UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
TESIS
PRESENTADO POR:
Bach. CASAS ARIAS, Felix Nilo
PARA OPTAR EL TITULO PROFESIONAL DE:
INGENIERO ELECTRICISTA
HUANCAYO – PERU 2009
EV E VA A LU L U AC A CI IO ON N D DE E L LA A S S S SO OB BR R ET E TE EN N SI S IO ON NE ES S
TR T R AN A NS SI IT TO OR R IA I A S S E EN N L LI IN NE EA AS S D DE E T TR RA AN N SM S MI IS SI IO ON N
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AGRADECIMIENTO
… Al Ing. Jorge Cairo, Asesor de tesis, por su constante apoyo en la realización de este trabajo.
Posiblemente sin su estímulo y ayuda no hubiese podido presentar este trabajo. Gracias además por sus aportaciones y su disponibilidad permanente.
... A mi madre y a mis hermanos, por ser una referencia constante en mi vida. Sé que siempre podré contar con ellos cuando los necesite.
… A Haydee, por estar siempre conmigo en los buenos y malos momentos y quien con su constante apoyo y dedicación facilitó mis labores para dedicarme de manera especial a este trabajo.
… A todos mi más profundo agradecimiento.
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DEDICATORIA
El esfuerzo de este trabajo esta dedicado a mi madre, por ser mi soporte moral y un ejemplo de virtud y sacrificio.
A mi esposa e hijos fuente de mi inspiración que a través de su amor y comprensión hicieron realidad este trabajo.
A las personas que me brindaron su apoyo y orientación permanente y a quienes les quedo eternamente agradecido.
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ASESOR:
Msc. Ing. Jorge Luciano Cairo Hurtado Docente de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la UNCP.
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RESUMEN
La determinación de la magnitud de las sobretensiones que se producen en un sistema eléctrico de potencia, nos permite prevenir y tomar medidas correctivas de protección a los equipos y dispositivos del sistema, asegurándonos la continuidad de servicio al usuario.
En la presente tesis, se emplea el método de ondas viajeras y el método de Bergeron para cálculos analíticos en determinar sobretensiones transitorias en las redes eléctricas de sistemas radiales o enmallados.
En este estudio se establecen las bases teóricas y las descripciones matemáticas características que son utilizados para la solución de problemas de aplicación.
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INDICE
AGRADECIMIENTO ... 1
DEDICATORIA ... 2
RESUMEN... 4
INDICE ... 5
INTRODUCCION ... 7
CAPÍTULO I... 8
GENERALIDADES DEL MARCO DE TESIS ... 8
1.1. PROBLEMATIZACION DE LA TESIS ... 8
CAPÍTULO II ... 11
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN: OPERACIÓN EN ESTADO TRANSITORIO ... 11
2.1. TRANSITORIOS EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN ... 11
1.1. MAGNITUDES QUE DEFINEN LOS TRANSITORIOS ... 16
1.2. MÉTODOS DE ANÁLISIS ... 17
CAPÍTULO III... 26
EVALUACIÓN DE SOBRETENSIONES POR EL MÉTODO DE ONDAS VIAJERAS .. 26
3.1. MODELOS DE REDES ... 26
3.2. LA ECUACIÓN DE ONDA ... 32
3.3. ONDAS REFRACTADAS Y REFLEJADAS ... 37
CAPÍTULO IV... 43
MODELAMIENTO Y REDUCCIÓN DE LA RED ELÉCTRICA PARA EL CÁLCULO DE SOBRETENSIONES ... 43
4.1. REDUCCIÓN DE LA RED ELÉCTRICA ... 43
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4.2. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS DE LA REDUCCIÓN DE UNA RED Y
SOLUCIÓN ... 51
4.3. APLICACIÓN DE METODOS COMPUTACIONALES PARA EL CÁLCULO DE SOBRETENSIONES MEDIANTE EL METODO DE ONDAS VIAJERAS ... 63
CONCLUSIONES ... 73
RECOMENDACIONES... 75
BIBLIOGRAFIA ... 77
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INTRODUCCION
En todo análisis y diseño de un sistema eléctrico de potencia, es importante la determinación del aislamiento adecuado de todos sus elementos constituyentes.
No se puede seleccionar únicamente el aislamiento en base a la tensión normal del sistema, sino se debe considerar los transitorios ocasionados por descargas atmosféricas, maniobras en el sistema u otras perturbaciones que puedan dar lugar a que la tensión alcance niveles anormales en el sistema.
El problema consiste en determinar la magnitud y duración de las sobretensiones transitorias presentadas en los diferentes puntos del sistema cuando ocurran perturbaciones, debida a causas externas o internas del sistema eléctrico.
Debido a la gran cantidad de variables que intervienen en el fenómeno es imposible obtener resultados exactos. Las soluciones planteadas analíticamente tendrán un carácter aproximado que sirva de referencia para estudios más minuciosos.
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CAPÍTULO I
GENERALIDADES DEL MARCO DE TESIS
1.1. PROBLEMATIZACION DE LA TESIS
La presente Tesis se desarrolló teniendo en cuenta los criterios metodológicos y científicos orientados al tema.
1.1.1. PROBLEMA
Debido a las diferentes sobretensiones que se presenta en las líneas de transmisión, tema que se hace cada vez más importante el problema consiste en determinar la magnitud y duración de las sobretensiones transitorias que se presentan en los diferentes puntos del sistema cuando ocurra una perturbación debido a causas externas o internas.
Las variables independientes en el presente trabajo de acuerdo a la metodología aplicada para solucionar el problema planteado será las descargas atmosféricas, maniobras en el sistema, energización de transformadores.
En cuanto a la variable dependiente es: sobretensiones transitorias.
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1.1.2. JUSTIFICACION
Es importante mantener la continuidad de operación del sistema eléctrico controlando las sobretensiones transitorias ocasionados por descargas atmosféricas, operaciones de maniobra de interruptores u otras perturbaciones que dan lugar a la variación de tensión que en muchos casos alcanzan niveles mayores que la normal.
1.1.3. OBJETIVOS
A. OBJETIVO GENERAL
En el presente trabajo se desarrolla en forma detallada las bases teóricas del método de ondas viajeras aplicadas al cálculo de sobretensiones en un sistema eléctrico de potencia.
A. OBJETIVOS ESPECIFICOS
- Describir las sobretensiones transitorias originadas por descargas atmosféricas, operaciones de maniobra de interruptores.
- Calcular las magnitudes de dichas sobretensiones utilizando el método de ondas viajeras.
1.1.4. HIPOTESIS
Las sobretensiones transitorias ocasionado por descargas atmosféricas en líneas de transmisión y en la operación de interruptores causan ondas electromagnéticas que viajan a lo largo de las líneas a la velocidad de la luz ocasionando ondas reflejadas en los extremos de las líneas que en función al tiempo se atenúan, pero durante el proceso
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de reflexión ocasiona elevadas sobretensiones que destruyen el aislamiento de los equipamientos, motivo por el cuál es posible evaluar las sobretensiones transitorias empleando el método de ondas viajeras para seleccionar adecuadamente el nivel de aislamiento de los equipamientos empleados en sistemas de potencia.
1.1.5. METODOLOGIA
La metodología se aplico en forma progresiva y por etapas estableciéndose niveles de confiabilidad de los métodos de investigación deductivo, inductivo y analítico, para lograr un desarrollo óptimo y adecuado de la problemática en la presente investigación.
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CAPÍTULO II
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN: OPERACIÓN EN ESTADO TRANSITORIO
2.1. TRANSITORIOS EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Los sobrevoltajes transitorios que se dan en un sistema de energía son de origen externo, o bien se generan internamente por las operaciones de maniobra.
En general, los transitorios en los sistemas de transmisión se originan debido a cualquier cambio repentino en las condiciones de operación o de configuración de los sistemas.
Los rayos son siempre un potencial de peligro para los equipos de los sistemas de potencia, pero las operaciones de maniobra pueden también causar su daño.
En la mayoría de casos, las líneas aéreas se pueden proteger de las descargas atmosféricas por medio de los hilos de guarda o de blindaje, los cuales están conectados a tierra a través de las torres de transmisión que sostienen a la
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línea.
Los sobrevoltajes transitorios son de corta duración de algunos milisegundos o menos, oscilatorio o no oscilatorio, generalmente muy amortiguado. De acuerdo a la Norma IEC 71-1 (para instalaciones situadas a altitud superiores a 1000 m.s.n.m.) y a la velocidad de los transitorios, éstos se pueden clasificar de la manera siguiente:
CLASE A
Sobrevoltajes de frente-lento: sobrevoltajes transitorios, generalmente unidireccionales, con tiempos a la cresta 20μs < Tp ≤ 5.000 μs, y tiempos al valor mitad T2 ≤ 20 ms. Estas sobretensiones son originadas principalmente por la actuación de los interruptores de potencia. El valor máximo de una sobretensión, depende del instante en el que se realiza esta maniobra.
CLASE B
Sobrevoltajes de frente-rápido: sobrevoltajes transitorios, generalmente unidireccionales, con tiempos a la cresta 0,1 μs < T1 ≤ 20 μs, y tiempo valor mitad T2 < 300 μs. Cuando el aislamiento se deteriora en algún punto en las fases de la línea de transmisión o en el transformador de potencia, se producirá una falla el cual es un cambio estructural abrupto de la red y anormal.
CLASE C
Sobrevoltajes de frente-muy rápido: sobrevoltajes transitorios generalmente
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muy rápidos con tiempo a la cresta Tf ≤ 0,1 μs, duración total < 3ms, y con oscilaciones superpuestas de frecuencia 30 KHz < f < 100 MHz. Este tipo de transitorios es ocasionado por descargas atmosféricas sobre líneas de transmisión, y están dadas por cambios abruptos en la red, como aquellos causados por la operación de interruptores.
Estos transitorios son de naturaleza esencialmente involucran a las líneas de transmisión, físicamente una perturbación de éste tipo causa una onda electromagnética que viaja a lo largo de las líneas con una velocidad muy próxima a la velocidad de la luz, ocasionando ondas reflejadas en las terminaciones de las líneas.
Este fenómeno tiene lugar durante los primeros milisegundos después a su iniciación; debido a las pérdidas en las líneas las ondas se atenúan y finalmente dejan de existir.
En el proceso de reflexión se ocasionan sobrevoltajes los cuales pueden destruir el aislamiento, las ondas viajeras pueden ser descargadas a tierra por medio de los pararrayos.
Los transitorios ultrarrápidos, dan las bases para la selección de los equipos del sistema de potencia. En el pasado las causas principales de los sobrevoltajes en los sistemas de potencia fueron las descargas atmosféricas, sin embargo en los últimos años los voltajes de los sistemas se han incrementado hasta valores muy elevados, dando lugar a que las operaciones de maniobra de interruptores causen sobrevoltajes que pueden ser mayores de aquellos ocasionados por descargas atmosféricas.
En el caso de que una onda de sobrevoltaje incidente viaje a lo largo de una
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línea de transmisión y alcanza un punto en el cual existe un circuito abierto, ésta se refleja con el mismo signo, elevando el voltaje en dicho punto a un valor la onda incidente; tal como se observan en las Figura 2.1 a), b) y c).
Si el interruptor se cierra cuando ocurre el pico de voltaje de la fuente de alimentación, el efecto será el mismo que si se aplicara un escalón de voltaje igual en magnitud al voltaje fase – neutro de la fuente, ésta onda de voltaje viajará hacia el terminal lejano de la línea. Puesto que la línea se encuentra en circuito abierto en el terminal de recepción, no existirá onda transmitida; por lo tanto si la onda incidente es de 1 P.U., la onda reflejada en ese punto será de 2 P.U., es decir la reflexión será total y la onda reflejada, que viaja hacia atrás a lo largo de la línea, será de un valor igual al doble del valor de la onda incidente en ese punto.
a) es el origen de la sobretensión al cerrarse el interruptor
b) es la reflexión positiva de la onda cuando alcanza el terminal de la línea en circuito abierto
(a) 1 P.U.
(b)
2 P.U.
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c) es la reflexión negativa de la onda al llegar a la
fuente con resistencia interna
nula.
Figura 2.1 Onda de sobrevoltaje en una línea de transmisión
La apertura de la línea de transmisión puede ocasionar que exista un voltaje remanente de 1 P.U., en dicha línea y a pesar de que ésta carga atrapada puede ser ocasionalmente descargada a tierra por vías naturales a través de las trayectorias de dispersión, esto no ocurrirá instantáneamente sino que tomará cierto tiempo y si la línea se energiza nuevamente en un tiempo menor al tiempo de descarga natural, por ejemplo si ocurre una reconexión rápida, cuando la fuente está en su valor pico de polaridad opuesta al voltaje de la carga atrapada, entonces un escalón de voltaje de 2 P.U., será aplicado a la línea dando lugar a un voltaje de 3 P.U., en el terminal de la línea en circuito abierto. Esto se observa en la Figura 2.2
a) muestra el origen
de una sobretensión
causada por el cierre del interruptor
(c) 2 P.U.
-1 P.U.
(a)
-1 P.U. carga atrapada 1 P.U.
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b) La reflexión en el termino de la linea en circuito abierto.
Figura 2.2. Energización de una línea con carga atrapada
Una línea puede permanecer cargada prácticamente a voltajes de pico durante algunos segundos posteriores a la interrupción de la corriente, el cual es un tiempo mucho mayor que el usado en interruptores de alta velocidad, como se mencionó anteriormente, la línea descargará eventualmente a través de las trayectorias de dispersión, pero la velocidad de descarga estará gobernada principalmente por las condiciones climatológicas existentes.
Usualmente se requieren tiempos de 2 a 5 minutos para descargar una línea completamente, pero bajo condiciones extremadamente secas éste tiempo puede incrementarse hasta 15 minutos o más. Los tiempos de descarga de una línea pueden ser modificados considerablemente si el interruptor está provisto de resistores de apertura o si existen reactores en paralelo conectados a la línea.
1.1. MAGNITUDES QUE DEFINEN LOS TRANSITORIOS
Las principales magnitudes que definan las oscilaciones transitorias son:
(b)
-1 P.U. carga atrapada 3 P.U.
1 P.U.
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1.1.1. LA AMPLITUD DE LAS OSCILACIONES
En la mayoría de los casos el voltaje de pico es el de mayor interés debido a sus efectos tanto el aislamiento interno como en el externo.
1.1.2. LA FRECUENCIA PREDOMINANTE DEL TRANSITORIO Esta define en parte la forma de onda de las oscilaciones transitorias y permite su correlación con ondas de prueba normalizadas.
1.1.3. EL GRADO DE AMORTIGUACIÓN DEL TRANSITORIO Este está determinado por la atenuación del sobrevoltaje a través de varios ciclos de oscilación.
1.2. MÉTODOS DE ANÁLISIS
Es importante predecir los sobrevoltajes en la etapa de planificación de los sistemas, con el objetivo de anteponernos en tomar las medidas adecuadas para reducir su severidad y minimizar el nivel de aislamiento.
El análisis de transitorios se efectuará desde dos tipos de elementos del sistema de potencia:
En primer lugar, aquellos cuyos parámetros son esencialmente concentrados tales como generadores, transformadores, reactores y capacitores y en segundo lugar, las líneas aéreas y cables subterráneos cuyos parámetros son de naturaleza distribuida.
Idealmente, el método de cálculo usado debe ser tal que puedan representarse tanto los parámetros concentrados como los distribuidos así como la variación de sus valores con la frecuencia además de los efectos no lineales como aquellos causados por pararrayos, saturación magnética, el efecto
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corona y el arco de los interruptores. Las dificultades que se presentan en el cálculo de transitorios, no están confinadas únicamente al método empleado, también es de mucha importancia el disponer de todos aquellos datos del sistema que se requieren para el cálculo y que la exactitud de los mismos sea buena.
En los siguientes párrafos se discuten en forma breve los métodos principalmente usados en la predicción de sobrevoltajes transitorios:
a. Método de Ondas viajeras b. Método de Bergeron.
1.2.1. Método de Ondas Viajeras
La tensión de voltaje existente en determinado punto de una línea en un tiempo “t” puede obtenerse sumando las ondas viajeras que han alcanzado a dicho punto en tiempo anteriores al tiempo t. Cuando las ondas llegan al extremo de una línea con otras líneas o circuitos, las ondas viajeras sufren reflexiones y refracciones. Los coeficientes de reflexión y refracción; se dan a continuación.
El coeficiente de reflexión de voltaje Kr está dado por:
0 e
0 e
R R Kr
Z Z +
= − (2.1)
El coeficiente de refracción o de transferencia de voltaje Kt está dado por:
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0 e
e
R R 2 Kt
+Z
= (2.2)
Donde:
Z0 = Es la impedancia característica de la línea sobre la cual la onda esta viajando.
Re = Es la impedancia característica efectiva vista por la onda cuando ésta alcanza el extremo.
Re Es la combinación en paralelo de las impedancias de sobretensión de todas las otras líneas y circuitos conectados a la unión. Así si una onda incidente de voltaje V llega a una unión, la onda reflejada estará dada por KrV y la onda transmitida por KtV.
De esa relación, Los coeficientes de Reflexión Kt y Kr estan relacionados por la ecuación:
Kt - Kr = 1 ó Kr = Kt - 1
Debido a las reflexiones y refracciones, pueden generarse un gran número de ondas, Bewley describe un método gráfico para llevar un archivo de la “historia” de estas ondas, haciendo posible el cálculo de las variaciones de voltaje con el tiempo en todos los puntos de una línea. Este método de solución de la ecuación de onda viajera se conoce como el Método de Lattice.
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Así, la Tensión Total en un punto “P” de la linea en un tiempo t = n, será:
VP = 2KT12V (1 + KR21 + KR212 +…+ KR21n)
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O la expresión equivalente:
El método de Lattice requiere que todos los elementos sean representados por líneas sin pérdidas especificadas en términos de sus longitudes e impedancias de sobretensión, es posible incluir en la representación la atenuación y distorsión, en cuyo caso, las líneas deben ser especificadas con mayor detalle.
Para cada terminación y en todas las uniones de una línea con otras líneas o circuitos, se determinan los coeficientes de transferencia a partir de las impedancias de sobretensión de todas las líneas conectadas a esa unión.
Los cálculos se desarrollan por completo en el dominio del tiempo y es posible hacer un enfoque no gráfico del método, en éste caso se prescinde del diagrama enrejado como tal y éste se reemplaza por una tabla que varía con el tiempo conocida como la “Matriz Rama – Tiempo”, para lo cual debe escogerse un intervalo de tiempo y conocido como el “Intervalo Básico de Tiempo” el cual es uno de los parámetros más importantes en el cálculo ya que éste determina tanto la exactitud en la representación del sistema como el tiempo de computadora requerido para el cálculo.
Los tiempos de propagación de los cables y líneas que comprenden el sistema se determinan a partir de sus longitudes y velocidades de propagación, siendo expresados como múltiplos del "Intervalo Básico
∑
==
= i n
0 i
i R21 T12
P 2K V (K )
V
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de Tiempo".
Los cálculos son efectuados, por conveniencia, en términos de voltajes solamente, por lo tanto cualquier corriente aplicada al sistema debe ser convertida en voltaje.
Las formas de onda de los voltajes aplicados al sistema, se sintetizan dividiendo las ondas en intervalos de tiempo iguales al intervalo básico y aplicándolas al sistema en incrementos de voltajes por pasos, las diferencias de voltajes se producirán en cada intervalo de tiempo.
1.2.2. Método de Bergeron
El método de Bergeron en su forma básica se puede aplicar solamente a líneas ideales de parámetros constantes.
A partir de las ecuaciones generales de una línea de parámetros distribuidos (Fig 2.3.a) y considerando su representación como un cuadripolo (Fig. 2.3.b)
i(x,t)
imk
(k)
V(x,t) (m)
(k) ikm
Vm
Vk
(m)
x
(a) (b)
(Fig. 2.3) Representaciones de una línea monofásica ideal de parámetros distribuidos.
Se puede deducir que las variables tensiones y corrientes en los terminales (k) y (m) de la línea, están relacionadas por las siguientes ecuaciones:
Zc, ζ
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( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
k C km m C mk
m C mk k C mk
V t Z i t V t Z i t
V t Z i t V t Z i t
ζ ζ
ζ ζ
− + − = −
− + − = −
(2.3)
Donde:
C /
Z = L C = Impedancia característica de la línea ζ = Tiempo de tránsito de la línea
Las ecuaciones 2.3 son la base del método de Bergeron y ellas permiten representar la línea como se muestra en la figura 2.4.
i (t)mk
(k) i (t)km
V (t)m
V (t)k i (t-km ζ)
(m)
i (t-mk ζ)
Zc Zc
(Fig. 2.4) Circuito equivalente de una línea monofásica ideal de parámetros distribuidos
Las fuentes de corriente dependen del valor de las variables terminales en el tiempo (t -ζ):
( ) { ( ) ( ) }
( ) { ( ) ( ) }
/ /
km m C mk
mk k C mk
I t V t Z i t
I t V t Z i t
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ
− = − + −
− = − − + −
(2.4)
Para evaluar en pasos discretos de tiempo las variables tensiones y corrientes asociadas a los elementos concentrados inductancias y capacidades, es necesario emplear algún procedimiento adecuado de
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integración numérica.
En particular, aplicando la regla trapezoidal, éstos elementos se pueden representar como se muestra en la figura 2.5, donde:
i (t-km Δt)
R
V (t)k V (t)m
(m) (k)
FIGURA 2.5. Circuito equivalente de un elemento concentrado
t R 2L
= Δ , para una inductancia L
2C
R= Δt , para una capacidad C
=
Δt Intervalo de Integración
t) - t km( i t) - t m( V R -
t) - t k( t) V
- t km(
I Δ Δ ± Δ
±
=
Δ (2.5)
En la ecuación 2.5, el signo (+) corresponde al caso de una inductancia y el signo (-) al de una capacidad.
Combinando los circuitos equivalentes de líneas y elementos concentrados, se obtiene una red formada por elementos resistivos y fuentes de corrientes a la cual resulta conveniente aplicar el método nodal, para una red de (n) nodos, se obtiene:
{ }
Y Vr(t)=ri(t) -rI (2.6) Donde:__________________________________________________________________________________
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{ }
Y = matriz de admitancias (t)Vr = Vector tensiones de nodos (t)
ri = Vector corrientes inyectadas en los nodos.
rI
= Vector fuentes de corrientes asociadas a cada elemento.
A partir de la ecuación 2.6 y empleando cualquier método numérico eficiente, es posible calcular las tensiones en los nodos de interés, en intervalos discretos de tiempo. En la solución de éste sistema, el establecimiento adecuado de las condiciones iníciales juega un papel muy importante.
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CAPÍTULO III
EVALUACIÓN DE SOBRETENSIONES POR EL MÉTODO DE ONDAS VIAJERAS
3.1. MODELOS DE REDES
En la práctica los parámetros tales como resistencias, inductancias y capacidades, no existen en forma concentrada en ninguna sección de un circuito o parte de un equipo, por lo que puede parecer sorprendente la exactitud con la cual es posible estudiar el comportamiento transitorio de los circuitos asumiendo parámetros concentrados.
En el caso de las líneas de transmisión, cada metro de una línea de transmisión es semejante al siguiente cada uno con resistencia, capacitancia e inductancia, de manera que éstas constantes están en realidad distribuidas a lo largo de toda la longitud de la línea.
Un transformador se acostumbra a representar por una inductancia, algunas veces con capacitancia en sus terminales, tal representación es válida si se considera al transformador como un todo, como un componente de un circuito, pero si se estudian fenómenos que ocurren dentro del devanado,
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ésta representación ya no es válida puesto que la resistencia, inductancia y capacitancia deben considerarse entonces distribuidas a través de todo el devanado.
Los circuitos con parámetros distribuidos, tienen una característica que soportan o permiten la existencia de ondas viajeras de corrientes y voltajes.
La manera como esto ocurre se explica tomando como base la Fig. 3.1.
s
Carga e
FIGURA 3.1. Línea de transmisión de dos hilos
En la figura 3.1., al cerrar el interruptor S, la línea de transmisión se conecta a una fuente de voltaje e, por ahora asumida con impedancia interna nula.
La acción de cerrar el interruptor puede asemejarse a abrir una válvula que permite la entrada de agua a un canal desde un reservorio situado atrás de éste, cuando se abre la válvula, el canal no se llena inmediatamente de agua, sino que se observarán ondas de agua moviéndose a través del canal, una sección del canal hacia adelante del frente de onda estará siempre seco, mientras que hacia atrás de éste, el canal estará lleno de agua hasta donde lo permite su capacidad. Algo diferente ocurre con el circuito de la figura 3.2, en donde la línea se ha dividido en gran número de secciones, cada una de las cuales está asociada con una cierta inductancia L y capacitancia C
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concentradas.
s
e C1 C2 Cn
L1 L2 Ln
1
FIGURA 3.2. Representación “concentrada” de una línea de dos hilos
Cuando se cierra el interruptor S1, la corriente comienza a fluir desde cero a través de la primera inductancia L1 para cargar el capacitor C1, pero tan pronto como éste capacitor ha adquirido cierta carga, existe un voltaje aplicado a la siguiente sección de la línea y la corriente comienza a fluir a través de L2 para cargar a C2, algo similar sucede con la tercera sección, la cuarta y así sucesivamente.
En un circuito concentrado como el de la figura 3.2. Cualquier perturbación, no importa cuan pequeña sea esta, es "sentida" por la n-ésima sección de la línea, en forma prácticamente instantánea cuando el interruptor S1 se cierra.
En la figura 3.1., esto no sucede así, la perturbación causada al cerrar el interruptor S, viaja a lo largo de la línea con una velocidad finita y es detectada en puntos remotos luego de un intervalo finito de tiempo, determinado por la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el medio circundante de la línea.
Cuando se energiza el circuito de la Fig. 3.2. comienza a fluir corriente desde la fuente hacia la línea, cargando su capacitancia hasta que ésta
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adquiere el voltaje de la fuente.
Asumiendo que luego de un tiempo ∆t, ha sido cargada una longitud de ∆x metros de línea y si la capacitancia de la línea es de C faradios por metro, una carga de:
∆Q = (C∆x) e 3.1.
habrá sido impartida a la línea. En consecuencia se crea un campo eléctrico entre los conductores de los primeros ∆x metros de la línea y un campo magnético en el medio circundante de los mismos, en virtud de la corriente que por ellos circula, dicha corriente está dada por:
t i Q
Δ
=Δ 3.2
De acuerdo a la ecuación 3.2.
t e x C
i Δ
= Δ 3.3.
En el límite:
dt edx
i=C 3.4
Ahora, dx/dt es la velocidad con la cual la perturbación se propaga a lo largo de la línea, llamando V a ésta velocidad, se tiene:
i = C.e v 3.5
El progresivo establecimiento del flujo magnético enlazando las líneas significa que una fuerza electromotriz, igual a la razón de cambio de los enlaces de flujo, se induce en el lazo formado por los conductores y el frente de onda. Suponiendo que la línea tiene una inductancia de L henrios por metro, cuando la corriente ha penetrado ∆x metros, los enlaces de flujo
∆φ están dados por:
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30
∆φ = L ∆x i 3.6
de acuerdo a la ecuación 3.5 podemos escribir:
∆φ = L ∆x Ce v 3.7 y la fuerza electromotriz es:
∆φ /∆t = L Ce v∆x/∆t 3.8 en el límite:
dφ/dt = LCev dx/dt 3.9 de donde:
e = LCe V2 3.10 v 1
= LC
3.11
Donde v es la velocidad de propagación de las ondas de corriente y voltaje a lo largo de la línea, si el espaciamiento d entre las líneas es grande comparado con el radio r de los conductores, se puede despreciar el flujo dentro de los mismos para la inductancia para linea bifilar es:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
r ln d
L 0
π
μ H/m 3.12
Bajo los mismos criterios, la capacitancia estaría dada por:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ r ln d C πε0
F/m 3.13
De las ecuaciones 3.12 y 3.13, se tiene:
0 0
ε
=
μ
LC__________________________________________________________________________________
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Reemplazando en la ecuación 3.11
0 0
v 1
ε
= μ 3.14
Esta ecuación, nos da la velocidad de las ondas electromagnéticas en el espacio libre, es decir, la velocidad de la luz, usualmente designada por c.
En realidad, L y C son algo mayores que las aproximaciones hechas en 3.12 y 3.13, de manera que v es algo menor que c.
En algunos casos prácticos el medio ambiente no es el espacio libre o el aire; por lo tanto la velocidad de propagación es diferente. Por ejemplo, en un cable la permitividad del dieléctrico es, Kε0 donde k puede ser de 3 a 5
o mayor y V se ve reducida en un factor de K
1 , pudiendo llegar a ser
menor que la mitad de la velocidad para una línea aérea.
Similarmente, cuando un conductor se devana en acero, como sucede con los conductores de la mayoría de las máquinas rotativas, la permeabilidad μ puede ser mucho mayor que μ0, esto afectará a la velocidad en la razón
μo
μ una vez que el flujo ha penetrado en el acero.
En la ecuación 3.5 puede ser escrita de la forma:
C L i :e donde de
LC e c.
=
= i
La ecuación 3.5. tiene dimensiones de impedancia y se designa como la impedancia característica de la línea Z, es decir:
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32
Z L
= C
3.16
Para una línea aérea, Z es aproximadamente 400Ω y para un cable, está en el rango de 30-80Ω.
Sintetizando se puede decir que cuando una línea se conecta a una fuente de energía eléctrica, una onda viajera de voltaje pasa a lo largo de la línea, estableciendo un campo eléctrico entre los conductores. La onda de voltaje está acompañada por una onda de corriente de amplitud V/Z, la que a su vez crea un campo magnético en el espacio circundante. Es evidente que se le está suministrando energía a la línea a una tasa de e.i watts, en ausencia de pérdidas esta energía debe ser almacenada en el campo electromagnético, esta energía se distribuye por igual en el campo eléctrico y en el campo magnético.
3.2. LA ECUACIÓN DE ONDA
Se tiene una línea de dos hilos, sin pérdida mostrada en la Fig. 3.3., se indica una diferencial de una línea de transmisión,
CΔx e
Δ
x LΔx
FIGURA 3.3. diferencial de una línea de transmisión
si dicha línea tiene una inductancia de L henrios por metro y una capacitancia de C faradios por metro, una longitud elemental de ∆x metros
__________________________________________________________________________________
33
tendrá una inductancia de L∆x y una capacitancia de C∆x. la tensión a través de éste elemento será:
t x i L
e ∂
Δ ∂
−
= Δ
en el límite, cuando la longitud del elemento se hace dx, se tiene:
t L i x e
∂
− ∂
∂ =
∂ 3.17
Usando derivadas parciales donde e como i son funciones de la posición y del tiempo. La corriente necesaria para cargar la capacitancia elemental C∆x, será:
t x e C
i ∂
Δ ∂
−
= Δ
En el límite será:
t C e x
i
∂
− ∂
∂ =
∂ 3.18
Los signos negativos en las ecuaciones 3.17 y 3.18 se deben a que con la corriente fluyendo en la dirección indicada en la figura 3.3, tanto e como i disminuyen con el aumento de x. ahora, podemos eliminar i del par de ecuaciones simultáneas, diferenciando la ecuación 3.17, respecto a x y la ecuación 3.18, respecto a t resulta:
t x L i x
e 2
2 2
∂
∂
− ∂
∂ =
∂
2 2 2
t C e t x
i
∂
− ∂
∂ =
∂
∂
Eliminando t x
2i
∂
∂
∂ de las ecuaciones anteriores, obtenemos:
2 2 2
2
t LC e x
e
∂
= ∂
∂
∂ 3.19
__________________________________________________________________________________
34
Eliminando e, diferenciando la ecuación 3.17, respecto a t y la ecuación 3.18, respecto a x resulta:
2 2
t L i x t
e
∂
− ∂
∂ =
∂
∂
x t C e x
i 2
2 ∂ ∂
− ∂
∂ =
∂
Eliminando x t
2e
∂
∂
∂ de las ecuaciones anteriores, obtenemos:
2 2 2
2
t LC i x
i
∂
= ∂
∂
∂ 3.20
Las ecuaciones 3.19 y 3.20 constituyen las ecuaciones de onda para una línea de transmisión sin pérdidas, la solución de la ecuación de tensión, dada por D’Alembert, es de la forma:
) vt - x ( f ) vt x ( f
e= 1 + + 2 3.21
Es posible demostrar que la ecuación anterior es solución de la ecuación de onda por sustitución, diferenciándola dos veces, primero respecto a x y luego respecto a t.
Debemos observar que acerca de las funciones de x y t no se ha especificado nada, excepto el hecho de que tienen que ser diferenciables.
Consideremos la función f1(x+vt) al tiempo t=0, ésta tiene una distribución espacial f1 (x) y un valor de f1 (a) para x = a. A cualquier tiempo subsecuente γ, ésta tiene el mismo valor para x = (a-vγ) que aquel valor que tuvo para x = a, es decir que -la distribución de voltaje se ha movido intacta una distancia vγ en la dirección de menos x, esto se ilustra en la figura 3.4.
__________________________________________________________________________________
35
f (a)1 f (a)1
vγ
+ x
(ii) (i)
FIGURA 3.4. La funciónf1 (x+vt) a(i)t=0 y (ii) t= γ
De manera similar, la función f2(x - vt) representa una distribución de voltaje moviéndose en la dirección positiva de x con una velocidad v.
Concluimos que para satisfacer la ecuación de onda, cualquier sistema de cargas libres formando una distribución de voltaje, debe viajar a lo largo de la línea con una velocidad V =
LC 1 .
Las ondas de corriente implícitas por el movimiento de carga y que por lo tanto acompañan a las ondas de voltaje, pueden ser derivadas de la ecuación 3.17.
x e L 1 t i
∂
− ∂
∂ =
∂
{
(x vt) (x vt)}
L 1 t
i '
2 '
1 + + −
−
∂ =
∂ f f 3.22
Las funciones f1'(x+vt) y f2'(x−vt) son derivadas respecto a las variables enteras f1 (x+vt) y f2(x+vt). Integrando ambos lados de la ecuación 3.22, respecto a t, obtenemos:
{
(x vt) (x vt)}
Lv
i=− 1 f1 + + f2 −
{
(x vt) (x vt)}
L
i C 1 − + 2 +
⎭⎬
⎫
⎩⎨
=⎧ f f
__________________________________________________________________________________
36
{
(x vt) (x vt)}
Z
i 1 1 − + 2 +
⎭⎬
⎫
⎩⎨
=⎧ f f 3.23
La ecuación 3.23, establece que las ondas de corriente son directamente proporcionales a las ondas de tensión, el factor de proporcionalidad es la impedancia característica.
Sin embargo, notamos que la onda de corriente que viaja en la dirección negativa de las x tiene signo opuesto al de la onda de tensión.
En la figura 3.5, se muestran algunas combinaciones de las ondas de corriente y voltaje, observamos que i y e tienen el mismo signo cuando viajan hacia la derecha y signos opuestos cuando viajan hacia la izquierda.
+ x
e i
(a)
(b) + x
-i -e
+ x
e
(c)
-i
+ x
-e i
(d)
FIGURA 3.5 Varias combinaciones de las ondas de corriente y voltaje
La figura 3.5c, muestra una onda de corriente negativa viajando en la dirección negativa, mientras que la figura 3.5.d muestra una onda de corriente positiva viajando en ésta dirección.
Cuando dos ondas que viajan en direcciones opuestas se encuentran ellas se suman algebraicamente conforme pasan una a través de la otra, esto se
__________________________________________________________________________________
37
ilustra en la figura 3.6.
(c) (b) (a)
FIGURA 3.6 Ondas opuestas (a) aproximándose, (b) combinándose, y (c) 3.3. ONDAS REFRACTADAS Y REFLEJADAS
Existe una estricta proporcionalidad entre las ondas de voltaje, que viajan a lo largo de una línea de transmisión, y sus ondas de corriente asociadas. El factor de proporcionalidad es la impedancia característica Z de la línea.
Cuando una onda llega a una discontinuidad, donde cambia la impedancia característica de la línea, debe ocurrir algún tipo de ajuste a fin de que dicha proporcionalidad no sea modificada. Este ajuste se manifiesta por la iniciación de dos nuevos pares de ondas, la onda reflejada de voltaje y su acompañante onda de corriente viajan de regreso, hacía atrás, en la línea y se superponen a las ondas incidentes.
Las ondas transmitidas (o refractadas) ingresan en la discontinuidad y continúan su viaje hacia adelante en la línea. Las amplitudes de las ondas reflejadas y refractadas son tales que se mantiene la proporcionalidad, entre el voltaje y la corriente para cada caso, de acuerdo a las impedancias características de las líneas sobre las cuales éstas ondas están viajando; las corrientes y voltajes en la discontinuidad de la línea son por si mismas continuas y se conserva la energía.
__________________________________________________________________________________
38
Consideremos la unión entre líneas de impedancias característica ZA y ZB, y supongamos que ZA > ZB. Por ejemplo éste puede ser el caso de una unión entre una línea aérea y un cable. Supongamos que un sobrevoltaje del tipo escalón y de amplitud e1 se aproxima a la unión viajando sobre la línea aérea. La onda de corriente tendrá la misma forma y una amplitud:
A 1 1
Z e
i = 3.24
Llamemos a las ondas de voltaje reflejadas y refractadas e2 y e3
respectivamente, de manera que sus corrientes asociadas serán:
A 2 2
Z -e
i = 3.25
B 3
3 Z
i = e 3.26
Nótese que i2 está viajando en la dirección negativa de las x, por lo tanto tienen signo opuesto a e2. Si el voltaje y la corriente deben ser continuos en la unión, se debe cumplir que:
e1 + e2 = e3 3.27 i1 + i2 = i3 3.28
La ecuación 3.28, puede reescribirse sustituyendo las ecuaciones 3.24 a 3.26.
B A
A Z
e Z
e Z
e1 2 3
=
− 3.29
A partir de las ecuaciones 3.27 y 3.29 es posible escribir expresiones para las ondas reflejada y refractada en términos de la onda siguiente:
__________________________________________________________________________________
39
1 2
1 2
e e
e e
A B
A B
B A
A B B
A A B
Z Z
Z Z
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
+
= −
= − +
3.39
La cantidad
A B
A B
Z Z
Z Z
+
− se conoce como el coeficiente de reflexión y lo
designaremos por Kr. El valor de Kr puede ser positivo o negativo dependiendo de los valores relativos de ZA y ZB. En el ejemplo anterior, Kr es negativo.
El coeficiente de refracción se obtiene eliminando e2 entre las ecuaciones 3.27 y 3.29.
1 A
3 e
Z
e + = 2
A B
A B
Z Z
Z Z
1
3 2 e
e
A B
B
Z Z
Z
= + 3.31
Esto define el coeficiente de refracción o de transmisión que designaremos por
A B
B
Z Z
Z
= 2+
Kt , el cual varía entre cero y dos, dependiendo de los
valores relativos de ZB y ZA.
e1
ZA ZB ZA ZB
ZA ZB ZA ZB
e3
i1 i1
i2 i3
e2
UNION UNION
ANTES DESPUES
FIGURA 3.7 ondas de corriente y voltaje reflejadas y refractadas en la unión entre dos líneas
__________________________________________________________________________________
40
Lo que anteriormente se ha descrito en forma matemática, se ilustra gráficamente en la figura 3.7.
Supongamos que ZA = 400 Ω, ZB = 50 Ω y que e1 = 300 KV, entonces i1 = 750A. Los coeficientes de reflexión y de refracción son -0.777 y 0.222, respectivamente. Así, las ondas que penetran en el cable tienen un voltaje de 66.66 KV y una corriente de 1333.33 A. La acentuada reducción de la onda incidente de voltaje, conforme ésta ingresa en el cable, se utiliza algunas veces en sistemas de potencia para proteger los equipos terminales de las sobretensiones que se aproximan a ellos viajando por las líneas. Se introduce una sección de cable entre la línea aérea y el equipo terminal.
Se puede demostrar que la energía se conserva por la iniciación de las ondas secundarias, cuando la onda incidente alcanza la unión, de una manera bastante simple. Supongamos que la onda incidente fue la consecuencia del cierre de un interruptor que conecta la línea A a una fuente de e1 voltios. La fuente alimentará a la línea a razón de:
ZA
e e i
2 1 2
1 = 3.32
Hasta que llegue a la fuente una onda reflejada desde la discontinuidad.
Cuando la onda incidente llega a la unión, llega energía a razón de ZA
e12
watts a la discontinuidad.
Esta energía se reparte desde la unión por medio de las ondas reflejada y refractada a razón de:
B 2 3 A 2 2
Z e Z
e + Watts
__________________________________________________________________________________
41
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
+ + +
−
2 2 2
2 2
1 ( )
) (2 1 ) (
) (
e 1
A B
B B
A B
A B
A Z Z
Z Z
Z Z
Z Z Z
= ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
+ + +
−
2 2
2 2
1
) (
4 )
(
) (
e
A B
B A A
B A B
A Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z = ZA
2
e1
De manera que, las ondas reflejada y refractada tienen la misma energía que la onda incidente, dada por la ecuación 3.34.
Se ha considerado lo que sucede cuando una onda que viaja a lo largo de una línea de transmisión llega a un punto en el cual la línea se une a una segunda línea, con diferente impedancia característica. Todo lo dicho anteriormente se aplica a un punto en el cual la línea se une a otras dos o más líneas.
Una bifurcación de éste tipo se muestra en la figura 3.8 en la cual sólo se representan las ondas de voltaje.
e1A
e1A
ZA
e3B
e3C
ZC
ZA
ZB
ZB
ZC
e2A
FIGURA 3.8 Ondas viajeras de voltaje en la bifurcación de una línea
En la situación general donde una línea se divide en otras n líneas, para ondas refractadas, se tiene:
__________________________________________________________________________________
42
N 3N C
3C 3B 3B
..., e e ,
i e
Z Z
ZB = =
= 3.33
Para la onda reflejada:
A 2A e2A
i =−Z 3.34
Por la continuidad de voltaje:
3N 3C
3B 2A
1A e e e ,..., e
e + = = = = 3.35
Y por la continuidad de corriente:
3N 3C
3B 2A
1A i i i ,..., i
i + = + + = 3.36
Las ecuaciones 3.35 a 3.38, son suficientes para especificar la onda reflejada y todas las ondas refractadas en términos de la onda incidente e1A y las impedancias características de las líneas.
__________________________________________________________________________________
43
CAPÍTULO IV
MODELAMIENTO Y REDUCCIÓN DE LA RED ELÉCTRICA PARA EL CÁLCULO DE
SOBRETENSIONES
4.1. REDUCCIÓN DE LA RED ELÉCTRICA
Los principios generales descritos anteriormente, pueden usarse en el desarrollo de un programa de computadora para el cálculo de sobretensiones en redes monofásicas, se considerará a continuación la técnica mediante la cual es posible adaptar el Método de Ondas Viajeras a los requerimientos de una computadora digital y mediante un ejemplo se ilustrará la lógica empleada en el programa.
En el análisis siguiente, el tiempo se expresa como un múltiplo de un
“intervalo básico de tiempo” γ, el cual no varía a través de todo el análisis.
Por lo tanto, para una línea uniformemente distribuida, con velocidad de propagación constante, el tiempo de tránsito de la línea (longitud de la línea dividida para la velocidad de propagación de las ondas en la línea) debe ser
__________________________________________________________________________________
44
un múltiplo entero de γ.
Las redes eléctricas monofásicas pueden ser expresadas en términos de Líneas Finitas, Líneas Semiinfinitas y Coeficientes de Transferencia. A continuación se darán las definiciones correspondientes.
4.1.1. Líneas Finitas
Una línea finita se define como una línea sin pérdidas, de dos pares de terminales, con impedancia característica Z y un tiempo de tránsito ζ = nγ, donde n es un entero positivo y γ es un intervalo básico de tiempo; una línea de éste tipo se representa en la Figura 4.1., por medio de una rama de dos terminales, se asume por lo tanto, un nivel de referencia común, tal como la tierra.
12 31
12 r21 Z31 Z
Z K Z
+
= − Kr21
1+
Kr21
γ n ,
Z31 31 Z12 ,n12γ Z24 ,n24γ
3 1 2 4
1
FIGURA 4.1. Línea finita
Los terminales 1 y 2 se conocen como los nodos 1 y 2 respectivamente. La rama 1,2 (que también puede ser llamada la rama 2,1) tiene una impedancia característica Z12 = Z21 y un tiempo de tránsito de n12γ = n21γ.
Una onda del tipo escalón unitario que entre a la rama 1,2 por el nodo 2, llegará sin distorsión al nodo 1, n12γ unidades de tiempo más tarde.
Lo anterior es también verdadero, pero invertido, para una orden
__________________________________________________________________________________
45
escalón unitario que entre a la rama 1,2 por el nodo 1.
La Figura 4.1., muestra a la rama 3,1 conectada directamente a la rama 1,2 en el nodo 1, éste enlace directo se especifica por medio del numeral 1, el cual es común a ambas notaciones de rama. Una onda escalón unitario viajando en la rama 1,2, generará al llegar al nodo 1, una onda reflejada de voltaje de magnitud Kr21 que viajará de regreso hacia el nodo 2, también generará una onda transmitida de voltaje de magnitud 1+ Kr21 que viajará en la rama 3,1 hacia el nodo 3. Lo mismo se aplica, pero con diferentes valores de Kr a las ramas 1,2 y 2,4 que están directamente conectadas en el nodo 2. En general, Kr12
no es igual a Kr21.
4.1.2. Líneas Semi - infinitas
Una línea semi-finita se define como una línea de transmisión de un par de terminales y de impedancia característica R. Esta es infinita en longitud y recibe la inyección de energía a través del par de terminales en uno de sus extremos, una línea de éste tipo se representa en la figura 4.2., por medio de una rama semi-infinita de un terminal, la rama 1,0 (el 0 está representado por una punta de flecha). La rama 2,1 se muestra directamente conectada a la rama 1,0.
21 1
21 r21 R1 Z
Z K R
+
= − Kr21
1+ Kr21
γ n ,
Z21 21 1 2
1
R1
FIGURA 4.2. Línea semi-infinita
__________________________________________________________________________________
46
Una onda escalón unitario de voltaje que viaje en la rama 2,1, desde el nodo 2 hacia el nodo 1, al llegar al nodo 1, generará una onda reflejada de magnitud Kr21 y que viajará de regreso hacia el nodo 2;
generará también una onda transmitida de voltaje de magnitud 1 + Kr21, que viajará en la rama 1,0. Una vez que la onda transmitida comienza su viaje en la rama 1,0 ninguna parte de ésta onda regresa nunca al nodo 1.
Por lo tanto, se puede usar una línea semi infinita para representar por ejemplo una resistencia conectada entre la línea y tierra.
4.1.3. Coeficientes de Transferencias
Un coeficiente de transferencia se define en la figura 4.3., como un factor C y describe el tiempo instantáneo de propagación de una onda desde un nodo hacia otro.
9
89 89,n Z
( r31)
181 K
C +
8
R8 Kr31
1+
( r31)
181 K
C +
Kr31
31 31,n Z
R1
3 1
1
FIGURA 4.3. Coeficiente de transferencia
Por ejemplo, una onda escalón unitario de voltaje que viaje en la rama 3,1, al llegar al nodo 1, generará una onda reflejada de magnitud Kr31
__________________________________________________________________________________
47
y una onda transmitida de magnitud 1+ Kr31, en el nodo 1, además esta puede generar ondas transmitidas en cualquier otro nodo, por ejemplo en el nodo 8. El coeficiente de transferencia C18 multiplicado por la magnitud de la onda transmitida en el nodo 1, es igual a la magnitud de la onda transmitida al nodo 8 via la trayectoria 1,8. En general C18
no es igual a C81. Definir de ésta manera a un coeficiente de transferencia resulta útil en la manipulación de problemas monofásicos. La impedancia de sobretensión R1, de la rama semi- infinita 1,0 incluye el efecto que tiene en el nodo 1 la red del nodo 8.
4.1.4. Matriz Rama – Tiempo
La Matriz Rama-Tiempo es el "corazón" del Método de Ondas Viajeras, puesto que es por me dio de ella que resulta posible el llevar un archivo, una historia, de las trayectorias e incrementos de cada onda, en particular, dentro del sistema. El funcionamiento de la Matriz Rama-Tiempo es principalmente un problema de organización, por lo que la mejor manera de explicarlo es por medio de un ejemplo.
Consideremos el sistema monofásico radial, que se indica en la Figura
e 1 2
Kt53
Kt21 Kt12Kt32 Kt23
Kt53 Kt35
Kt21, Kt12, Kt53, Kt35
Kt32, Kt23, Kt43, Kt34
2 3
6
4
Coeficientes de transmisión
3 5
Kt35
FIGURA 4. 4. Sistema monofásico radial
