como material suyo cualquier cosa que reúna el residuo empírico. Es libre de descubrir adiciones ulteriores al residuo actualmente conocido {315}. Él está libre para explorar de la manera más plenamente general, completa e ideal, los enriquecimientos que puede añadir el ejercicio de la inteligencia humana. Con todo, sus creaciones permanecerán seriadamente existenciales, porque mostrarán la serie de sistemas a algunos de los cuales los científicos empíricos serán capaces de decirles: 'Sí'.
9. Resumen
Los juicios anticipados son proposiciones (1) que son el contenido de un acto de concebir, pensar, definir, considerar, o suponer, (2) que están sujetas a la pregunta para la reflexión, a la actitud crítica de la inteligencia, y (3) que por ello se constituyen como lo condicionado.
Hay suficiente evidencia para un juicio anticipado cuando el entender reflexivo puede captarlo como incondicionado virtual. De aquí que la evidencia suficiente implique (1) un nexo entre lo condicionado {340} y sus condiciones, y (2) el cumplimiento de las condiciones. Estos dos elementos se dan de diferentes maneras de diferentes casos.
En la inferencia formal el nexo lo proporciona la premisa hipotética "Si el antecedente, luego, el consecuente." El cumplimiento es la premisa menor.
En el juicio sobre lo correcto de los chispazos inteligentes, el nexo consiste en que el chispazo inteligente es correcto si ya no se dan más preguntas pertinentes, y el cumplimiento se halla en el proceso autocorrectivo del aprendizaje que alcanza su límite en la familiarización y maestría del asunto.
En los juicios factuales el nexo es el chispazo inteligente correcto o grupo de chispazos inteligentes y el cumplimiento se halla en los datos presentes y/o recordados.
En las generalizaciones el nexo es la ley cognoscitiva de que los semejantes se han de entender de manera semejante, y el cumplimiento se halla en una semejanza tal que en el caso general ya no surjan más preguntas pertinentes que en el caso particular entendido correctamente.
En los juicios probables el nexo consiste en que los chispazos inteligentes son correctos cuando ya no hay más preguntas pertinentes, y el cumplimiento es alguna aproximación del proceso autocorrectivo del aprendizaje hasta su límite de familiarización y dominio del asunto.
En las proposiciones analíticas el nexo se halla en las reglas de la significación que generan {316} unas proposiciones desde los términos parciales de la significación, y el cumplimiento lo proporcionan las significaciones o definiciones de los términos.
Las proposiciones analíticas se convierten en principios analíticos cuando sus términos son existenciales; y los términos son existenciales cuando ocurren en juicios definitivos, factuales.
Notas Editoriales
Notas al prefacio
c [8] progreso y decadencia: éste es un par central de términos para Lonergan desde sus inicios, como se deduce claramente de su escrito 'Reencuentro con el Insight,' (1974: 263-78, en las 271-72), y fue confirmado por sus escritos de estudiante (1933-38) descubiertos después de su muerte. Su interés en relacionarlo con el presente contexto aparece en MSA, donde está tachada una explicación previa y es sustituida por los dos párrafos actuales.
Notas a la Introducción
a [15] la palabra 'cuerpo': No hemos localizado un pasaje en el que Agustín diga esto con tantas palabras, pero en las Confesiones habla repetidamente de concebir un ser sin un cuerpo (4, 16; 6, 3; 6, 4; 7, 1; y passim), añadiendo 'Sólo después lo vi claramente' (6, 4). EUGÈNIE PORTALIÉ, A Guide to the Thought of Saint Augustine (Chicago: Henry Regnery Company, 1960) habla de Agustín aprendiendo
de los platónicos, que entendió que Dios no es un cuerpo, y tuvo la habilidad de concebir un ser sin un cuerpo (99). Lonergan había visto el estudio de Portalié en el original francés ('Augustin, Saint,' Dictionnaire de Théologie Catholique [Paris: Letouzey, 1902; reimpr. 1923], tomo I, col. 2268-2472), y se refiere a él (pero en otro contexto) en su escrito Pantôn Anakefalaiôsis [p. 8 del escrito original, publicado posteriormente en METHOD: Journal of Lonergan Studies, 9:2 (1991), pp. 139-72.] Sigue como incógnita si la fuente de Lonergan fue Portalié o su lectura personal. Ver también su anotación en el capítulo 14 (más delante 437) sobre la ayuda que Agustín tuvo de los neoplatónicos en esta materia.
c [15] el experimento de la historia: pudiera referirse a The Unity of Philosophical Experience (New York: Charles Scribner's Sons, 1948), en donde Gilson les llama a las filosofías que él estudia ahí 'una serie de experimentos filosóficos concretos' (p. vii y passim en el volumen). Ver de Lonergan La Palabra y la Idea: Verbum en Aquino, donde considera invitar 'a algún historiador de la estatura del señor Gilson para que describa en experimento histórico de entender el entender y de pensar el pensamiento' (1967: 219); también su reseña [en The Ensign] del libro de Gilson Being and Some Philosophers, donde Lonergan habla de aquellos 'que pueden aprender una lección de los experimentos conducidos por la historia' (1949: 10).
e [16] intelectualista (que no conceptualista): el tratamiento clásico de Lonergan sobre esta pareja ocurre en La Palabra y la Idea ... (1967, Índice, bajo el término Conceptualist); sobre la abstracción ver el cap. 4 de ese libro.
f [16] la pregunta ... la pregunta: esta es una clara pregunta doble, que corresponde claramente a la división correspondiente del libro. Ahora bien, diez años después Lonergan concibió que el Insight respondía 'tres preguntas ligadas entre sí: ¿Qué estoy haciendo cuando conozco? ¿Por qué hacer eso es conocer? ¿Qué conozco cuando conozco?' (1974: 37, en el escrito de 1967 'Las Teorías sobre la Pregunta: Respuestas en un Simposio' 33-42). Según esta nueva concepción, ¿cómo se dividiría el libro? Su respuesta a eso varía un poco, pero una manera era señalar los capítulos 9-13 a la cuestión intermedia (1973); esto enfatiza y les da unidad a esos cinco capítulos que ciertamente tuvieron en la composición. Las tres preguntas están relacionadas con la división que se halla antes en El Entendimiento y el Método (1959a: 48): ciencias del sujeto, ciencias de la objetivación, ciencias del objeto.
h [19] El teorema de Gödel: el teorema de Gödel se publicó en Viena en 1931 (J. van Heijenoort, 'Gödel's Theorem,' Paul Edwards [Editor en jefe], The Encyclopedia of Philosophy 3 [New York: Macmillan and Free Press, 1967] 348-57). Aunque había sido aceptado rápidamente (de suerte que Max Black pudo decir en 1940 que los resultados de Gödel 'ya no se disputaban' [Mind 49: 244]), era todavía reciente cuando Lonergan se refirió a él. La historia subsiguiente parece haber confirmado su apoyo: J. L: Bell, reseñando Collected Works of Gödel, vol. I, lo llama 'el mayor lógico de este siglo, y tal vez de todos los tiempos' (The Philosophical Quarterly 37 [1987] 216).
j [21] haberse dicho bastante: un largo párrafo borrado de MSA hablaba aquí de lo lógico, lo prelógico, y la manera como 'el orden genético de las intelecciones en curso difiere del orden lógico de definir el pensamiento.' Los órdenes genético y lógico están