En los supuestos galileos y newtonianos, las mediciones de la distancia y de la duración eran invariantes, de suerte que, si una medición era correcta en algún marco de referencia, la misma medición debería ser correcta en todos los marcos de referencia que son permisibles.
En la teoría especial de la relatividad lo invariante es el intervalo cuatridimensional ds, donde ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2
De aquí que, si el valor de ds es correcto en cualquier marco de referencia, el mismo {161} valor debe ser correcto en todos los marcos permisibles. Por otra parte, los valores de los componentes espaciales dx, dy, dz, y el valor del componente temporal dt, pueden ser correctos en un marco de referencia sin por eso ser correctos en otros marcos permisibles. Como queda claro por la ecuación anterior, los componentes espacial y temporal pueden asumir cualesquier valores h compatibles con la constancia del intervalo ds.
Es bastante claro que esta teoría exige alguna revisión de las nociones {185} anteriores sobre las magnitudes mensurables, las unidades estándar, el medir y las mediciones. Porque en la visión anterior, una medición de una distancia o duración es un número singular válido en todos los marcos de referencia. En la nueva visión una medición de una distancia o duración parece ser una serie de números que corresponden con una serie de marcos de referencia.
Tal revisión no es sencilla. De ordinario la gente forma sus nociones sobre las mediciones en una época en la que dan por válidas las presuposiciones newtonianas. Después, cuando se enfrentan a la relatividad, son capaces de contentarse con hacer alteraciones obvias, sin repensar las cosas completamente hasta lograr una posición coherente. De ahí resulta una revisión parcial e inadecuada de los conceptos básicos, y esto mismo se manifiesta en una procesión de las supuestas paradojas einsteinianas.
Nuestro propósito es intentar una revisión completa. Primero, examinaremos la paradoja elemental de que las varas de medir de un marco de referencia son a la vez más cortas y más largas que las de otro, y que los relojes de un marco van a la vez más despacio y más aprisa que los de otro. 32 En segundo lugar, desarrollaremos una noción genérica de medición que es independiente de las diferencias entre Galileo y Einstein. En tercer lugar, mostraremos cómo la misma noción genérica admite una diferenciación en las dos visiones específicas.
4.1 La Paradoja Elemental i
Consideremos el par de puntos-instantes, P y Q, que en un marco de referencia K, tenga las coordenadas (x1, t1) y (x2, t2), y en un marco K', moviéndose con una velocidad constante relativa, u, tenga las coordenadas (x'1, t'1) y (x'2, t'2). Entonces, por la transformación de Lorentz-Einstein, escribiendo
H = 1/(1-u2/c2)1/2
uno obtiene fácilmente las ecuaciones x'2 - x'1 = (x2 - x1)H - (t2 - t1) uH (1) t'2 - t'1 = (t2 - t1)H - (x2 - x1) uH/c2 (2)
{162} Ha de notarse que si cualquiera de las ecuaciones (1) y (2) puede obtenerse, entonces pueden obtenerse ambas. Más aún, transformando en dirección opuesta de K' a K, tienen que obtenerse otras dos ecuaciones semejantes a (1) y (2).
{186} Ahora bien, dichas ecuaciones admiten ambas una aplicación espacial y una temporal, y a cada aplicación se le pueden dar tres interpretaciones. La aplicación espacial es suponer que P y Q son las posiciones finales simultáneas de una vara de medir estándar de unidad de longitud en K, de suerte que
x2 - x1 = 1 (3) t2 - t1 = 0 (4) De donde, por las ecuaciones (1) y (2) x'2 - x'1 = H (5) t'2 - t'1 = - uH/c2 (6)
La aplicación temporal es suponer que P y Q son lecturas en segundos sucesivos en un reloj de pared estándar en K de suerte que
x2 - x1 = 0 (7) t2 - t1 = 1 (8) De donde por las ecuaciones (1) y (2) x'2 - x'1 = - uH (9) t'2 - t'1 = H (10)
Según esto, en la medida en que se espera que las unidades estándares de distancia y de tiempo se transformen invariablemente, surge un problema de interpretación, y pueden darse tres respuestas.
concluye de las ecuaciones (8) y (10) que la unidad de tiempo en K' es más corta que la unidad de tiempo en K. Más aún, las conclusiones contrarias se obtienen de las ecuaciones obtenidas por la transformación desde K' a K. Pero muy aparte de esta paradoja, esta interpretación tiene el defecto de decir muy poco sobre las ecuaciones (4) y (6), (7) y (9).
Una segunda interpretación empieza notando que en la relatividad especial los relojes están sincronizados en cada marco de referencia al asumir, no que la simultaneidad sea idéntica, sino que la velocidad de la luz sea la misma constante en todos los marcos de referencia. Según esto, en esta interpretación se toman juntas las ecuaciones (5) y (6), y de golpe es aparente que una distancia entre unas posiciones simultáneas en K se ha transformado {163} en una distancia {187} entre unas posiciones que no son simultáneas en K'. Pero aun el pie de Cenicienta parecería grande si uno midiera la distancia entre la punta de su pie en un instante y el final de su talón en otro; y tal es la visión en K' sobre la unidad estándar de longitud en K. De manera semejante, las ecuaciones (9) y (10) se toman juntas para revelar que, lo que para K es un intervalo de tiempo en el mismo reloj de pared, para K' es una diferencia de tiempo entre relojes en diferentes posiciones. Se sigue que la diferencia de tiempo dada por la ecuación (10) es resultado no sólo de la diferencia de tiempo dada por la ecuación (8) sino también del hecho, subyacente bajo las ecuaciones de transformación, de que en cada marco de referencia, los relojes en diferentes posiciones están sincronizados al asumir que la velocidad de la luz es la misma constante en todos los marcos. En realidad, aunque uno pueda hasta extrañarse de que se dé un problema de sincronización, con todo, concedida esa rareza inicial, ya nada más es raro en las ecuaciones (3) a (10) ni en las ecuaciones semejantes obtenidas cuando uno transforma de K' a K.
Una tercera interpretación se da en términos del espacio de Minkowski. Éste afirma que, dentro del contexto de la relatividad especial, es un disparate suponer que una diferencia de posición sea una entidad meramente espacial, o que una diferencia en el tiempo sea una entidad meramente temporal. De aquí que una vara estándar de medir sea espacio-temporal: no es meramente una distancia entre dos posiciones; es una distancia entre una posición x1 en un tiempo y1, y por otra parte una posición x2 en un tiempo t2. De manera semejante, un reloj estándar es espacio-temporal: él no señala simplemente diferencias temporales; él señala una diferencia entre un tiempo t1 en una posición x1 y un tiempo t2 en una posición x2. Más aún, una unidad en cualquier vara estándar de medir determina un único intervalo espacio-temporal invariante para todos los marcos de referencia, es decir, la unidad; y una unidad en cualquier reloj estándar determina un único intervalo espacio temporal invariante para todos los marcos de referencia, a saber, ic. 33 Sin embargo, aunque las varas de medir y los relojes estándar determinan los mismos intervalos espacio-temporales para todos los marcos de referencia, con todo, estos intervalos invariantes se dividen diferentemente en unos componentes espaciales y temporales en diferentes marcos de {164} referencia. De aquí que uno puede distinguir entre marcos normales y anormales introduciendo las definiciones:
{188} Un marco de referencia es normal para las mediciones si las diferencias de posición tienen un componente temporal que sea cero, y las diferencias de tiempo tienen un componente espacial que sea cero.
Un marco de referencia es anormal para las mediciones si las diferencias de posición tienen un componente temporal que sea no cero, y las diferencias de tiempo tienen un componente espacial que sea no cero.
Operativamente esto significa que los marcos de referencia, las varas de medir, los relojes, y los objetos mensurables estarían relativamente en reposo si las mediciones de uno no se han de complicar por las ambigüedades de la paradoja elemental.
Finalmente se puede notar que, mientras que la primera interpretación difiere de las otras dos, la segunda y la tercera son compatibles y complementarias. Porque la segunda explica las diferencias que surgen en las unidades de transformación de distancia y tiempo subrayando que, cuando la velocidad relativa es no cero, las ecuaciones de transformación recaen sobre una técnica peculiar de sincronización, mientras que la tercera interpretación sistematiza todo el asunto advirtiendo las invariantes espacio-temporales y notando que estas invariantes se dividen diferentemente en unos componentes espaciales y temporales en diferentes marcos de referencia. Queda, sin embargo, el que se diga algo sobre la noción general de medición presupuesta por la segunda y tercera interpretación.
4.2 La Noción Genérica de Medición
La investigación empírica se ha concebido como un proceso que pasa desde la descripción hasta la explicación. Empezamos con las cosas en cuanto relacionadas con nuestros sentidos. Terminamos con las cosas en cuanto relacionadas entre sí. Las clasificaciones iniciales se basan en semejanzas sensibles. En cambio, conforme se desarrollan las correlaciones, las leyes, las teorías, los sistemas, así también las 33 Este intervalo invariante s, puede obtenerse de las ecuaciones
clasificaciones iniciales sufren una revisión. La semejanza sensible ha dejado de ser significativa, y las definiciones consisten en términos técnicos que se han inventado como consecuencia del avance científico. De esta manera las clasificaciones biológicas han sentido el impacto de la teoría de la evolución. Los compuestos químicos se definen recurriendo a los elementos químicos. Los elementos químicos se definen por sus relaciones recíprocas en una tabla periódica que tiene sitio para elementos que todavía no se han descubierto o sintetizado. Las nociones básicas de la física son una masa que es distinta del peso, una temperatura que difiere de la intensidad de la sensación de calor, y los campos vectoriales electromagnéticos.
{165} Ahora bien, la técnica principal para realizar el paso desde la descripción hasta {189} la explicación es la medición. Nos alejamos de los colores en cuanto vistos, de los sonidos en cuanto oídos, del calor y la presión en cuanto sentidos. En su lugar determinamos los números llamados mediciones. En virtud de esta substitución somos capaces de volvernos desde las relaciones de los términos sensibles, que son correlativos a nuestros sentidos, hasta las relaciones de los números, que son correlativos entre sí. Tal es la significatividad y función fundamental de la medición.
Además, al construir estas relaciones numéricas de las cosas entre sí, se introduce una casi necesaria simplificación del arreglo. Si fuera teóricamente posible, no sería práctico relacionar las cosas entre sí estableciendo separadamente las relaciones de cada una con todas las demás. Un procedimiento a la vez más simple y más sistemático es seleccionar un tipo de cosa o magnitud, relacionar todas las otras directamente con ella, y dejarle a la inferencia deductiva las relaciones de las otras entre ellas mismas. Así en lugar de señalar que Fulano es 1/10 más alto que Zutano, Zutano 1/20 más corto que Mengano, y Mengano 9/209 más corto que Fulano, uno selecciona una magnitud arbitraria como unidad estándar y mide a Fulano, Zutano y Mengano no en términos de uno a otro, sino en términos de pies o centímetros.
Una unidad estándar es, pues, una magnitud física entre otras magnitudes físicas semejantes. Su posición de privilegio se debe a la simplicidad sistemática de implicar las relaciones de cada una de estas magnitudes con todas las otras estableciendo sólo las relaciones de todas con una sola.
Al seleccionar y determinar las unidades estándar se da un elemento convencional, arbitrario, y además hay un elemento teórico mucho más grande. Es una cuestión de convención el que el pie estándar sea la longitud entre unas señales que se hallan en una barra a cierta temperatura en un lugar dado. Es arbitrario que suceda que el pie tenga la longitud que tiene, ni más ni menos. Por otra parte, los aspectos restantes de la unidad estándar tienen su base en un conocimiento teórico supuesto o adquirido. ¿Qué es la longitud? ¿La longitud varía con la temperatura? ¿La longitud varía al cambiar el lugar o el tiempo? ¿La longitud varía al cambiar los marcos de referencia? Estas son preguntas relevantes. Si sus respuestas se apoyan en los resultados de la ciencia empírica, ellos están sujetos a revisión cuando estos resultados llegan a revisarse. Si sus respuestas pueden obtenerse sólo recurriendo al campo de las suposiciones y presunciones básicas, ellas serán metodológicas y estarán sujetas a las revisiones de la metodología.
{166} El punto fundamental por captarse aquí es un punto que ya se ha señalado. Lo absoluto no reside en el nivel de las presentaciones sensibles, {190} sino en el campo de las proposiciones abstractas y las expresiones invariantes. La constancia en el tiempo de la longitud de una barra metálica estándar no puede afirmarse comparando su longitud de ayer con su longitud de hoy; el campo de las cosas observables se limita al presente lugar y tiempo; la longitud de hoy de la barra puede observarse, si hoy estás en el lugar correcto; pero la longitud de ayer ha salido del campo de las cosas observables, y la de mañana todavía no se ha presentado. Queda el que la constancia en el tiempo de la longitud de la barra sea una conclusión basada en el conocimiento general. Uno asegura, lo mejor que uno puede, todas las maneras como las barras metálicas pueden cambiar de longitud; uno toma las precauciones para impedir que ocurra cualquier cambio en el estándar; y uno concluye que, por lo que sabe, no se ha dado ningún cambio. En otras palabras, la constancia del estándar es una conclusión basada en la invariancia de las leyes, y una revisión de las leyes llevará a una nueva determinación de los requisitos estándar.
Esta posible revisión de estándares plantea un rompecabezas lógico. ¿Cómo -- uno puede preguntar -- se pueden alcanzar nuevas leyes excepto mediante mediciones basadas en estándares antiguos? ¿Cómo pueden ser correctas las nuevas leyes si los antiguos estándares estaban errados? ¿Cómo pueden unas leyes incorrectas llevar a la corrección de antiguos estándares? Tras dichas preguntas se oculta una presuposición errada. La ciencia no avanza deduciendo nuevas conclusiones de premisas antiguas. La deducción es una operación que ocurre sólo en el campo de los conceptos y las proposiciones. En cambio, el avance de la ciencia, como hemos visto, es un ciclo que va desde los datos hasta la pregunta, desde la pregunta hasta el chispazo inteligente, desde el chispazo inteligente hasta la formulación de premisas y hasta la deducción de sus implicaciones, desde esa formulación hasta las operaciones materiales que dan nuevos datos y que, en el límite, generan el nuevo grupo de chispazos inteligentes llamado un punto de vista superior. Una revisión básica, pues, es un salto. De golpe, es una captación de la insuficiencia de las antiguas leyes y de los antiguos estándares. De un golpe genera las nuevas leyes y los nuevos estándares. Finalmente, por la misma verificación, ella establece el que las nuevas leyes y los nuevos estándares satisfacen los datos.
unidad estándar hasta la determinación del número llamada medición. En cada etapa del desarrollo {167} de una ciencia, estas definiciones se formarán a la luz del conocimiento adquirido o supuesto. Pero en cada etapa subsiguiente está la posibilidad de más adquisiciones y de nuevas suposiciones, y así, {191} de una revisión de las definiciones. Dicha revisión no implica la deducción de nuevas conclusiones desde las premisas antiguas, sino un salto hasta nuevas premisas.
Tal es, pues, la noción genérica de medición. Claramente contiene dentro de sí misma la posibilidad de diferenciaciones sucesivas que son el resultado de unas revisiones que ocurren en el campo abstracto de las definiciones, principios, y leyes. Ahora debemos volver nuestra atención a la revisión implicada en las nociones de las mediciones espaciales y temporales por la teoría especial de la relatividad.
4.3 Diferenciaciones de la Noción Genérica de Medición Empecemos distinguiendo (1) el tamaño, (2) la longitud, y (3) la medición.
Llamamos tamaño a la magnitud, aparte de cualesquiera concepciones geométricas. Es un conjugado experiencial elemental, y ha de caracterizarse en términos de experiencias simples.
Así, el tamaño espacial puede indicarse suficientemente diciendo que varía de dos maneras. Varía de una manera externa, en la medida en que cuanto más cerca está más grande parece. También varía de una manera interna, en la medida en que se expande o se contrae.
De manera semejante, el tamaño temporal varía de dos maneras. Está la variación externa, llamada tiempo psicológico, que corre aprisa cuando estamos interesados, y va lento cuando estamos aburridos. También están las diferencias internas entre los tamaños de las duraciones; veinte años es un tiempo largo, aunque uno no esté en prisión; y un segundo es un tiempo corto, aunque sí lo esté.
Llamamos longitud al tamaño en cuanto encaja en una construcción geométrica.
La longitud espacial, en una primera aproximación, parece ser simplemente un tamaño en una sola dirección o dimensión. Con todo, uno tiene que usar alguna expresión tal como dirección o dimensión. Este hecho no sólo hace pensar en el análisis del tamaño como longitud, anchura y profundidad, sino también en el requisito de que la longitud se tenga que tomar en una línea recta o geodésica. Además, los extremos de una línea recta o geodésica son unos puntos, mientras que los extremos de un tamaño difícilmente son sólo puntos; se sigue que el tamaño del objeto material debe haberse sometido a algún análisis geométrico detallado, {168} de suerte que las fronteras del tamaño tengan alguna correspondencia única con unos puntos en una línea recta. Finalmente, los objetos materiales pueden estar variando internamente de tamaño, y pueden estarse moviendo localmente; un objeto en expansión o contracción tiene una serie de longitudes y una serie de instantes; un objeto que se mueve sucesivamente se halla entre dos series de posiciones limitantes; y así se sigue el que {192} la longitud de un objeto dependa no sólo de una geometría espacial, sino también de las determinaciones del instante y de la simultaneidad.
La longitud de una duración puede determinarse sólo añadiéndole un análisis mecánico al geométrico. Ahí tiene que descubrirse alguna velocidad constante o alguna periodicidad regular. El tamaño espacial atravesado por la velocidad ha de concebirse en términos de longitud y dividido en partes iguales. Finalmente, mientras que la longitud de una sola duración puede determinarse contando las partes atravesadas o los períodos recurrentes, con todo, hay muchas duraciones; ellas tienen que relacionarse entre sí de alguna manera; y así ahí debe desarrollarse alguna determinación general de simultaneidad o sincronización.
Se ha notado que los tamaños difieren de dos maneras; internamente, en virtud de las expansiones y contracciones, prolongaciones y recortes; externamente en virtud de la posición relativa de nuestros sentidos y de la calidad de nuestros estados subjetivos. La ventaja obvia de la noción de longitud es que elimina las diferencias de tamaño meramente externas. Con todo, uno no debe brincar a la conclusión de que, por tanto, la longitud se mostrará invariante. Como se ha visto, las determinaciones de la longitud dependen de las determinaciones de la simultaneidad, y puede ser que la simultaneidad no sea invariante. Igualmente, las determinaciones de la longitud dependen del supuesto de alguna geometría específica, y puede suceder que la geometría específica, verificada en el Espacio y el Tiempo, no mire la longitud como invariante.