CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
En el presente capítulo se realizara una síntesis de los antecedentes de la investigación, los cuales no son más que otras investigaciones que se tomaran como base en referencia a la actual. Así mismo este capítulo enfoca las bases teóricas que van apegadas al cuadro de operacionalizacion de las variables para finalmente operacionarla de manera que pueda ser debatida teóricamente y que en futuros capítulos pueda darse respuesta a la problemática planteada.
1. Antecedentes de la Investigación.
Los antecedentes reflejan los avances y el Estado actual del conocimiento en un área determinada y sirven de modelo o ejemplo para futuras investigaciones. Según Fidias Arias (2004).Se refieren a todos los trabajos de investigación que anteceden al nuestro, es decir, aquellos trabajos donde se hayan manejado las mismas variables o se hallan propuestos objetivos similares; además sirven de guía al investigador y le permiten hacer comparaciones y tener ideas sobre cómo se trató el problema en esa oportunidad. Es por ello que se tienen los siguientes antecedentes los cuales fueron ordenados cronológicamente según su aparición:
Inicialmente se tiene la investigación de Hernández (2016) titulada:
Sistema de control para la regulación de la temperatura de agua de extracción en un condensador de una planta termoeléctrica. Presentada ante la Universidad Dr. Rafael Belloso Chacín para optar al grado de Magister en Ingeniería de Control y Automatización de procesos. La presente investigación tuvo como objetivo principal proponer un Sistema
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de control para la regulación de la temperatura de agua de extracción en un condensador de una planta termoeléctrica.
La delimitación del estudio se abordó en el complejo termoeléctrico General Rafael Urdaneta (Termozulia), específicamente la planta Termozulia I. La misma estuvo sustentada teóricamente por Ljung (1998), Ogata (2000), Aboukeir (2006) y Seborg (2010). La metodología utilizada en la investigación fue descriptiva de diseño de campo, no experimental.
La investigación estuvo conformada por cuatro (4) fases. Inicialmente la descripción del sistema de condensación que lleva a cabo la turbina de vapor a través del intercambiador de calor, seguidamente Modelado matemático Experimental, luego el Diseño de diversos controladores avanzados y finalmente Validación mediante simulaciones el comportamiento del control seleccionado frente al regulador en modo manual actual.
Como resultados se obtuvieron en cuanto a la identificación de sistemas y determinación del modelo matemático que el sistema se ajustó en su dinámica Lineal a un sistema de primer orden para la variable temperatura mientras que el flujo de vapor alcanzo un segundo orden. Por otra parte se prepararon configuraciones como el PID en Cascada y un control moderno como lo es el PI-optimo. Finalmente estos resultados fueron cotejados entre si dando como resultado la eficiencia de un controlador PI-óptimo con tiempos de estabilización de 100 minutos y regulación en lazo cerrado frente a los 500 minutos actuales, por lo que se alcanzó el objetivo primordial de la investigación.
El aporte de esta investigación se orienta a lo metodológico en primera instancia debido a la contribución en el procedimiento de diseño de un control en cascada como solución a la regulación de temperatura en el reactor de producción de óxido de etileno (R-110) en la planta PRALCA. Así mismo se orienta desde el ámbito practico por las simulaciones en tiempo real que se tomaron como referencia para la composición de un diseño funcional en tiempo de planta para poder brindar una alternativa de respuesta ante la situación presente.
Seguidamente se tiene el trabajo de Rincón (2016) titulado Sistema de control para regular la combustión en una caldera acuotubular, llevado a cabo en la Universidad Dr. Rafael Belloso Chacín para optar al grado de Magister en Ingeniería de Control y Automatización de Procesos. El trabajo tiene como propósito, analizar el sistema de combustión en una caldera acuotubular, y en el mismo, mediante un software de simulación, estudiar el sistema de control que mejor se adapte de acuerdo a las exigencias del proceso, y de esta manera optimizar dicho sistema de combustión.
Para lograr los mejores resultados, es necesario el análisis y evaluación de todas y cada una de las variables manipuladas y controladas, que intervienen en dicho proceso, tales como: flujo, presión, temperatura, nivel. El objetivo general de la investigación fue desarrollar un control hibrido para el mejoramiento del proceso de combustión en caldera acuotubular de la empresa Pralca. En cuanto al tipo y diseño de la investigación se establece como descriptiva y experimental, respectivamente, ya que fue necesaria la intervención, manipulación, y toma de datos de cada una de las variables que intervienen en el mencionado proceso.
La metodología se cubrió en tres fases bien definidas. Fase I Descripción e identificación del proceso y las variables actuantes en el proceso de combustión en la caldera acuotubular. Fase II Modelación Matemática y diseño del sistema de control Hibrido. Fase III Validación de modelos obtenidos frente a modelos preestablecidos por el fabricante. La investigación arrojo resultados satisfactorios pudiéndose diseñar nuevos esquemas de control en cascada y multivariable respectivamente. Estos esquemas presentaron mejoras en su respuesta en la variable de control pudiéndose notar que el control cascada reacciona a los 5 minutos una vez encendido el circuito hidráulico de la caldera mientras que el control multivariable permite desacoplar las variables de temperatura, concentración de oxígeno y flujo de combustible necesarias para obtener
tiempos de respuesta entre 10 y 15 minutos en el inicio del calentamiento en la caldera respectivamente.
El aporte de esta investigación, estuvo relacionado directamente y de manera teórica con las bases y fundamentos de diseño de controladores PID en cascada para regular variables dinámicas agresivas. La actual investigación presenta el control de temperatura por presión de manera agresiva agrupándola en un lazo de control en cascada respectivamente por lo que es de suma importancia el conocimiento teórico y de diseño de este esquema de control avanzado.
Siguiendo con la investigación de Ramos (2016) que llevo por título:
Control avanzado multivariable del sistema de enfriamiento de reactores fase liquida en una planta productora de polipropileno desarrollada en la Universidad Dr. Rafael Belloso Chacín para optar al grado de Magister en Ingeniería de Control y Automatización de procesos. Esta Investigación tuvo como objetivo Proponer un control avanzado multivariable en el sistema de enfriamiento de los reactores de fase liquida en una planta productora de polipropileno.
En la tecnología “Hypol” del licenciante “Mitsui Petrochemicals”, el proceso de producción de polipropileno es continuo y utiliza como materia prima fundamental propileno. La polimerización de polipropileno es una reacción exotérmica que se lleva a cabo mediante un mecanismo de crecimiento de cadena, en el cual el calor de reacción generado durante la polimerización líquida en los reactores se remueve mediante un sistema de reflujo y condensación de gases, donde el soplador de gas de circulación envía gas de reciclo a través del reactor, el cual es luego enfriado en el condensador parcial y devuelto nuevamente al reactor.
Para la evaluación de esta unidad de proceso se desarrolló un modelo riguroso en estado estacionario basado en el complemento Aspen EDR del simulador Aspen Plus, a partir del cual se determinó que no existen restricciones de remoción de calor por diseño. A partir de estos resultados, se definió una simulación dinámica del reactor y de su sistema de enfriamiento mediante la herramienta Aspen Hysys Dinamics y se
diseñó un sistema de control avanzado de tipo cascada actuando sobre las variables de operación (flujo y temperatura). Como resultado del diseño de este sistema, se consiguió mantener un control sobre la variable temperatura del reactor de forma eficiente y visualizar de forma global la regulación termodinámica del sistema con la implementación de controles virtuales.
El aporte de la presente investigación estuvo orientado de manera técnica hacia el funcionamiento de reactores químicos bajo un enfoque teórico pudiéndose notar los diversos esquemas de control avanzado que este puede tener en su dinámica de programación con la finalidad de mantener al variable térmica en un punto deseado. Así mismo esta investigación describe el funcionamiento de los reactores, sus partes y componentes, información valiosa para la metodología de funcionamiento del presente reactor en la planta PRALCA. C.A.
Según Álvarez (2013) propuso una investigación que llevo por título:
metodología para el diseño de control total de planta. Trabajo de grado para optar al grado Magíster en Ingeniería – Ingeniería Química de la universidad Nacional de Colombia. El propósito de esta investigación fue desarrollar una metodología para el diseño de control total en una planta química en Medellín, Colombia.
En esta Tesis se presenta una metodología basada en la controlabilidad para selección de estructuras de control como una aproximación al control total de planta. Inicialmente se presenta una definición y las perspectivas de control total de planta. Para desarrollar la metodología, se hace énfasis en el concepto de controlabilidad, se estudian las herramientas existentes para el diseño y selección de estructuras de control, principalmente la matriz de ganancias relativas y el análisis de valores singulares. La metodología propuesta utiliza una representación del sistema basada en las matrices de controlabilidad y observabilidad, conocida como la matriz de Hankel.
Esta matriz representa el comportamiento dinámico del proceso en términos entrada-salida. Por medio de una descomposición en valores singulares se propone calcular el impacto dinámico de cada variable en el sistema y con base en dicho impacto se formula un criterio de selección de pareamientos de variables. La aproximación es aplicada a la planta Tennessee Eastman parcialmente controlada, en un nivel superior donde los lazos son interactuantes y en un nivel inferior donde las dinámicas son más rápidas pero se presenta una menor interacción. Estos resultados se comparan con el método de ganancias relativas. Finalmente se presentan las conclusiones y los trabajos futuros.
Esta investigación tuvo un aporte relevante en los modelos matemáticos que se obtuvieron a partir de la experimentación en diversas plantas de la región. Así mismo se establecen lazos de control acordes a la dinámicas de control obtenidas lo que representa un aporte adaptativo a las teorías de control clásicas avanzadas y modernas respectivamente dándole solución a problemática de sistemas no lineales como se presenta en esta investigación
Siguiendo con Hernández (2013) los cuales desarrollaron una investigación que llevo por título Identificación y control en cascada mediante inversión de no linealidades del cuatrirrotor. Publicada en la revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial RIAI.
Volume 10, Issue 3, July–September 2013, Pages 356-367. La presente investigación busco identificar y controlar en cascada mediante la inversión de no linealidad un cutrirrotor.
En este trabajo se describen los análisis y los procesos realizados para obtener la identificación del modelo y el diseño del controlador, así como su posterior implementación, para el cuatrirrotor de tipo Parrot AR- Drone. El objetivo de este trabajo es el control del seguimiento autónomo de trayectorias en el plano horizontal XY, definidas de forma flexible por el usuario. La fase de identificación se caracteriza por la separación del modelo en una parte lineal y otra no-lineal, dando lugar a un modelo de tipo Hammerstein.
El control está caracterizado por la utilización de un controlador en cascada, con lazo interno de control de velocidad y lazo externo de control de posición. Como elementos característicos, resaltan que: el controlador de velocidad incluye una linealización estática del modelo, y el lazo de posición incluye un bloque no lineal para disminuir el error de seguimiento de la trayectoria pero utilizando una lógica sencilla de tipo controlador de posición.
El aporte fundamental de esta investigación estuvo orientado a la teoría de identificación de sistemas experimentales pudiendo definir para la presente investigación una metodología de modelado matemático con rasgos similares a la que presentan los autores en cuestión y poder describir por completo la dinámica del reactor R-110 en la planta PRALCA. C.A pudiendo así regular la temperatura del óxido de etileno a la salida del mismo.
Finalmente la investigación propuesta por Grajales (2011) titulada:
Control en Cascada por Metodos Difusos. Publicada en la Revista Scielo.
Rev.EIA.Esc.Ing.Antioq no.8. Print version ISSN 1794-123. El objetivo primario de esta investigación fue el diseñar esquemas de control en cascada por la sintonización de controladores por métodos difusos utilizando la herramienta LabVIEW®
Este artículo describe el desarrollo de un control en cascada de flujo y nivel por métodos de lógica difusa, evaluando los algoritmos de control Mamdani y Takagi-Sugeno implementados en un sistema de mosto para la fabricación de etanol. Los algoritmos de control fueron previamente simulados en MATLAB y desarrollados en la plataforma de programación gráfica de LabVIEW 7.1 de National Instruments.
La metodología de esta investigación fue aplicada de campo con una planta piloto como unidad de análisis primaria. Los resultados fueron satifactorios al poder implementar un controlador en cascada por métodos difusos pudiéndose valer de métodos de identificación paramétricas para el modelado matemático del flujo y nivel y consiguiendo a través del control una regulación de flujo cercana a los 400 segundos y de 50
segundos para el nivel respectivamente en comparación con los controles clásicos que datan entre los 1500 segundos y 100 segundos con altos sobre pasos en su dinámica en estado transitorio.
El aporte de esta investigación se deriva hacia la implementación del control en cascada a través de la herramienta LabVIEW® dicha herramienta la cual se utilizara en la presente investigación como un software de apoyo para la consecución y sintonización del regulador en cascada que determine la validación de la presente investigación y solución a la problemática planteada anteriormente.
2. Bases teóricas
Según el libro de técnicas de documentación e investigación de la Universidad Nacional Abierta (1991) las bases teóricas son el conjunto de proporciones teóricas interrelacionados que fundamentan y explican aspectos significativos de tema o problema de estudio y lo sitúan dentro de un área específica o determinada del conocimiento. A continuación se relataran bibliográficamente y acordes al cuadro de operacionalizacion de la variables las diversas vertientes y aporte de los diversos autores.
2.1. Control en cascada para la regulación de temperatura en el reactor de producción de óxido de etileno (r-110)
La estructura de control en cascada tiene dos lazos un lazo primario con un controlador primario también llamado “maestro” K1(s) y un lazo secundario con un controlador secundario también denominado “esclavo”K2(s), siendo la salida del primario el punto de consigna del controlador secundario La salida del controlador secundario es la que actúa sobre el proceso para brindarle robustez y confiabilidad al mismo. Seborg (2000).
Figura 1. Estructura de control en cascada.
Fuente: Seborg (2000).
Se define como la configuración donde la salida de un controlador de realimentación es el punto de ajuste para otro controlador de realimentación, por lo menos. Más exactamente, el control de cascada involucra sistemas de control de realimentación o circuitos que estén ordenados uno dentro del otro. Existen dos propósitos para usar control cascada: 1. Eliminar el efecto de algunas perturbaciones haciendo la respuesta de regulación del sistema más estable y más rápida. 2. Mejorar la dinámica del lazo de control. Sanchez (2002)
El control en cascada consta de dos lazos de realimentación, uno de los cuales es interno al otro. Su objetivo es el de mejorar el desempeño de un lazo de control realimentado que no funciona satisfactoriamente, aunque su controlador esté bien sintonizado, debido a la lentitud de respuesta de su variable controlada, que entra en diferentes puntos del lazo y cuyo efecto sobre la variable controlada no se puede detectar rápidamente, desmejorando la controlabilidad.. Una de las principales aplicaciones del control en cascada es en procesos donde la variable manipulada es un fluido de servicio (como el agua o el vapor) sometido a perturbaciones. En el control en cascada la salida del lazo externo o principal, llamado el control maestro, fija el punto de referencia del lazo interno o secundario, denominado el controlador esclavo
2.1.1. Proceso que lleva acabo el reactor de producción de óxido de etileno (R-110) en la planta PRALCA
Según Mata (2010) Un proceso es una secuencia de pasos dispuesta con algún tipo de lógica que se enfoca en lograr algún resultado específico. Los procesos son mecanismos de comportamiento que diseñan los hombres para mejorar la productividad de algo, para establecer un orden o eliminar algún tipo de problema. El concepto puede emplearse en una amplia variedad de contextos, como por ejemplo en el ámbito jurídico, en el de la informática o en el de la empresa. Es importante en este sentido hacer hincapié que los procesos son ante todo procedimientos diseñados para servicio del hombre en alguna medida, como una forma determinada de accionar.
Proceso es un conjunto o encadenamiento de fenómenos, asociados al ser humano o a la naturaleza, que se desarrollan en un periodo de tiempo finito o infinito y cuyas fases sucesivas suelen conducir hacia un fin específico. La industria petroquímica y de alcoholes encadena una serie de procesos por reacciones exotérmicas, los sistemas de ebullición y sus balances de masas y energía que garantizan que un elemento reactor este en óptimas condiciones para expulsar un producto de salida acorde.
Cengel (2016)
2.1.1.1. Reacción Exotérmicas
Es aquella reacción donde se libera calor, esto significa que la energía de las moléculas de los productos (EP) es menor que la energía de las moléculas de los reaccionantes (ER). En las reacciones químicas exotérmicas se desprende calor, el delta de la entalpia es negativo y significa que la energía de los productos es menor que la energía de los reactivos, por ejemplo en las reacciones de combustión. Chang (2010)
Durante las reacciones químicas puede producirse absorción o liberación de energía. Esto indica que tanto los reaccionantes como los productos contienen calor que es característico de su masa. El contenido de calor es una medida de la energía que está acumulada por una sustancia durante su formación. La combustión del metano es una reacción de tipo exotérmico: CH4 (g) + 2O2(g) CO2(g) + 2H2O(g) + 213 Kcal.
Energía calorífica y temperatura: Si una muestra de agua a una temperatura conocida (Temperatura inicial = Ti) se calienta durante un cierto tiempo, se observa un incremento de su temperatura. Al medir la nueva temperatura se obtiene la Temperatura final (Tf), la variación de la temperatura en la muestra se calcula restando la Tf menos la Ti y el resultado se denomina T. Gonzalez (2010)
Según Peña (2010) La naturaleza es un enorme laboratorio químico donde se verifican continuamente innumerables reacciones químicas, así mismo, en nuestro cuerpo se llevan a cabo gran cantidad de procesos químicos que nos permiten realizar nuestras funciones vitales y actividades, como despertar, caminar, respirar y pensar, por mencionar unas cuantas. En todas las reacciones químicas se manifiestan cambios de energía y la termoquímica estudia los cambios energéticos y las relaciones de masa que ocurren éstas. Esta energía puede ser absorbida o liberada en forma de energía térmica, luz, electricidad y mecánica.
Cuando una reacción libera energía en forma de calor o energía térmica al entorno se dice que la reacción es exotérmica y cuando la energía es suministrada del entorno para que se efectúe la reacción es endotérmica.
En una reacción exotérmica la energía contenida en los reactivos es mayor que la requerida en la formación de los productos, por esta razón la energía no utilizada se libera.
2.1.1.1.1. Conversión de etileno
Las olefinas son hidrocarburos con doble enlaces carbono – carbono.
El término olefinas proviene del término inglés olefiant gas, que significa
"gas formador de aceite". Estos se encuentran en los procesos industriales más importantes. Existen muchos tipos de olefinas, pero las más importantes son el Etileno y el Propileno. El etileno o eteno (H2C=CH2) es un compuesto químico orgánico formado por dos átomos de carbono enlazados mediante un doble enlace. Es uno de los productos químicos más importantes de la industria química. Se halla de forma natural en las plantas.
El propeno (CH2=CH–CH3) es un hidrocarburo perteneciente a los alquenos, incoloro e inodoro. Es un homólogo del etileno. Como todos los alquenos, presenta el doble enlace como grupo funcional. Existen varias formas para obtener olefinas, pero nosotros nos vamos a centrar en la producción de Etileno y Propileno a partir del gas natural o Propano y Etano; esta misma materia prima es la que se usa en la Planta de Olefinas I y II, este documento es en referencia a Olefinas I del Complejo Petroquímico Ana Maria Campos (Antiguo Complejo Petroquímico El Tablazo) ubicado en los Puertos de Altagracia, Estado Zulia, Venezuela (Pequiven S.A.).
Según Pequiven (2000) Está la alimentación de materia prima que es el propano y etano a un 95% y 95.5% de pureza respectivamente, esto ocurre de forma líquida a una presión de 17,6 kg/cm2 y 38 ºC. Este gas pasa por una sección de hornos, en total hay 9 hornos, en los cuales hay 7 hornos con celdas simples y 2 con celdas dobles, cada celda con la misma capacidad que la otra. En estas celdas se va a realizar la pirolisis con una mezcla de vapor de agua con los hidrocarburos, con una relación de 0,3 kg de vapor de agua sobre kg de hidrocarburo; la pirolisis para el Etano ocurre a 843 ºC y de 826 a 843 ºC para el propano.
Durante el craqueo del etano se produce etileno, hidrógeno en mayor proporción; y metano, acetileno, etano, propeno, propileno, propano, propadieno, hidrocarburos más pesados, coque, dióxido de carbono, monóxido de carbono, agua en menor proporción. Mientras que el craqueo del propano se produce básicamente lo mismo la una diferencias es que el etileno, Propileno, hidrógeno se encuentran en mayor proporción. Y el resto de los subproductos permanecen constantes. Los hornos tienen capacidad de craquear etano a un 64% de conversión (los dos tipos de hornos), mientras que los hornos dobles craquean propano a un 90%, mientras que los sencillos a un 75%, alcanzando una conversión global de 80%. El coque generado no sigue en la mezcla, este se adhiere a los paneles de los hornos, haciendo con el paso del tiempo menos efectivos estos, por lo que se necesitan retirarse de los hornos para los sencillos cada 80 días y para los dobles cada 60 días, y retirarle todo el coque que contiene.
Luego de la pirolisis se necesita descender la temperatura súbitamente, porque si los dejó a la temperatura de la cual salió del horno continuaría reaccionando alterando los resultados y se obtendrían resultados no convenientes para el proceso, por lo que se pasa por un quench enfriador, para descender la temperatura a 333ºc aproximadamente. Luego se enfría de nuevo para luego pasarlo por una torre de lavado con agua, donde se usa agua a contracorriente, a unas condiciones y los compuestos de más de cinco carbonos caen en forma líquida y los compuestos más livianos se salen en forma de vapor. El aceite pesado es retirado, mientras que los compuestos livianos son llevamos a un compresor, donde este consta de 5 partes, debido a que se necesita aumentar mucho la presión, es más factible aumentar la presión por partes, y no súbitamente. Solo usaremos 4 de los 5, el último sabremos su utilidad más adelante.
En la muestra de mezclas de compuestos existe una cantidad considerable de acetileno, este no se puede dejar en esta mezcla ya que es dañino para los catalizadores de las industrias que se basan en esta materia prima, a tal punto que los desactiva o envenena. Para esto se lleva a una torre de conversión de acetileno, que tiene doble función, convertir el acetileno y propadieno en etileno y Propileno respectivamente.
Para esto primero se pasa por un horno convertidor que tiene 2 funciones esenciales, la primera agregar a la mezcla n-Butil mercapno, luego se controla la temperatura del horno para que el gas procedente del compresor hasta llegar a los 200ºC a esa temperatura el n-Butil mercapno se convierte en ácido sulfhídrico más un ion butilo, el ácido sulfhídrico debe estar presente en la mezcla entre 3 y 50 ppm. Luego que termina de darse este proceso se pasa a la sección de conversión de acetileno.
En esta área la mezcla obtenida en el horno de conversión se le agrega un catalizador que está hecho de cobalto, níquel y cromo soportado en alúmina, este catalizador es altamente selectivo, este va a evitar que en el convertidor de acetileno se hidrogene etileno, y solo hidrogene al acetileno y propadieno, que lo hace en conjunto con el H2S, el H2S actúa como un promotor (Las reacciones que se llevan a cabo en el convertidor catalítico se verán en la figura 2)esta reacción dura 60 días, no se puede dejar más tiempo porque se podría hidrogenar el etilenos, que es las, materia que queremos obtener como producto.
Ahora tenemos en el proceso una cantidad de H2S que se deben retirar, para ello se lleva a una torre de lavado caustico, en esta se usa soda en contracorriente con agua, la soda con una concentración de 7%, en la reacción hay CO2 y H2S que al hacerlas reaccionar con la soda darán las reacciones de la figura 3. Luego que reaccionan se producen sulfuro de sodio y carbonato de sodio, que son condensados por su alto peso molecular. Los elementos más livianos salen en forma de vapor a una torre es llevado a una secadora, pero antes paso por un tambor donde se separan los compuestos más pesaos de las más livianos. Los más livianos pasan a un despojador de dripolenos, mientras que los más
livianos pasan por un tambor para retirar los líquidos, para luego eliminar la humedad. Después de esto es comprimido nuevamente por el compresor que no utilizamos de los 5, para luego pasar a la sección de enfriamiento.
Según Chang (2010) En la sección de enfriamiento la temperatura es bajada a -34ºC, de aquí en adelante lo que queremos es purificar el compuesto lo más que se pueda, tratando de retirar las impurezas o subproductos que no son necesarios. Luego de la sección de Enfriamiento se procede a pasar por la torre predemetanizadora, esta tiene 30 patos y una temperatura de 15ºC, a la cual los compuesto como el hidrógeno, metano, con algunos rastros de etano y etileno son evaporados, para eliminar los compuestos mayores a dos carbonos se pasa por la torre desmetanizadora que opera a unas condiciones en el fondo de 0 ºC y en la parte superior de 90 ºC cual se logra separar la \ mayoría de los compuestos de 2 carbono y luego el metano e hidrógeno que se evaporan y suben por la columna son llevamos a la sección de enfriamiento para luego recolectarlos y enviarlo como combustible para el primer horno para la pirolisis.
Los compuestos que condensaron en las torres de predemetanizador y demetanizador son llevamos a la torre de deetanizadora, que separa el etano y etileno de los compuestos más pesados, en este caso el acetilenos y etileno suben por la torre, y el resto se condensa; el etileno y etano se llevan a una torre fraccionadora de Etano/Etileno, esta posee una temperatura de -21ºC y una presión de 21 kg/cm², en la cual hay dos torres, una de 90 platos y la otra de 50 platos, aquí se separa el etilenos del etano, en las dos torres de forma paralela. Para obtener el etileno con un 95.95% de pureza, mientras que el etano que se produjo es re circulado para los hornos de pirolisis.
Luego los compuestos que condensaron en la torre deetanizadora son llevados a una torre de fraccionamiento de Propileno y Propano, esta tiene unas condiciones de 21.3 kg/cm² y una temperatura de 62ºC en esta se separa el Propileno de los otros compuestos más pesados, cuando se
separa el Propileno, en el quedan remanentes importantes de propano, por ello se lleva a otra columna secundaria de Propileno/Propano, en este se elimina la mayoría de las impurezas quedando una producción de Propileno al 95,6 %; los compuestos pesados que están en la torre fraccionadora de propano y propilenos pasan a una torre debutanizadora, esta se encarga de separar los compuestos pesados del propano sube en forma de vapor por la torre hacia un reactor de regeneración.
Inicialmente se creía había cantidades significativas de acetileno en las corrientes de etano provenientes de la debutanizadora, pero como no sucedió esas predicciones, no se implementó el reactor de hidrogenación.
El etano obtenido de vuelve a reciclar en el horno de pirolisis. Los compuestos más pesados que salieron por la torre debutanizadora, son enviado a la planta de dripoleno para proceder a retirarle el dripoleno. El Propileno y el Etileno, son las materias primas básicas fundamentales para la obtención de un sin fin de productos.
2.1.1.1.2. Selectividad hacia la formación de EO
Según Pequiven (2000) El ´óxido de etileno ha sido comercialmente fabricado mediante dos procesos claramente diferenciados: el proceso vía clorhidrina y el proceso vía oxidación directa. El que fue introducido en primer lugar es el proceso vía clorhidrina, que hacia reaccionar el etileno con ´acido hipocloroso. Actualmente este proceso no es competitivo y la fabricación se realiza mediante el proceso de oxidación directa. Este proceso implica la oxidación catalítica (con un catalizador basado en plata) del etileno con oxígeno para la formación del ´óxido de etileno.
Existen dos alternativas para la fabricación mediante oxidación directa, una de ellas emplea aire como materia prima.
La otra emplea directamente oxigeno de alta pureza (mayor del 95
%m) obtenido de una planta de separación criogénica de aire. Desde hace 15 años las nuevas plantas que se construyen son basadas en la utilización de oxígeno puro. El proceso de fabricación es bastante similar
empleándose cualquiera de las dos alimentaciones. La empresa Unión Carbide (la primera en introducir el proceso de oxidación mediante aire en 1937) quiere estudiar la posibilidad de pasar una planta de ser alimentada con aire a ser alimentada con oxígeno. Para ello desea hacer una simulación de la planta existente para posteriormente poder hacer sobre ella los estudios necesarios que les permita tomar una decisión.
2.1.1.1.3. Remoción de CO2
Tal y como se puede observar el proceso tiene 3 secciones: reacción, recuperación de ´oxido y purificación del mismo. En la primera sección el aire es comprimido y alimentado junto etileno fresco a una corriente de gas de reciclo. Este reciclo pasa a un reactor catalítico tubular (o una serie de reactores en paralelo) donde el etileno es oxidado a óxido de etileno, dióxido de carbono y agua. Las dos reacciones competitivas son:
C2H4 + 0,5O2 → C2H4O Combustión parcial, ligeramente exotérmica C2H4 + 3O2 → 2CO2 + 2H2O Combustión total, fuertemente exotérmica Según Chang (2010) El calor de esta reacción se aprovecha para producir vapor para emplearse en otras zonas del proceso. El control de temperatura del reactor es un factor muy importante dado que afecta a la selectividad de las reacciones. Debido a su mayor calor de reacción y a tener una energía de activación mayor, la reacción de combustión total es favorecida con un aumento de temperatura, es decir, disminuye la selectividad del catalizador hacia la primera reacción de oxidación parcial.
2.1.1.2. Sistema de Ebullición.
Es aquella temperatura en la cual la presión de vapor del líquido iguala a la presión de vapor del medio en el que se encuentra.1 Coloquialmente, se dice que es la temperatura a la cual la materia cambia del estado líquido al estado gaseoso. La temperatura de una sustancia o cuerpo depende de la energía cinética media de
las moléculas. A temperaturas inferiores al punto de ebullición, sólo una pequeña fracción de las moléculas en la superficie tiene energía suficiente para romper la tensión superficial y escapar. Este incremento de energía constituye un intercambio de calor que da lugar al aumento de la entropía del sistema (tendencia al desorden de las partículas que componen su cuerpo).
Según Chang (2000) El punto de ebullición depende de la masa molecular de la sustancia y del tipo de las fuerzas intermoleculares de esta sustancia. Para ello se debe determinar si la sustancia es covalente polar, covalente no polar, y determinar el tipo de enlaces (dipolo permanente—dipolo inducido o puentes de hidrógeno). El punto de ebullición no puede elevarse en forma indefinida. Conforme se aumenta la presión, la densidad de la fase gaseosa aumenta hasta que, finalmente, se vuelve indistinguible de la fase líquida con la que está en equilibrio;
ésta es la temperatura crítica, por encima de la cual no existe una fase líquida clara. El helio tiene el punto normal de ebullición más bajo (–
268,9 °C) de los correspondientes a cualquier sustancia, y el carburo de wolframio, uno de los más altos (5555 °C).
Según Peña (2012) La ley de Raoult es el estudio simplificado de las soluciones, las cuales están formadas por dos o tres sustancias liquidas.
La ecuación de la ley de Raoult es: La composición de la fase gaseosa Yi está relacionada con la composición del compuesto i en la fase liquida Xi mediante la relación anterior. En esta ecuación, el término de la izquierda recibe el nombre de presión parcial del componente i (YiP). Por su parte el término de la derecha expresa el comportamiento del compuesto o en la fase liquida; esta expresión es válida únicamente para soluciones ideales. Entonces, la fase liquida se comporta como una solución ideal, mientras que la fase gaseosa es una mezcla de gases ideales.
Siendo la Presión Parcial: la presión que este componente ejercería en el volumen ocupado por la fase gaseosa, si sólo él estuviera presente, sin embargo la presión parcial sólo tiene sentido para gases ideales. Pisat es la presión de vapor que corresponde a cada sustancia. Es la presión de saturación, es una medida de la energía cinética de las moléculas que se requiere para la evaporación. La evaporación se produce cuando la fuerza intermolecular del líquido es menor a la energía cinética de las partículas de las moléculas que están en la superficie. De esta forma, sólo un porcentaje reducido de líquido se convierte en vapor. La ebullición se presenta cuando la energía interna es tan alta que todas las partículas del líquido pueden escapar a la fase gaseosa. Físicamente, la ebullición es cuando la presión del sistema, es infinitesimalmente menor que la presión de vapor del liquido
2.1.1.2.1. Presión de la carcaza
Según Cengel (2012) La presión (símbolo p) es una magnitud física que mide la proyección de la fuerza en dirección perpendicular por unidad, y sirve para caracterizar cómo se aplica una determinada fuerza resultante sobre una línea. En el Sistema la presión se mide en una unidad derivada que se denomina pascal (Pa) que es equivalente a una fuerza total de un newton (N) actuando uniformemente en un metro cuadrado (m²). En el Sistema Inglés la presión se mide en libra por pulgada cuadrada (pound per square inch o psi) que es equivalente a una fuerza total de una libra actuando en una pulgada cuadrada. La presión es la magnitud escalar que relaciona la fuerza con la superficie sobre la cual actúa, es decir, equivale a la fuerza que actúa sobre la superficie. Cuando sobre una superficie plana de área A se aplica una fuerza normal F de manera uniforme, la presión P
Según White (2010) en su libro de mecánica de fluidos establece El control de la presión en los procesos industriales da condiciones de operación seguras. Cualquier recipiente o tubería posee cierta presión máxima de operación y de seguridad variando este, de acuerdo con el material y la construcción. Las presiones excesivas no solo pueden provocar la destrucción del equipo, si no también puede provocar la destrucción del equipo adyacente y ponen al personal en situaciones peligrosas, particularmente cuando están implícitas, fluidos inflamables o corrosivos. Para tales aplicaciones, las lecturas absolutas de gran precisión con frecuencia son tan importantes como lo es la seguridad extrema.
Por otro lado, la presión puede llegar a tener efectos directos o indirectos en el valor de las variables del proceso (como la composición de una mezcla en el proceso de destilación). En tales casos, su valor absoluto medio o controlado con precisión de gran importancia ya que afectaría la pureza de los productos poniéndolos fuera de especificación.
La presión puede definirse como una fuerza por unidad de área o superficie, en donde para la mayoría de los casos se mide directamente por su equilibrio directamente con otra fuerza, conocidas que puede ser la de una columna liquida un resorte, un embolo cargado con un peso o un diafragma cargado con un resorte o cualquier otro elemento que puede sufrir una deformación cualitativa cuando se le aplica la presión.
2.1.1.2.2. Temperatura del gas de reciclo
Según Cengel (2012) la teoría cinética, la temperatura es una medida de la energía cinética media de los átomos y moléculas que constituyen un sistema. Dado que la energía cinética depende de la velocidad, podemos decir que la temperatura está relacionada con las velocidades medias de las moléculas del gas. Hay varias escalas para medir la temperatura; las más conocidas y utilizadas son las
escalas Celsius (ºC), Kelvin (K) y Fahrenheit (ºF). En este trabajo sólo utilizaremos las dos primeras.
Según Wark (2010) La Temperatura es una propiedad de la materia que está relacionada con la sensación de calor o frío que se siente en contacto con ella. Cuando tocamos un cuerpo que está a menos temperatura que el nuestro sentimos una sensación de frío, y al revés de calor. Sin embargo, aunque tengan una estrecha relación, no debemos confundir la temperatura con el calor. Cuando dos cuerpos, que se encuentran a distinta temperatura, se ponen en contacto, se produce una transferencia de energía, en forma de calor, desde el cuerpo caliente al frío, esto ocurre hasta que las temperaturas de ambos cuerpos se igualan.
En este sentido, la temperatura es un indicador de la dirección que toma la energía en su tránsito de unos cuerpos a otros.
2.1.1.2.3. Tasa de Evaporación
Según White (2010) La evaporación es un proceso físico que consiste en el paso lento y gradual de un estado líquido hacia un estado gaseoso, tras haber adquirido suficiente energía para vencer la tensión superficial.
A diferencia de la ebullición, la evaporación se puede producir a cualquier temperatura, siendo más rápido cuanto más elevada sea esta. No es necesario que toda la masa alcance el punto de ebullición. Cuando existe un espacio libre encima de un líquido, una parte de sus moléculas está en forma gaseosa, al equilibrarse, la cantidad de materia gaseosa define la presión de vapor saturante, la cual no depende del volumen, pero varía según la naturaleza del líquido y la temperatura.
Si la cantidad de gas es inferior a la presión de vapor saturante, una parte de las moléculas pasan de la fase líquida a la gaseosa: eso es la evaporación. Cuando la presión de vapor iguala a la atmosférica, se produce la ebullición. En hidrología, la evaporación es una de las variables hidrológicas importantes al momento de establecer el balance hídrico de una determinada cuenca hidrográfica o parte de
esta. En este caso, se debe distinguir entre la evaporación desde superficies libres y la evaporación desde el suelo. La evaporación de agua es importante e indispensable en la vida, ya que el vapor de agua, al condensarse se transforma en nubes y vuelve en forma de lluvia, nieve, niebla o rocío. Vista como una operación unitaria, la evaporación es utilizada para eliminar el vapor formado por ebullición de una solución o suspensión líquida.
Según Cengel (2012) Se define la Evaporación como el fenómeno consistente en el paso del agua del estado líquido al estado gaseoso. El paso del agua del estado sólido al gaseoso se define sublimación, y correspondería al caso del paso del agua en fase nival a gas por calentamiento de la superficie nival por radiación solar. El paso del estado líquido o sólido al gaseoso se realiza con absorción de calor, lo que origina que el estado de agitación de las moléculas aumente y rompan los enlaces que hay entre ellas, pasando a un estado de mayor agitación.
Este paso se realiza con un enfriamiento del agua en estado líquido o sólido al ceder energía calorífica a algunas de sus moléculas para que adquieran un estado de activación mayor.
A su vez, algunas moléculas que se encuentran formando parte del gas pueden retornar al líquido o sólido al reducir su agitación. Cuando el trasvase de un estado a otro alcanza un régimen estacionario, es decir que el número de moléculas que se evaporan es igual al que se condensa, se dice que se ha alcanzado el equilibrio. Dicho equilibrio se conoce con el nombre de saturación, en cuyo caso la presión de vapor en el aire es igual a la tensión de saturación. El fenómeno de la Evaporación comienza en el mismo instante en que empieza a llover. Sin embargo las cantidades evaporadas que interesan son la que se producen cuando el agua llega a la superficie del suelo. El agua evaporada provendrá del agua interceptada por las plantas, del agua almacenada en las depresiones del suelo, de la que escurre, de la embalsada, de la nieve y de la existente en las capas superficiales del suelo.
2.1.1.3. Balances de masa y energía
La aplicación de los BM no es conceptualmente complicada, y sus fundamentos teóricos pueden consultarse con detalle en textos como los que se incluyen en la sección de búsqueda de información[Balances de Materia y Energía], junto con numerosos ejemplos de aplicación a diferentes operaciones y procesos. A continuación se repasan las ideas básicas para el planteamiento de los BM, y se indican posibles estrategias para su utilización en el PFC. Chang (2010)
Los BM se basan en la ley de conservación de la materia, la cual, rigurosamente hablando, hay que aplicarla al conjunto materia-energía, y no a la materia o energía por separado. Sin embargo, en las condiciones que se dan en los procesos industriales objeto de los PFC en la UGR, al no abordarse el caso de los reactores nucleares, no existe transformación de materia en energía o viceversa, con lo que la forma general del balance de materia TOTAL a un sistema, será:
(1)
La forma del balance a cada uno de los componentes será la misma, excepto cuando existe reacción química, ya que en ese caso habrá que considerar la aparición o desaparición de los componentes individuales por efecto de la reacción (sin embargo la masa total del sistema nunca variará). Por ello el BM al componente ‘i’ tendrá la forma:
(2)
Una situación muy frecuente es que el proceso sea continuo, con lo cual el término de acumulación será 0. Tal y como se ha indicado los BM se pueden aplicar a una unidad de proceso (un equipo), como a todo el proceso completo. Para una unidad o equipo, podrán plantearse tantos BM independientes como componentes intervienen en el mismo, y a un proceso completo se le podrán plantear un número de BM independientes igual a la suma de los de todas las unidades del mismo, entendiendo como unidades de un proceso los equipos u operaciones que lo integran. Además, en algunos casos existen relaciones impuestas entre las distintas corrientes que nos pueden servir como ecuaciones adicionales a los BM.
Según Cengel (2010) Habitualmente se define la energía como la capacidad de la materia para producir trabajo, pudiendo adoptar distintas formas, todas ellas interconvertibles directa o indirectamente unas en otras. El balance de energía al igual que el balance de materia es una derivación matemática de la "Ley de la conservación de la energía"
(Primera Ley de La Termodinámica), es decir "La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma".
El balance de energía es una principio físico fundamental al igual que la conservación de masa, que es aplicado para determinar las cantidades de energía que es intercambiada y acumulada dentro de un sistema. La velocidad a la que el calor se transmiten depende directamente de dos variables: la diferencia de temperatura entre los cuerpos calientes y fríos y superficie disponible para el intercambio de calor. También influyen otros factores como la geometría y propiedades físicas del sistema y, si existe un fluido, las condiciones de flujo. Los fluidos en bioprocesado necesitan calentarse o enfriarse. Ejemplos típicos de ellos son la eliminación de
calor durante las operaciones de fermentación utilización utilizando agua de refrigeración y el calentamiento del medio original a la temperatura de esterilización mediante vapor.
2.1.1.3.1. Entalpia
Según Chang (2010) La entalpía es la cantidad de energía calorífica de una sustancia. En una reacción química, si la entalpía de los productos es menor que la de los reactantes se libera calor y decimos que es una reacción exotérmica. Si la entalpía de los productos es mayor que la de los reactantes se toma calor del medio y decimos que es una reacción endotérmica. El cambio de entalpía se denomina ΔH y se define como:
ΔH = ΔHproductos - ΔHreactantes (3)
La entalpía de formación (ΔHf0) es la variación de energía calorífica en la reacción de formación de un mol de un compuesto a partir de sus elementos en sus fases estándar en condiciones de presión y temperatura estándar ambientales (TPEA), que son temperatura de 298 K (25 ºC) y presión de 100 kPa (∼ 1 atm.).
Según Wark (2000) La Entalpía es la cantidad de energía de un
sistema termodinámico que éste puede intercambiar con su entorno. Por ejemplo, en una reacción quimica a presion constante, el cambio de entalpía del sistema es el calor absorbido o desprendido en la reacción.
En un cambio de fase, por ejemplo de líquido a gas, el cambio de entalpía del sistema es el calor latente, en este caso el de vaporización. En un simple cambio de temperatura, el cambio de entalpía por cada grado de variación corresponde a la capacidad calorífica del sistema a presión
constante. El término de entalpía fue acuñado por el físico alemán Rudolf J.E. Clausius en 1850. Matemáticamente, la entalpía H es igual a U + pV, donde U es la energía interna, p es la presión y V es el volumen. H se mide en julios.
2.1.1.3.2. Equilibrio liquido-Vapor
Según Wark (2000) Las consideraciones teóricas para el estudio de la destilación son el equilibrio entre las fases de vapor y líquidos en el sistema que está sometido a esta operación unitaria.De acuerdo con la teoría cinética, hay un continuo paso de moléculas de la superficie del líquido al espacio libre que se encuentra sobre él. Al mismo tiempo moléculas de vapor regresan a la superficie del líquido a una rata que depende de la concentración del vapor. A medida que la concentración de moléculas de vapor se incrementa, se va estableciendo una condición de equilibrio entre el líquido y el vapor y se llega a él cuando la rata de evaporación es exactamente igual a la rata de condensación.
La presión ejercida por la fase vapor en equilibrio con la fase liquida se conoce como la presión de vapor. La presión de vapor de equilibrio depende no solo de la temperatura sino también de la naturaleza de los componentes y la composición en cada una de las fases. En mezclas ideales, la presión de vapor es proporcional a la fracción molar de cada uno de los componentes acorde con Ley de Raoult. Así se pueden elaborar diagramas de presión de vapor en función de la composición de la fase líquida y la fase de vapor a temperatura constante; también es posible elaborar diagramas de punto de ebullición en función de la composición de la fase líquida y la fase de vapor a temperatura constante;
también es posible elaborar diagramas de punto de ebullición en función de la composición de la mezcla para presión constante.
Experimentalmente para mezclas de dos componentes o mezclas binarias se ha determinado las composiciones molares tanto de la fase gaseosa como de la fase líquida cuando ellas están en equilibrio, en función de la temperatura. Cuando se grafican esos datos experimentales se tienen los diagramas de punto de ebullición. Al tener una mezcla binaria con los compuesto A y B, en el diagrama de punto de ebullición, Ta representa la temperatura de ebullición del compuesto A, a una presión constante P, en tanto que el componente B tiene su punto de ebullición Tb.
Se ha tomado un compuesto A cuyo punto de ebullición.
2.1.2. Modelo matemático del reactor de producción de óxido de etileno (R-110)
Según Ljung (1998) el Modelaje Matemático es el proceso involucrado en la obtención de un modelo. Este proceso, desde cierto punto de vista, puede ser considerado artístico, ya que para elaborar un modelo, además del conocimiento matemático, el modelador debe tener una dosis significativa de intuición-creatividad para interpretar el contexto, discernir qué contenido matemático se adapta mejor y tener sentido lúdico para jugar con las variables involucradas.
Actualmente, este proceso se utiliza en toda ciencia, de modo que contribuye en forma especial en la evolución del conocimiento humano.
Sabemos que la matemática se está usando en los fenómenos microscópicos en tecnobiología, y también en los macroscópicos cuando se pretende conquistar el universo. El modelaje matemático, ciertamente, no es una idea nueva. Su esencia siempre estuvo presente en la creación de las teorías científicas y, en especial, en la creación de las teorías matemáticas. A inicios del siglo XX fue muy utilizada en la solución de problemas de biología y economía.
El modelador debe ser un artista al formular, resolver y elaborar expresiones que sirvan no sólo para una solución particular, sino también, posteriormente, como soporte para otras aplicaciones y teorías. A grosso modo, podríamos decir que matemáticas y realidad son dos conjuntos disjuntos y el modelaje es un medio de conjugarlos. Durante la Segunda Guerra Mundial, intentos de resolver cuestiones de defensa y ataque, propiciaron el desarrollo de otra rama de la matemática: la investigación operativa, que posee, hoy en día, extensa aplicación en la industria
Representar una situación “real” con “instrumental” matemático - modelo matemático - involucra una serie de procedimientos. Identificamos el proceso en tres etapas, divididas en cinco sub etapas, a saber:
Interacción con el asunto: (a) Reconocimiento de la situación problema, (b) Familiarización con el asunto que va a ser modelo-investigación. (c) Construcción matemática. (d) Formulación del problema-hipótesis. (e) Resolución del problema en términos del modelo (f) Modelo matemático (g) interpretación de la solución-convalidación.
2.1.2.1. Métodos matemáticos paramétricos
Según Ljung (2010) Los modelos paramétricos, a diferencia de los modelos no paramétricos, quedan descritos mediante una estructura y un número finito de parámetros que relacionan las señales de interés del sistema (entradas, salida y perturbaciones). En muchas ocasiones es necesario realizar la identificación de un sistema del cual no se tiene ningún tipo de conocimiento previo. En estos casos, se suele recurrir a modelos estándar, cuya validez para un amplio rango de sistemas dinámicos ha sido comprobada experimentalmente. Generalmente estos modelos permiten describir el comportamiento de los sistemas lineales. La dificultad radica en la elección del tipo de modelo (incluyendo su estructura: orden del mismo, número de parámetros, entre otros) que se ajuste satisfactoriamente a los datos de entrada-salida obtenidos experimentalmente.
Los métodos de estimación en el dominio temporal que se estudian, tienen la particularidad de que a partir de ellos se estiman modelos discretos (dominio-z). Consecuentemente, en el caso de desearse un modelo continuo del sistema (dominio-s o ecuación diferencial) será necesario convertir el modelo discreto a continuo. Ello no presenta problemas cuando el sistema presenta un retenedor de orden cero.
Contrariamente, utilizando técnicas frecuenciales podremos estimar modelos tanto continuos como discretos. En general, la base de todos los métodos de estimación consiste en minimizar unos residuos
t
,definiendo
t
como, t y t y t ˆ
(4)Siendo y(t) el valor deseado de la salida, , y
ˆy t
el valor de predicción, que es función del modelo estimado. La minimización se realiza generalmente utilizando un criterio cuadrático. La metodología de cálculo a utilizar dependerá de la relación entre t
y los parámetros que se quieren estimar. Cuando la relación sea lineal se podrá utilizar un método de cálculo analítico, mientras que en el caso de una relación no lineal, el método de cálculo a utilizar, en general, será iterativo. Se debe decir que los modelos estimados, tanto en el dominio temporal como frecuencial, serán modelos con dinámicas lineales. En la tabla 1 se muestran más claramente estos conceptosTabla 1
Clarificación del término linealidad.
DINÁMICA PROCESO ERROR
Lineal y' + ay = u
respecto al coeficiente
a ˆ
lineal no-lineal
' ˆ
y ay u
y w
ˆ '
w aw u
No-lineal y' + ay3 = u
y ' ay ˆ
3 u
y w
ˆ
3'
w aw u
Fuente: Ljung (1998)
Partiendo de la base de que para modelizar un proceso necesitamos los datos observados, en el caso de un sistema dinámico con una entrada en el instante t denominada como u(t) y una salida en el instante t denominada como y(t), los datos serán una colección finita de observaciones:
ZN = {u(0), y(0), u(1), y(1), ..., u(N), y(N)} (5)
El problema de los métodos de identificación consiste en encontrar relaciones matemáticas entre las secuencias de entrada y las secuencias de salida. O también, si definimos las observaciones de forma más general:
Z
N y t , t
t = 1,...N (6)Lo que preocupa es como determinar y(N+1) a partir de
N 1
. Enel caso de un sistema dinámico, el término
t
contendría la información de las entradas y salidas anteriores a t. Entonces, el problema matemático que se formula es la construcción de una función
ˆ
N,
g t t
tal que a partir de ella podamos determinarˆy t
:
ˆ ˆ
N,
y t g t t
(7)En general se busca una función g que sea parametrizable, es decir que tenga un número finito de parámetros. A estos parámetros se les denomina con el vector
. A toda la familia de funciones candidatas se las denomina estructura del modelo, y en general estas funciones se escriben comog
N t , , t
. Esta función permite calcular el valor y(t):
N , ,
y t g t t
(8)La búsqueda de una buena función se realiza en términos del parámetro
, y el cálculo del valorˆ
N conduce a: ˆ
ˆ
N, ,
N,
g t t g t t
(9)Generalmente los modelos paramétricos se describen en el dominio discreto, puesto que los datos que sirven de base para la identificación se
obtienen por muestreo. En el caso de tiempo discreto un sistema lineal puede expresarse como una ecuación en diferencias finitas del tipo
1
1
0
a b
a a n b n
y tn a y tn a y t b u tn b u t (10)
0 0
a b
n n
k a j b
k k
a y t n k b u t n k
(11)En términos del operador de retardo q−1 , definido como
1
1
q u t
u t
, se escribe (8) como,
1
1
0
a b
n a d n d b
y t a y t a y tn b u tn b u tn n (12)
1 a q
1 1 a q
na na y t q
nd b
0 b q
1 1 b q
nb nb u t
(13)Con,
n
d n
a n
b, el retardo “puro” con que aparece la entrada en la salida. En general, es posible escribir la “función de transferencia” se definen términos de la variable compleja “z” de la ecuación (5) como,
1
y t G q
u t
(14)Donde
G q
1 tiene la forma
1 0 1 111
1nb nb
na na
b b q b q
G q a q a q
(15)Se dice que el sistema es causal (físicamente realizable) cuando
nb na
. En adelante consideraremos solo sistemas causales, si no se dice lo contrario. Es decir (13) es una función de transferencia propia. Se dice entonces que (13) es una función de transferencia realizable. Para que sea realizable es importante asegurarse que el coeficiente de la mayor potencia del denominador, (q
0), sea uno. De no ser así, es necesario dividir la función por este coeficiente para llevar al polinomio denominador de la función de transferencia a la forma Mónica.La serie
g
0 g q
1 1 g q
2 2
que resulta de la división de los polinomios del numerador por el denominador revela la respuesta al impulso del sistema,
1 0 0 1
1 2
21
nb nb
na na
b b q
G q g g q g q
a q
(16)En términos de la respuesta impulsiva,
g t
, la expresión general de un modelo LTI discreto es del tipo:
0
l k
y t g k q u t
(17)En la mayoría de los casos consideraremos sistemas estables, es decir sistemas que no poseen polos fuera del círculo unitario. Si el sistema es estable entonces,
0 k
g k
(18)2.1.2.1.1. ARX
Probablemente la relación entrada-salida más simple que se puede obtener sea la proveniente de una descripción del sistema como una ecuación lineal en diferencias:
y(t) a y(t 1) a y(t 2) ... a y(t n ) b u(t 1) b u(t 2) ... b u(t n ) e(t) (19)
Debido a que el término de ruido blanco e(t) entra como un error directo en la ecuación en diferencias, el modelo (13) es también conocido como modelo o estructura de ecuación de error. En este caso los parámetros a ajustar serán:
[ 1, 2, … . , 1, 2 … . ] (20)
Si proponemos dos polinomios A(q) y B(q) de la forma
A(q)=1+a1. +a2. +…..+an. (21)
B(q)=1+b1. +b2. +…..+bn. (22)
Vemos que (15) se corresponde con (16), siendo,
G(q, ( )
( ) (23)
q, )=
( ) (24)
Figura 2. Estructura ARX. Fuente: López (2000)
A este modelo se lo conoce como estructura “ARX”, donde “AR” hace referencia a la parte autorregresiva A(q).y(t) y “X” a la entrada extra (extra input) B(q).u(t) también conocida como variable exógena. El flujo de señal de la Figura 2 nos indica que posiblemente este no sea el modelo más natural desde un punto de vista físico, ya que el ruido blanco es sumado a la salida luego de pasar a través del denominador del sistema dinámico.
Sin embargo, el set de modelos de ecuación de error posee una propiedad importante que lo convierte en una buena primera elección en muchas aplicaciones. Y es que la forma del predictor define una regresión lineal. López (2000).
