MATE 3031
Dr. Pedro V·squez UPRM
øCÛmo la derivada afecta la forma de una gr·Öca?
En muchas de las aplicaciones del c·lculo depende de nuestras destrezas para deducir situaciones acerca de una funciÛn desde la informaciÛn relacionada a su derivada.
Recuerde f0(x)representa la pendiente de la gr·Öca de la curvay =f (x)
en el punto (x,f (x)).
Es razonable que f0(x)provea informaciÛn a cerca de f (x).
øQuÈ dice f0 acerca de f?
Entre los puntosAyB y entre
C yD las rectas tangentes tienen pendientes positivas, i.e., f0(x)>0
Entre los puntosB yC las rectas tangentes tienen pendientes negativas, i.e.,f0(x)<0
De acuerdo a lo anterior, se observa que f crece cuandof0(x)es positiva yf decrece cuandof0(x) es negaitiva.
Prueba de creciente y decrecciente
a. Sif0(x)>0 en un intervalo, entoncesf es creciente en ese intervalo.
b. Si f0(x)<0 en un intervalo, entoncesf es decreciente en ese intervalo.
Prueba
Recuerde, de la secciÛn 4.1, si f tiene un m·ximo o mÌnimo local enc, entonces c debe ser un n˙mero crÌtico def (por el teorema de Fermat), adem·s no todo n˙mero crÌtico representa un m·ximo o mÌnimo, ejemplo
f (x) =x3,c =0 es un n˙mero crÌtico, pero la funciÛn no alcanza ni mÌnimo ni m·ximo local en 0.
Prueba de la primera derivada
Suponga que c es un n˙mero crÌtico de una funciÛnf :
a. Si f0 cambia de positiva a negativa en c,entonces f tiene un m·ximo local enc.
b. Si f0 cambia de negativa a positiva en c,entonces f tiene un mÌnimo local enc.
c. Si f0 no cambia de signo en c,entonces f no tiene ni m·ximo ni mÌnimo local enc.
Ejemplos
1. Si f (x) =4x3+3x2"6x+1, halle los m·ximos y mÌnimos locales de
øQuÈ dice f00 acerca de f?
Al observar la gr·Öca 5, ambas son funciones crecientes entre AyB,sin embargo parecen diferentes porque se doblan en diferentes direcciones. En la Ögura 6a, las rectas tangentes est·n debajo de la curva, y se le llama cÛncava hacia arriba y en 6 b, las rectas tangentes est·n sobre la curva y se le llama cÛncava hacia abajo.
DeÖniciÛn: Si la gr·Öca de f est· sobre todas las rectas tangentes en un intervaloI,entonces se dice que es cÛncava hacia arriba enI. Si la gr·Öca de f est· bajo todas las rectas tangentes en un intervaloI,entonces se dice que es cÛncava hacia abajo enI.
En 6a, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes aumentan, lo que signiÖca que la derivada de f0 est·
aumentando y por lo tanto su dervadaf00 es positiva.
En 6b, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes disminuyen, lo que signiÖca que la derivada de f0 est·
Prueba de concavidad:
a. Si f00(x)>0 para todox en I, entonces la gr·Öca de f es cÛncava hacia arriba enI.
b. Si f00(x)<0 para todox en I, entonces la gr·Öca de f es cÛncava hacia abajo enI.
DeÖniciÛn: Un punto P sobre una curvay =f (x)es llamado unpunto de ináexiÛn si f es continua enc y la curva cambia de cÛncava hacia arriba a cÛncava hacia abajo o de cÛncava hacia abajo a cÛncava hacia arriba en P.
Prueba de la segunda derivada:
a. Si f0(c) =0 yf00(c)>0, entonces f tiene un mÌnimo local en c.
2. Ejercicio 2 p·g. 300
4. Considere la gr·Öca de la derivada de la siguiente funciÛn:
6. Ejercicio 14 p·g. 301, f (x) =cosx+sinx, 0#x #2p
8. Ejercicio 30 p·g. 301, trace la gr·Öca de la funciÛn que satisface: f0(0) =f0(4) =0, f0(x) =1 si x <"1;f0(x)>0 si 0<x <2, f0(x)<0 si "1<x <0 o 2<x <4 ox >4 f00(x)>0 si "1<x <2 o 2<x <4, f00(x)<0 si 4<x lim x!2" f 0(x) =•, lim x!2+ f 0(x) ="• −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y
10. Ejercicio 44 p·g. 302, G(x) =5x2/3"2x5/3
11. Ejercicio 50 p·g. 302, f (x) = x
2
"4
x2+4
12. La familia de curvas en forma de campanas:
y = 1
sp2pe
"(x"µ)2/(2s2)
se dan en probabilidad y estadÌstica, donde se le llama la funciÛn de densidad normal. La constante µes la media y la constante positiva s se le llama la desviaciÛn constante. Para simplicidad se escala la funciÛn y se remueve el factor 1
sp2p y se analiza el caso especialµ=0. Entonces se estudia la funciÛn:
y =e"x2/(2s2)
a. Halle la asÌntota, el valor m·ximo y el punto de ináexiÛn de f.
b. øQuÈ papel juega s en la forma de la curva?
