integral_indefinida_1.pdf

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

CALCULO II

Autores: Sara Arancibia C

PROGRAMA

OBJETIVOS

•Comprender y aplicar los conceptos fundamentales

del Cálculo Integral y Series

•Usar el Cálculo Integral y Series como herramienta

en la resolución de problemas aplicados a

Ingeniería, Economía, Optimización y otras áreas.

¿ Qué objetivos tiene el uso

de la tecnología educativa?

• Desarrollar una actitud crítica hacia los resultados que se obtienen de la calculadora y/o Software y reafirmar el papel fundamental del

• Internalizar la conducta de comprobar y confrontar resultados del software o la calculadora gráfica con los obtenidos por vía manual

• Usar el Software o la calculadora gráfica y su poder de

programación como un instrumento intelectual y profesional

CONTENIDOS

•Integral indefinida

•Integral Definida

•Ecuaciones Diferenciales

•Aplicaciones de la Integral Definida

•Integrales Impropias

•Sucesiones y Series

EVALUACION

BIBLIOGRAFIA

Texto guía

Apunte de Cálculo 2 , autores: Sara Arancibia y Viviana Schiappacasse

Cálculo. Stewart James. Editorial Thomson

Texto guia complementario

Cálculo con Geometría Análitica, Edwards& Penney. Editorial Prentice Hall

Texto complementario

Cálculo para administración, Economía y Ciencias Sociales, Hoffmann & Bradley. Mc-Graw Hill

El cálculo integral se basa en el concepto de la integral. La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a,b].

El área R de la región de la figura esta´dada por la integral de f de a a b, denotada por el símbolo

¿Qué problema motiva el concepto de integral?

Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas que aparentan tener poca relación con dicha motivación original: problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de poblaciones, volumen, longitud de arco, área de una superficie y centro de gravedad, entre otros.

El teorema fundamental del cálculo proporciona una conexión vital entre las operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz para calcular el valor de las

integrales. Veremos que en vez de encontrar la derivada de la función f(x) , necesitamos determinar una nueva función F(x) cuya derivada sea f(x):

)

(

)

(

'

x

f

x

Antiderivadas o primitivas y problemas con

condiciones iniciales

El lenguaje del cambio es el lenguaje natural para establecer las leyes y principios científicos.

Por ejemplo la ley de enfriamiento de Newton dice que la razón de cambio de la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura del medio ambiente. Es decir,

) (T A k

dt dT

− −

=

La ley de Torricelli dice que la razón de cambio del volumen V de agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua

h k dt

dV

− =

Los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con frecuencia ecuaciones con derivadas de las funciones desconocidas. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales.

El tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma

) (x f dy

Donde f es una función dada (conocida) y la función y(x) es desconocida.

El proceso de determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función y(x) cuya derivada sea f(x)

)

(

)

`(

x

f

x

y

=

Entonces decimos que y(x) es una primitiva ( o antiderivada ) de f(x)

Definición: Antiderivada o primitiva

Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que

siempre y cuando f(x) esté definida.

) ( )

`(x f x

Una sola función tiene muchas

primitivas, mientras que una función sólo puede tener una derivada

Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier elección de la constante C

Teorema: La primitiva más general

Si F`(x)=f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f en I tiene la forma

La colección de todas las primitivas de la función f(x) es conocida como la integral indefinida de f con respecto a x y se denota

∫

f

(

x

)

dx

Con base en el teorema, escribimos

C

x

F

dx

x

f

=

+

∫

(

)

(

)

Por tanto

f(x) F`(x)

si

sólo y si )

( )

( = + =

Ejemplo:

∫

∫

x dx = x + C cosxdx = sen x + C 4

1 ₄

3

Recuerde que la operación de derivación es lineal, lo que significa

En la notación de antiderivación, esto implica que

[

]

[

( ) ( )

]

`( ) `( )

D

constante

una es c donde

)

`( )

(

x F x G x F x G x

x cF x

cF D_x

+ − +

− =

=

[

f(x) g(x)

]

dx f(x)dx g(x)dx dx

x f c dx x cf

--

∫

∫

∫

∫

∫

+

+ ₌

= ( )

Ejercicio: Determine

(

)

∫

∫

(4 + 5 + 2 ) sen(4t) + cos(2t) dt

2 3

dx x

x x

Ejercicio: Verifique los siguientes resultados

C kx k

kxdx

C tankx k

kxdx

C kx k

kxdx

C kx k

kxdx

+ −

=

+ =

+ −

=

+ =

∫

∫

∫

∫

cot 1 csc

1 sec

cos 1 sen

sen 1 cos

Métodos de integración

¿Cómo reconocer cuál técnica emplear para integrar ?

No se pueden dar reglas inalterables y efectivas

respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas de integración

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ = + = + = + = + = ≠ + + = + C a a dx a . C e dx e . C x dx x . ) -n C ( n x dx x . x x x x n n ln 4 3 ln 1 2 1 1 1 1

Métodos de integración

Desarrollaremos técnicas que nos permitirán emplear las fórmulas básicas con objeto de llegar a integrales indefinidas de funciones más complicadas

Integración por sustitución

:

Si u=g(x) es una función diferenciable cuyo recorrido es un intervalo I y f es continua en I,

La regla de sustitución para integrar corresponde a la regla de la cadena para diferenciar.

Debemos tener presente que si u=g(x), entonces du=g´(x)dx

Ejercicio: Determine las siguientes integrales

x x

dx e

x

dx x

x x

x

∫

∫

∫

+ +

+ +

+

+

+

dx 3 8

2

) 3 2

)( 5 3

( 9

2 2 3

2

6 3x

∫

∫

∫

f

(

x

)

g

(

x

)

dx

=

?

f(x)dx

g(x)dx

Ejercicio: muestre con un ejemplo que la igualdad anterior no se cumple

La regla del producto establece que si f y g son funciones diferenciables,

[

f (x)g(x)

]

f´(x)g(x) f (x)g´(x) dx

d

+ =

En la notación de las integrales indefinidas, esta ecuación se

convierte en

_[

_]

) ( ) ( )

´( ) ( )

( )

´(x g x f x g x dx f x g x

f + =

∫

) ( ) ( )

´( ) ( )

( )

´(x g x dx f x g x dx f x g x

f +

∫

=

∫

Integración por partes

Reordenando la expresión anterior se tiene la fórmula de integración por partes

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

∫

∫

(

)

´(

)

=

(

)

(

)

−

´(

)

(

)

Notación: Sean u=f(x) y v = g(x) entonces du=f´(x)dx y dv=g´(x) dx así, según la regla de sustitución, la fórmula de integración por partes se transforma en

∫

∫

udv

=

uv

−

vdu

Integrales Trigonométricas

Las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas

Cómo evaluar

a) Si la potencia del coseno es impar

A continuación se sustituye u=senx b) Si la potencia del seno es impar

xdx

x

n m

cos

sen

∫

(

)

(

x

)

xdx

Ejercicio: Determine

C) Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades del ángulo medio

A veces es útil emplear la identidad

) 2 cos 1

( 2 1 cos

) 2 cos 1

( 2 1

sen2x = − x 2x = + x

x x

x sen2

2 1 cos

sen =

cos

sen

3

sen2 xdx

∫

2x 2 xdx

∫

cos

x

cos

sen3 2

∫

5

∫

x xd xdx

Cómo evaluar

a) Si la potencia de la secante es par

A continuación se sustituye u=tanx b) Si la potencia de la tangente es impar

A continuación se sustituye u=secx

xdx x

tanm secn

∫

(

)

(

tan x

)

xdx x tan xdx x x tan xdx x tan k m k m k m 2 1 2 2 1 2 2 sec 1 sec sec sec − − + = =

∫

∫

∫

(

)

(

)

∫

∫

∫

− − + − = = xtanxdx x x xtanxdx x x tan xdx x tan n k n k n k sec sec 1 sec sec sec sec 1 2 1 2 1 2 2 sec

sec2 6

Obs: Si n es impar y m es par, todo el integrando se expresa en términos de secx. Es posible que las potencias de secx requieran integración por partes.

Ejercicio: Pruebe que

(

xtanx

)

C

xdx

C tanx

x xdx

+ +

+ =

+ +

=

∫

∫

tanx secx

ln sec

2 1 sec

sec ln

sec

3

Obs: Integrales de la forma se pueden determinar con métodos semejantes, a causa de la identidad 1+cot2_x=csc2_x

xdx

x n

m

csc cot

¿Y cómo calculamos las

integrales del tipo ∫senmxcosnxdx ?

Para evaluar las integrales

se emplean las identidades correspondientes

cos cos sen sen cos

senmx nxdx

∫

mx nxdx

∫

mx nxdx

∫

[

]

[

]

[

cos( ) cos( )

]

2 1 cosAcosB ) ) cos( ) cos( 2 1 senAsenB ) ) sen( ) sen( 2 1 senAcosB ) B A B A c B A B A b B A B A a + + − = + − − = + + − =

Sustitución trigonométrica

A menudo es efectivo el método de sustitución trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrandos ciertas expresiones algebraicas tales como

2 2

2 2

2 2

a

x

x

a

x

a

−

+

−

En general, podemos efectuar una sustitución de la forma x=g(t) aplicando la regla de sustitución al revés. Para simplificar nuestras operaciones, supondremos que g tiene una función inversa; esto es, que es biyectiva. En este caso, si reemplazamos u por x y x con t en la regla de sustitución, llegamos a

dx

2 2

∫ a − x

Podemos aplicar la sustitución inversa x=asenθ, siempre que restrinjamos θ al intervalo [-π/2, π/2]

Para calcular ¿Qué sustitución aplicamos?

∫ a2−x2 dx

Obs: En cada caso, se impone la restricción sobre θ para asegurar que la función que define a la sustitución sea biyectiva

Ejercicio: Determine las siguientes integrales

θ θ θ

5sec x

5

dx x 25

x

tan 2 3 x

) 9 4

( 1

sen x

1 x donde

, 1

2

2 2

2 3

= >

−

= +

= <

−

∫ ∫ ∫

x

dx x

Integrales que contienen polinomios cuadráticos

Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2_{+bx+c se}

pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado.

Por ejemplo

y por tanto, con la sustitución u=x+1, du=dx, se obtiene 1

) 1 (

2

2 2

2 + + = + +

x x

x

C x

tan C

u tan du

u dx

x

x + + = + = + = + +

− −

∫

∫ ( 1)

1 1 2

2

1 1 1

2 2

En general, el objetivo es convertir ax2_{+bx+c en una suma o en una diferencia}

de cuadrados para que se pueda usar el método de

sustitución trigonométrica

o

2 2

2 2

-u a a

Integración de Funciones Racionales mediante

Fracciones Parciales

¿Cómo integrar una función racional?

Expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales

Consideremos la función racional

Q(x) P(x) f(x) =

Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa

función racional se llama propia.

El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia R(x)/Q(x) como una suma de fracciones parciales, de la forma

j i c) bx (ax B Ax b ax A + + + + o bien 2

) (

Caso I: El denominador. Q(x), es un producto de factores lineales distintos.

Esto significa que podemos escribir

) ..( )... )( ( )

(x a₁x b₁ a₂x b₂ a_kx b_k

Q = + + +

) ( . ... ) ( ) ( ) ( )

( _{1 2 k}

b x a A b x a A b x a A x Q x R + + + + + + =

Ejercicio: Determine

∫ ∫

∫ _{+ − +}− ₋− _(x dx₋₄₎ 2 4 3 4x ) 2 )( 1 2 ( 5 2 2 3 2 dx x x x x dx x x

Caso II: Q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten

Considere que el primer factor lineal se repite r

veces; esto es, en la factorización de Q(x) se obtiene Entonces, en lugar del término único

emplearíamos

) (a₁x +b₁

r

b x

a )

( ₁ + ₁ )

/( _{1 1} 1 a x b

A + r r b x a A b x a A b x a A ) ( . ... ) ( )

( _{1 1} 2 _{1 1}

2 1 1 1 + + + + + +

Por ejemplo: 3

2 2 + + + + = −

+ x A B C D E

Ejercicio: Determine dx x x x x dx x x x x dx x x x x ∫ ∫

∫ −₋ − ₋+ − _{+ −} − ₊ 3

2 3 2 2 3 2 ) 3 5 )( 6 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( 4 3 ) 1 ( 1 4

Caso III: Q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite

Si Q(x) tiene el factor ax2_{+bx+c, en donde b}2_-4ac<0,

entonces la expresión R(x)/Q(x) tendrá un término de la forma c bx ax B Ax + + + 2 Por ejemplo: 4 1 2 ) 4 )( 1 )( 2

( 2 2 2 2 +

Obs: El término se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula

c bx ax

D

+ +

2

c a

x arctan a

a x

dx

+

     

= +

∫

2 2 1

Ejercicio: Determine

dx x

x

x x

x dx

x x

x

∫

∫

∫

−_{+ − ( +}−₁₎₍4 +₊ 2₂₎ x

dx

)

2 (

2

2 2

2 3

3 6

) 4 )( 1 ( 1 dx ) 1 ( 2x 3x -1

_{2 2 2}

2 4 2 2 3 2 dx x x x x x x x ∫ ∫ + ₊ − ₊ + +₊

Caso IV: Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible repetido

Si en Q(x) aparece el factor en donde b2_-4ac<0

entonces, en lugar de la fracción parcial única se tiene la suma

r c bx

ax )

( 2 + +

c bx ax B Ax + + + 2

(

)

(

)

r

r r c bx ax B x A c bx ax B x A c bx ax B x A + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 ....

En la descomposición en fracciones parciales de R(x)/Q(x). Cada uno de los términos de la expresión anterior se puede integrar

completando el cuadrado y con una sustitución tangente

Expresiones Racionales en senx y cosx

Existe una sustitución que hace posible la integración de todas las expresiones racionales en senx y cosx

Teorema:Si f(x) es una expresión racional en senx y cosx, la sustitución

x 2arctanu

o

2 1

= = tan x

u

transforma la integral

en la integral de una función racional de u

Demostración:

Sea

dx

du

x

arctanu

=

+

=

2

u

1

2

,

2

Y obsérvese que

x

tan

u

2

1

=

X/2 2

1+u

1

du

u

arctanu

f

dx

x

f

∫

=

∫

+

2

1

)

2

(

2

)

(

Supongamos ahora que f(x) es racional en sen y cos.

Para probar el teorema necesitamos demostrar que

f(2 arctan u ) es racional en u, lo que puede hacerse

demostrando que sen(2 arctan u) y cos( 2 arctan u)

son racionales en u. Esto se deduce directamente:

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 sen 2 1 cos cos ) 2 cos( u u u u u x x x arctanu + − = + − + = − = =

Se ha deducido que la sustitución 2 arctan u=x Conduce a las siguientes fórmulas

2 2 2 1 1 ) 2 cos( 1 2 ) 2 sen( u u arctanu u u arctanu + − = + =

∫

∫

₊

∫

₊ 1-senx

dx 1 -secx 2tanx secx cos 2

1 x dx

dx

Sustituciones para racionalización

Algunas funciones se pueden transformar en funciones racionales por medio de sustituciones adecuadas, y con ello integrar mediante los métodos anteriores. En particular, cuando un integrando

contiene una expresión de la forma puede ser ventajoso emplear la sustitución _u = n _g(x)

g(x)

n

Ejercicio: Determine

dx x

x dx

x x

dx

x ∫ ∫

∫ _{+ + +}

1 1 1

1 1